异面直线所成的角专题训练1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC和XXX所成的角为多少度？答案：90度。
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是多少度？答案：60度。
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。
4.在三棱锥ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4，AA1=6.若E是棱BB1上的点，且BE=B1E，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为多少？答案：1/3.5.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为多少？答案：-1/2.6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，直线AM与CN所成角的余弦值是多少？答案：-3/5.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且CA=CC1=10，则直线B1C与直线AB1所成角的余弦值为多少？答案：5/13.8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1B1=2，AB⊥BC，点M是AC1的中点，则异面直线MB与AA1所成角的余弦值为多少？答案：-1/3.9.正三棱锥A-PBC的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为多少？答案：-3/5.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1D所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。
中，ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与AC所成的角的正弦值为(。
)A．12B．13C．23D．110.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与直线AC所成的角的正切值为(。
1AA 1异面直线所成角习题1、在正方体1AC 中，M,N 分别是1A A 和1B B 的中点，求异面直线CM 和1D N 所成的角？求异面直线1A M 和1D N 所成的角？2 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．4．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．45°5 ， A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值是6．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。
7．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值8.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点， B M AN CS B 'A 'AB C ' D ' C D F EF 1 ABC D 1 C 1A 1B 1B 1A 1ABC 1D 1CD M N2求直线AM 与CN 所成角的余弦值9如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与 SA 所成的角45°10.如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值3411.如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ， 且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值5712.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体， M 、N 分别是BC 和A 1C 1MN 与CC 1所成角的余弦值。
任务检查异面直线所成的角问题定位1长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．答案B解答连接、，如图：在长方体中，则为异面直线与所成角，由，，得， ， ， ，异面直线与所成角的余弦值为，异面直线所成角的求法方法一：平移直线至有公共点方法二：平移（构造）几何体故选．原因分析精准突破异面直线的定义我们把不同在任何一个平面内、没有公共点的两条直线叫做异面直线．例如，如图所示，直线、为异面直线．异面直线夹角的定义如图所示，已知两条异面直线，，如图①，作直线，使得，如图②，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角），如图③．异面直线夹角的范围为．2三棱柱中，与且、所成的角均为，，且，则与所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．答案D解答在三棱柱中，，，是平行四边形，，与所成角等于，设，则，，为正三角形，，又，，，由余弦定理可知：，四边形为矩形，，，，故与所成角的正弦值为，故选．3正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为的中点，则异面直线与所成的角是（）A ．B ．C ．D ．答案C 解答取的中点，连接、，则，异面直线与所成的角为，，，，又在中，由余弦定理可得，则在中，可得，在中，由余弦定理得，，故选．4如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA ＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A B 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．11答案D 解答补形5如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，（1）求异面直线AP与BD所成的角；（2）若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cos θ的值．答案见解析解答（1）如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝.（2）设N为BF的中点，连接EN，MN，则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角．不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，则EN＝，EM＝，MN＝.在△MEN中，由余弦定理得cos∠MEN=即cos θ＝.课中巩固6在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．C解答方法一：取的中点，连接、、、、，在直棱柱中，，，且、、分别是、、中点，且，，且，四边形是平行四边形，与所成角即为与所成角，，设，在直三棱柱中，，，且 ， ，，，，在中，由余弦定理可得：，故选．7在正方体‐中，为棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．答案A解答取的中点，连接，，，.因为，分别是，的中点，所以，且，因此四边形为平行四边形，，而或其补角为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为，则，，在中，由余弦定理得，异面直线与所成角的余弦值为，故选.8如图所示，在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中点，则直线和所成的角是（）A．B．C．D．答案B解答如上图所示：延长至点，使得，连接、、，，，，，，四边形为平行四边形，，又、分别是、的中点，，设，则，，，，，又直线所成的角不为钝角，直线和所成的角是，【补救学习】故选．9（2015浙江）如图，三棱锥A—BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．解答如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK.∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝2，∴MK ＝.在Rt △CKN 中，CK =.在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝.总结优化10如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为．【拓展提升】答案．如上图所示：、分别是、中点，，又，，四边形为平行四边形，，与所成角等于，设正方体的边长为，则，，故与所成角的大小为．11如图，正方形ABCD 与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是 ，PQ 是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（ ）A. B. C. D.答案B解答略12（2016浙江）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝CD＝3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD的内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于________；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于________．答案 解答当平面ABC⊥平面BCD时，点A在平面BCD上的射影为BC的中点M，当点A在平面BCD上的射影M在BD上时，因为AB＝AC，所以BM＝MC，因为BC＝CD＝3，所以∠DBC＝30°，所以由∠BCD＝90°得BM＝MD，点M的轨迹的最大长度等于CD＝，将其补为四棱锥，所以AB＝，AE＝＝，又因为∠EBA为直线AB和CD 所成的角，所以cos∠EBA＝＝.线面角问题定位13如图所示，在正方体中，是棱的中点．求直线与平面所成的角的正弦值．答案．解答作的中点，连接、，在正方体中，为中点，为中点，，又平面，平面，即是直线与平面所成的角，设，设正方体的棱长为，，，平面，，，，，．14如图，正方体中，面对角线与对角面所成的角为．答案．解答连接交于点，连接，如图所示：四棱柱是正方体，三棱柱是直棱柱，平面平面，四边形是正方形，即，平面平面，平面，即是直角三角形，是与平面所成的角，具体步骤①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
