工程力学-材料力学-第8章 点的合成运动(彭俊文)分解

常见的牵连运动形式即为平移或定轴转动。
动点在相对运动中的速度、加速度称为动点的相对速度、 和 表示。 分别用 相对加速度， 动点在绝对运动中的速度、加速度称为动点的绝对速度 和绝对加速度，分别用 和 表示。 在某一瞬时，动参考系上与动点相重合的一点称为此瞬 时动点的牵连点。
某瞬时牵连点相对于定参考系的速度、加速度称为动点 和 分别用 表示。 的牵连速度、牵连加速度， 例如沿直管OA以等角速度 绕O轴转动，
动点的绝对运动可看成随牵连点经 过路程 到 点，同时又沿动系 移动了一段弧长 ，在瞬时 位于 点。图中 是牵 连位移，是 相对位移， 是 绝对位移。由图中几何关系得
MM MM1 M1M
当 时，取极限
MM1 M 1M MM lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
设刀尖M为动点，动系固定在工件上。则动点M在动系 和定系中的坐标关系为：
x x cos t
y x sin t
将点M的绝对运动方程代入上式中，得：
x b sin t cos t
2
b sin 2 t 2
b y b sin t (1 cos 2 t ) 2
图8-7
（2）分析三种运动和三个速度。 点的绝对运动是以O点为圆心的圆周运动，相对运动是沿 方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕 轴的摆动。 于是，绝对速度的方向与曲柄垂直，大小为 相对速度 牵连速度 向垂直于 的方向沿 是杆 上与点A点重合的那一点的速度，方
运动。
当研究的问题涉及到两个参考系时，通常把固定在地球 上的参考系称为定参考系，简称定系 把相对定系运动的参考系称为动参考系，简称动系 研究的对象是动点 动点相对于定参考系的运动称为绝对运动 动点相对于动参考系的运动称为相对运动 动参考系相对于定参考系的运动称为牵连运动
vr
动系作为一个整体运动着，因此，牵连运 动具有刚体运动的特点
上式左端为动点M的绝对速度，方向沿绝对运动轨迹的切线 方向；等号右端第一项为牵连点（曲线AB上的M点）的速 度，即牵连速度，其方向沿该点轨迹的切线；等号右端第 二项为动点M的相对速度，其方向沿相对运动轨迹AB的切 线方向。由此得
va = ve + vr
（8-2）
即某瞬时动点的绝对速度等于该瞬时动点的相对速度 和牵连速度的矢量和。 这就是点的速度合成定理。 上式表明，动点的绝对速度可以由牵连速度与相对速度 所构成的平行四边形的对角线来确定。这个平行四边形称为
x xO xcos y sin y yO xsin y cos
（8-1）
例8-1 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M沿水平轴x作往复 运动，如图8-5所示。设oxy为定坐标系，刀尖的运动方程为 。工件以等角速度 逆时针方向转动。求车刀在 工件圆端面上切出的痕迹。 解：根据题意，需求车刀刀尖M相 对于工件的轨迹方程。
起始瞬时管与Ox轴重合，如例图8-3所示。 管内的M点以匀速 在某瞬时小球在直管中的M点，这 时牵连速度的大小为 其方向与直管垂直 牵连加速度的大小为 其方向指向O点。
相对于管运动。
定参考系与动参考系是两个不同的参考系，可以利用 坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。以平 面问题为例，设oxy是定系 ,o‫׀‬x‫׀‬y‫׀‬是动系，是动点，如图84所示。 动点M的绝对运动方程为
图8-2所示的直升飞机， 当其匀速垂直上升时， 主旋翼端点相对地面 的运动轨迹是空间的 密圈螺旋线，而相对 机身的运动轨迹为圆 周曲线。在不同的参 考系中不仅是点的运 动轨迹不同，而且所 观测的速度和加速度 也不同。
重物的曲线运动可以看成为两个简单运动的合 成，即: 点相对小车作直线运动，同时随同小车相 对地面作平移。 同样，旋翼上点的螺旋线运动可看成为相对机 身的圆周运动与机身垂直平移的合成。 于是，相对于某一参考系的运动可由相对于其 他参考系的几个运动组合而成，称这种运动为合成
上式就车刀相对于工件的运动方程。
从上式中消去时间t，得刀尖的相对轨迹方程
2 b b 2 x y 2 4 2
8.2 点的速度合成定理
下面研究点的相对速度、牵连速度和绝对速度三者之间的 关系。
设动点M沿着曲线AB运动，动参考系固连于曲线AB上 （图中未画出），曲线又随同动系相对定系运动，如图8-6 所示。 经过 瞬时后，曲线AB移至 新的位置 ，点M沿曲线 运动到 。
速度平行四边形。
在推导速度合成定理时，并未限制动参考系作什么样的运动， 因此这个定理适用于牵连运动是任何运动的情况，即动参考系 可作平移、转动或其他任何较复杂的运动。
例8-2 刨床的急回机构如图8-7所示。曲柄OA的一端A与 滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度 绕固定轴O转动 时，滑块在摇杆 上滑动，并带动摇杆 绕固定轴 摆 动。设曲柄长 ，两轴间的距离 。求当曲柄在水 平位置时摇杆的角速度 。 解：（1）选取动点和动参考系。 本题应选取曲柄端点A为动点，动 系固定在摇杆 上，机架为定系。
x x(t )
x x(t )
y y(t )
y y (t )
动点M的相对运动方程为 动系o‫׀‬x‫׀‬y‫׀‬相当于定系oxy运动可由如下 三个方程完全描述
xO xO (t )
yO yO (t )
(t )
由图8-3可得动系o‫׀‬x‫׀‬y‫׀‬与定系oxy之间的坐标变换关系为
第8章
8.1 8.2 8.3 *8.4
点的合成运动
合成运动的概念 点的速度合成定理 牵连运动为平移的加速度合成定理 牵连运动为转动的加速度合成定理
8.1 合成运动的概念
点的运动特征（运动轨迹、速度、加速度等）与
参考系有密切关系。 例如图8-1所示的桥式起重机， 当卷扬小车水平直线运行时，在 不同的参考系中观察重物（动点） 的运动是不同的。 当以地面为参考系时，点的运 动轨迹是平面曲线，当以小车 为参考系时，点的运动轨迹为 铅垂直线。