第一章数学建模概论1

➢ 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。
➢ 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即 建立数学模型。
➢ 4.模型求解。
在难以得出解析解时，也应 当借助 计算机 求出数值解
③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
仅最近几年里，我校 学生都在只参加了半 年左右的学习和实践 后，就在国际性的竞 赛（美国大学生数学 建模竞赛）中交出了 非常出色的研究论文， 夺得了特等奖兼 INFORMS奖2项（1999 年、2003年各一项）、 18项一等奖、10项二 等奖的好成绩。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通
范畴
流模型、经 济模型、 基因模型等
§1.4 数学建模与能力的培养
①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 能力。
②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。
这其中必 定是某一 力学 规律 的反映，哼哼，我 要找出它。。。。
开普勒三大定律
1.行星轨道是一 个椭圆，太 太阳位于此椭圆的一个焦 点上。
2.行星在单位时间内 扫过的 面积不变。
3.行星运行周期的平方正比 于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而 改变
（绝对常数）
简单推导如下：
如图，有椭圆方程 :
➢ 5.模型的分析与检验。
实体信 息(数据)
假设 建模
求解
验证 应用
§1.3 数学模型的分 类
分类标准
具体类别
对某个实际问题 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 了解的深入程度
模型中变量的特 连续型模型、离散型模型或确定性
征
模型、随机型模型等
建模中所用的数 初等模型、微分方程模型、差分方
学方法
程模型、优化模型等
T
我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种
不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点， 沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记
为j，于是： r r cos i r sin j
进而有 加速度
a
••
r
d2 dt 2
(
r
cos
)
i
d2 dt 2
(
r
sin
)
j
••
•
•
( r rw2 )(cos i sin j) ( 2 r w r w )( sin i cos j)·
T
)2 0
p
b2 a
代入，即得
••
r rw2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2a3
T2
•
1 r2
也就是说行星的加速度为
4 2a3 1
由开普勒第三定律知
a T 2 • r2 er
a3 / T 2为常数。若记
G
4 2a3
MT 2
那么就导出著名的 万有引力定律：
Mm F G r 2 er
§1.2 数学建模的一般步骤
➢ 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。
以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是
er cos
因此得出
i
a
sin
••
( r
j,
rw2
eθ
)er
sin
由于2
•
r
i co•s
wrw
0
j
再将椭圆方程
p r(1 e cos )
两边微分两次，得 将前面得到的结果
r
••
( r
2w
rw2
)
p r
1 r3
(
r2w
2ab 和焦参数
第一章 数学建模概论
§1.1 数学模型与数学建模
➢ 数学模型（Mathematical Model）
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客 观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
➢ 数学建模（Mathematical Modeling）
显然是由于节省了从相遇点到 会合点，又从会合点返回相遇点这一 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 开5分钟。而此人提前了三十分钟到 达会合点，故相遇时他已步行了二十 五分钟。
请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
r p
1 e cos
矢径所扫过的面 积A的微分为: dA 1 r 2d
2
由开普勒第二定 律:
dA 1 r 2w 常数
dt 2
立即得出:
0
d
(r 2w)
•
2r r w r2
•
w
行星
即:
dt
•
•
2r w r w 0
r
太阳
椭圆面积 ab T dAdt 1 r 2wT
0 dt
2
由此得出 r 2w 2ab 常数
§1.5 一些简单实例
•例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？
换一种想法，问题就迎刃而 解了。假如他的妻子遇到他后仍 载着他开往会合地点，那么这一 天他就不会提前回家了。提前的 十分钟时间从何而来？
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。
例（万有引力定律的发现 ）
十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时 间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分 方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。