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等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90B ．100C ．10或90D ．10或1002．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．73．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则1143(a a a += ) A ．2B ．3C ．5D ．74．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为() A ．3B ．3或1-C ．3-D ．3或3-5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-B ．45-C ．0D ．156．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差() A ．1-B ．0C ．2D ．17．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=B ．13n n b -=C ．22n n b -=D ．23n n b -=二．填空题（共8小题）8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = ． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 ． 10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关系为 ．11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = ，等比数列{}n b 的前n 项n S =12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b = ． 13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足 ，则数列{}n b 是等比数列．15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为 辆；这两款车的销售总量约为 辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90B ．100C ．10或90D ．10或100【分析】设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出d 的值，由等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的前10项和10S ． 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠， 11a =且1a ，2a ，5a 成等比数列，2215()a a a ∴=，则2(1)1(14)d d +=+， 解得2d =或0d =（舍去）， {}n a ∴的前10项和1010910121002S ⨯=⨯+⨯=， 故选：B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，以及等比中项的性质，考查方程思想．2．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】由二次方程的韦达定理可得0a >，0b >，由题意可得a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列，a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，由中项的性质，可得a ，b 的方程，解方程即可得到所求和． 【解答】解：a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点， 可得a b p +=，ab q =，即有0a >，0b >，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，即a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列， 可得4ab =；又a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，可得22b a =-或22a b =-， 解得4a =，1b =或1a =，4b =， 可得5a b +=， 故选：B ．【点评】本题考查等差数列、等比数列的中项的性质，以及二次方程的韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则1143(a a a += ) A ．2B ．3C ．5D ．7【分析】利用等差数列以及等比数列的通项公式，求出数列首项与公比的关系，然后求解即可．【解答】解：由1a 、2a 、4a 成等比数列得2241a a a =， 2111()(3)a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=， 0d ≠，1d a ∴=，则1141113111315523a a a a d a a a d a +++===+， 故选：C ．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．4．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为() A ．3B ．3或1-C ．3-D ．3或3-【分析】由题意列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后可得等差数列的公差． 【解答】解：1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +成等比数列，则 221(2)3(5)a b a b =+⎧⎨+=+⎩，解得：47a b =⎧⎨=⎩或25a b =-⎧⎨=-⎩（舍)． ∴等差数列的公差为3b a -=．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式，是基础题．5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-B ．45-C ．0D ．15【分析】由题意和等差数列的通项公式可得1a 的方程，解方程代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得2425a a a =，公差1d =-， 2111(3)()(4)a d a d a d ∴+=++代入数据可得2111(3)(1)(4)a a a -=--， 解得15a =， 61656152S a d ⨯∴=+=． 故选：D ．【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．6．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差() A ．1-B ．0C ．2D ．1【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的中项的性质，解方程可得2a =，3b =，即可得到公差1d =．【解答】解：设等差数列的公差为d ， 由1，a ，b 成等差数列，可得21a b =+， 由4，2a +，1b +为等比数列，可得：24(1)(2)b a +=+， 解得2a =，3b =， 可得公差11d a =-=． 故选：D ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等差数列的公差的求法，以及运算能力，属于基础题． 7．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=B ．13n n b -=C ．22n n b -=D ．23n n b -=【分析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，由题意可得2a =，再由等比数列的中项的性质，可得1d =，求得公比为2，由等比数列的通项公式计算即可得到所求． 【解答】解：设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +， 即有36a =，解得2a =，由题意可得23d -+，26+，213d ++成等比数列， 即为5d -，8，15d +成等比数列， 即有(5)(15)64d d -+=， 解得1(11d =-舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2， 则数列{}n b 的通项公式为33132422n n n n b b ---===． 故选：A ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等比数列的通项公式的运用，以及运算能力，属于中档题．二．填空题（共8小题）8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = 24- ． 【分析】设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，由2a ，3a ，6a 成等比数列．解得d ，然后求解前6项的和． 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，2a ，3a ，6a 成等比数列．2326a a a ∴=，2(12)(1)(15)d d d ∴+=+⨯+，解得2d =-．611665(2)242S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=-．故答案为：24-．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 5050 ． 【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n 项和公式得答案． 【解答】解：在公差为1的等差数列{}n a 中， 由1a ，2a ，4a 成等比数列，得：2111(1)(3)a a a +=+，即11a =． 100100991001150502S ⨯∴=⨯+⨯=． 故答案为：5050．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了等差数列的前n 项和的求法，是基础的计算题．10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关系为 66a b ．【分析】运用等差数列中项的性质和基本不等式，以及等比数列中项的性质，即可得到所求结论． 【解答】解：若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>， 由等差数列中项的性质可得11161112a a aa a +=66||b b =，当且仅当111a a =取得等号．故答案为：66a b ．【点评】本题考查等差数列和等比数列中项的性质，以及基本不等式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题． 11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = 2 ，等比数列{}n b 的前n 项n S =【分析】由已知列式求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n 项和公式求等比数列{}n b 的前n 项n S ．【解答】解：由12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项， 得2214a a a =，即2(2)2(23)d d +=+，解得2d =． 214a a d ∴=+=，则数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴12(12)2212n n n S +-==--．故答案为：2；122n +-．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质及前n 项和，是中档题． 12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b = 1 ． 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果． 【解答】解：等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==， 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ． 可得：813d =-+，3d =，22a =；38q =-，解得2q =-，22b ∴=． 可得221a b =． 故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = 2 ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．【分析】由题意可得1a ，12a +，16a +成等比数列，通过解方程求得1a 的值．然后求和．【解答】解：数列{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，4a 成等比数列，1a ∴，12a +，16a +成等比数列，2111(2)(6)a a a ∴+=+，解得12a =， 数列{}n a 的前n 项和2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+． 故答案为：2；2n n +．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式的应用，属于基础题．14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足 21231()()n n n b b b b b b ⋯= ，则数列{}n b 是等比数列．【分析】把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得到． 【解答】解：把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，可得： 若数列{}n b 满足21231()()n n n b b b b b b ⋯=，则数列{}n b 是等比数列． 故答案为：21231()()n n n b b b b b b ⋯=．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查类比推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为 1050 辆；这两款车的销售总量约为 辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈【分析】由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量与R 型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n 项和求解．【解答】解：由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q 型电动汽车的销售量为1250(111)10501 1.1-≈-；R 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，则R 型电动汽车的销售量为121112502019202⨯⨯+⨯=． ∴这两款车的销售总量约为：105019202970+=．故答案为：1050；2970．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查了等差数列与等比数列的前n项和，是基础题．。
2.3 等比数列2．3.1 等比数列第一课时 等比数列的概念及通项公式(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？(2)等比数列的通项公式是什么？(3)等比中项的定义是什么？[新知初探]1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．＝a n －1(＝a n.以为零，当q ＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．2．等比数列的通项公式等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则通项公式为：a n ＝a 1q n －1.3．等比中项如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x ，y 的等比中项．如果G 是x 和y 的等比中项，那么G x ＝yG，即G 2＝xy .[点睛] (1)G 是x 与y 的等比中项，则x 与y 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G ＝±xy ，即等比中项有两个，且互为相反数．(2)当G 2＝xy 时，G 不一定是x 与y 的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零( ) (3)常数列一定为等比数列( ) (4)任何两个数都有等比中项( )解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列． (2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零． (3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列数列为等比数列的是( ) A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，…解析：选B A 、C 、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C 、D 中项可为0，不符合 定义．3．等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵13＝98·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，∴827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， ∴n －1＝3，∴n ＝4.4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________. 解析：a 7＝a 4·q 3＝27×(－3)3＝－729. 答案：－729等比数列的通项公式[典例] (1)在等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝2，a n ＝32，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[解析] (1)因为a n ＝a 1qn －1，所以12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125，解得n ＝5.(2)由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.[答案] (1)C (2)2n等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．[活学活用] 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2253n-.(2)法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ④由④③得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，得n ＝6.等比中项[典例] (1)在等比数列{a n }中，a 1＝8，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )A ．±4B ．4C ．±14D.14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项． [解析] (1)由a n ＝18×2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.答案：A(2)证明：因为b 是a ，c 的等比中项， 所以b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零，又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)， 即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．(1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)． 1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析：选B 因为b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号， 所以b ＝－3，且a ，c 必同号． 所以ac ＝b 2＝9.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 解析：由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)， 解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1等比数列的判定与证明[典例] 在数列{a n }中，若a n >0，且a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N ＋)．证明：数列{a n ＋3}是等比数列．证明：[法一 定义法] ∵a n >0，∴a n ＋3>0. 又∵a n ＋1＝2a n ＋3， ∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2a n ＋3＋3a n ＋3＝2a n ＋3a n ＋3＝2. ∴数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3，公比为2的等比数列． [法二 等比中项法] ∵a n >0，∴a n ＋3>0. 又∵a n ＋1＝2a n ＋3， ∴a n ＋2＝4a n ＋9. ∴(a n ＋2＋3)(a n ＋3) ＝(4a n ＋12)(a n ＋3) ＝(2a n ＋6)2＝(a n ＋1＋3)2.即a n ＋3，a n ＋1＋3，a n ＋2＋3成等比数列， ∴数列{a n ＋3}是等比数列．证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0)或a na n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N ＋)⇔{a n }为等比数列． [活学活用](1)已知各项均不为0的数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．(2)已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．证明：(1)由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，① a 23＝a 2·a 4，② 2a 4＝1a 3＋1a 5.③ 由③得2a 4＝a 3＋a 5a 3·a 5，所以a 4＝2a 3·a 5a 3＋a 5.④ 由①得a 2＝a 1＋a 32.⑤将④⑤代入②，得a 23＝a 1＋a 32·2a 3·a 5a 3＋a 5. ∴a 3＝a 1＋a 3a 5a 3＋a 5，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5.又a 1，a 3，a 5均不为0，所以a 1，a 3，a 5成等比数列． (2)依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n.而b n b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫124－n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.层级一 学业水平达标1．2＋3和2－3的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．2解析：选C 设2＋3和2－3的等比中项为G ，则G 2＝(2＋3)(2－3)＝1，∴G ＝±1. 2．在首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列{a n }中，当a n ＝64时，项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选 D 因为a n ＝a 1qn －1，所以1×2n －1＝64，即2n －1＝26，得n －1＝6，解得n ＝7.3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B ∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)或k ＝4.4．等比数列{a n }的公比为q ，且|q |≠1，a 1＝－1，若a m ＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选 C ∵a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3·a 1q 4＝a 51·q 10＝－q 10，a m ＝a 1q m －1＝ －qm －1，∴－q 10＝－q m －1，∴10＝m －1，∴m ＝11.5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1)C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ， 又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2， 又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0， 从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2.当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n；当q ＝2时，a n ＝a 1qn －1＝－2×2n －1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384， 所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案：68．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．解析：依题意设原来的三个数依次为aq ，a ，aq .∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a q－2＋(aq －2)＝2a ，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原来的三个数的和等于28.答案：289．在等比数列{a n }中，已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n .解：设等比数列{a n }的公比为q .∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，∴q ＝1836＝12.∵a 4＋a 7＝18，∴a 4(1＋q 3)＝18. ∴a 4＝16，a n ＝a 4·qn －4＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4.由16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝12，得n －4＝5，∴n ＝9.10．已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，求a n . 解：设等比数列{a n }的公比为q .依题意，知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＋4＝28， ∴a 3＝8，a 2＋a 4＝20，∴8q ＋8q ＝20，解得q ＝2或q ＝12(舍去)． 又a 1＝a 3q2＝2，∴a n ＝2n.层级二 应试能力达标1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14 B.12 C.18D ．1解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 22a 1＋a 2＝1q 2＝14.2．在等比数列{a n }中，已知a 1＝13，a 5＝3，则a 3＝( )A ．1B ．3C ．±1D ．±3解析：选A 由a 5＝a 1·q 4＝3，所以q 4＝9，得q 2＝3，a 3＝a 1·q 2＝13×3＝1.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( )A ．607.5B ．608C ．607D ．159 解析：选C ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n －1，∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607.4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，14 12，14 34，38，316…记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N ＋)，则a 53的值为( ) A.116 B.18 C.516D.54解析：选C 第一列构成首项为14，公差为14的等差数列，所以a 51＝14＋(5－1)×14＝54.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为54，公比为12的等比数列，所以a 53＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝516.5．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质并结合已知条件得a 25＝4·a 25q 4. ∴q 4＝14，q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.答案：16．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1. ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12. ∴数列{a n }是等比数列．8．已知数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝3a n －4n ＋2(n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明数列{a n －2n }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．解：(1)由已知得a 2＝3a 1－4＋2＝3×73－4＋2＝5，a 3＝3a 2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.(2)证明：∵a n ＋1＝3a n －4n ＋2，∴a n ＋1－2n －2＝3a n －6n ， 即a n ＋1－2(n ＋1)＝3(a n －2n )． 由(1)知a 1－2＝73－2＝13，∴a n －2n ≠0，n ∈N ＋.∴a n ＋1－2n ＋1a n －2n＝3，∴数列{a n －2n }是首项为13，公比为3的等比数列．∴a n －2n ＝13×3n －1，∴a n ＝3n －2＋2n .第二课时 等比数列的性质[新知初探]等比数列的性质(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N ＋)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列( )解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)错误，当q >1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列． 答案：(1)√ (2)× (3)√2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列 D ．以2q 为公比的等比数列 解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列． 3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列 ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，∴a 24＋a 28＝41， 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7等比数列的性质[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n2＝10n.(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8q＝256. [答案] (1)A (2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.2．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.(舍去)．所以q ＝5a 8a 3＝－2.所以a 10＝a 3q 7＝－4×(－2)7＝512. 答案：512灵活设元求解等比数列问题[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧2aq －1＝a －1＋aq 2－4，2aq 2－4＝aq －1＋aq 3－13，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a q －12＝3，aqq －12＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.答案：45(2)解：法一：设前三个数为aq，a ，aq ，则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q，6,6q .由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： …a q 2，a q，a ，aq ，aq 2…(2)四个符号相同的数成等比数列设为：a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： …a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5…(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3. 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.等比数列的实际应用问题[典例] 某工厂2016年1月的生产总值为a 万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2016年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2017年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：14层级一 学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3， 即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，a －62＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×32＝18.答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N ＋)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ②由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16. 因此⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8， ∴q ＝±⎝⎛⎭⎪⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫1418＝±142.10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 52＝36，a 3＋a 52＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n －2或a n ＝26－n.层级二 应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( )A ．5B ．1C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230， ∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q 29×302＝230，∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220.5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137， 而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________. 解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－－73＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．一个等比数列的第3项与第4项分别是12和18，数列中的a 3，a 7与a 5有怎样的关系？在任一个等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －3·a n ＋3(n ＞3)成立吗？把3换成k ，即a 2n ＝a n －k a n ＋k ，这里的k 应满足怎样的条件？解：设这个数列的首项为a 1，公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝32，a 1＝163.所以a n ＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，则a 3＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，a 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫324，a 7＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫326，可知a 3a 7＝a 25. 在任一个等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －3a n ＋3(n ＞3)一定成立．在等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －k ·a n ＋k 要成立， 只需满足n ＞k ＞0，且k ∈N ＋即可．2．3.2 等比数列的前n 项和第一课时 等比数列的前n 项和预习课本P48～50，思考并完成以下问题(1)公比是1的等比数列的前n 项和如何计算？(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n 项和？(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n 项和？[新知初探]等比数列的前n 项和公式 已知量首项a 1与公比q首项a 1，末项a n 与公比q公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n1－qq ≠1S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 1－a n q1－qq ≠1[点睛] 在应用公式求和时，应注意到S n ＝a 11－q n1－q的使用条件为q ≠1，而当q ＝1时应按常数列求和，即S n ＝na 1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 11－q n1－q来求( )(2)首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na ( ) (3)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N ＋)，则此数列一定是等比数列( )解析：(1)错误．在求等比数列前n 项和时，首先应看公比q 是否为1，若q ≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n 项和为S n ＝na .(3)正确．根据等比数列前n 项和公式S n ＝a 11－q n1－q (q ≠0且q ≠1)变形为：S n ＝a 11－q －a 11－q q n (q ≠0且q ≠1)，若令a ＝a 11－q，则和式可变形为S n ＝a －aq n. 答案：(1)× (2)√ (3)√2．等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2D ．－2解析：选A 由S 5＝a 1[1－－25]1－－2＝44，得a 1＝4. 3．数列{2n －1}的前99项和为( )A ．2100－1 B ．1－2100C ．299－1 D ．1－299解析：选C 数列{2n －1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S 99＝1－2991－2＝299－1.4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152D.172解析：选C S 4a 2＝a 11－q 41－q ×1a 1q ＝1－q 41－q q ＝152.等比数列的前n 项和公式的基本运算[典例] 在等比数列{a n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)a 1＝8，a n ＝14，S n ＝634，求n ；(2)S 3＝72，S 6＝632，求a n 及S n .[解] (1)显然q ≠1，由S n ＝a 1－a n q1－q ，即8－14q 1－q ＝634，∴q ＝12.又a n ＝a 1q n －1，即8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝14，∴n ＝6.(2)法一：由S 6≠2S 3知q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝72， ①a 11－q 61－q＝632， ②②÷①，得1＋q 3＝9，∴q 3＝8，即q ＝2. 代入①得a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n －1－12.法二：由S 3＝a 1＋a 2＋a 3，S 6＝S 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 3＋q 3(a 1＋a 2＋a 3)＝S 3＋q 3S 3＝(1＋q 3)S 3. ∴1＋q 3＝S 6S 3＝9，∴q 3＝8，即q ＝2.代入①得a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n －1－12.在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．[活学活用]已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求S 8.解：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝24，a 1q 2·a 1q 4＝64，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3q 2－1＝24， ①a 1q 3＝±8， ②①÷②，得q 2－1＝±3，负值舍去， ∴q 2＝4，∴q ＝2或q ＝－2. 当q ＝2时，代入①得a 1＝1.∴S 8＝a 11－q 81－q＝255.当q ＝－2时，代入①得a 1＝－1.∴S 8＝a 11－q 81－q ＝2553.综上知S 8＝255或2553.法二：由等比数列的性质得a 3·a 5＝a 24＝64，∴a 4＝±8. 当a 4＝8时，∵a 6－a 4＝24，∴a 6＝32，∴q 2＝a 6a 4＝4， ∴q ＝±2.当a 4＝－8时，a 6－a 4＝24，∴a 6＝16. ∴q 2＝a 6a 4＝－2，无解．故q ＝±2.当q ＝2时，a 1＝a 4q 3＝1，S 8＝a 11－q 81－q ＝255.当q ＝－2时，a 1＝a 4q 3＝－1，S 8＝a 11－q 81－q ＝2553.综上知，S 8＝255或2553.等比数列的前n 项和的性质[典例] 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝48，前2n 项和S 2n ＝60，则前3n 项和S 3n ＝________.[解析] 法一：设公比为q ，由已知易知q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q＝48，a11－q 2n1－q＝60⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n ＝14，a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 11－q 3n 1－q ＝a 11－q ·[1－(q n )3]＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－164＝63.法二：由S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，得(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )，即(60－48)2＝48(S 3n －60)⇒S 3n ＝63.[答案] 63等比数列前n 项和的重要性质(1)等比数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…均不为0)，这一性质可直接应用．(2)等比数列的项数是偶数时，S 偶S 奇＝q ； 等比数列的项数是奇数时，S 奇－a 1S 偶＝q .[活学活用]1．若等比数列{a n }的公比为13，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，则{a n }的前100项和为______．解析：令X ＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，Y ＝a 2＋a 4＋…＋a 100， 则S 100＝X ＋Y ，由等比数列前n 项和性质知：Y X ＝q ＝13，所以Y ＝20，即S 100＝X ＋Y ＝80. 答案：802．一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，所有奇数项、偶数项之和分别记作S 奇，S 偶，由题意可知，S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．因为数列{a n }的项数为偶数，所以有q ＝S 偶S 奇＝13. 又因为a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，所以a 31·q 3＝64，即a 1＝12，故所求通项公式为a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.等比数列及其前n 项和的综合应用[典例] (1)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n) D.323(1－2－n )(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)na n －12n ，n ∈N ＋，则①a 3＝________；②S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. [解析] (1)由a 5＝a 2q 3，得q 3＝18，所以q ＝12，而数列{a n a n ＋1}也为等比数列，首项a 1·a 2＝8，公比q 2＝14，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝81－4－n1－14＝323(1－4－n)． (2)①∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)na n －(－1)n －1a n －1＋12n .当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.②根据以上{a n }的关系式及递推式可求得．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.[答案] (1)C (2)①－116 ②13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1求解数列综合问题的步骤(1)分析题设条件．(2)分清是a n 与a n ＋1的关系，还是a n 与S n 的关系．(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意a n ＝S n －S n －1(n ≥2，n 为正整数)在a n 与S n 的关系中的应用．(4)整理求解．[活学活用]1．公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 2，a 6成等比数列，所以a 22＝a 1·a 6， 即(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋5d )，所以d ＝3a 1，所以a 2＝4a 1，所以等比数列ak 1，ak 2，ak 3，…的公比q ＝4， 所以ak 4＝a 1·q 3＝a 1·43＝64a 1.又ak 4＝a 1＋(k 4－1)·d ＝a 1＋(k 4－1)·(3a 1)， 所以a 1＋(k 4－1)·(3a 1)＝64a 1，a 1≠0， 所以3k 4－2＝64，所以k 4＝22. 答案：222．设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.层级一 学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1. 2．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n＋k (n ∈N ＋)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选C 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋k (n ∈N ＋)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k )＝2×3n －1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1.3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37解析：选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5， ∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.4．在等比数列{a n }中，a 3＝32，其前三项的和S 3＝92，则数列{a n }的公比q ＝( )A ．－12B.12 C ．－12或1D.12或1 解析：选C 由题意，可得a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝92，两式相除，得1＋q ＋q 2q 2＝3，解得q ＝－12或1.5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q nS n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， 偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇， 由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇， 即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝ 2. 答案：27．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：4508．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 11－q 41－q，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 31－q＝15. 答案：159．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.层级二 应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8D ．－11解析：选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 11－q 51－q a 11－q 21－q＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11. 故选D.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 11－q 31－q ＝a 11－q 61－q，解得q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( ) A ．(2n－1)2B.13(4n－1) C.13(2n－1) D ．4n－1解析：选B 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝。
【例1】 在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠．假设12345m a a a a a a =，那么m =A ．9B ．10C ．11D ．12【例2】 设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，那么以下等式中恒成立的是A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X -=-C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-【例3】 {}n a 是等比数列，25124a a ==，，那么12231n n a a a a a a ++++=( ) A ． ()1614n -- B ．16(12)n -- C ．()32143n -- D ．()32123n --【例4】 设{}n a 为公比1q >的等比数列，假设2006a 和2007a 是方程24830x x -+=的两根，那么20082009a a +=．【例5】 等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，那么3132310log log log a a a ++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【例6】 等比数列{}n a 的公比为2，那么123422a a a a ++的值为．典例分析【例7】 等比数列{}n a 满足1611a a +=，且34329a a =. ⑴求数列{}n a 的通项n a ；⑵如果至少存在一个自然数m ，恰使123m a -，2()m a ，149m a ++这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{}n a 是否存在?假设存在，求出通项公式；假设不存在，请说明理由.【例8】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(12)，，n n b a n =+=，假设数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782，，，，--中，那么6q =．【例9】 各项均为正数的等比数列{}n a ，1235a a a =，78910a a a =，那么456a a a =A ．B ．7C ．6D ．【例10】 在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠．假设12345m a a a a a a =，那么m =A ．9B ．10C ．11D ．12【例11】 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n ∈N⑴证明：{}1n a -是等比数列；⑵求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由．【例12】 数列{}n a 为等差数列，假设1,n a a a b ==()2,n n *∈N ≥，那么11n nb aa n +-=-． 类比等差数列的上述结论，对等比数列{}()0,n n b b n *>∈N ， 假设1b c =，n b d =()3,n n *∈N ≥，那么可以得到1n b +=．【例13】 数列{}n a 为等差数列，假设,m n a a a b==()1,,n m m n *-∈N ≥．那么m n nb maa n m+-=-． 类比等差数列{}n a 的上述结论，对于等比数列{}n b ()0,n b n *>∈N 假设(),2,,m n b c b d n m m n *==-∈N ≥，那么可以得到m n b +=．。
等比数列的性质【知识要点】1. 等比数列的性质（1）{}n a 成等比数列，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅（其中*∈N q p n m ,,,）. （2）若*∈N n m ,，则n m n m q a a -⋅=；（3）若{}n a ，{}n b 成等比数列，则{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅n n n n n b a b a ka ,,也成等比数列.（4）若公比为q ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以q 1为公比的等比数列；（5）有n 3项的等比数列，前n 项和、中间n 项和、后n 项和也构成等比数列．（6）在等比数列中，当10,1a q >>或10,01<<<q a 时，等比数列是递增的；当10,01<<>q a 或1,01><q a 时，等比数列是递减的．（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积，特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方，即12131n n n a a a a a a a --⋅=⋅=⋅==2中. （8）若k p n m k p n m a a a a a a a a k p n m N k p n m ,,,,,,,,,其中则且⋅=⋅+=+∈*是数列中的项，特别地，当p n m 2=+时，有2m n p a a a ⋅=.类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标和相等，也应要求等式两边作积的项数应是一样多的．（9）在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列．一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂，一个等比数列的偶数项，也组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂．（10）等比数列{}n a n 前项和（均不为零）构成等比数列，即 ,,,232n n n n n S S S S S --构成等比数列且公比为n q .（11）前n 项和公式，一定要分11≠=q q 与两种情况.【典例分析】例1.设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 使它的前n 项和，若{}n S 是等差数列，则q = .例2.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比为1≠q ，且(),,,3,2,10n i b i =>若111111,b a b a ==，则（ ）（A ）66b a = （B ）66b a > （C ）66b a < （D ）6666b a b a <>或例3.在等比数列{}n a 中，若,30,341551=-=+a a a a 若则3a 等于 （ ） A.8 B.-8 C.8± D.16例4.在等比数列{}n a 中，设前n 项的和为n S ，则()n n n n n S S S y S S x 32222,+=+=的大小关系是（ ）A.y x >B. y x =C. y x < D .不确定例5.数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且对任意自然数n 总有()1n n S p a =-().1,0≠≠p p p 为常数，且（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 数列{}n b 中，()p b a b a q q n b n 求，且有是常数,,22211<=+=的取值范围.例6.n a a a ,,,21 为各项都大于零的等比数列，公比为1≠q ，则 （ ） A.5481a a a a +>+ B.5481a a a a +<+C.5481a a a a +=+D. 的大小不确定与5481a a a a ++ 例7.在等比数列{}n a 中，已知5127=a a ，则=111098a a a a .例8.在等比数列{}n a 中，已知3000,4,31>==n s q a 则使的最小自然数=n . 例9.设{}n a 为等比数列，(),21121n n n a a a n na T +++-+=- 已知4,121==T T . （1）求数列{}n a 的首项和公比； （2）求数列{}n T 的通项公式.例10.已知数列{}n a ，[()]nn n a 12---=求10S ，若求99S 呢？【经典练习】1.若数列n a 是等比数列，下列命题正确的个数为 （ ）n n a a 22,是等比数列；ln n a 成等差数列；n na a ,1成等比数列； ()0,≠±k k a ca n n 成等比数列A.5B.4C.3D.22.若{}n a 是等比数列，且252,0645342=⋅+⋅+->a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 （ ） A.1 B.5 C.10 D.153.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比为1≠q ，且()111111,,3,2,10b a b a n i b i ===>若 ，则（ ） A. 66b a = B. 66b a > C. 66b a < D. 66b a >或66b a <4.已知某数列前n 项和为3n ，且前n 个偶数项的和为()342+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ）A .()132+-n nB .()342-n nC .23n - D.321n5.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若5631323109,log log a a a log a a ⋅=+++=则（ ）A.12B.10C.8D.5log 23+6.已知正项等比数列{}n a 的项数为偶数，它的所有项之和等于它的偶数项之和的4倍，第二项与第四项之积是第三项与第四项之和的9倍，求使数列{}n a lg 的前n 项和最大的n 的值.7.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知() ,3,2,12,111=+==+n S nn a a n n ，证明： （Ⅰ）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列（Ⅱ）n n a S 41=+8.在等比数列{}n a 中，()*+∈<==+N n a a a a a a n n 14361,32,33且. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n a a a T lg lg lg 21+++= ，求n T 的最大值及此时n 的值．9.若公比为c 的等比数列{}n a 的首项,11=a 且满足() ,4,3221=+=--n a a a n n n . （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S .10.已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{}n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n s ．当2≥n 时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．11.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．。
《等比数列》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列2，4，8，16，32，就是一个等比数列，其公比q ＝2。
等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。
二、等比数列的性质1、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
根据等比数列的定义，有 G²＝ ab ，所以 G＝±√（ab) 。
2、通项公式的推广an ＝ am×q^（n m) （m，n 为正整数）3、若 m ＋ n ＝ p ＋ q （m，n，p，q 为正整数），则 am×an ＝ap×aq 。
例如，在等比数列中，若 a3×a7 ＝ 16 ，a4 ＋ a6 ＝ 10 ，因为 3 ＋7 ＝ 4 ＋ 6 ，所以 a3×a7 ＝ a4×a6 ＝ 16 ，联立 a4 ＋ a6 ＝ 10 ，可解出a4 ＝ 2 ，a6 ＝ 8 或 a4 ＝ 8 ，a6 ＝ 2 ，从而求出公比 q 。
4、等比数列的前 n 项和公式当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
三、等比数列的判定方法1、定义法若 an ／ an 1 ＝ q （n ≥ 2，q 为常数且q ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
2、等比中项法若 an²＝ an 1 × an ＋ 1 （n ≥ 2，an 1 ，an ，an ＋1 ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
3、通项公式法若 an ＝ c×q^n （c，q 为非零常数），则数列{an}为等比数列。
四、等比数列的应用1、经济领域在金融领域，等比数列常用于计算复利。
习题课(一) 等差数列、等比数列的综合一、选择题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝( )A．2n－1B．n－1C.n－1D．解析：选B 因为a n＋1＝S n＋1－S n，所以由S n＝2a n＋1，得S n＝2(S n＋1－S n)，整理得3S n＝2S n＋1，所以＝，所以数列{S n}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故S n ＝n－1.2．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，b n＝log2a n，则数列{b n}的前10项和等于( )A．130 B．120 C．55 D．50解析：选C 在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，即＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以a n＝2×2n－1＝2n.所以b n＝log22n＝n.则数列{b n}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C.3．[多选]已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5＜a k＜9，则k可以是( )A．9 B．8 C．7 D．6解析：选AB ∵S n＝n2－9n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－10.又a1＝S1＝－8，符合上式．∴a n＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜9，解得7.5＜k＜9.5，∴k＝8或9.故选A、B.4．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值为( )A．13 B．－76 C．46 D．76解析：选B ∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S22＝(－4)×11＝－44，S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.5．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a4a6－2a＋a2a4＝144，则a5－a3＝( ) A．6 B．8 C．10 D．12解析：选D ∵{a n}是递增的等比数列，∴由a4a6－2a＋a2a4＝144，a5－a3>0可得a－2a3a5＋a＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故选D.6．已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a3－2a＋3a7＝0，数列{b n}是等比数列，且b6＝a6，则b1b7b10等于( )A．1 B．2 C．4 D．8解析：选D 根据等差数列的性质，得a3＋a7＝2a5，a5＋a7＝2a6.又a3－2a＋3a7＝0，所以2a5＋2a7－2a＝0，即2a6＝a，解得a6＝2或a6＝0(舍去)，所以b6＝a6＝2，则b1b7b10＝b2b6b10＝b＝8.二、填空题7．对于项数为m(m≥3)的有穷数列{a n}，若存在项数为m＋1的等比数列{b n}，使得b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m，则称数列{b n}为{a n}的“等比分割数列”．已知数列7,14,38,60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)解析：取一个首项为6，公比为2的数列即满足b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m.答案：6,12,24,48,968．已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1·b n＝0.若b n＝3n－1，则数列{a n}的前n项和S n＝________.解析：因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0，所以－＝2，所以数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1.由b n＝3n－1，得a n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1,3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，两式相减得－2S n＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)3n，所以S n＝(n－1)3n＋1.答案：(n－1)3n＋1三、解答题9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝3S n＋1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)由a n＝3S n＋1，得a n＋1＝3S n＋1＋1，两式相减，得a n＋1－a n＝3(S n＋1－S n)＝3a n＋1，即＝－.又a1＝3S1＋1＝3a1＋1，得a1＝－，所以a2＝－×＝.(2)由(1)知，数列{a n}是首项为－，公比为－的等比数列，所以a n＝×n－1＝n.10．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1＝a，a≠0，前n项和为S n，且，，成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列的前n项和为A n，若A2 021＝，求实数a的值．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由2＝·，即a＝a1·a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，所以a n＝a＋(n－1)a＝na.(2)因为S n＝＝，所以＝，所以A n＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝.又A2 019＝＝，所以a＝2.11．(2021·全国乙卷)设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式．(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n<.解：(1)设等比数列{a n}的公比为q.∵a1,3a2,9a3成等差数列，∴6a2＝a1＋9a3，即6q＝1＋9q2，解得q＝.∴a n＝n－1，∴b n＝＝n n.(2)证明：由(1)得，S n＝＝＝＝－×n－1.T n＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n n， ①则T n＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n＋1. ②①－②，得T n＝1＋2＋3＋…＋n－n n＋1＝－n n＋1＝－×n，∴T n＝－×n.∵＝－×n－1＝－×n，且3＋2n>3，∴当n为正整数时，T n<.。
3百题挑一 详讲每一道题；左思右想 细讲每个知识点第 20 讲 等差，等比数列综合等差数列与等比数列性质的比较1. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n } 为等差数列；2. 若数列{a n }为等差数列，则数列{ba n} 为等比数列；3. 既等差数列又是等比数列的数列一定是非零常数列。
一．选择题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若a, b, c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2 + bx + c = 0（）A.必有两个不等实根B.必有两个相等实根C.必无实根D.以上三种情况均有可能2.(15T12)在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 1. a 4 = 1，则log 3 a 2 + log 3 a 3 = ( ) A.−1B.1C.−3D.3择善人而交, 择善书而读, 择善言而听, 择善行而从。
第 20 讲 等差，等比数列综合3.(02T8)某剧场共有 18 排座位，第一排有 16 个座位，往后每排都比前一排多 2 个座位，那么该剧场座位的总数为（ ）A.594B.549C.528D.4954. 若数列{a n }的通项a n ＝2n − 6,设b n = |a n |，则数列{b n }的前 7 项和为（）A.14B.24C.26D.285. 设{a n }为等差数列,a 3, a 14是方程x 2 − 2x − 3 = 0的两个根，则前 16 项的和S 16为（ ） A.8 B.12C.16D.206.(12T8)设{a n }是等差数列，a 2和a 3是方程x 2 − 5x + 6 = 0的两个根，则a 1 + a 4 = ( )A.2B.3C.5D.67.(17T13)已知数列{a n }为等差数列，且a 1 = 2，公差 d=2，若a 1, a 2, a k 成等比数列，则k= ( )A. 4B. 6C. 8D. 108. 若lnx, lny, lnz 成等差数列，则（） Ａ.y =x+z2B.y =lnx+lnz2C.y 2 = x. zD.y = ±√xza D.百题挑一 详讲每一道题；左思右想 细讲每个知识点9.(01T8)已知c ≠ 0, 且a, b, c, 2ba =( )1 12 A.B.C.323成等差数列,则c3 D.410.数列{a n }为等差数列,公差d ≠ 0,且a 1, a 2, a 6成等比数列,则a 2= ( )1A.2B.3C.42 311.在等差数列{a n }中,a 1 = −5,a 3是 4 和 49 的等比中项，且a 3 < 0，则a 5等于( )A.−18B.−23C.−24D.−3212.在等比数列{a n }中,已知a 1 + a 2 + ⋯ + a 5 = 3, a 6 + a 7 + ⋯ + a 10 = 18则a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a 15 = ( )A. 21B. 36C. 39D.12913. 已知三个数x, y, z 成等比数列,其积为 8,且x − 1, y + 1, z + 2成等差数列,则x, y, z 分别为( )A.4,2, 1B.1, 2, 4C.4, 2, 1 或 1, 2, 4D.−4, 2, −1或 −1, 2, −414.(13T12)若 a,b,c,d 均为正实数，且c 是a 和b 的等差中项，d 是a 和b 的等比中项，则有( )A.ab > cdB . ab ≥ cdC. ab < cdD. ab ≤ cd择善人而交, 择善书而读, 择善言而听, 择善行而从。
高一数学辅导讲义----等差、等比数列的性质【知识点归纳】一、等差数列的性质：1、等和性：在等差数列{}n a 中若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ 推论：若2m n p +=则2m np a a a +=；2n k n k n a a a +-+=12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相加，则和相等2、在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠； 3、等差数列中连续m 项的和，组成的新数列是等差数列。
即：232,,,m mm m m s s s s s --⋅⋅⋅等差，公差为2m d 则有323()m m m s s s =-4、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
例如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅ 二、等比数列的性质：1、等积性：等比数列{}n a 若q p n m +=+则m n p q a a a a ⋅=⋅推论：若p n m 2=+则2()m n p a a a ⋅=；2()n kn k n a a a +-⋅=12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相乘，则积相等2、等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有mn m n q a a -=3、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。
即：232,,,m mm m m s s s s s --⋅⋅⋅等比，公比为m q 。
4、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅ 三、等差数列前n 项和的最值问题：1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。
