最新人教A版选修2-2高中数学1.2导数的计算1.2.2(二) 导学案及答案

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。

第二课时导数的运算法例预习课本P15～ 18，思虑并达成以下问题(1)导数的四则运算法例是什么？在使用运算法例时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法例又是什么？[新知初探 ]1．导数的四则运算法例(1)条件： f(x)， g(x)是可导的．(2)结论：① [f(x) ±g(x)] ＝′f′(x)±g′(x)．② [f (x)g(x)] ＝′ f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)．③f x′＝f xg x － f x g x(g(x) ≠ 0)．g x2[g x[点睛 ]应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推行到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零 )必可导．(3)若两个函数不行导，则它们的和、差、积、商不必定不行导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适合的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是 y＝ f(g( x))．②可分解为 y＝ f(u)与 u＝ g(x)，此中 u 称为中间变量．(2)求导法例：复合函数y＝ f (g(x))的导数和函数y＝ f(u)， u＝ g(x)的导数间的关系为：y x′＝ y u′·u x′.[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) f′(x)＝2x，则 f(x)＝ x2 .()(2)函数 f(x)＝ xe x的导数是 f′(x)＝e x(x＋ 1)． ()(3)函数 f(x)＝ sin(－ x)的导数为 f′(x)＝ cos x． ()答案： (1) × (2) √ (3) ×2．函数 y ＝ sin x ·cos xA ． y ′＝ cos 2x ＋ sin 2xC ． y ′＝ 2cos x ·sin x答案： B的导数是()B ． y ′＝ cos 2xD ． y ′＝ cos x ·sin x3．函数 y ＝ xcos x － sin x 的导数为 ________．答案： － xsin x4．若 f(x)＝ (2x ＋ a)2，且 f ′(2)＝ 20，则 a ＝ ________.答案： 1利用导数四则运算法例求导[典例 ] 求以下函数的导数：2＋ log 3x ； (2)y ＝ x 3 x(3)y ＝ cos x(1) y ＝ x ·e ；x .解 ′＝ 2＋ log ＝′ 2 ) ′＋ (log′ [ ] (1) y (x 3x)(x 3x) ＝ 2x ＋ 1.xln 33 x 3x3 x′′＝ · ) ′＝ ( x) ′·e＋x· )(2) y(x e(e＝ 3x 2·e x ＋x 3 ·e x ＝ e x (x 3＋ 3x 2)． (3) y ′＝ cos x ′＝ xx － cos x x2xx － x ·sin x － cos x xsin x ＋ cos x＝ 2 ＝－ 2. xx求函数的导数的策略(1)先划分函数的运算特色，即函数的和、差、积、商，再依据导数的运算法例求导数．(2) 对于三个以上函数的积、商的导数，挨次转变为“两个 ”函数的积、商的导数计算．[活学活用 ]求以下函数的导数：x(1) y ＝ sin x － 2x 2； (2)y ＝cos x ·ln x ； (3) y ＝ sin ex .解： (1)y ′＝ (sin x － 2x 2) ′＝ (sin x) ′－ (2x 2) ′＝ cos x － 4x. (2) y ′＝ (cos x ·ln x) ′＝ (cos x) ′·x ＋ln cos x ·(ln x) ′＝－ sin x ·ln x ＋ cos xx.e xxx － e x x(3) y ′＝ sin x ′＝sin 2x ＝ e x ·sin x － e x ·cos x e x x － cosx2 ＝2sin xsin x复合函数的导数运算[典例 ] 求以下函数的导数：(1) y ＝ 1 2； (2)y ＝ e sin(ax ＋b)；1－ 2x(3) y ＝ sin 2 2x ＋π3 ； (4)y ＝ 5log 2(2x ＋ 1)．[解 ] (1)设 y ＝u － 1， u ＝ 1－ 2x 2，2则 y ′＝ (u －12) ′ －(12x2) ′＝ －21u － 32 ·(－ 4x)＝－1 23 23.(1－ 2x )－2(－ 4x)＝ 2x(1－ 2x )－ 22(2) 设 y ＝ e u ， u ＝ sin v ， v ＝ ax ＋ b ，则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ e u ·cos v ·asin(ax ＋b) ．＝ acos(ax ＋ b) ·e(3) 设 y ＝ uπ2， u ＝ sin v ， v ＝2x ＋ ，3则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ 2u ·cos v ·22π＝ 4sin vcos v ＝ 2sin 2v ＝ 2sin 4x ＋ 3 .(4) 设 y ＝ 5log 2 u ， u ＝ 2x ＋ 1，则 y ′＝ 5(log 2u) ′·x ＋(21) ′＝ 10 ＝ 10 .uln 2 x ＋1． 求复合函数的导数的步骤2． 求复合函数的导数的注意点(1) 内、外层函数往常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导， 这是求复合函数导数时的易错点．[活学活用 ]求以下函数的导数：(1) y ＝ (3x － 2)2 ； (2) y ＝ ln(6x ＋ 4)；(3) y ＝ e 2x ＋1；(4)y ＝ 2x － 1；π； (6)y ＝ cos 2x.解： (1)y ′＝ 2(3x － 2) ·(3x －2) ′＝ 18x － 12；13；(2) y ′＝ 6x ＋ 4·(6x ＋ 4) ＝′3x ＋ 2(3) y ′＝ e 2x ＋ 1·(2x ＋ 1) ′＝2e 2x ＋1；(4) y ′＝ 1 ′＝1. ·(2x － 1) 2x － 1 2 2x － 1π ππ(5) y ′＝ cos 3x － 4 ·3x － 4 ′＝3cos 3x － 4 .(6) y ′＝ 2cos x ·(cos x) ′＝－ 2cos x ·sin x ＝－ sin 2x.与切线相关的综合问题2π[典例 ]处的切线斜率为 ________．(1) 函数 y ＝ 2cos x 在 x ＝12(2) 已知函数 f(x)＝ ax 2＋ ln x 的导数为 f ′(x)，①求 f(1)＋ f ′(1)．②若曲线 y ＝ f (x)存在垂直于 y 轴的切线，务实数a 的取值范围．[分析 ] (1) 由函数 y ＝ 2cos 2x ＝ 1＋ cos 2x ，得 y ′＝ (1＋ cos 2x) ′＝－ 2sin 2x ，所以函数在π 2sinπ＝处的切线斜率为－2 × ＝－1.x1212答案：－1(2) 解： ①由题意，函数的定义域为(0，＋ ∞)，由 f( x)＝ ax 2＋ ln x ，得 f ′(x)＝ 2ax ＋ 1，x 所以 f(1)＋ f ′(1)＝ 3a ＋ 1.② 因为曲线 y ＝ f(x)存在垂直于y 轴的切线， 故此时切线斜率为0，问题转变为在 x ∈ (0，＋∞)内导函数f ′(x)＝ 2ax ＋ 1存在零点，x即 f ′(x)＝ 0?2ax ＋ 1x ＝ 0 有正实数解，(5) y ＝ sin 3x － 4即 2ax 2＝－ 1 有正实数解，故有 a<0 ，所以实数 a 的取值范围是 (－∞， 0)．对于函数导数的应用及其解决方法(1) 应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及波及切线问题的综合应用．(2) 方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再依据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[活学活用 ]若存在过点 (1,0) 的直线与曲线y ＝ x 3 和 y ＝ ax 2＋15都相切，则 a 的值为 ()4 x － 92521A ．－ 1 或－ 64B ．－ 1 或 4C ．－ 7或－ 25D ．－7或 74 644分析：选A 设过点 (1,0)的直线与曲线 y ＝ x 3 相切于点 (x 0， x 03)，则切线方程为y － x 03＝ 3x 02(x － x 0)，即 y ＝ 3x 02x － 2x 03.又点 (1,0)在切线上，代入以上方程得 3x 0＝ 0 或 x 0＝ .2当 x 0＝ 0 时，直线方程为 y ＝ 0.21525由 y ＝ 0 与 y ＝ ax ＋4 x － 9 相切可得 a ＝－ 64.当 x 0＝ 3时，直线方程为 y ＝ 27x － 27.24 42727215由 y ＝ 4 x － 4 与 y ＝ ax ＋ 4 x － 9 相切可得 a ＝－ 1.层级一学业水平达标1．已知函数 f (x)＝ ax 2 ＋c ，且 f ′(1)＝ 2，则 a 的值为 ()A ． 1B. 2C ．－ 1D ． 0分析： 选A∵ f(x)＝ ax 2＋ c ，∴ f ′(x)＝ 2ax ，又∵ f ′(1)＝ 2a ，∴ 2a ＝ 2，∴ a ＝ 1.2．函数2y ＝ (x ＋ 1) (x － 1)在x ＝ 1 处的导数等于()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：选 D y ′＝ [(x ＋ 1) 2] ′(x － 1)＋ (x ＋ 1) 22＝ 3x 2＋ 2x(x － 1) ′＝ 2(x ＋ 1) ·(x － 1) ＋ (x ＋ 1) － 1，∴ y ′|＝＝ 4.x 13．曲线 f(x)＝ xln x 在点 x ＝ 1 处的切线方程为 ( )A ． y ＝ 2x ＋ 2B ． y ＝ 2x － 2C ． y ＝ x － 1D ． y ＝ x ＋ 1分析：选C∵ f ′(x)＝ ln x ＋ 1，∴ f ′(1)＝ 1，又 f(1) ＝0，∴在点 x ＝ 1 处曲线 f(x)的切线方程为 y ＝ x － 1.4. 已知物体的运动方程为s ＝ t 2＋ 3(t 是时间， s 是位移 )，则物体在时辰 t ＝ 2 时的速度t为 ()19 17 A. 4B. 415 13C. 4D. 4分析：选D33 13∵ s ′＝ 2t －t ，∴ s ′|t2＝ 4－4＝4＝5．设曲线 y ＝ ax － ln(x ＋ 1)在点 (0,0) 处的切线方程为 y ＝ 2x ，则 a ＝ ()A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析：选Dy ′＝ a － 1，由题意得 y ′|x ＝0＝ 2，即 a － 1＝ 2，所以 a ＝3.x ＋ 13－ x ＋ 3 在点 (1,3)处的切线方程为 ________．6．曲线 y ＝ x22分析：∵ y ′＝ 3x － 1，∴ y ′x1＝ 3×1 － 1＝ 2.＝∴切线方程为 y － 3＝ 2(x －1) ，即 2x － y ＋ 1＝ 0.答案： 2x － y ＋ 1＝ 07．已知曲线y 1＝ 2－ 1与 y 2＝ x 3－ x 2＋ 2x 在 x ＝x 0 处切线的斜率的乘积为3，则 x 0＝x ________.分析： 由题知 y ′＝12处切线的斜率分别为12＝ 3x － 2x ＋ 2，所以两曲线在 x ＝ x2，1x ， y ′2x 02－2x 0＋ 2，所以3x 02－ 2x 0＋ 23x 02＝ 3，所以 x 0＝ 1.x 0答案： 1ππ8．已知函数 f (x)＝ f ′4 cos x ＋ sin x ，则 f 4 的值为 ________．π分析： ∵ f ′(x)＝－ f ′4 sin x ＋ cos x ，ππ 2 2∴ f ′4 ＝－ f ′4 ×2 ＋ 2 ，π得 f ′4 ＝ 2－ 1.∴ f( x)＝ ( 2－ 1)cos x ＋ sin x.π∴ f 4 ＝ 1. 答案： 19．求以下函数的导数：2e x ＋ 1x；(1) y ＝ xsin x ； (2)y ＝ e － 1x ＋ cos x(3) y ＝ x ＋ sin x ； (4)y ＝ cos x ·sin 3x.22解： (1)y ′＝ (x) ′sinx ＋ x(sin x) ′＝ sin 2 x ＋ x ·2sin x ·(sin x) ′＝sin 2x ＋ xsin 2x.(2) y ′＝ e x ＋ 1 ′ e x － 1－ e x ＋ 1e x － 1 ′x 1 2e －－ 2e x .＝x－ 12ex ＋ cos x ′ x ＋ sin x － x ＋ cos xx ＋ sin x ′(3) y ′＝x ＋ sin x2＝1－ sin xx ＋ sin x －x ＋ cos x1＋ cos xx ＋ sin x 2－ xcos x －xsin x ＋ sin x － cos x － 1 ＝ x ＋ sin x 2.(4) y ′＝ (cos x ·sin 3x) ′＝ (cos x) ′sinx3＋ cos x(sin 3x) ′＝－ sin xsin 3x ＋ 3cos xcos 3x＝ 3cos xcos 3x － sin xsin 3x.10．偶函数 f(x)＝ ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e 的图象过点 P(0,1)，且在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝x － 2，求 f(x)的分析式．解： ∵ f(x)的图象过点 P(0,1)，∴ e ＝ 1.又∵ f( x)为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)．故 ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e ＝ ax 4－ bx 3＋ cx 2－ dx ＋ e.∴ b ＝ 0， d ＝ 0.∴ f(x)＝ ax 4＋ cx 2＋ 1. ∵函数 f(x)在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝ x － 2，∴切点为 (1，－ 1)．∴ a ＋ c ＋ 1＝－ 1.∵f′(x)|x＝1＝ 4a＋ 2c，∴ 4a＋ 2c＝ 1.∴a＝5， c＝－9.225492∴函数 f(x)的分析式为 f (x)＝x－ x ＋ 1.22层级二应试能力达标1．若函数 f(x)＝ ax4＋ bx2＋ c 知足 f′(1)＝ 2，则 f′(－1)等于 ()A．－ 1B．－ 2C． 2D． 0分析：选B∵ f′(x)＝ 4ax3＋ 2bx 为奇函数，∴ f′(－1)＝－ f′(1)＝－ 2. 2．曲线 y＝ xe x－1在点 (1,1)处切线的斜率等于 ()A． 2e B． eC． 2D． 1分析：选C函数的导数为 f′(x)＝ e x－1＋ xe x－1＝ (1＋ x)e x－1，当 x＝ 1 时， f′(1)＝ 2，即曲线x－1在点 (1,1)处切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，应选 C. y＝ xe3．已知函数 f (x)的导函数为 f′(x)，且知足 f(x)＝ 2xf ′ (e)＋ ln x，则 f′ (e)＝ ()－ 1B．－ 1A． e－ 1D．－ eC．－ e分析：选C∵ f(x)＝ 2xf′(e)＋ ln x，∴f′(x)＝ 2f′(e)＋1 x，∴f′(e)＝ 2f′(e)＋1，解得 f′(e)＝－1，应选 C.e e4．若 f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，则 f′(x)＞ 0的解集为 ()A． (0，＋∞ )B． (－ 1,0)∪ (2，＋∞) C． (2，＋∞ )D． (－ 1,0)分析：选C∵ f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，∴f′(x)＝ 2x－ 2－4x＞ 0，x＋x－或 x＞ 2，整理得＞ 0，解得－ 1＜ x＜ 0x又因为 f(x)的定义域为 (0，＋∞)，所以 x＞ 2.5．已知直线y＝ 2x－ 1 与曲线 y＝ ln(x＋ a)相切，则a 的值为 ________________．1分析：∵ y＝ ln(x＋ a)，∴ y′＝，设切点为(x0，y0)，1则 y0＝ 2x0－ 1， y0＝ ln(x0＋ a)，且x0＋a＝ 2，解之得 a＝1ln 2. 2答案：1ln 22x在点 (1,1)的切 l， l 上的点到x2＋ y2＋ 4x＋ 3＝ 0 上的点的6．曲 y＝2x－1近来距离是 ____________．分析： y′＝－1|y－ 1＝－ (x－ 1)，即 x＋ y－ 2 2， y′x＝1＝－ 1，∴切方程＝ 0，心 (－ 2,0)到直的距离d＝ 2 2，的半径 r＝ 1，∴所求近来距离 2 2－ 1.答案： 2 2－17．已知曲 f (x)＝ x3＋ ax＋ b 在点P(2，－ 6)的切方程是13x－ y－ 32＝ 0.(1) 求a， b 的；1(2)假如曲 y＝ f(x)的某全部与直 l：y＝－4x＋ 3 垂直，求切点坐与切的方程．解： (1)∵ f(x)＝ x3＋ ax＋ b 的数 f′(x)＝ 3x2＋ a，由意可得f′(2)＝ 12＋ a＝13， f(2)＝ 8＋ 2a＋ b＝－ 6，解得 a＝ 1， b＝－ 16.1(2)∵切与直 y＝－4x＋ 3 垂直，∴切的斜率k＝ 4.切点的坐(x0， y0)，2f′(x0)＝ 3x0＋ 1＝ 4，∴ x0＝±1.由 f( x)＝ x3＋x－ 16，可得 y0＝ 1＋ 1－ 16＝－ 14，或 y0＝－ 1－ 1－ 16＝－ 18.切方程y＝ 4(x－ 1)－ 14 或 y＝ 4(x＋ 1)－ 18.即 y＝ 4x－ 18 或 y＝ 4x－ 14.8． f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1， x≥0， n∈ N， n≥2.(1) 求 f n′ (2)；明：在 0，2内有且有一个零点(a，且＜12n(2)f n(x)n)a n－＜n＋13023.解： (1)由 f n′(x)＝ 1＋ 2x＋⋯＋ nx n－1.所以 f n′ (2)＝ 1＋ 2×2＋⋯＋ (n－ 1)2n－2＋n·2n－1，①2f n′ (2)＝ 2＋ 2×22＋⋯＋ (n－ 1)2n－1＋ n·2n，②①－②得，－ f n′ (2)＝ 1＋ 2＋ 22＋⋯＋ 2n－1－ n·2n＝1－ 2n n n－ n·2＝ (1－ n) ·2－ 1，1－ 2所以 f n′ (2)＝ (n－1)n ·2＋1.(2)因 f(0)＝－ 1＜ 0，22nn 231－3－ 1＝1－2×2n2×22＞ 0，f3＝23≥ －3 1－13因 x≥0， n≥2.所以 f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1 增函数，所以 f n(x)在 0，2内增，3所以 f n在 0，2内有且有一个零点 a n(x)3.n＋ 1x－ x因为 f n(x)＝－1，n＋1所以 0＝ f n(a n) ＝a n－ a n－ 1，1－ a n由此可得11n＋ 11，故12 a n＝＋a n＞2＜ a n＜ .22231 1 n＋112 n＋1n所以 0＜ a n－22＝2a n＜2×3＝3n＋ 1.。

1.2.2 第三课时 导数的运算法则一、课前准备 1.课时目标1. 能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；2. 能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；3. 能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。

2.基础预探1.(1)[f (x )±g (x )]′＝________. (2)[f (x )·g (x )]′＝________. (3)[f (x )g (x )]′＝________.2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y ＝f [φ(x )]是由________和________复合而成的．3．设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′x ＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u ＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数，且y ′x ＝________，或写作f ′x [φ(x )]＝________.二、学习引领1．对导数的运算法则的理解(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf (x )]′＝cf ′(x ) 即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f ′(x )g (x )减去含分母导数f (x )g ′(x )的式子。

1.2 导数的计算一、教学目标 1．核心素养通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力． 2．学习目标（1）1.2.1能根据导数定义，求函数21,,,,y c y x y x y y x===== （2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数． 3．学习重点（1）利用导数的定义求五个函数21,,,,y c y x y x y y x ===== （2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数． 4．学习难点两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P 12－P 14，思考：常用函数的导数是什么？ 是如何计算得到的？ 任务2阅读教材P 14－P 17，思考：导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？2．预习自测 1．函数1y x x=+的导数是____________. 解：211y x =-2．函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A.sin x xB.sin x x -C.cos x xD.cos x x - 解：B3．设()f x =，则'(1)f = .（二）课堂设计 1．知识回顾（1）函数的定义是什么？给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应. （2）函数()f x 在0x x =处的导数是0000()()limlim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数是关于0x 的函数吗？对于函数()f x 来说，给定0x 的取值，则0()f x '是一个确定的值,所以是一个函数. 2．问题探究问题探究一 、几个常用函数（21,,,,y c y x y x y y x===== ●活动一 动手计算，收获几个结论请大家用导数的定义分别推导出函数21,,,,y c y x y x y y x =====. 1．若y c =（c 为常数），则y '=_________； 2．若y x =，则y '=_______________； 3．若2y x =，则y '=___________________； 4．若1y x=，则y '=_______________；5．若y =y '=__________________.●活动二 阅读查表，记忆导数公式1．若()f x c =（c 为常数），则()f x '=_______； 2．若*()()f x x Q αα=∈，则()f x '=_______. 3．若()sin f x x =，则()f x '=________________； 4．若()cos f x x =，则()f x '=_____________.5．若()x f x a =，则()f x '=_________； 特别地：若()x f x e =，则()f x '=_________. 6．若()log a f x x =，则()f x '=_______； 特别地：若()ln f x x =，则()f x '=________.为避免记忆混淆，可将上述公式可分为四类记忆：（1）（2）属于幂函数的导数公式；（3）（4）属于三角函数的导数公式；（5）是指数函数的导数公式；（6）是对数函数的导数公式． 例1求下列函数的导数．(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝5x 3； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x . 【知识点：导数的运算】解：(1)∵a 为常数，∴a 2为常数，∴y ′＝(a 2)′＝0.(2)'32'553'5y x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭(3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5 (4)y ′＝(lg x )′＝1x ln10. 例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【知识点：导数的运算】解：''113122211'()22f x x x x ----⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭∴f ′(1)＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.点拨：熟记导数公式，能够应用导数公式求相应函数的导数. ●活动三 认识规律，熟练掌握法则 导数的四则运算法则是什么？（1）[()()]f x g x '±=___________； （2）[()()]__________________f x g x '⋅=； （3）()[]___________________()f xg x '=. 由积的导数运算法则可推出：[()]()cf x cf x ''=．在积、商的导数运算法则中，要注意：一般情况下，[()()]()()f x g x f x g x '''⋅≠⋅，()()[]()()f x f xg x g x ''≠'，不要与[()()]()()f x g x f x g x '''±=±混淆． ●活动四 应用法则，扩充导数公式请利用初等函数的导数和导数的四则运算法则计算下列函数的导数： 1．若()ln f x x x =，则()f x '=_______； 2．若2()x f x x e =，则()f x '=_______.3．若()tan f x x =，则()f x '=_____________；4．若()ln f x x =，则()f x '=_____________. 例3 求下列函数的导数．(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝x 2sin x ；(4)y ＝2tan x ＋3tan x ；(5)y ＝x ·e x ＋ln x . 【知识点：导数的运算】解： (1)y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)先化简，得y ＝－x 12 ＋x －12 ∴y ′＝－12x －12 －12x －32 ＝－x ＋12x x .(3)y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x.(4)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x cos x ＋3cos x sin x ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＋－3sin 2x －3cos 2xsin 2x ＝2cos 2x －3sin 2x .解法2：y ′＝2ta n′x －3tan′x tan 2x ＝tan′x (2－3tan 2x )＝1cos 2x (2－3cos 2x sin 2x )＝2cos 2x －3sin 2x . (5)y ′＝(x ·e x )′＋(ln x )′＝e x ＋x ·e x ＋1x ＝(1＋x )·e x ＋1x . 点拨：熟记导数公式是求导函数的关键.●活动一 什么是复合函数及复合函数求导法则？（1）一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =． （2）复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数的关系为：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例4求下列函数的导数．(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝3ax 2＋bx ＋c ； (3)ax b y e -+=. 【知识点：导数的运算】 解：(1)y ＝u －4，u ＝1－3x .∴y ′＝y ′u ·u ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4·u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(2)y ＝u 13 ，u ＝ax 2＋bx ＋c .y ′＝y ′u ·u ′x ＝13u －23 ·(2ax ＋b )＝13(ax 2＋bx ＋c ) －23 ·(2ax ＋b )＝(2ax ＋b )3ax 2＋bx ＋c 3(ax 2＋bx ＋c ).(3)y ＝e u ，u =－ax +b .，y ′＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(－ax +b )′＝e u ·(－a )＝ax b ae -+-． 点拨：分清函数由哪些函数复合而成，是求复合函数导数的关键. ●活动二 应用新知，解决典型例题例5 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0.例6已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：设切点为(x 0，y 0)，00013131222x x y x x x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝＝－＝－＝－.∵x 0>0，∴x 0＝2.点拨：求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率．(3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．●活动三 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系. （1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f (x )的导函数 （3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一． 3．课堂总结 【知识梳理】（1）基本初等函数的导数公式（2①[()()]'f x g x ±= ；②()()'f x g x =⎡⎤⎣⎦ ； ③()[]'()f xg x = [()0].g x ≠ （3）复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .【重难点突破】（1）运用导数的四则运算法则，可推出以下三个常用结论： ①1212[()()()]()()()n n f x f x f x f x f x f x ''''±±±=±±±；②[()()]()()af x bg x af x bg x '''±=±；③2()1()[()]g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． （2）求复合函数导，一般按以下三个步骤进行：①分解：分解复合函数为基本初等函数，注意适当选择中间变量；②层层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；③作积还原：将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的变量． 利用复合函数求导时，要注意选择合适的中间变量.例如，对于函数41(34)y x =+，可令31u x =+，4y u -=；也可令4(31)u x =+，1y u -=，显然前一种形式更有利于求导．（3）应用导数公式与运算法则求导时，应注意以下三点： ①对幂函数求导时，要将根式、分式化为指数式，以便应用公式； ②对较复杂函数求导时，可考虑“先化简，再求导”，以减少运算量. ③根据函数的结构，合理选择求导公式与运算法则. 4．随堂检测1．已知f (x )＝x 2，则(3)f '=（ ） A ．0B ．2xC ．6D ．9【知识点：导数的运算】 解：C2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是（ ） A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x【知识点：导数的运算】 解：D 3．函数y ＝cos x1－x的导数是（ ） A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x【知识点：导数的运算】 解：C4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C. 2D ．a >0【知识点：导数的运算】 解：B5．设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)，则a =_________.【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：12（三）课后作业基础型自主突破1．给出下列命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝1x，则y′＝－12x；④若3y'=，则y＝3x.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点：导数的运算】解：B2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定【知识点：导数的运算；导数的几何意义】解：B3．若2()24lnf x x x x=--，则()0f x'>的解集为（）A．(0,)+∞B．(1,0)(2,)-+∞C．(2,)+∞D．(1,0)-【知识点：导数的运算】解：C4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 【知识点：导数的几何意义】解：C提示：∵y＝ln x的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝12x＋b得b＝ln 2－1.5．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于（）A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点：导数的运算】解：C6．求下列函数的导数（1）3log y x = （2）31x y x e =+- （3）sin(12)y x =+（4）1ln y x x x=+（5） y ＝2sin x 2(1－2sin 2x4)．【知识点：导数的运算】 解：（1）1ln 3y x '=（2）232ln 2x y x '=+⋅（3）()22cos(1)(12)2cos 1y x x x ''=+⋅+=+ （4）211ln y x x'=+-（5）∵y ＝2sin x 2(1－2sin 2x 4)＝2sin x 2cos x2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．能力型 师生共研7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e【知识点：导数的运算】 解： B8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足()()f x g x ''=，则f (x )与g (x )满足（ ）A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数【知识点：导数的运算】 解： B9．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：14 提示：由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12|x ＝14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a14，可得a ＝14，经检验，a＝14满足题意．10．若函数f (x )＝x m＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和S n 是（ ）A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n【知识点：导数的运算】 解： A探究型 多维突破11．已知1()sin cos ()f x x x x R =+∈，记*21321()(),()(),,()()(,2)n n f x f x f x f x f x f x n N n -'''===∈≥，则122014()()()222f f f πππ+++=____________.【知识点：导数的运算】解：0 提示：2()cos sin f x x x =-，3()sin cos f x x x =--，4()cos sin f x x x =-+，5()sin cos f x x x =+，以此类推，可得出4()()n n f x f x +=，又1234()()()()0f x f x f x f x +++=，所以122014123412()()()503[()()()()]()()0222222222f f f f f f f f f πππππππππ+++=+++++=12．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. （1）求C 上斜率最小的切线方程；（2）证明：曲线C 关于斜率最小时切线的切点对称．【知识点：导数的运算】 解：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0. (2)证明：设(x 0，y 0)∈C ，(x ，y )是(x 0，y 0)关于(2，－12)的对称点，则⎩⎨⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .∵(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6， 整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．自助餐1．下列四组函数中导数相等的是（ ）A ．f (x )＝2与g (x )＝2xB ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos xC ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋4【知识点：导数的运算】 解： D2．设函数22()(0)x a f x a x+=>，若0()0f x '=，则x 0＝（ ）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【知识点：导数的运算】 解： B3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为（ ） A.193 B.103C.133D.163【知识点：导数的运算】 解： B4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是（ ）A.2＋xx 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1【知识点：导数的运算】 解： B5．已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．[0,4π)B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 【知识点：导数的运算】解： D6．（1）已知f (x )＝xe x ＋sin x cos x ，则f ′(0)＝________.（2）已知g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则g ′(1)＝________.【知识点：导数的运算】解：（1）2 ；（2） 24提示：(1)f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＋cos2x ，∴f ′(0)＝1＋1＝2.(2)()(1)[(2)(3)(4)(5)](2)(3)(4)(5)g x x x x x x x x x x ''=-----+---- 所以g ′(1)＝(1－2)(1－3)(1－4)(1－5)＝24.7．设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)f '=______________.【知识点：导数的运算】 解：28．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是_____________ ①2()f x x =，②()x f x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =.【知识点：导数的运算】 解：①③提示： ①中，令00()()f x f x '=，可得：00x =或02x =，故存在“巧值点”.②中，令00()()f x f x '=，可得：0x x e e --=-，显然无解，故不存在“巧值点” ③中，令00()()f x f x '=，可得：001ln x x =，由于ln y x =与1y x=的图像有交点，因此方程有解. 故存在“巧值点”.④中，令00()()f x f x '=，可得：0201tan cos x x =，即：00sin cos 1x x =，显然无解. 故不存在“巧值点”9．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x 的距离，则实数a =_______.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：49提示：曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x的距离为d =-==曲线C 1：y =x 2+a 对应函数的导数为2y x '=，令12=x 得21=x ，所以C 1：y =x 2+a 上的点为)41,21(a +，点)41,21(a +到到直线l :y =x 的距离应为2，所以211|4121|22=+--a ，解得49=a 或47-=a （舍去）. 10．已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，则()f x =____________. 【知识点：导数的运算】解：212x e x x -+ 提示：1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f =，即1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=，得：21()2x f x e x x =-+11．已知11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为函数2()2f x x x a =++（0x <，a R ∈）的图像上的两点,且12x x <.若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为___________.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：1 提示：由题知：()22f x x '=+，且12()()1f x f x ''=-，于是可得：12(22)(22)1x x ++=-，化简得：12114(1)x x =--+，从而21221114(1)x x x x -=++≥+.12．已知二次函数()f x 只有一个零点，且()22f x x '=+. （1）求()f x 的表达式； （2）若()()x f x g x e=，求曲线()y g x =在点(0,(0))P g 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形面积S .【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，又()22f x x '=+，所以1,2a b ==. 即2()2f x x x c =++，又()f x 只有一个零点，故1c =，所以2()21f x x x =++.（2）由（1）知2()21()x xf x x xg x e e++==，所以2222(21)(21)1()()x xx xx x e e x x xg xe e'++-++-'==.故(0)1g'=，又(0)1g=，从而切斜l的方程为1y x-=，即10x y-+=，于是切线l与两坐标轴围成的三角形面积111122 S=⨯⨯=.数学视野微积分学是由牛顿和莱布尼茨在总结了诸多数学家的工作之后，分别独立地创立的.牛顿（Newton，1642—1727），英国数学家，物理学家，天文学家和自然哲学家.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分. 17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，运动的瞬时速度，面积、体积、曲线长度、物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算（微积分基本定理）.牛顿的微积分中有一个重要的基本概念“流数”，流数被定义为可借运动描述的连续量——流量（用,,,x y z表示）的变化率（速度），并用在字母上加点来表示，如,,,x y z.牛顿表述流数术的基本问题为：已知流量间的关系，求它们的流数间的关系，以及逆运算. 牛顿创立微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题.莱布尼茨（Leibniz，1646—1716），德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分学的创始人.莱布尼茨终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法.这种努力导致许多数学上的发现，最突出的是微积分学.莱布尼茨创立微积分主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号（如：d,x⎰等）以及微分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响.。