直线和平面所成角与二面角习题课

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(一)教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质 要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 教学过程： 一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l '，角θ是l 与l '所成的角 直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线，过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C 因为AB<AC ，所以AOACAO AB <，即AOC ∠<sin sin θ,因此∠<θ 4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=OCBAα用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B 连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，AP AO=1cos ϕ. 在直角△ABC 中，AO AB=2cos ϕ.在直角△ABP 中，APAB=θcos .所以 θϕϕcos cos cos 21==⋅=APABAO AB AP AO所以θϕϕcos cos cos 21=成立用向量运算研究：如图，AP 是平面α的斜线，A 是斜足，PO 垂直于平面α，O 为垂足，则直线AO 是斜线在平面α内的射影设AB 是平面α内的任意一条直线，且OB AB ⊥，垂足为B ，又设AP 与AO 所成角为1θ，AB 与AO 所成角为2θ，AP 与AB 所成角为θ，则易知：1||||cos AO AP θ=，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵||||cos AB AP θ=，可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 三、讲解范例：例1 如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α所成角，又∵12cos cos cos θθθ=⋅，ODCBA1A∴cos cos 601cos cos cos 452ABC ABO CBO ∠∠====∠，∴45BAO ∠=，即斜线AB 和平面α所成角为45．例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角解法一：连结11A C 与11B D 交于O ，连结OB ，∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 在1Rt A BO ∆中，1112AO A B =，∴130A BO ∠=． 解法二：由法一得1A BO ∠是1AB 与对角面11BB D D 所成的角， 又∵112cos cos 452ABB ∠==，11cos B B B BO BO ∠== ∴1111cos cos cos A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ，∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则CO =，CA∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，∴cosACO ∠=，所以，AC 与平面BCD 例4 如图，已知AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值.解：∵AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∴AP ⊥PBC连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，∴PD=BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31217cos ==∠ADPDPDA ∴AD 与平面PBC 31217四、课堂练习： 1选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 . （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，E1A 3cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 . 答案：（1）θcos l （2）030 （3）101arcsin3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且P A =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心. 分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由P A =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影 六、课后作业：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：（1）D1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角．解：（1）设正方体的边长为a ，则在1Rt D BD ∆中，1,DB D B ==. ∴1cos 3D BD ∠==. （2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略）八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。

A．4 C．3
B．2 3 D．2 2
17
D 由题可得 AB＝8，因为 AP＝BP， 所以 S△ABP＝12×8×4＝16， 因为 PC⊥平面 ABP，且 PC＝4， 所以 VC -ABP＝13×16×4＝634， 因为 AP＝BP＝4 2， 所以 AC＝BC＝4 3，
限时规范训练
18
所以 S△ABC＝12×8× 48－16＝16 2. 设点 P 到平面 ABC 的距离为 d， 则 VP -ABC＝13×16 2d＝634，解得 d＝2 2.
5＝ 5
5，即 A1C 与平面 ABCD
所成角的正切值为 5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
27
限时规范训练
3．把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 D -AC -B，
则三棱锥 D -ABC 的外接球的球心到平面 BCD 的距离为( A )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
31
由 PA⊥底面 ABCD 易知 PA⊥AD， 所以 PD＝ 12＋12＝ 2， 易知 DO＝12DB＝12 12＋12＝ 22， 所以 sin∠DPO＝DPDO＝12， 即直线 PD 与平面 PAC 所成角的正弦值为12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
BC 的中点，l 为平面 O1AC 与平面 O1OD 的交线，则交线 l 与平面 O1BC 所 成角的大小为( B )
A．π2
B．π3
C．π6
D．π4
4
限时规范训练
B 因为O，D分别是AB，BC的中点，所以OD∥AC，
又OD⊂平面O1OD，AC⊄平面O1OD， 所以AC∥平面O1OD， AC⊂平面O1AC，平面O1AC∩平面O1OD＝l， 所以AC∥l，OD∥AC，所以OD∥l，

9.7直线和平面所成的角和 二面角(4)
——二面角习题课
1
一、朝花夕拾
一、两个平面垂直的定义
相交成直二面角的两个平 面，叫做互相垂直的平面
二、两个平面垂直的判定定理
A
C B
D
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直.
三、两个平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直
求平面SAB与平面SCD所成角的正切.
法1：射影面积法
法2：补棱法
S
S
23
2
22
B
2
2B
2
C
25
C
2
A
5
A1
1D
D
答案：正切值为 2 E
5
2
练：1、直棱 柱ABC-A1B1C1中
A1
B1
AA1=2AB=2BC=2CA，D为AA1中点，
C1
求平面B1CD和平面ABC所成的角
2、某民房屋顶如图，有三种不同的 盖法：(1)单向倾斜；(2)双向倾斜；(3)
βD
l AB
αC
7
变式练习：
长为16的线段AB两端点,分别在直二面角 CD
的两个面内,并且与两个面分别成 300、450角,
求二面角B AD C.
AE
F
C
D
E
B
8
9
β
C
B在棱l上，设△ABC和它在α内
的射影的面积分别为S和 ，求
证 S
cos S
E
A
α
D
Bl
S
推 广：如图，设二面角α-l- 的 大小为θ，对平面内任意一个平
β

人教版高中数学必修第二册专题强化训练四直线与平面所成的角、二面角的平面角的常见解法同步精练技巧一、定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例：在三棱锥V －ABC 中，VA ＝AB ＝VB ＝AC ＝BC ＝2，VC ＝3，求二面角V －AB －C 的大小.解取AB 的中点D ，连接VD ，CD ，∵△VAB 中，VA ＝VB ＝AB ＝2，∴△VAB 为等边三角形，∴VD ⊥AB 且VD ＝3，同理CD ⊥AB ，CD ＝3，∴∠VDC 为二面角V －AB －C 的平面角，而△VDC 是等边三角形，∠VDC ＝60°，∴二面角V －AB －C 的大小为60°.技巧二、三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.例：如图，在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ABC ＝90°，SA ＝AB ，SB ＝BC .求二面角A －SC －B 的平面角的正弦值.解取SB 的中点D ，连接AD ，则AD ⊥SB ，垂足为点D ，由已知平面SBC ⊥平面SAB ，平面SBC ∩平面SAB ＝SB ，AD ⊂平面SAB ，∴AD ⊥平面SBC .作AE ⊥SC ，垂足为点E ，连接DE ，则DE ⊥SC ，则∠AED 为二面角A －SC －B 的平面角.设SA ＝AB ＝2，则SB ＝BC ＝22，AD ＝2，AC ＝23，SC ＝4.由题意得AE ＝3，Rt △ADE 中，sin ∠AED ＝AD AE ＝23＝63，∴二面角A －SC －B 的平面角的正弦值为63.技巧三、垂面法作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.例：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC 且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA ＝AB ，SB ＝BC ，求二面角E －BD －C 的大小.解∵SB ＝BC 且E 是SC 的中点，∴BE 是等腰三角形SBC 底边SC 的中线，∴SC ⊥BE .又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E ，BE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∴SC ⊥BD .又SA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，而SC ∩SA ＝S ，SC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC .∵平面SAC ∩平面BDE ＝DE ，平面SAC ∩平面BDC ＝DC ，∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC ，∴∠EDC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC .设SA ＝2，则AB ＝2，BC ＝SB ＝2 2.∵AB ⊥BC ，∴AC ＝23，∴∠ACS ＝30°.又已知DE ⊥SC ，∴∠EDC ＝60°.即所求的二面角等于60°.强化训练一、单选题1．（2021·全国·高一）在边长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点M ，N 分别为AB ，BC 的中点，则直线MN 与平面1DCA 所成角的大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知正四面体ABCD ，点M 为棱AB 上一个动点，点N 为棱CD 上靠近点C 的三等分点，记直线MN 与BC 所成角为θ，则sin θ的最小值为（）A ．3819B ．319C ．217D ．34173．（2021·山东威海·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1DD ，1AA ，AB 的中点，P 为底面ABCD 上一动点，且直线1//D P 平面EFG ，则1D P 与平面ABCD 所成角的正切值的取值范围为（）A ．32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎤⎣⎦D ．26,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在四棱锥P ABCD -中，AD ＝2，1AB BC CD ===，//AD BC ，且PA PC =，PB PD =，则直线PA 与平面PBD 所成角的正弦值的最大值为（）A ．13B ．45C ．23D ．15．（2021·全国·高一）如图，在四面体ABCD 中，1AB =，23AD =，3BC =，2CD =，90ABC DCB ∠=∠=︒，则二面角A BC D --的大小为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在ABC 中，,AD BC ABD ⊥的面积是ACD △的面积的2倍，沿AD 将ABC 翻折，使翻折后BC ⊥平面ACD ，此时二面角B AD C --的大小为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．（2021·天津南开·高一期末）如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，沿AD 把ADC 折叠到ADC '处，使二面角B AD C '--为60°，则折叠后二面角A BC D '--的正切值为（）．A ．32B ．3C ．2D ．58．（2020·浙江·高一期末）已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14B ．24C ．34D ．12二、多选题9．（2021·河北·廊坊市第一中学高一阶段练习）如图，已知正方体1111ABCB A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点，则下列说法正确的有（）A ．11EB AD ⊥B ．1//D E 平面11A B BAC ．二面角11E A B A --的大小为60D ．三棱锥11A B DE -的体积的最大值为1310．（2021·全国·高一课时练习）如图，四棱锥S ABCD -底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的有（）A ．AC SB⊥B ．//AB 平面SCDC ．SA 与平面ABCD 所成的角是SAD∠D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角11．（2021·浙江·台州市路桥区东方理想学校高一阶段练习）如图，三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60°，11AA B ∠为锐角，且侧面11ABB A ⊥底面ABC ，下列四个结论正确的是（）A ．160ABB ∠=︒B ．1AC BB ⊥C ．直线1AC 与平面11ABB A 所成的角为45°D ．11B C AC ⊥12．（2021·湖北孝感·高一期末）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AA 1=1，P 为线段B 1C 1上的动点，则下列结论中正确的是（）A ．点A 到平面A 1BC 的距离为22B ．平面A 1PC 与底面ABC 的交线平行于A 1PC ．三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值D ．二面角A 1-BC -A 的大小为4π三、解答题13．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥BC ，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.(1)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(2)求二面角P －BC －A 的平面角的大小.14．（2022·湖南·高一课时练习）如图，AB 是O 的直径，点C 为该圆上的一点，120AOC ∠=︒，SA O ⊥所在的平面，SA AB =，求SC 与O 所在的平面所成的角的正切值．15．（2021·浙江温州·高一竞赛）如图，已知三棱锥P ABC -，底面ABC 是等腰三角形，120ABC ∠=︒，PAB △是等边三角形，D 为线段AC 上一点，AC 3AD =，二面角P AB D --的大小为120︒.(1)求证：AB PD ⊥；(2)求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.16．（2021·湖北·大冶市第一中学高一阶段练习）在三棱锥P -ABC 中，∠ACB =90°，PA ⊥底面ABC .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ;（2）若AC =BC =PA ，M 是PB 的中点.①求AM 与平面PBC 所成角的正切值；②求二面角C PB A --的大小.17．（2021·全国·高一课时练习）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD a ==，设,E F 分别为,PC BD 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PDC ；（3）求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小．18．（2021·广东白云·高一期末）如图，PA 垂直于O 所在的平面，AC 为O 的直径，3AB =，4BC =，32PA =，AE PB ⊥，点F 为线段BC 上一动点.（1）证明：平面AEF 平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值.19．（2021·广东·肇庆市高要区第二中学高一）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AB＝BC，∠APC＝120°，∠ABC ＝90°，AC＝3PB＝2．（1）求证：AC⊥PB；（2）求PB与平面PAC所成的角．20．（2021·福建·闽江学院附中高一阶段练习）如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面B CD，E为棱AC上的一点，且BE⊥平面ACD．（1）证明：BC ⊥CD ；（2）设BC ＝CD ＝1，BC 与平面ACD 所成的角为45°，求二面角B －AD －C 的大小．21．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，11AA =，2AC BC ==，求二面角1B CD B --的平面角的余弦值．22．（2021·广东广州·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上一点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若F 为BC 的中点，求二面角E AF B --的余弦值．23．（2021·全国·高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 的中点．将ABD △沿BD 折起，使AB AC ⊥，连接AE 、AC 、DE ，得到三棱锥A BCD -．(1)求证：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若1AD =，二面角B AD E --的大小为60°，求三棱锥A BCD -的体积．24．（2021·全国·高一课时练习）如图所示的几何体由三棱锥P ADQ -和正四棱锥P ABCD -拼接而成，PQ ⊥平面ADQ ，//AB PQ ，1PQ =，2AB =，5AQ =，O 为四边形ABCD 对角线的交点．(1)求证：//OP 平面ADQ ；(2)求二面角O AP D --的正弦值．25．（2021·江苏如皋·高一）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E ､F 为PD 的两个三等分点.（1）求证：//BE 平面ACF ；（2）若平面PAC ⊥平面PCD ，PC 与平面ABCD 所成角为4π，1PA =，3AD =，求二面角A PD C --的正弦值.26．（2021·江苏如皋·）如图，在等腰三角形ADP 中，90A ∠=︒，4=AD ，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且//BC AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，将PBC 沿着BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连接EF .（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）若1AB =，当PA AB ⊥时，求二面角C PD A --的平面角.27．（2021·江苏淮安·高一阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥；（2）直线PB 与平面ABCD 所成角为45︒时，试求：①求四棱锥P ABCD -的体积；②求二面角P AB C --正切值；③求证：二面角D PC B --是直二面角.28．（2021·湖北·华中师大一附中高一期末）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =.点E 是PD 的中点，作EF PC ⊥，交PC 于点F .（1）设平面PAB 与平面ACE 的交线为l ，试判断直线PB 与直线l 的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB 与平面ACE 所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD 与平面AEF 所成角的正切值.29．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，2AD =，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ︒∠=，PBA ∠为锐角，平面PBA ⊥平面PBD .（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若AD 与平面PBD 所成角的正弦值为24，求二面角P BD C --的余弦值.参考答案：1．A【详解】如图，连接AC ，1AD 交1A D 于O ，连接OC ，∵点M ，N 分别为AB ，BC 的中点，∴MN ∥AC ，由正方体的性质可知CD ⊥平面11ADD A ，∴1CD AD ⊥又11AD A D ⊥，1A DDC D =，∴1AD ⊥平面1DCA ，∴ACO ∠为直线AC 与平面1DCA 所成角，也即为直线MN 与平面1DCA 所成角，在直角三角形ACO 中，2,22AO AC ==∴6ACO π∠=.故选：A 2．A【详解】解：不妨设正四面体ABCD 的棱长为3，则底面三角形的高为333322⨯=，该四面体的高为()22336-=，222212cos 603123172BN AN BC CN BC CN ==+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，要求直线MN 与BC 所成的最小角，即为直线BC 与平面ABN 所成角，记点C 到平面ABN 的距离为h ，由C ABN A BCN V V --=，得11633ABN BCN S h S =，解得33819h =，所以直线BC 与平面ABN 所成角的正弦值为3383819319h BC ==，即sin θ的最小值为3819.故选：A ．3．B【详解】由题意，如上图示，面EFG 在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为EFGH 且H 为DC 中点，∵1//D P 平面EFG ，而面11//A BCD 面EFG ，∴1D P ⊂面11A BCD ，又P 为底面ABCD 上一动点，则P 在BC 上，∴1D P 与平面ABCD 所成角为1DPD ∠，当P 与B 重合时，1DPD ∠最小，此时112tan 2DD DBD BD ∠==，当P 与C 重合时，1DPD ∠最大，此时11tan 1DD DCD CD∠==；∴12tan [,1]2DPD ∠∈.故选：B4．C【详解】取AD 中点O ，连接PO 、BO 、CO ，设CO 与BD 交于F ，连接PF ，在等腰梯形ABCD 中，由//AO BC 且BO =BC =CD =OD ，故四边形DOCB 为菱形，所以BD CO ⊥，又PB=PD ，且F 为BD 的中点，所以BD PF ⊥，又PF CO F =，所以BD ⊥平面PCO ，过O 作OH PF ⊥交PF 于H ，由BD ⊥平面PCO ，故BD OH ⊥，又PFBD F =，所以OH ⊥平面PBD ，设PO=t ，1122OF AB ==，故241t OH t =+，又AD =2OD ，故点A 到平面PBD 的距离22241t d OH t ==+，设直线PA 与平面PBD 所成角的大小为θ，则22222222sin 314524145d t PA t t t tθ===≤=++⋅+++当且仅当2214t t =即22t =时取等号，故直线PA 与平面PBD 所成角的正弦值的最大值为23，故选：C 5．B【详解】如图，作//BE CD ，且BE CD =．连接,AE ED ，四边形BCDE 是平行四边形，因为90ABC DCB ∠=∠=︒，则1809090EBC ∠=︒-︒=︒，所以ABE ∠就是二面角A BC D --的平面角，由平行四边形BCDE 得3DE BC ==，2BE CD ==，由90ABC EBC ∠=∠=︒，且AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，得BC ⊥平面ABE ，而AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，所以ED AE ⊥，所以221293AE AD ED =-=-=，AED 中，2221431cos 22122AB BE AE ABE AB BE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以60ABE ∠=︒，故选：B ．6．C【详解】在ABC 中，因为AD BC ⊥，沿AD 将ABC 翻折，可得,AD BD AD CD ⊥⊥，所以BDC ∠为二面角B AD C --的平面角，又因为BC ⊥平面ACD ，且CD ⊂平面ACD ，所以BC CD ⊥，由ABD △的面积是ACD △的面积的2倍，可得2BD CD =，在直角BCD △中，因为2BD CD =，可得1cos 2CD BDC BD ∠==，又由60BDC ∠=，即二面角B AD C --的大小为60︒.故选：C.7．C【详解】由条件可知'60BDC ∠=，取'BC 的中点E ，连结AE ，DE ，'AE AC =，'DB DC =，'AE BC ∴⊥，'DE BC ⊥，AED ∴∠是二面角A BC D '--的平面角，4AB =Q ，AD 23∴=，'BDC 是等边三角形，332DE BD ==，23tan 23AD AED DE ∠===故选：C8．B【详解】如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =，以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=，cos 452AC CD ==，AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥，AB AD A =Q I ，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂Q 平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==，所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角，在ABE △中，2AB =，2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅.因此，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.故选：B.9．ABD【详解】对于A ：连接1A D ，1B C ，则11AD A D ⊥，CD ⊥面11ADD A ，1AD ⊂面11ADD A ，所以1CD AD ⊥，因为1CD A D D =，所以1AD ⊥面11A B CD ，因为1EB ⊂面11A B CD ，所以11EB AD ⊥，故选项A 正确；对于B ：因为面11//DCC D 平面11A B BA ，1D E ⊂面11DCC D ，所以1//D E 平面11A B BA ，故选项B 正确；对于C ：二面角11E A B A --即为二面角11C A B A --，因为CB ⊥面11A B BA ，所以1CB B ∠即为所求角，在1Rt CB B 中，145CB B ∠=，故选项C 不正确；对于D ：设11A O AD D =，则111111113A B D E A OB E D OB E OB E V V V S AD ---=+=⋅⋅，因为12AD =,2126122OB ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，当点E 与点C 重合时，点C 到1OB 的距离最大，此时162OC OB ==所以1OB E S 最大为：22162222222⎛⎫⎛⎫⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11A B D E V -最大值为1212323⨯⨯=，故选项D 正确；故选：ABD.10．ABCD【详解】ABCD 是正方形，则AC BD ⊥，又SD ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以SD AC ⊥，SD BD D =，,SD BD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，而SB ⊂平面SBD ，所以AC SB ⊥，A 正确；//AB CD ，AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以//AB 平面SCD ，B 正确；SD ⊥底面ABCD ，所以SA 与平面ABCD 所成的角是SAD ∠，C 正确；//AB CD ，AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角，D 正确，故选：ABCD ．11．ACD 【详解】如图，过A 作11AH A B ⊥，H 为垂足，连结1C H ，如图建立空间直角坐标系对于A 选项，侧棱1BB 与底面ABC 所成角为60，11AA B ∠为锐角，且侧面11ABB A ⊥底面ABC ，1160AA B ∴∠=，又三棱柱111ABC A B C -的各棱长相等，可知四边形11AA B B 为菱形，1160A BB A B A ∠==∠︒，故A 选项正确；对于B 选项，易知1(0,0,3),(1,3,3),(2,0,3),(1,00),A C B B ---，11(1,3,0),(1,0310AC BB AC BB =-=-∴⋅=-≠，），，故B 选项不正确；对于C 选项，由题意可知1C AH ∠即为1AC 与平面11AA B B 所成的角，11tan 1C H C AH AH∠==，145C AH ∴∠=，故C 选项正确；对于D 选项，11(0,3,3),(0,3,3)B C AC ==-，110B C AC ∴⋅=因此11B C AC ⊥，故D 选项正确.故选：ACD【点睛】本题考查了空间向量与立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题12．BC【解析】【分析】根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A 选项，四边形11ABB A 是正方形，所以11AB A B ⊥，所以1112,22AM A B AM AB ⊥==，但AM 与BC 不垂直，所以AM 与平面1A BC 不垂直，所以A 到平面1A BC 的距离不是22，A 选项错误.B 选项，根据三棱柱的性质可知，平面//ABC 平面111A B C ，所以1//A P 平面ABC ，设平面1A PC 与平面ABC 的交线为l ，根据线面平行的性质定理可知1//A P l ，B 选项正确.C 选项，由于1111//,B C BC B C ⊄平面1A BC ,BC ⊂平面1A BC ，所以11//B C 平面1A BC .所以P 到平面1A BC 的距离为定值，所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，C 选项正确.D 选项，设Q 是BC 的中点，由于11,AC A B AC AB ==，所以1,A Q BC AQ BC ⊥⊥，所以二面角1A BC A --的平面角为1AQA ∠，由于1AA AQ ≠，所以14A QA π∠≠，D 选项错误.故选：BC13．(1)见解析(2)4π【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABC ，从而可得PA BD ⊥，证明BD AC ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由线面垂直的性质可得PA BC ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面PAB ，则有BC PB ⊥，从而可得PBA ∠即为二面角P －BC －A 的平面角，从而可得出答案.(1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB AC A ⋂=，所以PA ⊥平面ABC ，又因BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥，因为D 为线段AC 的中点，AB BC =，所以BD AC ⊥，又PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC ；(2)解：由（1）得PA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为AB ⊥BC ，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，所以PBA ∠即为二面角P －BC －A 的平面角，在Rt PAB 中，2PA AB ==，所以tan 1PBA ∠=，所以4PBA π∠=，即二面角P －BC －A 的平面角的大小为4π.14．233【解析】【分析】连结AC ,则SCA ∠为SC 与O e 所在的平面所成的角，设2SA AB ==，求出AC 的长度，即可得出答案.【详解】连结AC ，由SA O ⊥e 所在的平面所以SCA ∠为SC 与O e 所在的平面所成的角设2SA AB ==，则1AO OC ==222cos1203AC AO OC AO OC =+-⋅︒=所以223tan 33AS SCA AC ∠===15．(1)证明见解析(2)31326【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据二面角的定义、线面角的定义，结合余弦定理进行求解即可.(1)取AB 中点O ，连接PO ，DO .因为PAB △为等边三角形，所以PO AB ⊥.设1AB =，因为ABC 为等腰三角形，且120ABC ∠=︒，所以111211()32AC =+-⨯⨯⨯-=，33AD =，在ABD △中，30BAC ∠=︒，由余弦定理得：133********BD =+-⨯⨯⨯=，所以DA DB =，故⊥DO AB .因为=PODO O ，,PO DO ⊂平面PDO ，所以AB ⊥平面PDO ，从而AB PD ⊥.(2)在PA 上取点E ，使13AE AP =，连接ED ，则//ED PC ，所以直线PC 与平面PAB 所成角等于直线ED 与平面PAB 所成角，由（1）AB ⊥平面PDO ，得平面PDO ⊥平面PAB ，过D 作DF PO ⊥于F ，则DF ⊥平面PAB ，连接EF ，则DEF ∠为直线ED 与平面PAB 所成的角.又由（1）知二面角P AB D --的平面角为120POD ∠=︒，所以60DOF ∠=︒，设1AB =，则33AD =，13AE =，1326OD AD ==，32PO =，所以在POD 中，余弦定理得:33331392()4362626PD =+-⨯⨯⨯-=，在PAD △中求得，2223cos 28PA AD PD PAD PA AD +-∠==⋅，在ADE 中，余弦定理得：3131313+2993386DE =-⨯⨯⨯=，又1sin 4DF DO DOF =∠=.所以13134sin 26136DF DEF DE ∠===.即直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为31326.16．（1）证明见解析（2）①2②60︒【解析】【分析】（1）根据题意，得到PA BC ⊥和AC BC ⊥，证得BC ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAC ⊥平面PBC .（2）①取PC 的中点D ，连接AD ，DM ，得出DM 是斜线AM 在平面PBC 上的射影，得到AMD ∠是AM 与平面PBC 所成角，再由tan AD AMD DM∠=，即可求解,②取AB 中点F ,过F 作EF PB ⊥于E ，连接，可证明CEF ∠是二面角C PB A --的平面角，解直角三角形求其大小即可.【详解】（1）由题意，因为PA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，PA BC ∴⊥，又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，PA AC A =Q I ，BC ∴⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC .（2）①取PC 的中点D ，连接AD ，DM.,AC PA AD PC =∴⊥.由（1）知，BC ⊥平面PAC ，又AD ⊂平面PAC ，BC AD ∴⊥.而PC BC C ⋂=.AD ∴⊥平面PBC ，所以DM 是斜线AM 在平面PBC 上的射影，所以AMD ∠是AM 与平面PBC 所成角，且AD DM ⊥，设2AC BC PA a ===，则由M 是PB 中点得12DM BC a ==，2AD a =，所以tan 2AD AMD DM ∠==，即AM 与平面PBC 所成角的正切值为2.②取AB 中点F ,过F 作EF PB ⊥于E ，连接CE ，由AC BC =可得CF AB ⊥，又PA ⊥面ABC ，PA CF ∴⊥,,,PA CF CF AB PAAB A ⊥⊥=,CF ∴⊥平面PAB ,∴EF 是CE 在平面PAB 上的射影，CE PB ∴⊥,CEF ∴∠是二面角C PB A --的平面角，在RtPBC 中，由PC BC CE PB ⋅=⋅可得22226323PC BC a a CE a PB a⋅⨯===又122222CF AB a a ==⨯=,所以在直角CEF △中23sin 2263CF a CEF CE a ∠===，故60CEF ∠=︒.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45︒．【解析】【分析】（1）连接AC ，可得在CPA 中//EF PA ，由线线平行即可得到线面平行.（2）先由侧面PAD ⊥底面ABCD 得到CD ⊥平面PAD 进而得到,CD PA ⊥，再由三角形三边关系得到,PA PD ⊥即可得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理得证面面垂直.（3）由（1）中结论可将直线EF 与平面ABCD 所成角转化为直线PA 与平面ABCD 所成角PAD ∠,即可直接在PAD △中求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 为正方形，连接AC ，则,AC BD F F ⋂=为AC 中点，E 为PC 中点，所以在CPA 中//EF PA ，且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以//EF 平面PAD ．（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，且四边形ABCD 为正方形，所以,CD AD CD ⊥⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PA ⊥，又22PA PD AD ==，所以PAD △是等腰直角三角形，且90APD ∠=︒，即,PA PD CD PD D ⊥⋂=，且,CD PD ⊂平面PDC ，所以PA ⊥平面PDC ，又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC ．（3）因为//EF PA ，所以直线EF 与平面ABCD 所成角的大小等于直线PA 与平面ABCD 所成角的大小，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以PAD ∠就是直线PA 与平面ABCD 所成角，在APD △中，22PA PD AD ==，所以45PAD ∠=︒，所以直线EF 与平面ABCD 所成角的大小为45︒．18．（1）证明见解析；（2）41919.【解析】【分析】(1)利用线面垂直的性质可得PA BC ⊥，结合AB BC ⊥可得BC ⊥平面PAB ，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)由题意可得3BE =，过点E 作//EG PA 交AB 于点G (如图)，得出2EG =，进而ABC S 和AEC S ，结合等体积法即可求出点B 到平面AEC 的距离，从而得出结果.【详解】（1）证明：因为PA 垂直于O 所在的平面，即PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC 为O 的直径，所以AB BC ⊥，因为PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ，又AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，因为AE PB ⊥，BC PB B =，所以AE ⊥平面PBC ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC .（2）解：因为3AB =，32PA =，所以2233PB AB PA =+=，又AE PB ⊥，所以6PA AB AE PB⋅==，由2AB BE PB =⋅，可得3BE =，如图，过点E 作//EG PA 交AB 于点G ，则EG BE PA PB=，可得2EG =，又4BC =，所以2219EC BC BE =+=，所以162ABC S AB BC =⋅=△，111422AEC S AE EC =⋅=△，设点B 到平面AEC 的距离为h ，由E ABC B AEC V V --=，可得1133ABC AEC S EG S h ⋅=⋅△△，解得45719h =，所以当点F 移动到C 点时，PB 与平面AEF 所成角的正弦值为41919h BE =.19．（1）证明见解析；（2）3π.【解析】【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，在PAC 中，由PA ＝PC ，得到PO ⊥AC ，在BAC 中，由BA ＝BC ，得到BO ⊥AC ，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）易知PO 2+BO 2＝PB 2，得到PO ⊥BO ，再由BO ⊥AC ，得到B O ⊥平面ABC ，进而得到OPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角求解．【详解】（1）如图所示：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC 中，∵PA ＝PC ，O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ，在BAC 中，∵BA ＝BC ，O 为AC 的中点，∴BO ⊥AC ，∵OP ∩OB ＝O ，OP ，OB ⊂平面OPB ，∴AC ⊥平面OPB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AC ⊥BP（2）在直角三角形ABC 中，由AC ＝2，O 为AC 的中点，得BO ＝1.在等腰三角形APC 中，由∠APC ＝120°，得PO ＝33，又∵PB ＝233，∴PO 2+BO 2＝PB 2，即PO ⊥BO ，又BO ⊥AC ，AC ∩OP ＝O ，∴BO ⊥平面ABC ，即OPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角．在Rt POB 中，1cos 2OP OPB PB ==∠，因为0,2OPB π⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以3OPB π∠=，所以PB 与平面PAC 所成的角大小为3π.20．（1）证明见解析（2）60°【解析】【分析】（1）推导出BE ⊥CD ，AB ⊥CD ，从而CD ⊥平面ABE ，由此能证明BC ⊥CD ．（2）由BE ⊥平面ACD ，∠BCE 即为BC 与平面ACD 所成角，得到∠BCE ＝∠BCA ＝45°，BC ＝AB ＝1，过点B 作BF ⊥AD ，交AD 于F ，连结EF ，推导出AD ⊥平面BEF ，AD ⊥EF ，从而∠BFE 是二面角B ﹣AD ﹣C 的平面角，由此能求出二面角B ﹣AD ﹣C 的大小．【详解】（1）证明：∵BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，∴BE ⊥CD ，∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵AB ∩BE ＝B ，∴CD ⊥平面ABE ，∵BC ⊂平面ABE ，∴BC ⊥CD ．（2）∵BE ⊥平面ACD ，∠BCE 即为BC 与平面ACD 所成角，∵BC ＝CD ＝1，BC 与平面ACD 所成的角为45°，∴∠BCE ＝∠BCA ＝45°，BC ＝AB ＝1，过点B 作BF ⊥AD ，交AD 于F ，连结EF ，∵BF ⊥AD ，BE ⊥AD ，BE ∩BF ＝B ，∴AD ⊥平面BEF ，∵EF ⊂平面BEF ，∴AD ⊥EF ，∴∠BFE 是二面角B ﹣AD ﹣C 的平面角，∵BE ＝22，BF ＝AB BD AD ⋅＝63，∴sin ∠BFE ＝BE BF ＝32，由题图知，二面角B ﹣AD ﹣C 的平面角为锐角，∴二面角B ﹣AD ﹣C 的大小为60°．21．(1)证明见解析．(2)22．【解析】【分析】（1）连接1BC 交1B C 于点M ，连接MD ，由中位线定理得1//DM AC ，从而可得线面平行；（2）证明CD ⊥平面11ABB A ，得1B DB ∠是二面角1B CD B --的平面角，然后在三角形中求得其余弦值．(1)连接1BC 交1B C 于点M ，连接MD ，如图，则M 是1BC 中点，又D 是AB 中点，所以1//DM AC ，MD ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB ；(2)1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥，又AC BC =，D 是AB 中点，所以CD AB ⊥，1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ，1B D ⊂平面11ABB A ，所以1CD B D ⊥，所以1B DB ∠是二面角1B CD B --的平面角，由AC BC ⊥，11AA =，2AC BC ==，得2AB =，1BD =，11BB =，所以12B D =，12cos 2B DB ∠=．22．(1)证明见解析(2)66【解析】【分析】（1）证明出AB ⊥平面PBC ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）设2PA AB ==，取AB 的中点G ，连接EG ，过点G 在平面ABCD 内作GM AF ⊥，垂足为点M ，连接EM ，分析可知二面角E AF B --的平面角为EMG ∠，计算出EMG 三边边长，由此可求得EMG ∠的余弦值，即可得解.(1)证明：PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥，四边形ABCD 为正方形，则BC AB ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，AE BC ∴⊥，PA AB =，E 为PB 的中点，则AE PB ⊥，PBBC B =，AE ∴⊥平面PBC ，AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC .(2)解：设2PA AB ==，取AB 的中点G ，连接EG ，过点G 在平面ABCD 内作GM AF ⊥，垂足为点M ，连接EM ，E 、G 分别为PB 、AB 的中点，则//EG PA 且112EG PA ==，PA ⊥平面ABCD ，EG ∴⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，EG AF ∴⊥，GM AF ⊥，EG GM G =，AF ∴⊥平面EMG ，EM ⊂平面EMG ，EM AF ∴⊥，所以，二面角E AF B --的平面角为EMG ∠，在Rt ABF 中，2AB =，1BF =，225AF AB BF =+=，所以，5sin 5BF BAF AF ∠==，则5sin 5MG AG BAF =∠=，所以，22305EM EG MG =+=，故6cos 6MG EMG EM ∠==，因此，二面角E AF B --的余弦值为66.23．(1)证明见解析(2)33【解析】【分析】（1）证明AB ⊥平面ACD ，得到AB CD ⊥，再证明CD ⊥平面ABD ，得到证明.（2）,F G 分别为,BD AD 的中点，证明EGF ∠为二面角B AD E --的平面角，设FG a =，根据等面积法得到22a =，计算体积得到答案.(1)AB AC ⊥，AB AD ⊥，ACAD A =，故AB ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，故AB CD ⊥，BD DC ⊥，ABBD B =，故CD ⊥平面ABD ，CD ⊂平面BCD ，故平面ABD ⊥平面BCD .(2)如图所示：,F G 分别为,BD AD 的中点，连接,,EF FG GE ，,E F 分别为,BC BD 中点，故EF CD ∥，CD ⊥平面ABD ，故EF ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，故AD EF ⊥.,G F 分别为,AD BD 中点，故FG AB P ，AB AD ⊥，故FG AD ⊥，EF FG E ⋂=，故AD ⊥平面EFG ，故EGF ∠为二面角B AD E --的平面角，即60EGF ∠=︒，设FG a =，则2AB a =，3EF a =，2GE a =，23CD a =，241BD a =+，2161BC a =+，根据BCD △的等面积法：2223412161a a a a ⨯+=⨯+，解得22a =.11132163263A BCD V AB AD CD -⎛⎫=⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.24．(1)证明见解析(2)155【解析】【分析】(1)取AD 中点M ，连QM ，OM ，证得PO //QM 即可得解.(2)在正四棱锥P ABCD -中作出二面角O AP D --的平面角，借助直角三角形计算即可.(1)取AD 中点M ，连QM ，OM ，如图，因O 是正四棱锥P ABCD -底面中心，即O 是BD 中点，则OM //AB //PQ ，112OM AB PQ ===，于是得PQMO 是平行四边形，PO //QM ，而PO ⊄平面ADQ ，DM ⊂平面ADQ ，所以PO //平面ADQ .(2)在正四棱锥P ABCD -中，DO ⊥AO ，PO ⊥平面ABCD ，DO ⊂平面ABCD ，则PO ⊥DO ，而PO AO O ⋂=，,PO AO ⊂平面POA ，因此，DO ⊥平面POA ，而PA ⊂平面POA ，则DO ⊥PA ，过O 作OE ⊥PA 于E ，连DE ，如图，DO OE O ⋂=，,DO OE ⊂平面DOE ，则有PA ⊥平面DOE ，即PA ⊥DE ，从而得DEO ∠是二面角O AP D --的平面角，因PQ ⊥平面ADQ ，则PQ ⊥AQ ，226AP PQ AQ =+=，而122AO AC ==，则PO =2，233PO AO OE PA ⋅==，Rt DOE 中，22302,3DO DE DO OE ==+=，于是得15sin 5DO DEO DE ∠==，所以二面角O AP D --的正弦值155.25．（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】(1)连接BD 、OF ，BD 交AC 于点O ，可得OF BE ∥，结合线面平行的判定定理即可；(2)过A 作AH PC ⊥于H ，由题意和面面垂直的性质可得AH ⊥平面PCD ，进而有AH PD ⊥，过A 作AM PD ⊥可得PD ⊥平面AHM ，进而有PD HM ⊥，可得AMH ∠为所求二面角的平面角，结合题意解三角形即可.【详解】(1)连接BD ，交AC 于点O ，由底面ABCD 是平行四边形得：点O 是线段BD 的中点，在BDE 中，F 为线段DE 的中点，点O 是线段BD 的中点OF BE ∴∥，又OF ⊂平面ACF ，BE ⊄平面ACF//BE ∴平面ACF（2）PA ⊥平面ABCD ，∴PC 与平面ABCD 所成角即为4PCA π∠=由PA ⊥平面ABCD 可知：PAC △､PAD △都为直角三角形1AC ∴=，2PD =在平面PAC 中，过点A 作AH PC ⊥，垂足为H ，且22AH =平面PAD 中，过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连接HM ，且23AM =平面PAC ⊥平面PCD ､平面PAC平面PCD PC =､AH PC ⊥，AH ⊂平面PACAH ∴⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD AH PD ∴⊥，AM PD ⊥，AM AH A ⋂=PD ∴⊥平面AHM ，HM ⊂平面AHM PD HM ∴⊥，AM PD⊥AMH ∴∠即为所求二面角的平面角在Rt AHM 中，90AHM ∠=︒，23AM =，22AH =12HM ∴=6sin 3AMH ∴∠=∴二面角A PD C --的正弦值63.26．（1）证明见解析；（2）3π.【解析】【分析】（1）要证线面平行，只要证平面外这条直线平行于平面内的一条直线即可得解；（2）先用几何法确定二面角的位置，在平面ABCD 内，作CM AD ⊥，垂足为M ，在平面PAD 内，作MN PD ⊥，垂足为N ，连结CN ，CNM ∠是二面角C PD A --的平面角，解三角形CNM 即可得解.【详解】（1）取CD 的中点G ，连接FG ，EG 在PCD 中，PF FC =，CG GD =所以FG PDP 因为PD ⊂平面PAD ，FG ⊂/平面PAD ，所以FG ∥平面PAD 因为BC AD ∥，所以四边形ABCD 是梯形，因为AE EB =，DG GC =，所以EGAD因为AD ⊂平面PAD ，EG ⊂/平面PAD ，所以EG ∥平面PAD 由于FGEG G =，FG ，EG ⊂平面EFG所以平面EFG ∥平面PAD 因为EF ⊂平面EFG 所以EF ∥平面PAD（2）在平面ABCD 内，作CM AD ⊥，垂足为M ，在平面PAD 内，作MN PD ⊥，垂足为N ，连结CN .在四边形ABCD 中，BA AD ⊥，CM AD ⊥，所以AB CM ∥因为PA AB ⊥，所以CM PA⊥因为CM AD ⊥，PA AD A ⋂=，PA ，AD ⊂平面PAD 所以CM ⊥平面PAD因为PD ⊂平面PAD ，所以PD CM⊥又PD MN ⊥，CM MN M ⋂=，CM ，MN ⊂平面CMN 所以PD ⊥平面CMN因为CN ⊂平面CMN ，所以PD CN ⊥CNM ∠是二面角C PD A --的平面角在等腰三角形PAD 中，BC AD ∥，AD AP ⊥，所以BC PA ⊥所以在四棱锥中，BC AB ⊥，BC PB ⊥所以AD PB ⊥，AD AB⊥因为PB AB B ⋂=，PB ，AB Ì平面PAB 所以AD ⊥平面PAB因为PA ⊂平面PAB ，所以PA AD⊥直角三角形PAB 中，1AB =，3PB =，所以22PA =直角三角形PAD 中，MN DM PA DP =，即12226MN =，所以33MN =又1CM AB ==所以tan 3CMCNM MN∠==由图可知二面角C PD A --是锐二面角所以3CNM π∠=，即二面角C PD A --的平面角是3π.27．（1）证明见解析；（2）①2；②2；③证明见解析.【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面PMB ，结合线面垂直的性质即可证出结论；（2）设底面边长为2a ，由题意可得234a a =-，解方程求出a 的值，进而可相应的边长，①由13P ABCD ABCD V PM S -=⨯⨯即可求出结果；②证得PNM ∠为二面角P AB C --的平面角，在Rt PMN 中，由tan PMPNM MN∠=可求出结果；③证得DH ⊥平面PBC ，结合面面垂直的判定定理可得平面PDC ⊥平面PBC ，进而可得结论.【详解】（1）取AD 的中点M ,连接,,PM BM BD ，因为底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，所以BM AD ⊥，又因为2PA PD ==，所以PM AD ⊥，且PM BM M ⋂=，则AD ⊥平面PMB ，又因为BP ⊂平面PMB ，因此AD BP ⊥,（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，且PM AD ⊥，所以PM ⊥平面ABCD ，设底面边长为2a ，则3BM a =，24PM a =-，因为直线PB 与平面ABCD 所成角为45︒时，即45PBM ∠=，所以=BM PM ，故234a a =-，解得1a =，①112323233P ABCD ABCD V PM S -=⨯⨯==⨯⨯⨯=;②过点M 作MN AB ⊥于N ，连接PN ，因为PM ⊥平面ABCD ，且AB Ì平面ABCD ，所以PM AB ⊥，又因为PM MN M ⋂=,故AB ⊥平面PMN ，又因为PN ⊂平面PMN ，所以AB PN ⊥，则PNM ∠为二面角P AB C --的平面角，因为1122AB MN AM BM ×=×，因此32MN =，在Rt PMN 中，3tan 232PMPNM MN ∠===，因此二面角P AB C --的正切值为2,③取,PC PB 的中点,G H ,连接,,GH DH MG ，所以//GH BC ，且12GH BC =，又因为//AD BC ，且12DM AD =，所以//DM GH 且DM GH =，所以四边形DMGH 为平行四边形，又因为AD ⊥平面PMB ，又因为MG ⊂平面PMB ，所以AD MG ⊥，所以四边形DMGH 为矩形，因此DH GH ⊥，又因为PD DC =，所以DH PC ⊥，且GHPC H =，所以DH ⊥平面PBC ，又因为DH ⊂平面DPC ，故平面PDC ⊥平面PBC ，所以二面角D PC B --是直二面角.28．（1）//PB l ，证明见解析；（2）33；（3）2.【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可.（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【详解】（1）证明：连结BD 交AC 交于G ，∵ABCD 是正方形，∴G 为BD 的中点，又∵E 是PD 的中点，∴//EG PB ，又∵PB ⊄平面ACE ，EG ⊂平面ACE ，∴//PB 平面ACE ，又PB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ACE l =，∴//PB l .。