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圆的周长和面积（一）单元教育目标1、经过操作，认识圆的周长与直径的比为定值；探究并掌握圆的周长和面积公式，能运用公式解决简单的问题。
2、在察看、操作、推理活动中，发展合情推理能力，能进行有条理地思虑，能比较清楚地表达自己思虑的过程与结果。
3、能探究剖析和解决问题的有效方法，能表达解决问题的思路和方法，加强应企图识，提升实践能力。
4、踊跃参加数学活动，获取探究同面积公式的经验，在运用圆周长和面积知识解决问题的过程中，认识数学的价值。
（二）单元教材说明本单元内容是在学生认识了圆，掌握了长方形、平行四边形、三角形等面积计算公式，拥有必定探究面积公式经验的基础上学习的。
主要内容有：探究圆的周长公式，解决和圆周长有关的实质问题，探究圆的面积公式，解决和圆面积有关的实质问题，环形面积。
圆的周长和面积是小学阶段图形与几何部分的重要内容，《数学课程标准》提出的详细要求是：经过操作，认识圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探究并掌握同的面积公式，并能解决简单的实质问题。
解读课程内容的上述要求，第一突出了数学学习的操作性和探究性，重申让学生经历探究圆周长和面积公式的过程。
此外，突出数学的应用，重申停决简单的实质问题。
本单元教材在设计思想和内容编排上有以下特色：1、让学生经历圆周长和圆面积公式探究的全过程。
圆的周长和面积公式是本单元的中心知识点和研究解决问题的生长点，让学生经历圆周长和面积公式的形成过程，有益于学生理解、掌握计算公式，并获取建构数学模型的活动经验。
教材在安排探究圆的周长和面积公式时，都设计了四个层面的活动。
让学生经历由个别到一般，由感性经验到理性推导的全过程。
（1）探究圆的周长的过程有以下四步：第一，让学生利用转动法、环绕法等自主丈量硬币的周长，并计算周长除以直径，一方面获取丈量圆的周长的活动经验，另一方面获取周长除以直径的个体数据。
第二，小组合作，分别丈量三个大小不一样的圆形物件的周长和直径，并计算周长除以直径，为概括圆周率供给数据。
第四单元圆的周长和面积第3课时圆的面积（1）教学目标：l、经历估算和小组合作操作、讨论等探索圆的面积公式的过程.。
2、理解并掌握圆的面积公式,能运用公式正确进行计算.。
3、体验推导圆面积公式时的探索性和结论的确定性,感受转化的数学思想和方法.。
教学重点：通过观察操作,推导出圆面积公式及圆的面积的应用.。
教学难点：转化思想的渗透与圆面积公式的推导过程.。
教具学具准备：半径为10厘米的圆纸片、剪刀、半圆仪、直尺教学方法教学过程一、复习l、已知r,周长的一半怎样求?2、用手中的三角板拼三角形,长方形、正方形、平行四边形等,并说出这些图形的面积计算公式.。
(以上这些图形都是通过剪拼,转化成已学过的图形,再进行推导.。
那么圆是否也可以把它剪拼转化成为熟悉的平面图形呢?）二、新课（一）预习设计：1、预习书上第47页～第49页内容.。
2、自学例1,先估算飞镖的面积,再计算飞镖的面积.。
3、探究48页例2内容,想一想平均分的份数越多,拼出的图形会怎么样？拼出的长方形和圆有什么关系？能自己推导出圆的面积吗？4、尝试用公式计算飞镖板的面积.。
5、在预习中遇到的疑难问题及时记录下来,在课堂中进行交流.。
（二）提出问题：什么是圆的面积?(出示纸片圆,让学生摸一摸)圆所占平面大小就叫做圆的面积.。
（三）动手操作:1、分小组动手操作,把圆剪拼转化成其他图形,看谁拼得好,拼出的图形多.。
操作引导:(1)剪——怎样剪?剪成几份?(2)拼——怎样拼?拼成什么?2、展示交流并介绍,选出最合理的剪法.。
3、拼成后的近似长方形和标准长方形比较,你发现了什么?能不能把边再变得直一点?想象一下,平均分成64份、128份、256份会是什么情形?4、小结:平均分的份数越多,边越直,拼成的图形越接近于长方形.。
若分的分数越多,这个图形越接近长方形.。
（四）自主推导1、小组合作,选择喜欢的1~2个图形,尝试推导公式.。
2、学生展示、介绍自己的推导过程.。
新人教版六年级上册《第4章圆》单元测试卷（1）一、填空1. 一个圆形桌面的直径是2米，它的面积是________平方米。
2. 已知圆的周长c，求d=________，求r=________．3. 一个圆的半径扩大2倍，直径扩大________倍，周长扩大________倍，面积扩大________倍。
4. 环形面积S=________．5. 用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是________厘米，画出的这个圆的面积是________平方厘米。
6. 大圆半径是小圆半径的4倍，则大圆周长是小圆周长的________倍，小圆面积是大圆面积的________倍。
7. 圆的半径增加1，圆的周长增加________，圆的面积增加________．48. 一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的面积是________平方分米。
9. 将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长10厘米，这个长方形的面积是________平方厘米。
10. 在一个面积是16平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是________平方厘米；再在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是________平方厘米。
11. 大圆半径是小圆半径的3倍，大圆面积是84.78平方厘米，则小圆面积为________平方厘米。
12. 大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是________平方厘米。
13. 鼓楼中心岛是半径10米的圆，它的占地面积是________平方米。
14. 小华量得一根树干的周长是75.36厘米，这根树干的横截面大约是________平方厘米。
15. 一只羊栓在一块草地中央的树桩上，树桩到羊颈的绳长是3米。
这只羊可以吃到________平方米地面的草。
16. 一根2米长的铁丝，围成一个半径是30厘米的圆，（接头处不计），还多________米，围成的面积是________．17. 用一根10.28米的绳子，围成一个半圆形，这个半圆的半径是________，面积是________．18. 从一个长8分米，宽5分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是________．19. 大小两个圆，大圆半径等于小圆的直径，那么大圆面积是小圆面积的________．20. 一个圆的周长扩大3倍，面积就扩大________倍。
2021——2022学年度第一学期冀教版六年级数学第四单元圆的周长和面积爬坡题例1：有一个半圆型的零件（如图）它的周长是多少？解析：通过观察半圆可知，半圆的周长=圆周长的一半+直径。
圆周长=πd，则圆周长的一半=πd÷2，半圆的周长=πd÷2+d或πr+d，把直径8带入，圆周长的一半=3.14×8÷2，半圆的周长=3.14×8÷2+8。
答案：3.14×8÷2+8=25.12÷2+8=12.56+8=20.56（厘米）答：它的周长是20.56厘米。
例2：将两个半径分别为3厘米，5厘米的半圆如下图放置，求涂色部分的周长？解析：由图意可知阴影部分的周长包括四部分，即圆O1周长的一半+圆O2周长的一半+线段C O1+线段AB=阴影部分的周长。
即2×3.14×3÷2+2×3.14×5+3+（5×2-3）答案：2×3.14×3÷2+2×3.14×5+3+（5×2-3）=9.42+15.7+3+7=35.12（厘米）例3：一个座钟的分针长10厘米，经过45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？解析：由题意可知分针的长度是分针的尖端走一圈所在圆的半径。
因为分针走一圈是60分钟，而分针经过45分钟走了整个圆的45÷60=43，所以根据圆的周长公式C=2πr ，求出分针走一圈的路程，进而求出经过45分钟后走过的路程。
答案：3.14×10×2÷（45÷60）=3.14×20×43 =47.1（厘米）答：这根分针的尖端所走的路程是47.1厘米。
例4：求下面阴影部分的面积。
解析：从图中可以看出阴影部分的周长包括两部分，即半圆的周长和一个以半圆的半径为直径的圆的周长。
小学六年级人教版数学上册第四单元《圆》知识点汇总第四单元圆一、基本概念1、圆心一个圆最中心的那一点，用大写字母O 表示(1) 圆心决定圆的位置。
(2) 圆心到圆上任意一点的距离都相等。
(3) 一张圆形纸片至少对折两次，就能找到圆心。
2、半径圆心到圆上任意一点的线段，用小写字母r 表示(1) 半径决定圆的大小。
(2) 在同一个圆里面，半径都相等。
(3) 在同一个圆里面，半径有无数条。
(4) 半径是直径的一半，即d 21r =3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段，用小写字母d 表示(1) 在同一个圆里面，直径都相等。
(2) 在同一个圆里面，直径有无数条。
(3) 直径是半径的两倍，即r 2d =(4) 在一个正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长(5) 在一个长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽二、使用圆规的步骤1、先确定圆心的位置和半径。
(1) 轴对称图形中，两条对称轴的交点就是中心点(2) 如果知道直径，那么直径的一半就是半径2、用直尺量出两脚之间的距离为半径。
(1) 量好后不能再改变两脚之间的距离3、把针尖放在圆心位置，保持针尖不动，旋转另一只脚一周，即可画出指定的圆。
(1)如果旋转圆规一周不顺手，可以保持圆规不动，旋转纸一周。
(2)如果旋转一周画出来的线条不清晰，可以多旋转几周加深线条。
三、轴对称图形1、轴对称图形沿对称轴对折之后，两边可以完全重合。
2、常见的轴对称图形以及它们的对称轴条数：(1)只有一条对称轴的图形：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆(2)有2条对称轴的图形：长方形(3)有3条对称轴的图形：等边三角形(4)有4条对称轴的图形：正方形(5)有无数条对称轴的图形：圆、圆环【圆的对称轴就是直径】四、周长与面积1、圆周率ππ是一个无限不循环小数，一般取3.14π≈。
我国数学家祖冲之是第一个把圆周率算出来的人。
2、圆的周长(1)圆的周长用大写字母C 表示，计算公式是πd πr 2C ==即圆的周长等于两倍的π乘以半径，也等于π乘以直径(2) 半圆的周长半圆的周长等于半个圆的周长加上直径，即r 2πr +3、圆的面积圆的面积用大写字母S 表示，计算公式是2πr S =4、周长与面积的关系(1) 在同一个圆中，半径扩大或缩小几倍，直径和周长就扩大或缩小几倍，而面积扩大或者缩小这个倍数的平方倍，例如：在同一个圆内，如果半径扩大3倍，那么直径和周长就扩大3倍，面积扩大9倍。
第四单元圆的周长和面积■教材分析本单元内容是在学生认识了圆，探索并掌握了长方形、平行四边形、三角形等面积计算公式的基础上学习的。
主要内容有：探索圆的周长公式、圆的面积公式，解决问题。
圆的周长和面积是《标准》“空间与图形”领域的重要内容，具体目标是：探索并掌握圆的周长和面积公式，强调让学生经历探索圆周长和面积公式的过程并学习基本的数学思想和方法，娟数学活动经验。
本单元在内容安排和活动设计上有以下特点。
第一，让学生利用滚动法、缠绕法等自主测量硬币和圆形纸片的周长和直径，通过观察、估算测量的数据，初步感受圆朋长与直径的关系，获得测量圆的周长和直径的活动经验。
第二，小组合作，测量三个大小不同的圆的周长和直径，并计算月长除以直径的值。
为归纳圆周率积累素材，体验探索方法。
作的基础上，通过想象得出：平均分的份数越多，拼成的图形越像长方形。
第四，讨论“拼成的长方形和圆有什么关系”，进而总结出圆的面积公式。
在这个探索活动中，让学生把圆转化成长方形的过程中，体会了转化思想和极限思想，经历圆的面积公式探索的全过程。
重视数学与生活的联系，发展应用意识。
本单元教材注意选择学生熟悉的、现实的问题情境和活动，使学生感受数学与生珊密切联系，获得运用数学解决问题的成功体验，提高学生解决问题的能力，发展应用意识。
如，探索圆的周长公式时，教材创设了“全家骑不同型号自行车去郊游”的情境，让学生结合已柏生活经验，在讨论“车轮转动一周，谁的车走得远”的过程中，理解圆周长的概念，初步感受车轮周长与直径的关系，体会数学与生活的密切联系，感受数学就在自己的身边。
再如探索圆的面积公式时，设计了“计算圆形草坪需要多少草皮”“水缸的木盖需要多大”“给圆桌选择台布”等实际问题。
这些问题的设计，既加强了数学与现实世界的联系，也突出了数学的应用价值。
让学生在解决实际问题的过程中，形成解决问题的能力，促进学生发展数学的应用意识。
教学目标1．通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值；探索并掌握圆的周长和面积公式。
第四单元圆的周长和面积第4课时圆的面积（2）教学目标：l.结合具体情景,经历运用圆的面积公式解决生活中的简单实际问题。
2.能灵活运用圆的面积公式解決简单的实际问题。
3.感受数学与生活的密切联系,培养数学应用意识。
教学重点培养运用知识的能力。
教学重难点：培养运用知识的能力教具学具准备：半径为10厘米的圆纸片、剪刀、半圆仪、直尺教学方法。
教学过程：一、复习1、思考:(1)圆的周长和面积公式(2)计算：A花坛的半径是10米,这个花坛的面积是多少平方米?B花坛的直径是20米,这个花坛的面积是多少平方米?C花坛的周长是62.8米,这个花坛的面积是多少平方米?二、新课例3.某公司要在办公大楼前建一个圆形草坪,计划草坪直径为11米,算一算需要多少平方米草皮?(得数保留整数)(学生说出自己的见解) 3.l4×(ll/2)²=3.l4×30.25≈95(平方米)答:大约需要95平方米草皮。
(教师指名板演)练习:已知花坛的直径是20米,求圆形花坛的面积例4.要给水缸加一个木盖,木盖的直径要比缸口直径长10厘米,木盖的面积是多少?(学生交流看法,并独立计算)师找学生板演。
90+l0=l00(厘米)3.l4×(l00÷2)2=3.l4×2500=78502cm答：木盖的面积是7850平方厘米。
练习:已知花坛的周长是62.8米,求圆形花坛的面积。
(提示:先求半径,又用面积公式)四、布置作业教材第5l页练一练相关习题。
五、课堂小结通过本堂课的学习，了解了圆的面积的求法。
板书设计：圆的面积（2）例3 3.l4×(ll/2)²=3.l4×30.25≈95(平方米) 答:大约需要95平方米草皮。
例4 90+l0=l00(厘米)3.l4×(l00÷2)2=3.l4×2500=78502cm答：木盖的面积是7850平方厘米。
第四单元圆的周长和面积
例1：有一个半圆型的零件（如图）它的周长是多少？
解析：通过观察半圆可知，半圆的周长=圆周长的一半+直径。
圆周长=πd，则圆周长的一半=πd÷2，半圆的周长=πd÷2+d或πr+d，把直径8带入，圆周长的一半=3.14×8÷2，半圆的周长=3.14×8÷2+8。
答案：3.14×8÷2+8
=25.12÷2+8
=12.56+8
=20.56（厘米）
答：它的周长是20.56厘米。
例2：将两个半径分别为3厘米，5厘米的半圆如下图放置，求涂色
部分的周长？
解析：由图意可知阴影部分的周长包括四部分，即圆O1周长的一半+圆O2周长的一半+线段C O1+线段AB=阴影部分的周长。
即2×3.14×3÷2+2×3.14×5+3+（5×2-3）
答案：2×3.14×3÷2+2×3.14×5+3+（5×2-3）
=9.42+15.7+3+7
=35.12（厘米）
例3：一个座钟的分针长10厘米，经过45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？
解析：由题意可知分针的长度是分针的尖端走一圈所在圆的半径。
因为分针走一圈是60分钟，而分针经过45分钟走了整个圆的45÷60= 3，所以根据圆的周长公式C=2πr，求出分针走一圈的路程，进而求4
出经过45分钟后走过的路程。
答案：3.14×10×2÷（45÷60）
3
=3.14×20×
4
=47.1（厘米）
答：这根分针的尖端所走的路程是47.1厘米。
例4：求下面阴影部分的面积。
解析：从图中可以看出阴影部分的周长包括两部分，即半圆的周长和一个以半圆的半径为直径的圆的周长。
半圆的周长包括两部分，圆周长的一半和一条直径，即 3.14×12÷2+12=30.84（厘米），小圆的周长=3.14×（12÷2）=18.84（厘米），然后把两部分相加即可。
答案：3.14×12÷2+12+3.14×（12÷2）=49.68（厘米）。
答：阴影部分的周长为49.68厘米。
例5：一个半圆的周长是15.42厘米，这个半圆的直径是多少厘米？
解析：从图中可以看出半圆的周长包括两部分，即圆周长的一半+直径。
设圆的直径为a，则半圆的周长=πa÷2+a=a×(π÷2+1)，把半圆的周长代入，即可求出直径。
答案：a×(π÷2+1)=15.42
a×2.57=15.42
a=15.42÷2.57
a=6
答：这个半圆的直径是6厘米。
例6：:用塑料绳把4个底面直径为8厘米的啤酒瓶捆扎在一起（如图）捆两圈至少需要多少厘米的绳子？（接头处用20厘米）
1圆解析：根据图形分析：捆一圈所需要的绳长是四个直径的长+4个
4周长+接头部分的长，也就是四个直径的长+圆周长+接头部分的长，据此列式解答即可。
解答：8×4+3.14×8+20
=32+25.12+20
=77.12（厘米）
答：需要绳子77.12厘米。
例7：一个正方形养鱼池边长是20米，中间有一个圆形小岛，半径4米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？
解析：从问题入手养鱼池水域的面积
=正方形鱼池的面积—中间圆形小岛的面积。
即根据正方形的面积=边长×边长求出正方形鱼池的面积，20×20=400（平方米），根据圆的面积公式=πr 2求出小岛的面积，
3.14×42=50.24（平方米），然后用正方形鱼池的面积—中间圆形小岛的面积，即可400-50.24=349.76（平方米）。
答案：20×20—3.14×42=349.76（平方米）
答：这个养鱼池的水域面积是349.76平方米。
例8：如图1：一个正方形的面积是10平方米，在它里面画一个最大的圆，求圆的面积？
图1 图2 图3
解析：由图可知在一个正方形里画一个最大的圆，
那么最大圆的直径就是正方形的边长。
解法一：如图2，根据圆面积的公式s=πr 2，即要求圆的面积，应先求出圆的半径，因为d=2r=a ，所以r=2a
，则圆面积S=3.14×2a
×2a
，
把正方形的面积10代入直接即可求出。
答案：S=3.14×2a ×2
a =3.14×a2÷4
=3.14×10÷4
=7.85（平方米）。
解法二：如图3，把正方形平均分成4份，每份的面积就是10÷4=2.5（平方米）
而每一份都是一个边长为r的正方形，它的面积是r2，所以r2=10÷4=2.5（平方米）根据圆的面积s=πr2即可求出圆的面积，
s=3.14×（10÷4）
=7.85（平方米）
例9：用三根长31.4厘米的铁丝，分别围成正方形、长方形和圆，
这三个图形的面积谁大？
解析：根据题意先把三个图形的面积求出来再比较。
根据正方形周长公式=边长×4，那么边长=周长÷4=31.4÷4=7.85厘米，面积是7.85×7.85=61.6225（平方厘米）；围成长方形时，长和宽的差距越小，
面积越大，因此围成正方形的面积总比围成的长方形面积大；如果围成圆，圆的面积=3.14×(3.14÷3.14÷2)=78.5(平方米)
答案：31.4÷4=7.85 7.85×7.85=61.6225（厘米）3.14×(3.14÷3.14÷2)=78.5(平方米) 78.5＞61.6225，所以当正方形、长方形和圆的周长相等的情况下，圆的面积最大。
例11：下右图是一块长20米，宽15米的长方形草地，在ABC（C在草地的中央）三点各用一根长4米的绳子栓一只羊。
这三只羊最多各能在多大面积的草地上吃草？
解析：从问题入手，要想求出这三只羊最多各能在多大面积的草地上
吃草，要先判断这三只羊吃草时所形成的图形的形状。
如下图：
点A的羊所形成的吃草的形状是以4米长的绳子为半径的圆的面积的1；点B的羊所形成的吃草的形状是以4米长的绳子为半径的半圆的4
面积：点C的羊所形成的吃草的形状是以4米长的绳子为半径的圆的面积。
根据圆的面积公式S=πr2求出各自的面积即可。
解答：点A的羊所吃到的面积： 3.14×42÷4=12.56（平方米）；点B的羊所吃到的面积： 3.14×42÷2=25.12（平方米）；点C的羊所吃到的面积：3.14×42=50.24（平方米）。
答：点A的羊能在12.56平方米的草地上吃草；点B的羊能在25.12平方米的草地上吃草；点C的羊能在50.24平方米的草地上吃草。
例12：如图，阴影部分的面积是50平方厘米，求环形的面积？
解析：从图中可以看出阴影部分的面积=大正方形的面积—小正方形的面积。
大正方形的边长是外圆的半径，小正方形的边长是内圆的半径。
由此可得，阴影部分的面积=R2-r2。
然后根据环形的面积公式
S=π（R2-r2）即可求出环形的面积。
解答：3.14×50=157（平方厘米）。
答：环形的面积是157平方厘米。
例13：求阴影部分的面积
解析：给图添加辅助线，如下图。
把右下边的阴影部分①补到左下边②的位置，把右下边的阴影部分③补到左上边④的位置，这样求阴影部分的面积就相当
1圆的面积，减去底是4厘米，高是4厘米的三于求半径是4厘米的
4
角形的面积，然后根据圆与三角形的面积公式解答即可。
3.14×42÷4-4×4÷2
=12.56-8
=4.56（平方厘米）
例14：求阴影部分的面积。
解析：从图中可以看出用大正方形的面积-空白部分的面积=阴影部分的面积。
大正方形中4个空白部分可以组合成一个以大正方形边长为直径的圆。
因此求阴影部分的面积列式为。
解答：2×2-3.14×（2÷2）２
=4-3.14
=0.86（平方厘米）。
