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单位根的性质的应用把1的每一个n(n ∈N )次方根叫做n 次单位根，简称单位根．1的n 个单位根表示数学问题时，可以大大地简化解证题过程．下面仅把下文中用到的单位根的性质列举如下：性质1 2110n εεε-++++=,进而可推广为若1n z =且z ≠1，则z 的任意连续n个整数次幂的和为0，本结论可表示为：()110m m m n z z z m ++-+++=∈Z性质2 (),mn k k m k εε+=∈Z下面简要说明单位根性质的应用．一、在复数计算中的应用2．计算：219991232000i i i ++++ (答案：－1000(1＋i))二、在复数证明中的应用例2 求证：二项方程(),0,,1n x z z z n n =∈≠∈>C N 的n 个根的和为零．(注：本题如应用韦达定理证，也较为简单)三、在求三角函数式的值方面的应用练习题：四、在恒等式证明中的应用证明：∵ε是1的七次方根，则71ε=．()()()242456324563434212111εεεεεεεεεεεεεεεεεε+++=+++++=+++++++-+=-+∴原式得证．练习题：x^n=1的根εk=cos(2kπ/n)+i*sin(2kπ/n)，k=0,1,...,n-1,称为n次单位根性质一：n次单位根的模为1，即|εk|=1性质二：两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k 推论1：εj -1=ε-j推论2：εk m =εmk推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr注：它说明εk等价于r=0推论4：任何一个单位根都可以写成ε1的幂，即εk=ε1k说明：除了ε1，还有没有另一个单位根εk使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n次原根。
从而所有n次单位根还可以写作ε1,ε12,…,ε1n(ε0=1)推论5：一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即εk‘=εn-k(‘表示共轭)因为εk‘εk=|εk|2，εk‘=1/εk=ε-k=εn-k (由推论3)注：由上证明看到1/εk=εk‘，说明所有虚的n次单位根都成对共轭推论6：对任意整数k,h，有εk h=εh k性质三：A=1+ε1m+ε2m+…+εn-1m当n|m时，A=n，否则A=0证明：由性质二推论4有A=1+ε1m+(ε12)m+…+(ε1n-1)m=1+ε1m+(ε1m)2+…+(ε1m)n-1=[1-(ε1m)n]/( 1-ε1m)=[1-(ε1n)m]/ (1-ε1m)=(1-1)/ (1 -ε1m)=0推论1：∑(i从0到n-1) εi=0推论2：设εk≠1，则∑(i从0到n-1) εk i=0证明：由εk≠1，故n不整除k，由性质二推论4和性质三，∑(i从0到n-1) εk i=∑(i从0到n-1) εi k=0性质四：全部单位根将复平面上单位圆n等分。
单位根过程1、单位根的定义随机过程{t y ，t = 1，2，....}，若1t t t y y u ρ-=+，其中，ρ= 1，{t u }为一平稳过程，且E （t u ）= 0，cov (t u ，t s u -) =t μ<∞，这里s = 0，1，2，...，称为单位根过程（unit root process ）。
（当然，如果||1ρ<，t y 本身就是平稳过程）特别地，若1t t t y y ε-=+，其中，{t ε}为独立同分布（即白噪声或完全随机），且E （t ε）= 0，D(t ε)=2σ<∞，则{t y }为一随机漫步（游走）（random walk process)。
可以看出，随机游动过程是单位根过程的一个特例。
例9：新建一个年度数据文件：1952~1996，调入book5.5中的一个数据y （我国社会商品零售总额）。
再调入book12中的一个数据，起名y1（我国商品的物价指数）。
其时序图分别表面看Y 和y1的图像很像，实际上，指数不可能无止境上升，因为如果把97、98年及以后的数据放入，就会发现从97年以后开始下滑。
为此，需讨论趋势类型：2、趋势类型确定性趋势模型——趋势平稳时间序列中的趋势有不同的表现形式，如，带趋势的平稳过程t t a b y u t +=+，其中，()f t a b t =+表示时间序列{t y }的确定性趋势（deterministic trend ）。
t y 的期望是时间t 的线性函数，其值在a bt +周围波动。
t u 为一平稳过程。
随机性趋势模型：110t t t t j t y a y a u y t u -==+==+++∑ ， 试比较趋势项：a bt +与0y a t +的不同。
前者a bt +是确定性趋势，序列确实随t 增加而增加；后者时间趋势y 0+a t 是由于不停的递推累加形成的，故不是随着时间的变化而形成一条线，它是一条随机趋势。
单位根检验的基本步骤一、单位根检验是啥呢？单位根检验就像是给一组数据做个小检查，看看这组数据是不是平稳的。
这在经济学、统计学里可老重要啦。
你想啊，如果数据不平稳，就像盖房子的地基不稳，那后面基于这些数据做的分析啥的，可能就会出问题。
二、单位根检验的基本步骤1. 选择合适的检验方法常见的有ADF检验（Augmented Dickey - Fuller Test）。
这就好比你要去一个地方，有好几条路可以走，ADF检验就是其中一条比较常用的路。
还有PP检验（Phillips - Perron Test）等其他方法。
选择的时候要根据数据的特点来，要是数据有趋势，那得选能对付这种有趋势数据的检验方法；要是数据有季节性，那也得考虑这个因素。
2. 确定检验的模型形式有三种模型形式呢。
第一种是不带常数项和趋势项的模型，这种适合那种数据看起来就比较简单，没有什么明显的常数特征或者趋势特征的情况。
就像是一个很单纯的数列，没有什么额外的“装饰”。
第二种是带常数项，不带趋势项的模型。
这就好比数列有个基本的“起点”，有个常数在那儿撑着，但没有上升或者下降的趋势。
第三种是带常数项和趋势项的模型。
如果数据看起来像是有个固定的起点，然后还朝着某个方向有趋势地变化，就像股票价格有时候会有上涨或者下跌的趋势，还有个基本的价格底线，那这种模型就比较合适。
3. 设定检验的显著性水平这个显著性水平啊，就像是一个门槛。
一般我们常用的有0.05或者0.01。
这是什么意思呢？就是说如果我们得到的检验统计量比这个门槛对应的临界值更极端，那我们就可以拒绝原假设。
比如说，显著性水平是0.05，就好像是在说，这件事情只有5%的可能性是巧合，要是超过这个巧合的范围，那我们就认为有问题啦。
4. 计算检验统计量根据我们选择的检验方法和模型形式，把数据代入相应的公式里，就像做数学题一样，算出那个检验统计量。
这个过程可不能马虎，要是数据代错了，那结果肯定就不对啦。
n 次单位根一. 复数的几何表示-----关于模和辐角1. 复数的几何表示(1) 我们可以作为平面上以a 和b 为坐标的点来画出每一个复数α=(a ,b ). 这个用它的点来代表复数平面称为复数平面.对应于数0的坐标原点简称为原点. 在这样的复数表示法下, 横轴上的点代表实数.而纵轴上的点表示纯虚数. 因此横轴称为实轴, 纵轴称为虚轴.(2) 复数还可以用从原点出发的矢量α表示. 在这样的复数表示法下, 实数部分a 与虚数部分的系数b 就称为该矢量的分量.2. 复数加法的几何意义设α和β是两个复数, 于是:和数α+β可以表为它的分量等于矢量α和β的对应分量之和的矢量.也就是说, 数α+β可以用以矢量α与β为相邻边的平行四边形的对角形表示.3. 模与辐角的概念设复数bi a +=α,αα⋅=+=22b a r这个正数r 叫做复数α的模, 记作|α|. 与r 为半径原点为中心的圆周上的点所表示的具有同一个模r. 数0是唯一的以零为模的复数.矢量α的方向是由Ox 轴正方向与该矢量的方向间的交角确定的, 用θ表示. 这个θ称为复数α的辐角. 记作θα=arg . 有:ab =θtan . 对于每一个复数α, 它的辐角可以有无穷多个, 彼此间各差2π的若干倍. 数0是唯一的数, 其辐角没有定义. 我们有θθsin ,cos r b r a ==, 因此).sin (cos sin cos θθθθi r ir r bi a +=+=+4. 关于模和辐角的定理作两个复数)sin (cos ),sin (cos ϕϕλβθθαi i r +=+= 的乘积可得: ))sin()(cos(ϕθϕθλαβ+++=i r . 于是有如下性质:βααββααβarg arg )arg(|,|||||+==就是说, 两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数的乘积的辐角等于它们的辐角之和.把上述的乘积推广到n 个复数的乘积:|;|||||||γβαγαβ =γβαγαβarg arg arg )arg(+++= .特别地, ααααarg )arg(,||||n n n n ==. 我们得到如下的隶莫佛尔公式: )sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+.二. 关于复数的n 次根设)sin (cos θθαi r bi a +=+=, 我们定义n α为一个自乘n 次后等于α的复数. 这个数的模显然等于n r , 它的辐角等于n k πθ2+, 其中k 是任意的整数. 令k=0,1,2，…,n-1, 就得到表达式n α的n 个不同的辐角值; 所以n α按照下列公式有n 个不同的值:)1,...,2,1,0()2sin 2(cos -=+++=n k nk i n k r n n πθπθα. 从几何意义来看: n α的这n 个值显然可以用一个内接于以原点为中心n r 为半径的圆周的正多边形的顶点来表示.特别地, 当α=1时, 上述论述中的r =1，θ=0，于是得到了n 1的n 个值, 即多项式1-n x 的n 个根, 它们称为n 次单位根.三. n 次单位根1. n 1的n 个值)1,...,2,1,0()2sin 2(cos -=+=n k nk i n k k ππξ 就是多项式1-n x 的n 个根, 它们称为n 次单位根.2. n 次单位根的性质(1) 令ni n ππξξ2sin 2cos 1+==, 由上面关于复数辐角的讨论可知: .1,...,2,1,0,2sin 2cos -=+==n k nk i n k k k ππξξ (2) 对于每一个单位根01:12=++++-n k k k k ξξξξ .事实上, 因为)1)(1(112-++++-=-n n x x x x x , 令k x ξ=, 则0)1)(1(112=++++-=--n k k k k n k ξξξξξ .当k ≠0时, ,01≠-k ξ 所以.1,...,2,1,0112-==++++-n k n kk k ξξξ (3) 对于每一个单位根⎪⎩⎪⎨⎧=++++-m 0|1:)1(2不整除当当n m n n m n k m k m k k ξξξξ . 3. n 次单位根的几何解释 由于1的模是1，所以n 次单位根的这n 个值显然可以用一个内接于以原点 为中心1为半径的圆周的正n 边形的顶点来表示. 且1ξξ=的辐角是n π2, 的辐角是k k ξξ=n k π2. 4. 本原单位根n 个n 次单位根12,...,,,1-n ξξξ中, k k ξξ=称为本原单位根, 如果每一个单位根 都可以表示成k k ξξ=的方幂.按照如上定义, 显然ξ是一个本原单位根.k k ξξ=是本原单位根的充要条件是(k , n )=1(互素) .例: 8次单位根中, 本原单位根就是以与8互素的那些小于8的正整数为下标的单位根: 7531,,,ξξξξ, 其中82sin 82cos1ππξi +=.四. n 次单位根的指数表示由复数的Taylor 展式,x i x e ix sin cos +=,所以由i k e k i k πππ22sin 2cos 1=+=.于是nk i n k e e i n k n i k k ππξππ2sin 2cos )(212+===, k=0,1,2….,n-1 满足.1,...,2,1,0,1-==n k n k ξ为多项式1)(-=n x x f 的n 个根.。
单位根的消去定理单位根是复数域上的根号1的解，它在代数方程中起着重要的作用。
单位根的消去定理是数学中一个重要的定理，它在解代数方程的过程中有着广泛的应用。
单位根的消去定理可以帮助我们解决形如x^n = 1的方程，其中n 是正整数。
通过这个定理，我们可以简化方程的求解过程，找到所有满足条件的解。
我们来看一个简单的例子：x^4 = 1。
要解这个方程，我们可以先将1表示成复数域上的指数形式，即1 = e^(i*2kπ)，其中k是整数。
根据单位根的定义，我们知道单位根是复数域上的根号1的解，即x = e^(i*2mπ/n)，其中m和n是整数。
现在我们将方程x^4 = 1代入单位根的定义，得到(e^(i*2mπ/n))^4 = e^(i*2kπ)。
通过化简，我们可以得到e^(i*2mπ) = e^(i*2kπ)。
由于指数函数的周期性，我们知道e^(i*2mπ) = e^(i*2kπ)当且仅当2mπ和2kπ的差是2π的整数倍。
因此，我们可以得到2mπ - 2kπ = 2πp，其中p是整数。
将上述等式化简，我们可以得到m - k = p。
因此，我们可以得到m = k + p，其中p是任意整数。
将m代入单位根的定义，我们可以得到x = e^(i*2(k+p)π/n) = e^(i*2kπ/n) * e^(i*2pπ/n)。
根据单位根的定义，我们知道e^(i*2kπ/n)是方程x^n = 1的解。
而e^(i*2pπ/n)是指数函数的周期性带来的额外解。
因此，我们可以得到x = e^(i*2kπ/n)是方程x^4 = 1的解。
通过单位根的消去定理，我们可以得到x^4 = 1的解为x = e^(i*2kπ/4) = e^(i*kπ/2)，其中k是整数。
这个结果告诉我们，方程x^4 = 1的解是1、i、-1和-i。
通过以上的例子，我们可以看到单位根的消去定理在解代数方程中的重要性。
通过将方程转化为复数域上的指数形式，并利用单位根的定义，我们可以简化方程的求解过程，找到所有满足条件的解。
单位根过程
“单位根过程”是数学中的一个重要概念，是许多数学领域都应用的基础概念和方法。
单位根过程的核心思想是一个复数的一次方差可以写作其一次方的乘积，如z的一次方等
于z*z，z为复数。
这意味着复数中的一次方有一个单位根，即z，它是其本身；以及它的负根，即-z，它是自我相反的数。
负根和正根构成了一个完美的对立体系，这是计算复数
动力学中的基础。
在代数中，单位根过程用于求解等式，特别是多项式方程：通过给定一个等式，然后找出之间的关系，求出代数等式的根，最终得到方程的解。
例如，解x^2-1=0，用单位根过程，根据1和-1的平方的乘积等于-1，可以得出其解为x=1, -1。
此外，单位根过程还可以用于复数函数：例如，如果求函数表达式f(z)的极值点，即求函
数的最大值和最小值，可以通过此单位根过程解析函数，有助于求解函数极值点的位置。
总之，单位根过程是数学中一个重要的概念，它用于多个数学领域：代数，复数函数等，是计算复数动力学中的重要基础。
它可以帮助我们解决复杂的代数问题，比如多项式方程的求解。
同时，它还可以帮助我们求解极值点问题，帮助我们更好地理解数学中的复杂问题。
第二章单位根过程和单位根检验第一节单位根过程从本章开始我们进入时间序列的非平稳分析和建模研究。
前面的章 节的内容主要考虑的是平稳时间序列的建模和预测问题，但对于非平 稳的时间序列，只有先进行差分处理，将其转换为平稳的时间序列模型。
这样会损失部分信息。
本章从理论上介绍非平稳时间序列的性质，讨论非平稳时间序列数据建模的伪回归问题。
非平稳序列的分析建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定 理之上。
若干定义 定义1:（1）白噪声过程（white noise ，如图1 ）。
属于平稳过程Y t =也2 t? iid (0,(T )图3是日元兑美元差分序列（收益序列），近似于白噪声序列。
（2）随机游走过程（random walk ,如图2）。
属于非平稳过程2Y =Y t-i ； t, i ? iid （0,（T ）y t =y o + U i + U 2 + W U tE(y t ) = E(y 0 + U 1+ U 2+1( u 」=y 。
22D(y t ) = D(y o + U i + U 2 + IH+U t ) = E(u i + U 2 + 1 卄 +U t ) = t 八一：随机游走的差分过程是平稳过程（白噪声过程）。
随机游走过程是非平稳的，这是因为CT 2 =1 )心yt =1-1 图1白噪声序列（c/ = 1 ）图2 随机游走序列（20 -220 40 60 80 100 120 140 160 180 200100 120 140 160 180 200 220 240 260 2BC 300定义2:单位根过程随机过程｛y t，t = 1,2,||| ｝是一单位根过程，若y t =y t_i + u t = 1,2|||U t 为一平稳过程，且E(U t)= 0,cov(U t,U t-s)= Ms S= 0,1,2||| 定义3 : 维纳过程维纳过程(Wie ner Process) 也称为布朗运动过程(Brow nianMoti on Process) 。
