异面直线所成角练习

求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。

还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。

例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。

解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。

立体几何中的角度问题一、 异面直线所成的角1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。

2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值二、直线与平面所成夹角1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。

求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。

2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。

三、二面角与二面角的平面角问题1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．2、如图5，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足5FB FD a ==，6EF a =。

（1）证明：EB FD ⊥；（2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

1如图，在正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD 与BC i 所成的角为 A. 30°B . 45°C . 60° D. 90【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接BC,则 B i C// A i D, BidBC ，二 A i D 丄BG ,A AD 与 BC 所成的角为 90° 故选：D. 考点：异面直线及其所成的角2.已知平行六面体 ABCD - A i BCD 中，底面 ABCD 是边长为 二/A i AD=i20°,则异面直线AG 与AD 所成角的余弦值（ i 的正方形， ）AA = 2,Z A i AB A.丄BC远DS03755【答案】B【解析】UUL r uur r uLur ruuuu r r r uuuu r r 试题分析： 设向量AB a,AD b,AA c ,则 AC i a b c,AD b c ,uuuu — I UULW L AC i V 2, A i D J 7 , uuuu uum cuun uuuu AC i AD cos AC i , A i D uuuu||uuuoAC i H AD考点：空间向量的集合运算及数量积运算3.正方体ABCD A , B i C i D i 中，E, F,G,H 分别是AR , AB , BB 「BG 的中点，则直线EF 与 GH 所成的角是（ ）A. 30° B . 45° C . 60°D . 90°【答案】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知 EF PAB,GH PBC 1，所以异面直线所成角为 ABG ，大小为60°考点：异面直线所成角在正方体ABCD A 1B 1C i D i 中，E 是BiG 的中点，则异面直线DC i 与BE 所成角的余弦值4. 2.5 5【答案】 【解析】 试题分析：取 A.2,5 5BC 中点F ，连结FD , FC i ，则DC i F 为异面直线所成角，设边长为 2,考点：异面直线所成角5•如图，正四棱柱ABCD A BCD中（底面是正方形，侧棱垂直于底面）,AA 3AB , 则异面直线AB与AD 所成角的余弦值为（）A、9 B 4、—C 、—D、310 5 10 5【答案】A【解析】试题分析：连结BC'，异面直线所成角为A'BC'，设AB 1 ,在A'BC'中AC ' .2, A'B BC'考点：异面直线所成角6.点P在正方形ABCD所在平面外，PA丄平面ABCD , PA AB，则PB与AC所成的角是A. 60 B . 90 C . 45 D . 30【答案】A【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，所以PB与AC所成的角就是FEA，由题意可知：EF AE AF 2，所以FEA 60 .考点：异面直线的位置关系.所成角的余弦值为（）A. —B. —C.6 6【答案】A【解析】GF 5,DC1.8, DF 5 cos DC1F7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD ABGD i中，M是棱CD的中点，则AM与DC1卫D. ^010 105试题分析：以D为原点，分别以DA,DC,DD i为x, y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系1D- xyz ，由棱长为1 ，贝U D(0,0,0), A,(1,0,1),M (0, — ,0), G(0,1,1), 所以2考点：空间向量所成角的余弦值AB1GD1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AR所成角的余弦值为A. B .逼 C . D . 12 3 2 2【答案】D【解析】B1C贝U B1AC即为所成的角。

线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1BC 成60角（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。

（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。

（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。

例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C DPA B C H S M 线面角与线线角专练（小练习二）例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。