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2015年广东省高考数学冲刺压轴理科试卷(3)及答案

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2015年高考冲刺压轴卷·广东卷数学（理卷三）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：①体积公式：1=,=3V S h V S h⋅⋅柱体锥体，其中V S h，，分别是体积，底面积和高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2015·广东省揭阳市二模·1）已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是（ ）A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈2．（2015·广东省茂名市二模·2）复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是（ ）．A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--3．（2015·广东省深圳市二模·3）下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是（ ）A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =4．（2015·广东省湛江市二模·3）随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（ ）．A ．37B ．34 C ．3 D ．45．（2015·广东省汕头市二模·5）6．（2015·广东省佛山市二模·5）已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x7．（2015·广东省肇庆市三模·6）设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ） A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 8．（2015·广东省广州市二模·6）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）ABC ．3D ．2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中第13题第一问2分，第二问3分．（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（2015·广东省揭阳市二模·10）6展开式中的常数项为 ． 10．（2015·广东省茂名市二模·11）如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ．11．（2015·广东省深圳市二模·9）不等式|1||2|5x x ++-≤的解集为 ． 12．（2015·广东省汕头市二模·12）13．（2015·广东省广州市二模·13）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．14．（2015·广东省惠州市二模·14）（极坐标与参数方程选做题）若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则PF 等于______．15．（2015·广东省揭阳市二模·15）（几何证明选讲选做题）如图，点P 在圆O 的直径AB 的延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD 的长为 ．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分）16．（2015·广东省茂名市二模·16）（本小题满分12分）已知函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωA x A x f 图象的一部分如图所示．（1）求函数)(x f 的解析式； （2）设]0,2[,πβα-∈，1310)3(=+παf , 56)253(=+πβf ,求sin()αβ-的值．17．（2015·广东省深圳市二模·17）（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．P-中，18．（2015·广东省湛江市二模·18）（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD0⊥，，==⊥DC=PD．AD平面DC，且,ADAB1BCD45∠2ABCD=CDAB//,AM//平面;（1）若点M是PD的中点，证明：PBC（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B 的余弦值．19．（2015·广东省汕头市二模·19）．20．（2015·广东省佛山市二模·20）（本小题满分14分）已知椭圆E ：)0( 12222>>=+b a by a x过点（0, －2），且离心率为35． （1）求椭圆E 的方程；（2）如图3，ABD 是椭圆E 的顶点，M 是椭圆E 上除顶点外的任意一点，直线DM 交x 轴于点Q ，直线AD 交BM 于点P ，设BM 的斜率为k ，PQ 的斜率为m ，求动点N （m , k ）轨迹方程．21．（2015·广东省肇庆市三模·21）（本小题满分14分）已知函数xx m mx x f 2ln )2()(-+-=（R m ∈），x x x g )1l n ()(+=．（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）是否存在0<m 时，对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2015年高考冲刺压轴卷·广东卷数学（理卷三） 参考答案与解析1．D【命题立意】考查元素与集合的关系，容易题.【解析】 31,x k k Z =-∈，由113-=-k ，则0=k ，∴A ∈-1； 由1113-=-k ，则4=k ，∴A ∈-11； 由1323-=+k k ，12-=不成立；由13132-=-k k ，解得0=k 或1=k ，满足条件，2．B【命题立意】考查复数的几何意义，复数的运算．容易题． 【解析】 i ii -=+=-111113，∴复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是)1,1(-． 3．B【命题立意】本题考查了函数的单调性,要求熟练掌握常见函数的单调性．【解析】2x y =在闭区间]1,1[-上为非单调函数，∴A 错误，x y 2=是]1,1[-上单调递增的函数． x y 2log =在[1,0]-无定义域，所以C 错误，x y 2sin =在闭区间]1,1[-上为非单调函数．故选B ． 4．A【命题立意】本题考查随机变量服从正态分布的概率算法．【解析】因为)4,3(N ，)2()32(+>=-<a P a P ξξ，所以6232=++-a a ，因此37=a ． 5．C【命题立意】本题考查的知识点是线性规划．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．由z=y-ax 得y=ax+z ，即直线的截距最大，z 也最大．若a=0，此时y=z ，此时，目标函数只在A 处取得最大值，不满足条件，若a ＞0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＞0，要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z 与直线2x-y+2=0平行，此时a=2，若a ＜0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＜0，要使z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z 与直线x+y-2=0，平行，此时a=-1， 综上a=-1或a=2，故选C 6．C【命题立意】本题旨在考查双曲线的几何性质．【解析】可用筛选法．双曲线的右焦点到左顶点的距离为a ＋c ，右焦点到渐近线b y x a=±距离为b ，所以有：a ＋c ＝2b ，由430x y ±=得43y x =±，取a ＝3，b ＝4，则c ＝5，满足a ＋c ＝2b ． 故选：C 7．D【命题立意】此题考查等比数列的性质，运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值． 【解析】由258a +a =0，得到352a =q =-8a ，故选项A 正确；解得：q=-2，则n+1na =q =-2a ，故选项C 正确； 则515313a [1-(-2)]S 111+2==a [1-(-2)]S 31+2，故选项B 正确； 而n+11n+1n+1n n1n a [1-(-2)]S 1-(-2)1+2==a [1-(-2)]S 1-(-2)1+2，所以数值不能确定的是选项D ．故选D 8．B【命题立意】考查圆锥的性质，最值，中等题.【解析】由题意，圆锥侧面展开图为如图的扇形，半径为3，圆心角为3π， 在VAC ∆中，因为1=VC ，=VA 32π，3=VA ，由余弦定理得7)21(13213222=⨯⨯⨯-+=AC.9．160-【命题立意】考查二项式定理，容易题. 【解析】依题意，r r rr r rrrr x C xx C T ---+⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-=3666612)1()1()2()1(，令03=-r ，3=∴r ，∴展开式中的常数项为1602)1(3633-=⋅⋅-C .10．7【命题立意】考查程序框图，直到型循环，容易题． 【解析】当2=x ，执行1322=-=x ，321=+=x ；当2=x ，执行5323=-=x ，725=+=x ，终止循环，故输出的值为 7．11．[]2,3-【命题立意】本题考查了绝对值不等式的解法． 【解析】令x+1=0，得x=-1,令x-2=0，得x=2，则当x ≥2时，不等式等价为125x x ++-≤，即26x ≤，解得3x ≤，此时23x ≤≤． 当12x -<<时，不等式等价为125x x +-+≤，即35≤，此时12x -<<． 当1x ≤-时，不等式等价为(1)(2)5x x -+--≤，即2x ≥-，此时21x -≤≤-． 综上23x -≤≤,故答案为:[]2,3-． 12．1314【命题立意】本题旨在考查余弦定理，两角和差的正余弦公式． 【解析】在△ABC中，∵cos ∠ADC=17，sin ADC ∴∠====，则cos ∠BAD=cos （∠ADC-∠B ）=cos ∠ADC•cosB +sin ∠ADC•sinB=1113727214=⨯+=．故答案为1314． 13．5-【命题立意】考查向量的数量积，平面向量的坐标运算，中等题.【解析】由题意知，以A 为起点，其余顶点为终点的向量1a ，2a ，3a 分别为AB ，AC ，，以C 为起点，其余顶点为终点的向量1c ，2c ，3c 分别为CD ，CA ，CB ，建立如图的直角坐标系， ①当1=i ，2=j ，1=s ，2=t 时，5)]1,1()0,1[()]1,1()0,1[()()(-=--+-∙+=+∙+t s j i a a a a ；②当1=i ，2=j ，1=s ，3=t 时，3)]1,0()0,1[()]1,1()0,1[()()(-=-+-∙+=+∙+t s j i a a a a ；③当1=i ，2=j ，2=s ，3=t 时，4)]1,0()1,1[()]1,1()0,1[()()(-=-+--∙+=+∙+t s j i a a a a ；④当1=i ，3=j ，1=s ，2=t 时，3)]1,1()0,1[()]1,0()0,1[()()(-=--+-∙+=+∙+t s j i a a a a ；同理，当t s j i ,,,取其它值时，5)()(-=+∙+t s j i a a a a 或4-或3-，所以)()(t s j i a a a a +∙+的最小值为5-.14．4【命题立意】本题考查参数方程化普通方程及抛物线的性质．【解析】抛物线为24y x =，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即距离为4．15 【命题立意】考查切割线定理，三角形相似，中等题.【解析】依题意，3==OB PB ，PC 切圆O 于C ，30=∠∴，由切割线定理得27333)2(222=⨯==+⋅=OB OB PB PB PC ，即33=PC ，AB CD ⊥ ，233=∴CD ． 16．（1）)631sin(2)(π+=x x f （２）6533-【命题立意】考查函数)sin(ϕω+=x A y 的图象性质，根据图象求解析式，三角恒等变换，中等题．【解析】（1）由图象可知2=A ，,2921143πππ=-=T ωππ26==∴T 31=∴ω． )631sin(2)(π+=∴x x f ．（2）∵10(3)2sin()2cos ,213f παπαα+=+==∴5cos 13α=， 又∵56sin 2)sin(2)253(=-=+=+βπβπβf ∴53sin -=β， ∵]0,2[,πβα-∈，,1312)135(1cos 1sin 22-=--=--=∴αα 54)53(1sin 1cos 22=--=-=ββ．∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-.6533)53(13554)1312(-=-⨯-⨯-=17．(1)1,3,6;(2)37 ;(3) 45E ξ= 【命题立意】本题主要考查分层抽样，排列组合，古典概型，二项分布等知识，考查学生读取图表，数据处理的能力．【解析】（1）∵30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车，非电动小汽车和竞价的人数占总数的比例分别为：50150010=，150350010=，300650010=， 则抽取10人中摇号电动小汽车，非电动小汽车和竞价的人数分别为110110⨯=，310310⨯=，610610⨯=． （2）由题意知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为300106500⨯=人， ∴4人中恰有2人有竞价申请意向的概率为226441037C C C =． （3）n=4，则ξ的取值可能为0,1,2,3,4．∵用样本估计总体，任取1人，其摇号电动小汽车意向的概率200110005P ==, ∴ξ服从二项分布，即1(4)5B ξ，．则04414256(0)()()55625P C ξ===,113414256(1)()()55625P C ξ===, 22241496(2)()()55625P C ξ===,3341416(3)()()55625P C ξ===,44411(4)()5625P C ξ===,则ξ的分布列为：ξ的数学期望为：455E np ξ==⨯=．18．（1）略，（2）21【命题立意】本题考查线面位置关系，及面面夹角问题．【解析】（1）证明：取PC 的中点N ，连结MN ，NB ，在PDC ∆中，MN 是中位线，所以MN//DC ，且MN=21DC ，由题意AB=1，CD=2可得AB=21CD ，且AB//DC ， 所以AB//MN,所以四边形ABNM 是平行四边形，所以AM//BN ， 又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ，所以AM//平面PBC ； （2）连结BD ，由题意可知∆BAD 为等腰三角形，所以,450=∠BDC 有题设045=∠BCD ，所以CB ⊥BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，又PD BD=D ， 所以BC ⊥平面PBD ，所以BC ⊥PB ，所以∆ PBC 是直角三角形，且BC=BD=2，221=⋅=∆PB BC S PBC ，所以PB=2，PD=2，建立如图空间直角坐标系D-xyz ，则B （1,1,0），C （0,2,0），)2,0,0(P ，)2,2,0(),2,1,1(-=-=PC PB ，设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PC n n ，即⎩⎨⎧=-=-+02202z y z y x ，令1=y 则,2,1==z x ，所以平面PBC 的一个法向量为)2,1,1(=，又平面PDC 的一个法向量为：)0,0,1(=，则21,cos >=<，显然二面角B-PC-D 为锐角，故所求的余弦值为21． 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【命题立意】本题考查了累乘发球数列的通项公式及数学归纳法证明有关数列的不等式．【解析】20．（1）22194x y+=;（2）6320x y--=【命题立意】本题旨在考查椭圆方程的求法以及动点的轨迹方程．【解析】21．（1）当0≤m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； 当20<<m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）； 当2=m 时，)(x f 的单调增区间为（0，+∞）； 当2>m 时，)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）． （2）（-∞，0）．【命题立意】本题考查的是利用导数求函数的单调区间以及恒成立问题，考查了分类讨论思想．【解析】（1）函数xx m mx x f 2ln )2()(-+-=的定义域为（0，+∞）．22)1)(2(22)(xx mx x x m m x f --=++-='， （1分） ①当0=m 时，令0)(='x f ，解得1=x ．当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （2分） ②当0≠m 时，令0)(='x f ，解得mx 21=，12=x ． 当0<m 时，当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （3分） 当20<<m 时，当10<<x 时，0)(>'x f ；当mx 21<<时，0)(<'x f ；当m x 2>时，0)(>'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）；（4分）当2=m 时，0)1(2)(2≥-='x x x f ，所以)(x f 的单调增区间为（0，+∞）；（5分） 当2>m 时，当m x 20<<时，0)(>'x f ；当12<<x m时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f ；所以)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）．（6分）综上，当0≤m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； 当20<<m 时，)(x f 的单调增区间为（0，1）与（m 2，+∞），单调减区间为（1，m2）； 当2=m 时，)(x f 的单调增区间为（0，+∞）； 当2>m 时，)(x f 的单调增区间为（0，m 2）与（1，+∞），单调减区间为（m2，1）．（7分）（2）对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立，等价于]2,1[∈x 时，max min ()()1f xg x ≤+成立． （9分）由（1）得当0<m 时，)(x f 在（1，+∞）上单调递减，所以当]2,1[∈x 时，2)1()(m a x -==m f x f ． （10分）22)1ln(111)1ln(1)(xx x x x x x x g +-+-=+-+='， 令)1ln(111)(+-+-=x x x h ，而2211()(1)1(1)x h x x x x '=-=-+++ 所以)1ln(111)(+-+-=x x x h 在（0，+∞）上单调递减． 在[1，2]上，2ln ln 2ln 212ln 211)1(-=-=--=e h ，因为22<e ，所以0)1(<h ；所以在[1，2]上，0)(<x h ，0)(<'x g ；所以)(x g 在[1，2]上单调递减，所以当]2,1[∈x 时，23ln )2()(min ==g x g ． （12分） 故ln 3212m -≤+，即23ln 3+≤m ， （13分） 因为0<m ，所以存在0<m 时，对于任意的]2,1[,21∈x x ，都有1)()(21≤-x g x f 恒成立，且m 的取值范围是（-∞，0）． （14分）。

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2015年广东高考理科数学_Word版含标准答案

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率e =45，且其右焦点F 2( 5 , 0 )，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 。

2015年广东高考理科数学逐题详解

2015年广东高考理科数学逐题详解

1 yO A B C DE23 x2015 年广东高考理科数学逐题详解详解提供: 广东佛山市南海中学 钱耀周参考公式:样本数据 1 x , 2 x , 3 x ,…, nx 的方差 ( ) ( ) ( ) ( )222221231 ns x x xxx x xx n éù =-+-+-++- êú ëûL ,其中x 表示样本均值.一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1．已知集合 ( )( ) { }410 M x x x =++= , ( )( ) { }410 N x x x =--= ,则M N = I ( )A ．{ }1,4 B ．{ }1,4 -- C ．{ }0 D ．Æ【解析】D ； { } 4,1 M =-- , { } 1,4 N = ,所以M N = I Æ,选 D . 2．若复数 ( ) i 32i z =- (i 是虚数单位),则z =( )A ．23i- B ．23i+ C ．32i+ D ．32i- 【解析】A ；因为 23i z =+ ,所以z = 23i - ,选 A . 3．下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )A ． 21 y x=+ B ． 1y x x=+C ． 1 2 2xx y =+D ． exy x =+ 【解析】D ； 2 1 y x =+ 和 1 2 2 xx y =+ 都是偶函数, 1 y x x=+ 是奇函数,选D . 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )A ． 5 21B ． 1021C ． 1121D ．1【解析】B ；所求概率为 111052 15 1027C C C = ,选 B .5．平行于直线210 x y ++= 且与圆 225 x y += 相切的直线的方程是( )A ．250 x y -+= 或250 x y --=B ．250 x y ++= 或250 x y +-=C ．250 x y -+= 或250x y --= D ．250 x y ++= 或250x y +-= 【解析】D ；设平行于直线210 x y ++= 的直线为20 x y c ++= ( 1 c ¹ ),依题意5 5c = ,解得 5 c =± .6．若变量 , x y 满足约束条件 458 13 02 x y x y +³ ì  í ï ££ î,则 32 z x y =+ 的最小值为( )A ．315B ．6C ．23 5D ．4【解析】C ；画出可行域如图所示,其中 4 1, 5 A æöç÷ èø, ( ) 2,0 B , ( ) 3,0 C , ( ) 3,2 D , () 1,2 E ,当目标函数所在直线 3 22 z y x =-+ 过 4 1, 5 A æöç÷ èø时,z 取得最小值 min 423 312 55 z =´+´= ,选 C . 7．已知双曲线C : 22 22 1 x y a b -= 的离心率 54 e = ,且其右焦点为 ( ) 2 5,0 F ,则双曲线C 的方程为( ) A ． 22 143x y -= B ． 22 1 169 x y -= C ． 22 1 916 x y -= D ． 22134 x y -= 【解析】B ；依题意 5 c = , 5 4c a = ,所以 4 a = , 2 16 a = , 2229 b c a =-= ,选 B .8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( )A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3 【解析】 C ； 由正四面体知道至少有4个点!下证明不可能有5个点:假设空间中里可以有5个点两两距离都相等,不妨设距离都等于a ,则五个点 ,,,, A B C D E 中的三个点 ,, A B C 距离彼此相等,那么它们就构成一个正三角形,点 , D E 要与前三个点距离相等,它就必定在过正 ABC D 中心且垂直于平面 ABC 的直线 上,因此DABC 与EABC 各自为正四面体,但D 与E 不重合,他们必定分别在平面 ABC 的两侧,但此 时DE 的距离不可能等于DA 的距离,矛盾!故正整数n 的取值至多等于4,选 C .二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分） (一)必做题(9～13 题)9．在()41 x - 的展开式中,x 的系数为．【解析】6 ；通项 ( )( ) ( )4 4 214411 kkkkkk k T CxC x- - + =-=- ,令4 1 2k- = ,解得 2 k = ,此时 x 的系数为 ( ) 2 2416 C -= . 10．在等差数列{ } n a 中,若 34567 25 a a a a a ++++= ,则 28 a a +=_____. 【解析】10；依题意 5 525 a = ,所以 5 5 a = , 285 210 a a a +== .11. 设 ABC D 的内角 ,, A B C 的对边分别为 ,, a b c ,若 3 a = , 1sin 2B = , 6C p= ,则b =_____.【解析】1；因为 6C p= ,所以 5 0 6 B p <<,又 1 sin 2 B = ,所以 6B p= ,画出 ABC D ,作 AH BC ^ 于H , 则 3 2 CH =3cos 2b C b == ,所以 1 b = . 12.某高三毕业班有40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了____条毕业留言.(用数字作答) 【解析】1560；这是一道排列问题: 240 40391560 A =´= .13.已知随机变量X 服从二项分布 ( ) , B n p ,若 ( ) 30 E X = , ( ) 20 D X = ,则 p =_____. 【解析】 13 ；依题意 30 np = , ( ) 120 np p -= ,所以 2 1 3 p -= ,故 1 3p = .(二)选做题(14～15 题,考生只需从中选做一题)DABC E O图1P14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为 2sin 2 4 p r q æö-= ç÷ èø,点 A 的极坐标为 7 22, 4 A p æö ç÷ èø ,则点A 到直线l 的距离为________.【解析】522 ；直线l : 10 x y -+= ,点 ( ) 2,2 A - ,由距离公式可得 5522 2d == . 15.(几何证明选讲选做题)如图1,已知 AB 是圆O 的直径, 4 AB = ,EC 是圆O 的切线, 切点为C , 1 BC = .过圆心O 作BC 的平行线,分别交EC 和 AC 于点D 和点P ,则 OD =_____.【解析】8；因为 DCP B AOP Ð=Ð=Ð , CPD Ð= 90 PPA Ð=°,所以 DCP AOP D D : ,所以 PD CP PA OP = (*),又 22 115 41 22 CP =-= , 12 OP = , 152PA CP == , 代入(*)可得 152PD =,所以 8 OD PD PO =+= . [原卷上的图形画得不准确!这很不应该!] 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分 12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量 22 , 22 æö =- ç÷ ç÷ èøm , ( ) sin ,cos x x = n , 0, 2 x p æöÎ ç÷ èø . (1) 若 ^ m n ,求tan x 的值； (2) 若m 与n 的夹角为 3p,求x 的值.【解析】(1) 因为 ^ m n ,所以 0 ×= m n ,即22 sin cos 0 22 x x -= ,从而 sin tan 1 cos x x x== .(2) 因为 1 == m n ,m 与n 的夹角为 3 p ,所以 1 cos32 p ×== m n m n ,即 221sin cos 222x x -= ,方法一:即 1 sin 42 x p æö -= ç÷ èø ,又 0, 2 x p æöÎ ç÷ èø,所以 , 444 x p p p æö -Î- ç÷ èø ,所以 46 x p p -= ,所以 5 6412x p p p=+= .方法二:即 2sin 2cos 1 x x -= ,两边平方整理得 1sin 2 2x = ,又 0, 2 x p æö Î ç÷ èø,所以 ( ) 20, x p Î , 所以2 6 x p=或5 6 p ,即 12 x p = 或 5 12 p ,又 2sin 2cos 10 x x -=> ,即sin cos x x > ,故 4x p > , 所以 5 12x p= .方法三:即 2sin 2cos 1 x x -= ,结合 22 sin cos 1 x x += ,可解得 62cos 4x - = , 所以 23 cos 22cos 1 2 x x =-=-,又 0, 2 x p æöÎ ç÷ èø,所以 ( ) 20, x p Î ,所以 5 2 6 x p = ,即 5 12 x p = .PABC DEFG图217.(本小题满分 12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.工人编号年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 943183627423639(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据 为44,列出样本的年龄数据；(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差 2 s ；(3) 36名工人中年龄在x s - 与x s + 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01% )？ 【解析】(1)抽样分段间隔 364 9k == ,依题意,抽到的编号分别为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 从而样本的年龄数据为:44,40,36,43,36,37 ,44,43,37 .(2)样本的均值 ( ) 144403643363744433740 9x =++++++++= ,方差 ( ) 22222222221 404343433 9 s =++++++++ 1009= . (3)由(2)可知 10 3 s = , 10110 40 33 x s -=-= , 1013040 33x s +=+= ,年龄在x s - 与x s + 之间有:40,40,41,40,42,43,38,39,43,39,38,43,41,37 ,42,37 ,42,39,43,38,42,37 ,39,共23人,所占的百分比为 2363.89% 36» .18.(本小题满分 14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直, 4 PD PC == , 6 AB = , 3 BC = . 点E 是CD 边的中点,点F ,G 分别在线段AB ,BC 上,且 2 AF FB = , 2 CG GB = .(1) 证明:PE FG ^ ；(2) 求二面角P AD C -- 的正切值； (3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.【解析】(1)因为PD PC = ,E 是CD 边的中点,所以PE CD ^ ,又平面PDC ^平面ABCD ,平面PDC I ABCD CD = ,PE Ì 平面PDC ,所以PE ^平面 ABCD , 又FG Ì平面 ABCD ,所以PE FG ^ .(2)因为平面PDC ^平面 ABCD ,平面PDC I ABCD CD = , AD CD ^ , AD Ì平面ABCD ,所以AD ^ 平面PDC ,所以 AD CD ^ , AD PD ^ , 所以 PDC Ð 为二面角P AD C -- 的平面角, 在 PCD D 中, 4 PD PC == , 3 DE CE == , 22 7 PE PD DE =-= ,所以 7 tan 3 PE PDC DE Ð== ,即二面角P AD C -- 的正切值为 73 . (3)连结 AC ,因为 1 3 BF BGBA BC== ,所以 // FG AC ,所以 PAC Ð 为直线PA 与直线FG 所成的角(或其补角).连结AE ,在Rt PAE D 中, 32 AE = , 7 PE = , 22 5 PA PE AE =+= ,在 PAC D 中, 5 PA = , 4 PC = , 22 3635 AC =+= ,由余弦定理得 ( ) 2222225354 95 cos 2252535PA AC PCPAC PA AC+- +- Ð=== × ´´ , 所以直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为 9525. 19.(本小题满分 14分)设 1 a > ,函数 ( ) () 21e xf x x a =+- .(1) 求 ( ) f x 的单调区间；(2) 证明: ( ) f x 在( ) , -¥+¥ 上仅有一个零点；(3) 若曲线 ( ) y f x = 在点P 处的切线与x 轴平行,且在点 ( ) , M m n 处的切线与直线OP 平行(O 是坐 标原点).证明: 321 em a £-- . 【解析】(1) ( ) () ( ) ( ) 222 2e 1ee 21e 1 xxx x f x x xx x x ¢ =++=++=+ ,因为 ( ) 0 f x ¢ ³ 恒成立,所以 ( ) f x 在R 上递增,即 ( ) f x 的递增区间为( ) , -¥+¥ ,无递减区间. (2)因为 ( ) 010 f a =-< , ( ) () 22 1e10 af a aa =+>+> ,即 ( ) ( ) 00 f f a < ,所以 ( ) f x 在( ) 0,a 上存在零点,由(1)知 ( ) f x 在( ) , -¥+¥ 上递增, 所以 ( ) f x 在( ) , -¥+¥ 上仅有一个零点. (3)由(1)可知 ( ) ( )2 e1 xf x x ¢ =+ ,令 ( ) 0 f x ¢ = 得 1 x =- ,故 2 1, e P a æö-- ç÷ èø, 曲线 ( ) f x 在点 ( ) , M m n 处的切线的斜率 ( )2e 1 mk m =+ ,又直线OP 的斜率 2 eOP k a =- , 依题意可知 ( )22 e1 e mm a +=- ,所以( ) ( ) 32 1e 1 e m m m a - æö +=+- ç÷ èø(*),令 ( ) ( ) 1 e 1 e m m m g m m - + =+=,则 ( ) 1 e em mm mg m + ¢ ==- , 当 0 m < 时, ( ) 0 g m ¢ > , ( ) g m 在( ) ,0 -¥ 上递增,当 0 m > 时, ( ) 0 g m ¢ < , ( ) g m 在( ) 0,+¥ 上递减,所以 ( ) ( ) min 01 g m g == ,故 ( ) ( ) e 11 mg m m - =+£ ,所以由(*)可得( ) 32 1 e m a æö +£- ç÷ èø, 即 32 1 e m a +£- ,即3 2 1 em a £-- ,不等式得证!A BMC 1xyOxyODPQ20.(本小题满分 14分)已知过原点的动直线l 与圆 1 C : 22650 x y x +-+= 相交于不同的两点A ,B . (1) 求圆 1 C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k ,使得直线L : ( ) 4 y k x =- 与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围；若不存在,说明理由.【解析】(1)配方得( ) 2234 x y -+= ,所以圆 1 C 的圆心坐标为1 C ( ) 3,0 . (2)设 ( ) , M x y ,依题意 1 C M OM ^ ,从而 1 0 C M OM ×= uuuu u r uuuu r,即( ) ( ) 3,,0 x y x y -×= ,整理得 2230 x y x +-= ,联立 22 2230 650x y x x y x ì +-= ï í +-+= ï î ,解得 5 3 x = ,所以M 的轨迹C 的方程为 2230 x y x +-= ( 5 3 3 x <£ ). (3)如图,注意到直线L 恒过定点 ( ) 4,0 D ,当直线L : 40 kx y k --= 与圆C : 2239 24 x y æö -+= ç÷ èø 相切时,由圆心到直线的距离等于半径得2 34 3 221 k k k - = + ,解得 3 4 k =± .当直线L : ( ) 4 y k x =- 过点 525 , 33 P æö ç÷ ç÷ èø 时, 257 k =- ； 当直线L : ( ) 4 y k x =- 过点 525 ,33 Q æö - ç÷ ç÷ èø时, 257 k = ； 结合图形可知,要使直线L 与曲线C 只有一个交点,k 的取值范围为 252533 ,, 7744 éù ìü -- íý êú îþëû U . 21.(本小题满分 14分)数列{ } n a 满足 12 12 24 2n n n a a na - + +++=- L , *n ÎN . (1) 求 3 a 的值；(2) 求数列{ } n a 的前n 项和 n T ； (3) 令 11 b a = , 1111 1 23 n n n T b a n n - æö =+++++ ç÷ èøL ( 2 n ³ ),证明:数列{ } n b 的前n 项和 n S 满足 22ln n S n <+ .【解析】(1)当 1 n = 时, 1 11 12 41 2 a - + =-= ；当 2 n = 时, 12 2122 242 2 a a - + +=-= ,解得 2 12 a = ； 当3 n = 时, 123 31 3211 234 24 a a a - + ++=-= ,解得 3 14a = .(2)当 2 n ³ 时, 12 1 2 24 2 n n n a a na - + +++=- L , ( ) 121 21214 2n n n a a n a - - + +++-=- L ,相减得 211 12 222 n n n n n n n na --- ++ =-= ,解得 112n n a - = , 显然 1 1 a = 满足上式,所以数列{ } n a 通项公式为 1 12 n n a - = , n T 1 11 12 2 1 2 1 2n n - -==- - . (3)当 1 n = 时, 11 1 b a == , 1 122ln12 S =<+= ,显然成立；当 2 n ³ 时, 1 111 1 23 n n n T b a n n - æö =+++++ ç÷ èø L 121111 1 23n n a a a a n n - +++ æö =++++×××+ ç÷ èø L 所以 n S 123 n b b b b =++++ L112123 111 11 22323 a a a a a a + éùéù æöæö =++++++++ ç÷ç÷ êúêú èøèø ëûëû L121111 1 23 n na a a a n n - +++ éù æö +++++×××+ ç÷ êú èø ëûL 12 111111111 111 232323 na a a n n n æöæöæö =+++×××+++++×××++++++×××+ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø L ( ) 12 111111 11 2323n na a a T n n æöæö =+++×××++++=+++×××+ ç÷ç÷ èøèø L 1 1111111 1221 23223 n n n - æöæöæö =+++×××+-<+++×××+ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø ,接下来,往证: 11111ln 23 n n+++×××+<+ ,方法主要有两种:方法一(积分法:不足近似): 1 1111 11d 1ln 23 n x n nx +++×××+<+=+ ò .方法二(构造函数:联想不等式 ( )ln 1 1 x x x x £+£ + 的左边!):即证 1111ln 234 n n ++++< L 令 ( ) ( ) ln 1 1 x f x x x =+- + ,则 ( ) ( ) ( )2211 1 11 xf x x x x ¢ =-= + ++ . 当 0 x > 时, ( ) 0 f x ¢ > , 所以函数 ( ) f x 在[ ) 0,+¥ 上单调递增.∴当 0 x > 时, ( ) ( ) 00 f x f >= ,即 ( ) ln 1 1 xx x+>+ . 分别取 111 1,,,, 231 x n = - L ,得 ( ) 11111 ln 11ln 1ln 1 2123 n n æöæö ++++++>+++ ç÷ç÷- èøèøL L . 即 ( ) 111 ln 11111 231 n éù æöæöæö +×+×+××+ ç÷ç÷ç÷ êú - èøèøèø ëû L 111 23n >+++ L . 也即 34111 ln 2 23123 n n n æö ´´´´>+++ ç÷- èø L L , 即 1111 ln 234 n n ++++< L . 综上,数列{ } n b 的前n 项和 n S 满足 n S n ln 22+ < .。

2015年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．〔1〕[2015年XX ，理1，5分]若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，}{|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =〔〕〔A 〕{}1,4〔B 〕{}1,4--〔C 〕{}0〔D 〕∅[答案]D[解析]{}{}(4)(1)04,1M x x x =++==--，{}{}(4)(1)01,4N x x x =--==，M N ∴⋂=∅故选D ． 〔2〕[2015年XX ，理2，5分]若复数i(32i)z =-〔i 是虚数单位〕，则z =〔〕〔A 〕23i -〔B 〕23i +〔C 〕32i +〔D 〕32i - [答案]A[解析]i(32i)3i 2z =-=+，23i z ∴=-，故选A ．〔3〕[2015年XX ，理3，5分]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是〔〕〔A 〕21y x =+〔B 〕1y x x=+〔C 〕122x x y =+〔D 〕x y x e =+[答案]D[解析]A 和C 选项为偶函数，B 选项为奇函数，D 选项为非奇非偶函数，故选B ．〔4〕[2015年XX ，理4，5分]袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为〔〕 〔A 〕521〔B 〕1021〔C 〕1121〔D 〕1 [答案]B[解析]111052151021C C P C ==，故选B ． 〔5〕[2015年XX ，理5，5分]平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是〔〕〔A 〕250250x y x y ++=+-=或〔B 〕250250x y x y ++=+-=或 〔C 〕250250x y x y -+=--=或〔D 〕250250x y x y -+=--=或[答案]A[解析]设所求直线为02=++c y x ，因为圆心坐标为()0,0，则由直线与圆相切可得25521c cd ===+，解得5c =±，所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，故选A ．〔6〕[2015年XX ，理6，5分]若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为〔〕〔A 〕4〔B 〕235〔C 〕6〔D 〕315[答案]B[解析]如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数32z x y =+，则当目标函数过点81,5⎛⎫⎪⎝⎭，32z x y =+取最小值为235，故选B ．〔7〕[2015年XX ，理7，5分]已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为〔〕〔A 〕22143x y -=〔B 〕221916x y -=〔C 〕221169x y -=〔D 〕22134x y -= [答案]C[解析]由双曲线右焦点为2(5,0)F ，则5c =，544c e a a ==∴=．2229b c a ∴=-=，所以双曲线方程为221169x y -=，故选C ．〔8〕[2015年XX ，理8，5分]若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值〔〕〔A 〕至多等于3〔B 〕至多等于4〔C 〕等于5〔D 〕大于5 [答案]B[解析]当3=n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当4=n 时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除A ，C ，D 四个选项，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 〔一〕必做题〔9~13〕〔9〕[2015年XX ，理9，5分]在4x （-1）的展开式中，x 的系数为． [答案]6[解析]()()()4424411r rr rr r Cx C x ---=-，则当2r =时，x 的系数为()22416C -=． 〔10〕[2015年XX ，理10，5分]在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=． [答案]10[解析]由等差数列性质得，345675525a a a a a a ++++==，解得55a =，所以285210a a a +==．〔11〕[2015年XX ，理11，5分]设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C π=，则b =．[答案]1[解析]15sin ,266B B ππ=∴=或，又6C π=，故6B π=，所以，23A π=由正弦定理得，sin sin a bA B =，所以1b =． 〔12〕[2015年XX ，理12，5分]某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言〔用数字作答〕． [答案]1560[解析]40391560⨯=．〔13〕[2015年XX ，理13，5分]已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，()30E X =，()20D X =，则p =．[答案]13[解析]()30E X np ==，()(1)20D X np p =-=，解得13p =．〔二〕选做题〔14-15题，考生只能从中选做一题〕〔14〕[2015年XX ，理14，5分]〔坐标系与参数方程选做题〕已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4A π，则点A 到直线l 的距离为．[答案]522[解析]222sin()2(sin cos )2422πρθρθθ-=-=sin cos 1ρθρθ∴-=．即直线l 的直角坐标方程为110y x x y -=-+=，即，点A 的直角坐标为()2,2-，A 到直线的距离为2215222d ++==． 〔15〕[2015年XX ，理15，5分]〔几何证明选讲选做题〕如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =． [答案]8[解析]如图所示，连结O ，C 两点，则OC CD ⊥，OD AC ⊥90CDO ACD ∴∠+∠=︒90ACD CBA CBA CAB ∠=∠∠+∠=︒，，CDO CAB ∴∠=∠，所以OD OCAB BC=， 所以8OD =．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔16〕[2015年XX ，理16，12分]在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 〔1〕若m n ⊥，求tan x 的值； 〔2〕若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 解：〔1〕()2222,sin ,cos sin cos sin 22224m n x x x x x π⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，m n ⊥，0m n ∴⋅=，即sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，444x πππ∴-<-<，04x π∴-=．即4x π=，tan tan 14x π∴==．〔2〕依题意2222sin 4cossin 3422sin cos 22x m n m nx xπππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭⋅⎛⎫⎛⎫+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，46x ππ∴-=，即56412x πππ=+=． 〔17〕[2015年XX ，理17，12分]某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39〔1〕用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；〔2〕计算〔1〕中样本的均值x 和方差2s ；〔3〕36名工人中年龄在x s 与x s 之间有着多少人？所占的百分比是多少〔精确到0．01%〕？ 解：〔1〕由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本．则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．〔2〕由〔1〕中的样本年龄数据可得，()1444036433637444337409x =++++++++=，则()()()()()()()()1222222222444040403640434036403740444043409s ⎡=-+-+-+-+-+-+-+-⎢⎣()23740⎤+-⎥⎦= 9100．〔3〕由题意知年龄在100100404099⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，之间，即年龄在[]3743，之间， 由〔1〕中容量为9的样本中年龄、在[]3743，之间的有5人， 所以在36人中年龄在[]3743，之间的有536209⨯=〔人〕，则所占百分比为20100%55.56%36⨯≈．〔18〕[2015年XX ，理18，14分]如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =，点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB ==，2CG GB =． 〔1〕证明：PE FG ⊥；〔2〕求二面角P AD C --的正切值；〔3〕求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值． 解：〔1〕PD PC =PDC ∴∆为等腰三角形，E 为CD 边的中点，所以PE DC ⊥， PDC ABCD ⊥平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且PE PDC ⊂平面，∴PE ABCD ⊥平面FG ABCD ⊂平面，PE FG ∴⊥．〔2〕由长方形ABCD 知，AD DC ⊥，PDC ABCD ⊥平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且AD ABCD ⊂平面AD PDC ∴⊥平面PD PDC ⊂平面，PD AD ∴⊥DC AD PD AD PC PDA DC CAD ⊥⊥⊂⊂由，，且平面，平面．PDC P AD C ∴∠--即为二面角，由长方形ABCD 得6DC AB ==，E 为CD 边的中点，则132DE DC ==，2243437PD DE PE DC PE ==⊥∴=-=，，，7tan 3PE PDC DE ∴∠==即二面角P AD C --的正切值为73．〔3〕如图，连结A ，C ，22AF FB CG GB ==，BF BGAB BC∴=，//FG AC ，PAC ∴∠为直线PA 与直线FG 所成角． 由长方形ABCD 中63AB BC ==，得：226335AC =+= 由〔2〕知AD PD ⊥，34AD BC PD ===，22345AP ∴=+=，由题意知4PC =，22295cos 225AP AC PC PAC AP AC +-∴∠==⋅⋅，所以，直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525． 〔19〕[2015年XX ，理19，14分]设1a ，函数2()(1)x f x x e a ．〔1〕求()f x 的单调区间；〔2〕证明：()f x 在()+∞∞-,上仅有一个零点； 〔3〕若曲线()y f x 在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m a 的切线与直线OP 平行〔O 是坐标原点〕，证明：321m a e≤--． 解：〔1〕2()(1)x f x x e a =+-，22()=2(1)(1)x x x f x xe x e x e '∴++=+，x R ∈时，()0f x '≥恒成立．()f x ∴的单调递增区间为R ．〔2〕由〔1〕可知()f x 在R 上为单调递增函数，当x a =，()=(+)(1)aaaf a a e a ea e-=+-1，1a >，()0f a ∴>，()f x ∴在(,)-∞+∞仅有一个零点．〔3〕令点P 为00(,)x y ，曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，0200()=(1)0x f x x e '∴+=，0=1x ∴-，2(1,)P a e--，∴直线OP 斜率为221op ae k a e -==--， 在点(),M m n 处的切线与直线OP 平行，22()(1)m f m m e a e'∴=+=-．要证明321m a e ≤--，即证32(1)m a e+≤-．要证明32(1)(1)m m +≤+，需证明1m m e +≤，设()1m g m e m =--，()1m g m e '∴=-，令()0,0g m m '==，()g m ∴在∞(-,0)上单调递减，在+∞(0，)上单调递增，()(0)0g m g ∴≥=， 10m e m ∴--≥，1m e m ∴≥-，命题得证．〔20〕[2015年XX ，理20，14分]已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B ．〔1〕求圆1C 的圆心坐标；〔2〕求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；〔3〕是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由．解：〔1〕由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0． 〔2〕由图可知，令()11,M x y，1|||OM C M =22211||||||OC OM C M =+，2222211113(3)x y x y ∴=++-+，221139()24x y ∴-+=，∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点，∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤< 22110(3)4x y ∴≤-+<，2211930(3)()442x x ∴≤-+--<，1533x ∴<≤ ∴轨迹C 的方程为：22395()(,3]243x y x -+=∈．〔3〕∵直线L ：(4)y k x =-与曲线2239()24x y -+=仅有1个交点，联立方程：22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，在区间5(,3]3有且仅有1个解．当2222=(83)64+1=k k k ∆+-（）0时，43k =±，此时，125(,3]53x =∈，仅有一个交点，符合题意．当0∆≠时，令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++，则有：5()(3)0g g ≤解得：[k ∈，∴k 的取值X 围为：[k ∈或43k =±．〔21〕[2015年XX ，理21，14分]数列n a 满足：*121224,2n n n a a na n N ． 〔1〕求3a 的值；〔2〕设求数列{}n a 的前n 项和n T ； 〔3〕令111111,(1)(2)23n nn T b a b a n n n，证明：数列{}n a 的前n 项和n S 满足22ln n S n ．解：〔1〕由题意知：1212242n n n a a na -++++=-，当=2n 时，121222=42a a ++-；当=3n 时，1232322+3=42a a a ++-，321322233=4(4)224a ++---=，31=4a ． 〔2〕1212242n n n a a na -++++=-，12132+(+1)42n n n n a a na n a ++∴+++=-，， 111123243111(+1)()()222222n n n n nn n n n n n n n n n a a a -++-+++--+=-==∴=∴=∴{}n a 是首相为1，公比为12的等边数列，∴1111()1122()212212nn n n T ---==-=--．〔3〕由〔2〕得：1122n n T -=-1111(2)(1)22n n S n -∴=-++，已知不等式：111ln(1)23n n+<+设()ln(1),01xf x x x x =+->+2()01x f x x'∴=>+，()f x 在()∞0,+单调递增， ()ln(1)(0)01x f x x f x ∴=+->=+，ln(1)1xx x∴+>+在()∞0,+上恒成立． 令1=x n，1ln(1)ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1ln n n n n n n +=+-+--++-=，1111ln(1)231n n +>++++111ln 231n n ∴>++++， 111111(2)(1)2(1)2(1ln 2)22ln 2222n n S n n-∴=-++<++<+=+．。

2015高考数学广东卷(理科)及解析

2015高考数学广东卷(理科)及解析

2015数学广东卷(理科)参考公式:样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考广东卷,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N等于( D )(A){1,4} (B){-1,-4} (C){0} (D)○解析:化简集合得M={-4,-1},N={1,4},显然M∩N=⌀,故选D.2.(2015高考广东卷,理2)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则等于( A )(A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i解析:因为i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i,所以=2-3i,故选A.3.(2015高考广东卷,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( D )(A)y=(B)y=x+(C)y=2x+(D)y=x+e x解析:易知y=与y=2x+是偶函数,y=x+是奇函数,故选D.4.(2015高考广东卷,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( B )(A)(B)(C)(D)1解析:从15个球中任取2个球,取法共有种,其中恰有1个白球,1个红球的取法有×种,所以所求概率为P==,故选B.5.(2015高考广东卷,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( A )(A)2x+y+5=0或2x+y-5=0(B)2x+y+=0或2x+y-=0(C)2x-y+5=0或2x-y-5=0(D)2x-y+=0或2x-y-=0解析:切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得c=±5.故选A.6.(2015高考广东卷,理6)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为( B )(A)4 (B)(C)6 (D)解析:由约束条件画出可行域如图.由z=3x+2y得y=-x+,易知目标函数在直线4x+5y=8与x=1的交点A1,处取得最小值,故z min=,故选B.7.(2015高考广东卷,理7)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( C )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由已知得解得故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C.8.(2015高考广东卷,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( B )(A)至多等于3 (B)至多等于4(C)等于5 (D)大于5解析:首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等,于是可以排除C,D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等,于是排除A,故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.(2015高考广东卷,理9)在(-1)4的展开式中,x的系数为.解析:(-1)4的展开式通项为T r+1=()4-r(-1)r=(-1)r··,令=1,得r=2,从而x的系数为(-1)2=6.答案:610.(2015高考广东卷,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .解析:利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.答案:1011.(2015高考广东卷,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b= .解析:在△ABC中,由sin B=可得B=或B=,结合C=可知B=.从而A=π,利用正弦定理=,可得b=1.答案:112.(2015高考广东卷,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)解析:因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,所以全班共写了40×39=1560(条)毕业留言.答案:156013.(2015高考广东卷,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .解析:因为X~B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.答案:(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(2015高考广东卷,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ-=,点A的极坐标为A2,,则点A到直线l的距离为.解析:将直线l的极坐标方程2ρsinθ-=化为直角坐标方程为x-y+1=0.由A2,得A点的直角坐标为(2,-2),从而点A到直线l的距离d==.答案:15.(2015高考广东卷,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD= .解析:易得AC==,由OP∥BC,且O为AB的中点可知CP=AC=,OP=BC=,∠APO=∠ACB=90°.所以∠CPD=90°.因为EC是切线,所以∠DCP=∠B,从而△CPD∽△BCA,故=,所以DP=.故OD=DP+OP=+=8.答案:8三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015高考广东卷,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,-,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解:(1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.即sin x=cos x,又x∈0,,所以tan x==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos==.则sin x-cos x=sin x-=.又因为x∈0,,所以x-∈-,.所以x-=,解得x=.17.(本小题满分12分)(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少?(精确到0.01%)?解:(1)由系统抽样知识知,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工人.因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)均值==40;方差s2=×[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=.(3)由(2)可知s=.由题意,年龄在-s与+s之间,即在区间[37,43]内的工人共有23人,所占的百分比为×100%≈63.89%.18.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P AD C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)解:由(1)可知PE⊥AD.因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以AD⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.由二面角的平面角的定义可知∠PDC为二面角P AD C的一个平面角.在Rt△PDE中,PE==,所以tan∠PDC==.从而二面角P AD C的正切值为.(3)解:连接AC.因为==,所以FG∥AC.易求得AC=3,PA==5.所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC,在△PAC中,cos∠PAC==.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.19.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理19)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤-1.(1)解:函数f(x)的定义域为R.因为f'(x)=2x·e x+(1+x2)e x=(x2+2x+1)e x=(x+1)2e x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)证明:因为a>1,所以f(0)=1-a<0,f(ln a)=(1+ln2a)e ln a-a=aln2a>0,所以f(0)·f(ln a)<0,由零点存在性定理可知f(x)在(0,ln a)内存在零点.又由(1)知f(x)在R上单调递增,故f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.(3)证明:设点P(x0,y0),由题意知,f'(x0)=(x0+1)2=0,解得x0=-1.所以y0=(1+)-a=-a,所以点P的坐标为-1,-a.所以k OP=a-.由题意可得f'(m)=(m+1)2e m=a-.要证明m≤-1,只需要证明m+1≤,只需要证明(m+1)3≤a-=(m+1)2e m,只需要证明m+1≤e m.构造函数:h(x)=e x-x-1(x∈R),则h'(x)=e x-1.当x<0时,h'(x)<0,即h(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,h'(x)>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增;所以函数h(x)有最小值,为h(0)=0,则h(x)≥0.所以e x-x-1≥0,故e m-m-1≥0,即m+1≤e m,故原不等式成立.20.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程得y0=.因为+=+===3x0,所以x0-2+=.由(*)解得t2<,又t2≥0,所以<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-2+y2=<x≤3.(3)由(2)知,曲线C是在区间,3上的一段圆弧.如图,D,,E,-,F(3,0),直线L过定点G(4,0).于是k GD=-,k GE=.当直线L与圆C相切时,=,解得k=±,由图可知,当k∈-,∪-,时直线L与曲线C只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理21)数列{a n}满足:a1+2a2+…+na n=4-,n∈N*.(1)求a3的值;(2)求数列{a n}的前n项和T n;(3)令b1=a1,b n=+1+++…+a n(n≥2),证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n<2+2ln n.(1)解:当n=1时,a1=1;当n=2时,a1+2a2=2,解得a2=;当n=3时,a1+2a2+3a3=,解得a3=.(2)解:当n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)a n-1+na n=4-,①a1+2a2+…+(n-1)a n-1=4-,②由①-②得na n=,所以a n=(n≥2),经检验,a1=1也适合上式,所以a n=(n∈N*).所以数列{a n}是以1为首项,为公比的等比数列.所以T n==2-.(3)证明:b1=1,b n=-·+1+++…+·(n≥2).当n=1时,S1=1<2+2ln 1.当n≥2时,b n=+1+++…+·a n=+1+++…+·(T n-T n-1)=+1+++…+·T n-1+++…+·T n-1=1+++…+·T n-1+++…+·T n-1,所以S n=1+1+·T2-1·T1+1++·T3-1+·T2+…+1+++…+·T n-1+++…+·T n-1=1+++…+·T n<21+++…+=2+2++…+,以下证明++…+<ln n(n≥2).构造函数h(x)=ln x-1+(x>1),则h'(x)=-=>0(x>1),所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,即h(x)>h(1)=0.所以ln x>1-(x>1),分别令x=2,,,…,得ln 2>1-=,ln >1-=,ln >1-=,…ln>1-=.累加得ln 2+ln +…+ln>++…+,即ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)]>++…+,所以++…+<ln n(n≥2).综上,S n<2+2ln n,n∈N*.。