习题3参考解答4. 某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.解答 假设整存整取一年定期的年利率保持不变，记为r ，假设一到期就支取，取出b 元作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……记捐款存入银行之后第k 年一年定期到期日奖学金捐款账户余额为k x 万元，0x =20万元，则列式得1(1), 0,1,2,k k x r x b k +=+-=⋅⋅⋅.其解为()0(1), 0,1,2,k k x r x b r b r k =+-+=⋅⋅⋅ 平衡点为x b r =.因为r >0，所以如果0x b r >，即00b rx <<，k x 就会单调增加趋于无穷大，并且增加得越来越快；如果0x b r <，即0b rx >，k x 就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；如果0x b r =，即0b rx =，k x 就会保持不变，即0k x x ≡.如果取r ＝0.025，则b 的临界值为00.025200.5rx =⨯=（万元）. 进一步，可编程分别计算当b =0.4、0.5、0.6、1以及2万元时账户总额k x 的具体变化过程，并绘图.程序：r=0.025; x=[20,20,20,20,20];b=[.4,.5,.6,1,2]; n=20;for k=1:nx(k+1,:)=x(k,:).*(1+r)-b;endplot(0:n,x(:,1),'k.',0:n,x(:,2),'kx',...0:n,x(:,3),'k^',0:n,x(:,4),'ks',0:n,x(:,5),'kp')axis([-1,n+1,0,25])legend('每年用0.4万元','每年用0.5万元',...'每年用0.6万元','每年用1万元','每年用2万元',3)title('奖学金捐款账户余额的演变，年利率2.5%')xlabel('第 k 年'), ylabel('账户余额（万元）')绘得的图形：第 k 年账户余额（万元）奖学金捐款账户余额的演变，年利率2.5%（略去给学院领导的报告，该报告要用非数学语言陈述上述分析）5. 有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金. 请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？解答 假设月利率保持不变，记为r ，记养老金存入银行之后第k 月末账户总额为k x 元，从第一个月开始每月支取b 元. 则列式得1(1), 0,1,2,k k x r x b k +=+-=⋅⋅⋅.解得()0(1), 0,1,2,k k x r x b r b r k =+-+=⋅⋅⋅依题意有r =0.003，b =1000，0x =100000. 因为r >0，且0x b r <，所以k x 就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；若要0k x ≤，可以解得只需要()()()0log log log 1b r b r x k r --≥+ 所以令()(){}()0log log log 1K b r b r x r ⎡⎤=--+⎢⎥（上取整），则养老金在第K 个月恰好用完. 把具体数据代入，执行以下程序，算得K =120，即10万养老金恰好10年用：x=100000; r=0.003; b=1000;K=ceil((log(b/r)-log(b/r-x))/log(1+r))也可以用条件循环语句按差分方程迭代计算，直到0k x ≤停止. 程序如下：x=100000; r=0.003; b=1000; n=0;while x(n+1)>0n=n+1;x(n+1)=(1+r).*x(n)-b;endn如果养老金想用到80岁，即240x =0，那么()()()2400240111709081b r x r r +-==+.。
