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5-4-1_完全平方数 题库学生版

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完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.
一、完全平方数常用性质
1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能整除a 。

2.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一
定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，
69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然
数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：22()()
a b a b a b -=+-
模块一、完全平方数基本性质和概念
【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)
⨯++++++++++++是 的平方．
例题精讲 知识点拨
教学目标
5-4完全平方数
【巩固】(华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456
+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？
【例2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【例3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

【例4】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。

【巩固】考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是．
【例5】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【巩固】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．
【例6】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
【巩固】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．
【例7】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
【巩固】(2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)
【例8】A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和
为．
【巩固】已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．
【例9】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．
【例10】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【解析】平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838
=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．
【例11】能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
【巩固】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【例12】(2004年华杯赛)三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？
【例13】(2004年南京市少年数学智力冬令营)记(123)(43)
n≥．当k在1至
，这里3
=⨯⨯⨯⨯++
S n k
100之间取正整数值时，有个不同的k，使得S是一个正整数的平方．
【例14】(2007年“走进美妙的数学花园”)称能表示成123k
++++
的形式的自然数为三角数．有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数．则N=．
【巩固】 自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？
【例 15】 A 是由2002个“4”组成的多位数，即200244444
个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．。

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初等数论《完全平方数》 习题集(1)

初等数论《完全平方数》 习题集(1)

初等数论《完全平方数》习题集(1)一完全平方数自然数 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …完全平方数 N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 …二完全平方数的特征1 末位数字为：0、1、4、5、6、9的，可能是完全平方数，如100 81 64 225 36 169等等。

但有的不是完全平方数，如200 181 464 325 56 189 等等。

2 末位数为：2、3、7、8的整数，肯定不是完全平方数。

如22222、123 167 38 等等，3 偶数的平方是4N型的偶数。

个位数字是偶数0、4 、6，十位数字有奇有偶。

它们只能是00 04 24 44 64 84、16 36 56 76 964 奇数的平方是4N+1型的奇数。

个位数字是奇数1、9 ，十位数字有奇有偶。

即只能是01 21 41 81 09 29 49 69 895 尾数为25的数，可能是完全平方数。

如225 625等等，但有的不是完全平方数，如125 325 7125等等。

6 3k或3k+1型的数，可能是完全平方数。

如144=3×48 、121=3×40+1等，但有的不是完全平方数，如156 =52×3、244=81×3+1等等。

7 完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。

数字和是2,3,5,6,8的，肯定不是完全平方数。

8 如果质数p能整除A，但p的平方不能整除A，则A不是完全平方数。

如：7︱196 49︱ 196 A=196 是完全平方数7︱119 49ト119 A=119 不是完全平方数9 相邻整数的平方数之间，不可能有别的平方数。

如72=49、82=64之间，不可能有别的平方数。

总之，以上的判别法，只判别可能是完全平方数，但不能肯定是完全平方数。

实质上只适合判别非完全平方数。

10 判别完全平方数的必要充份条件是：因数一定是偶次方，因数个数一定是奇数。

完全平方公式专项练习50题(有答案)

完全平方公式专项练习50题(有答案)

完全平方公式专项练习知识点：完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。

即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2专项练习：1．（a ＋2b ）22．（3a －5）23.．（－2m －3n ）24. （a 2－1）2－（a 2＋1）25.（－2a ＋5b ）26.（－21ab 2－32c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）8.（2a ＋3）2＋（3a －2）29.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2；11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2．12. 972；13. 20022；14. 992－98×100；15. 49×51－2499．16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）217.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）18.（２a ＋１）2－（１－２a ）219.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）20.先化简。

再求值：（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2－４y 2），其中x ＝２，y ＝－１.21.解关于x 的方程：（x ＋41）2－（x －41）（x ＋41）＝41. 22.已知x －y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.23.已知a （a －１）＋（b －a 2）＝－７，求222b a +－ab 的值. 24.已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值． 25.已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值． 26.已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．27.已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。

小学完全平方数学练习题

小学完全平方数学练习题

小学完全平方数学练习题题目一：计算下列各数是否为完全平方数，并给出正确的结果。

1. 162. 253. 144. 365. 49完全平方数是指一个数可以表示为某个整数的平方。

例如，16是4的平方，所以16是一个完全平方数。

解答：1. 16：16是4的平方，所以16是一个完全平方数。

2. 25：25是5的平方，所以25是一个完全平方数。

3. 14：14不能表示为某个整数的平方，所以14不是一个完全平方数。

4. 36：36是6的平方，所以36是一个完全平方数。

5. 49：49是7的平方，所以49是一个完全平方数。

题目二：判断下列各数是否为完全平方数，若是，请给出其平方根。

1. 92. 643. 1214. 1695. 196解答：1. 9：9是3的平方，所以9是一个完全平方数，其平方根为3。

2. 64：64是8的平方，所以64是一个完全平方数，其平方根为8。

3. 121：121是11的平方，所以121是一个完全平方数，其平方根为11。

4. 169：169是13的平方，所以169是一个完全平方数，其平方根为13。

5. 196：196是14的平方，所以196是一个完全平方数，其平方根为14。

题目三：找出范围内的所有完全平方数。

范围：1-100解答：在给定的范围内，我们逐个判断是否为完全平方数，并列出所有结果。

1. 1：1是1的平方，所以1是一个完全平方数。

2. 4：4是2的平方，所以4是一个完全平方数。

3. 9：9是3的平方，所以9是一个完全平方数。

4. 16：16是4的平方，所以16是一个完全平方数。

5. 25：25是5的平方，所以25是一个完全平方数。

6. 36：36是6的平方，所以36是一个完全平方数。

7. 49：49是7的平方，所以49是一个完全平方数。

8. 64：64是8的平方，所以64是一个完全平方数。

9. 81：81是9的平方，所以81是一个完全平方数。

10. 100：100是10的平方，所以100是一个完全平方数。

初中数学同步 8年级上册 第28课 完全平方公式(学生版)

初中数学同步 8年级上册 第28课 完全平方公式(学生版)

第28课完全平方公式目标导航课程标准1.能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2.会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识精讲知识点01 公式法——完全平方公式两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的 2 倍，等于．即a2+ 2ab +b2=，a2- 2ab +b2= .形如a2 + 2ab +b2 ，a2 - 2ab +b2 的式子叫做.要点诠释：(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；(2)完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的 2 倍. 右边是两数的和(或差)的平方.(3)完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.(4)套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点02 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先；（2）如果各项没有公因式那就尝试用；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到)．知识点03 因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．能力拓展考法01 公式法——完全平方公式【典例1】分解因式：(1) -3ax2 + 6axy - 3ay2 ；(2) a4 - 2a2b2 +b4 ；(3)16x2 y2 - (x2 + 4 y2 )2 ；(4) a4 - 8a2b2 +16b4 ．【即学即练1】分解因式：(1) 4(x +a)2 +12(x +a)(x +b) + 9(x +b)2 ．(2) 4(x +y)2 - 4(x2 -y2 ) + (x -y)2 ．【典例2】已知a+b=3，ab=2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3．【即学即练2】若x ，y 是整数，求证：(x+y )(x+ 2 y)(x+3y )(x+ 4 y)+y4 是一个完全平方数.考法02 配方法分解因式【典例3】用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为 1 的情况：如x2 +bx 添上什么就可以成为完全平方式？因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1 的呢？当然是转化为二次项系数为1 了.分解因式：3x2 + 5x - 2 .考法03 完全平方公式的应用先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式 x 2±2xy+y 2=(x±y )2 及(x±y )2 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式 2x 2+12x ﹣4 的最大(小)值时，我们可以这样处理： 解：原式=2(x 2+6x ﹣2)=2(x 2+6x+9﹣9﹣2)=2[(x+3)2﹣11]=2(x+3)2﹣22因为无论 x 取什么数，都有(x+3)2 的值为非负数所以(x+3)2 的最小值为 0，此时 x=﹣3进而 2(x+3)2﹣22的最小值是 2×0﹣22=﹣22所以当 x=﹣3 时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式 3x 2﹣6x+12 的最小值是多少，并写出对应的 x 的取值．【即学即练3】若△ABC 的三边长分别为 a 、b 、c ,且满足 a 2 -16b 2 - c 2+ 6ab +10bc = 0 ， 求证： a + c = 2b .【即学即练4】若(2015﹣x)(2013﹣x)=2014，则(2015﹣x)2+(2013﹣x)2= ．题组A 基础过关练 1．分解因式：22216x y x -=( )A ．()2216x y -B ．2(4)(4)x y y +-C ．22(4)y x -D ．2(4)(4)y x x +- 2．下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是A ．B ．C ．D ． 3．下列因式分解正确的是( ) A ．()22()a b a b a b --=-+-- B ．229(3)x x +=+C ．214(14)(14)x x x -=+-D ．3224(4)a a a a -=- 4．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为( )分层提分①21025x x -+；②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如果x 2+2ax+b 是一个完全平方公式，那么a 与b 满足的关系是( )A ．b ＝aB ．a ＝2bC ．b ＝2aD ．b ＝a 26．下列各式能利用完全平方公式分解因式的是( )A ．21641x x ++B ．21681x x -+C ．2444x x ++D ．224x x -+7．观察如图中的图形，根据图形面积的关系，不需要连接其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是( )A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a ab b a b ++=+C ．()2222a ab b a b -+=-D ．()2a ab a a b +=+ 8．若多项式x 2﹣3(m ﹣2)x+36能用完全平方公式分解因式，则m 的值为( )A ．6或﹣2B ．﹣2C ．6D ．﹣6或29．下列各式中能用完全平方公式分解的是( )．①x 2－4x ＋4；②6x 2＋3x ＋1；③4x 2－4x ＋1；④x 2＋4xy ＋2y 2；⑤9x 2－20xy ＋16y 2.A ．①②B ．①③C ．②③D ．①⑤题组B 能力提升练10．若()2242x ax x ++=-，则a =_____．11．利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．12．因式分解：9a 2﹣12a+4＝______．13．若多项式216x mx -+能用完全平方公式进行因式分解，则m =_______.14．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是(写题号)________．①222a b ab -+ ②2441a a ++ ③222--+a b ab ④224129a ab b -+-15．(1)22929-+-=-x xy y (______)=(______)2-(______)2=(______)(______)；(2)2223-+-=x y x z y z y (______)-(______)=(______)(______)=(______)(______)(______)；(3)在多项式①2222+-+x xy y z ；②2221--+x y x ；③224441-++x y x ；④2221-++-x xy y 中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是(只写式子序号)________．题组C 培优拔尖练16．把()()2222221t t t t ++++分解因式，并求3t =-时的值． 17．下面是某同学对多项式(x 2－4x+2)(x 2－4x+6)+4进行因式分解的过程．解：设x 2－4x=y原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)= y 2+8y+16 (第二步)=(y+4)2 (第三步)=(x 2－4x+4)2(第四步)回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________．(填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x)(x 2－2x+2)+1进行因式分解．18．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴(m 2﹣2mn+n 2)+(n 2﹣8n+16)=0∴(m ﹣n)2+(n ﹣4)2=0，∴(m ﹣n)2=0，(n ﹣4)2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；(3)已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．19．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝(y+1)2再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y(y+2)+1(第一步)＝y2+2y+1(第二步)＝(y+1)2(第三步)＝(x2+2x+1)2(第四步)．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣4x)(x2﹣4x+8)+16进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1﹣2﹣3﹣…﹣2021)×(2+3+…+2022)﹣(1﹣2﹣3﹣…﹣2022)×(2+3+…+2021)．。