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立体几何_异面直线成角求法习题

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构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3(2005年全国高考卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．1. 解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得图1C图21A 1B 1C 1D BCD E FGPBCAcos B 1GF＝2221112B G GF B F B G GF +-=•＝0，故∠B1G F＝，应选(D)．2评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决． 解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ．∴∠B E A＝∠BAE＝，又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度． 故填． 3解：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即tan PDDBA DB∠==． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -，从而将问题简化．异面直线练习一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是1D 1B 1C PDBCAA B C SE F A B C D D 1 C 1B 1 A 1M N B A C DA 异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的围为 （ ）（A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）548．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α的直线的位置关系只能是 （ ） （A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为 ． 三、解答题15．已知AB 、BC 、CD 为不在同一平面的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点P 、Q 、R 满足PQ ＝2，QRPR ＝3，求AC 与BD 所成的角．16．已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长．17．如图，AB和CD是两异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD，M是BD的中点，N是AC 的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AB＝CD＝a，BD＝b，AC＝c时，求MN的长．18．（如图）已知P、Q是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D和A1B1C1D1的中心．（1）求线段PQ的长；（2）证明：PQ∥AA1B1B．§ 1 异面直线一、复习要点1．本节容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离．2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．3．要把“不同在任何一个平面的两条直线”和“分别在两个平面的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性．5．对异面直线所成的角，要注意：①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；②异面直线所成角的围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．二、例题讲解例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．A．M=NB．MNC．MND．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF 和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2 在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）aB．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）aD．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN 与BM成60°角；④DM与BN垂直．图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．市第一中学立体几何（异面直线）测试题一．选择题：1．直线a, b是异面直线是指①a∩b=∅, 且a与b不平行；②a⊂面α，b⊂面β，且平面α∩β=∅；③a⊂面α，b⊂面β，且a∩b=∅；④不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立。

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异面直线成角求法

异面直线成角求法

求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。

还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。

例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。

解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。

立体几何中二面角和线面角

立体几何中二面角和线面角

立体几何中的角度问题一、 异面直线所成的角1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。

2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值二、直线与平面所成夹角1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。

求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。

2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。

三、二面角与二面角的平面角问题1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．2、如图5，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足5FB FD a ==，6EF a =。

（1）证明：EB FD ⊥；（2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

专题9.5—立体几何—异面直线所成的角1—2022届高三数学一轮复习精讲精练(含答案)

专题9.5—立体几何—异面直线所成的角1—2022届高三数学一轮复习精讲精练(含答案)

专题9.5—立体几何—异面直线所成的角1一．单选题1．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -满足12AB AA =，点E 在线段1DD 上移动，F 点在线段1BB 上移动，并且满足1DE FB =，则下列结论中正确的是( )A ．直线1AC 与直线EF 可能异面B ．直线EF 与直线AC 所成角随着E 点位置的变化而变化C ．三角形AEF 可能是钝角三角形D ．四棱锥A CEF -的体积保持不变2．如图，设E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且2AB =，1EF =，其中正确的命题为( )A ．直线11DB 与1A D 所成的角为90︒ B ．异面直线11D B 与EF 所成的角为60︒C ．11D B ⊥平面1B EFD ．三棱锥11D B EF -的体积为定值3．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( ) A 5 B 5 C ．5 D 2 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与DE 所成角的余弦值为(A ．510B ．26C ．55D ．1055．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，1BC =，AB BC ⊥，点D 是侧棱1BB 的中点，则异面直线1C D 与直线1AB 所成的角大小为( ) A ．换体6．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1D ，1E 分别是11B C ，11A C 的中点，1CA CB CC ==，则1AE 与1CD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．32 C ．35D ．457．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AD ==，3AB =，点F 在线段11C D 上，且11D F =，则异面直线CD 与BF 所成角的余弦值为( )A ．22B ．33C ．23D ．248．如图，四边形ABCD 为矩形，2AD AB =，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿AE 翻折至PAE ∆的位置（点P ∉平面)AECD ，设线段PD 的中点为F ．则在翻折过程中，下列推断不正确的是( )A ．//CF 平面AEPB ．CF 的长度恒定不变C ．AE DP ⊥D ．异面直线CF 与PE 所成角的大小恒定不变 二．多选题9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD 上的动点，则下列判断正确的是(A ．当点E 与点1D 重合时，1B E AC ⊥B ．当点E 与线段1CD 的中点重合时，1B E 与1AC 异面 C ．无论点E 在线段1CD 的什么位置，都有11AC BE ⊥D ．若异面直线1BE 与AD 所成的角为θ，则cos θ的最大值为6310．已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ，则下列判断正确的是( )A ．过点P 有且只有一条直线l 与a ，b 都相交B ．过点P 有且只有一条直线l 与a ，b 都垂直C ．过点P 只有两条直线与a ，b 都成45︒角D ．过点P 只有两条直线与a ，b 都成60︒角11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC BD ⊥；②ACD ∆是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60︒； ④AB 与CD 所成的角为60︒． 其中正确的结论是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④12．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(02)CM BN a a ==<<．则下列结论中正确的有( )A ．当12a =时，ME 与CN 相交 B ．MN 始终与平面BCE 平行C ．异面直线AC 与BF 所成的角为45︒D ．当22a =时，MN 的长最小，最小为22三．填空题13．已知空间中的一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，则cos α= ． 14．如图甲，将三棱锥P ABC -沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙所示的形状，其中点1P ，A ，3P 共线，点1P ，B ，2P 共线，点2P ，C ，3P 共线，且1223PP P P =，则在如图甲所示的三棱锥P ABC -中，PA 与BC 所成角的大小为 ．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，111114AA A B AC ===，点E 是棱1CC 上一点，且113C E CE =，则异面直线1A B 与AE 所成角的余弦值为 ．16．如图，1111ABCD A B C D -是正方体，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点，则异面直线1A E 与1C F 所成角的余弦值为 ．四．解答题17．在三棱锥?P ABC 中，M ，N 分别是PA ，BC 的中点，已知2AC PB ==，3MN 求异面直线AC ，PB 所成角的大小．18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，若M 是1AA 的中点． （Ⅰ）求证：1//A C 平面MBD ； （Ⅱ）求1A C 的长为；（Ⅲ）求直线1A C 与直线DM 所成角的余弦值．专题9.5—立体几何—异面直线所成的角1答案1．解：如图所示，连接有关线段．设M ，N 为AC ，11A C 的中点，即为上下底面的中心， MN 的中点为O ，则1AC 的中点也是O ，又1DE B F =，由对称性可得O 也是EF 的中点， 所以1AC 与EF 交于点O ，故不是异面直线，故A 错误；由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得AC ⊥平面11BB D D ， 因为EF ⊂平面11BB D D ，AC EF ∴⊥，故B 错误； 设AB a =，则12AA a =，设1DE B F x ==，02x a <<， 易得222AE a x =+，22222(2)54AF a a x a ax x =+-=-+，222222(22)684EF a a x a ax x =+-=-+，因为2222422(2)0AE AF EF ax x x a x +-=-=->， 则EAF ∠为锐角；因为2222222422()0AE EF AF a ax x a x +-=-+=->， 则AEF ∠为锐角，因为2222210124AF EF AE a ax x +-=-+，当32x a =时取得最小值为2222101890a a a a -+=>，则AFE ∠为锐角，故AEF ∆为锐角三角形，故C 错误； 三棱锥A EFC -也可以看做F AOC -和E AOC -的组合体， 由于AOB ∆是固定的，E ，F 到平面AOC 的距离是不变的 (易知1BB ，1DD 平行与平面11)ACC A ，故体积不变，故D 正确． 故选：D ．2．解：对于A ，11D B 不垂直1A D ，故A 错，对于B ，11//EF D C ，11D B 和11D C 所成的角是45︒，异面直线11D B 所成的角45︒，故B 错误， 对于C ，11D B 于EF 不垂直，由此可知11D B 于平面1B EF 不垂直，故C 错， 对于D ，三棱锥11D B EF -的体积为 11113D EFV SB C =⋅1122132=⨯⨯⨯⨯ 23=，为定值， 故D 对， 故选：D ．3．解：建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设1DA =，则有：(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，1(0D ，0，1(1B ，1， 所以1(1DB =，1，1((1AD =-，0， 设1DB ，1AD 的夹角为θ， 则11115cos 5||||DB AD DB AD θ⋅==⋅， 即异面直线1AD 与1DB ， 故选：A ．4．解：如图，取1BB 的中点F ，连接EF ，则1//EF A B ，DEF ∴∠（或其补角）即为1A B 与DE 所成角，连接DF ，设正方体的棱长为2，则2EF =，2222213DF =++=，2222213DE =++=，2229292cos 26232DE EF DF DEF DE EF +-+-∴∠===⨯⨯⨯⨯． 1A B ∴与DE 所成角的余弦值为26． 故选：B ．5．解：如图，取AB 的中点E ，连接DE ，则1//DE AB ，则1C DE ∠（或其补角）为异面直线1C D 与直线1AB 所成的角， 1122DE AB ==，12C D =，22211126C E =++=， 12261cos 2222C DE +-∠==-⨯⨯，∴异面直线1C D 与直线1AB 所成的角大小为3π． 故选：C ． 6．解：如图，以C 为坐标原点，分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 设12CA CB CC ===，则(0C ，0，0)，(2A ，0，0)，1(1E ，0，2)，1(0D ，1，2)． 1(1,0,2)AE =-，1(0,1,2)CD =．11111144cos ,5||||55AE CD AE CD AE CD ⋅∴<>===⋅⨯． 1AE ∴与1CD 所成角的余弦值为45． 故选：D ．7．解：以D 为坐标原点距离如图所示空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，(0C ，3，0)，(2B ，3，0)，(0F ，1，2)，∴(0,3,0)DC =，(2,2,2)FB =-，63cos ,3||||332DC FB DC FB DC FB ⋅∴<>===⋅⨯．即异面直线CD 与BF 所成角的余弦值为33． 故选：B ．8．解：取AD 的中点M ，连接MF ，MC 交ED 于N ，A ．由题意可知N 为ED 的中点，所以//FM AP ，//FN PE ，所以平面//PAE 平面MFC ，所以A 正确；B ．因为FMC PAE ∠=∠（定值），12FM AP =（定值），MC AE =（定值），在MFC ∆中由余弦定理可知CF 的长是定值，所以B 正确．C ．若AB BE =，则MA ME MD ==，所以90AED ∠=︒，所以AE ED ⊥，若AE DP ⊥，又DEDP D =，则有AE ⊥面PED ，所以有AE PE ⊥，这与AE 不垂直于PE 相矛盾，所以C 不正确；D ．由B 知在翻折过程中MFC ∆的形状不变，点N 的位置也不会发生改变，所以NFC ∠大小不变，又易证//FN PE ，所以NFC ∠是异面直线CF 与PE 所成的角，所以异面直线CF 与PE 所成角的大小恒定不变，故D 正确．故选：C ．9．解：当点E 与点1D 重合时，1//B E BD ，因为AC BD ⊥，1B E AC ∴⊥，∴选项A 正确； 当点E 与线段1CD 的中点重合时，E 是1CD 的中点，1B E 与1AC 都在平面11AB C D 内，1B E 与1AC 相交，∴选项B 错误；建立如图所示的直角坐标系，设正方体棱长为1，则(0A ，0，0)，1(1C ，1，1)，1(1B ，0，1)，(0D ，1，0)， 设(1E a -，1，)a ，01a ，则1(,1,1)B E a a =--，1(1,1,1)AC =，∴11110B E AC a a ⋅=-++-=，11AC B E ∴⊥，∴选项C 正确；(0,1,0)AD =，设异面直线1B E 与AD 所成角为θ，则122221||11cos ||||131(1)2()22B E AD B E AD a a a θ⋅===⋅++--+，当12a =时，cos θ有最大值63，此时点E 是线段1CD 的中点，∴选项D 正确，故选：ACD ．10．解：直线AB 与11A D 是两条互相垂直的异面直线， 点P 不在这两条异面直线中的任何一条上，如图所示， 取1BB 的中点Q ，则11//PQ A D ，且11PQ A D =， 设1A Q 与AB 交于点E ， 则点1A ，1D ，Q ，E ，P 共面， 直线EP 必与11A D 相交于某点F ，由于直线a 与平面11A QPD 仅交于点E ，两点确定一条直线， 则过点P 有且只有一条直线l 与a ，b 都相交， 故选项A 正确；过点P 有且只有一条直线1C C 都与a ，b 成90︒角， 故选项B 正确；分别平移a ，b ，使a 与b 均经过点P ，则有两条互相垂直的直线与a ，b 都成45︒角， 故选项C 正确；假设平面内与a ，b 成60︒角的直线为1l ，2l ，把1l ，2l 绕点P 逐渐竖起，则与a ，b 成60︒角的直线有4条， 故选项D 错误． 故选：ABC ．11．解：取BD 中点，连接AO 、OC ，OA '，设正方形ABCD 边长为a ， 对于①，因为BD OA ⊥，BD OC ⊥，所以BD ⊥平面AOC ，所以BD AC ⊥，所以①对；对于②，因为二面角A BD C --为直二面角，所以AO OC ⊥， 又因为22OA OC a ==，所以AC a =，又因为AD AC a ==，所以②对； 对于③，因为OB 为AB 在平面BCD 内投影，AB 与平面BCD 所成的角4560ABO ∠=︒≠︒， 所以③错；对于④，因为//CD A B '，所以AB 与CD 所成的角为60A BA ∠'=︒，所以④对． 故选：ABD ．12．解：由题意，以B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由正方形ABCD ，ABFE 的边长1，所以(1A ，0，0)，(0B ，0，0)，(0C ，0，1)，(1D ，0，1)，(0E ，1，0)，(1F ，1，0)， CM BN a ==，所以(2M ，0，12，(2N 2，0)，对于A ，若ME 与CN 相交， 则M 、E 、C 、N 四点共面，故M 、E 、C 、N 四点都在平面ACE 内， 故点N 为AE 与BF 的交点，此时2a ，故A 错误； 对于B ，(0MN =21)2-，平面BCE 的法向量为(1BA =，0，0)，所以0000MN BA ⋅=++=，又MN ⊂/平面BDE ，所以MN 与平面BDE 平行，故B 正确； 对于C ，(1AC =-，0，1)，(1BF =，1，0)，所以cos AC <，10012||||22AC BF BF AC BF ⋅-++>===-⋅，所以AC <，23BF π>=， 所以异面直线AC 与BF 所成的角为3π，故C 错误； 对于D ，22221||()(1)()2222a a MN a =+-=-+， 故所以当22a =时，MN 的长度最小，最小值为22，故D 正确． 故选：BD ．13．解：棱1A A ，11A B ，11A D 与平面11AB D 所成的角相等，∴平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为α的平面．则1A AO α∠=，设棱长为2，12AA =，12A O =，426AO =+=，26cos 36α==， 故答案为：63．14解：13P A P A =，A ∴是13PP 的中点， 同理可知B 是12P P 的中点，C 是23P P 的中点， 2312AB P P ∴=，1212AC PP =，又1223PP P P =，AB AC ∴=，PB PC =， 在图甲中，取BC 的中点D ，连接AD ，PD ， 则AD BC ⊥，PD BC ⊥，又ADPD D =，BC ∴⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，BC PA ∴⊥，PA ∴与BC 所成角的大小为90︒．故答案为：90︒．15．解：以点1A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -， 则1(0A ，0，0)，(4B ，0，4)，(0A ，0，4)，(0E ，4，4)3，则1(4A B =，0，4)，(0AE =，4，8)3-，1cos A B <，112613A B AE AE A B AE⋅->==-⨯， 所以异面直线1A B 与AE 所成角的余弦值为2613， 故答案为：2613．16．解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 是AB 、1BB 的中点，设4AB = 取11A B 的中点H ，1HB 的中点G ，连结GF ，1GC ， GF 、1FC 所成的角即为1A E 与1C F 所成的角．利用勾股定理得：5GF ，125C F =，117GC = 在△1C FG 中，利用余弦定理1520172cos 52525GFC +-∠==⋅⋅． 故答案为：25．17．解：取AB （或)PC 中点Q ，连接QM ．QN ，Q 是AB 中点，N 是BC 中点，//QN AC ⇒，QN =三112AC =， 同理，可得//QM BP ，112QM PB ==， 所以MQN ∠就是异面直线AC 、PB 所成的角或其补角， 在MQN ∆中，1QM QN ==，3MN = 22211(3)1cos 2MQN +-∠=-，120MQN ∠=︒，∴异面直线AC ，PB 所成的角的大小为60︒．18．解：（Ⅰ）如图：连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 中点， 又因为M 为1AA 中点，所以OM 为△1AAC 的中位线， 所以1//MO AC ，因为MO ⊂面MBD ，所以1//A C 面MBD ， （Ⅱ）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以11120BCC DCC ∠=∠=︒，又13AA =，1BC DC ==，∴1113||||cos1202CB CC CD CC CD CC ⋅=⋅=︒=-．， ||||cos900CB CD CB CD ⋅=︒=，11CA CB CD CC =++，∴2222211111||()222CA CB CD CC CB CD CC CB CC CD CC CB CD =++=+++⋅+⋅+⋅22231132()2052=+++⨯-⨯+=，∴15AC = （Ⅲ）设直线1A C 与直线DM 所成角为θ， 则111cos |cos ,|||||||A C DM A C DM A C DM θ⋅=<>=，11A C AA AB AD =-++，1||5A C =112DM DA AA =+，2117||()22DM DA AA =+=， ∴11115()()22AC DM AA AB AD DA AA ⋅=-++⋅+=-， ∴5352cos |752θ-==⨯所以直线1A C 与直线DM 35。

高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)

高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。