等差等比数列综合题

《等差、等比数列》专项练习题一、选择题：1．已知等差数列{a n }中，a １＝１，d=1，则该数列前9项和S 9等于（ ） A.55 B.45 C.35 D.252．已知等差数列{an}的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ） A ．180 B ．－180 C ．90 D ．－90 3．已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于( )A.18B.27C.36D.454．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ） A ．1B ．－21C ．1或－1D ．－1或21 5．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）A ．4B ．23 C ．916 D ．26．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=0 7．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于A ．102B ．202C ．162D ．1528．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为（ ）A ．全体实数B ．－1C ．1D ．3二、填空题：1．等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32+=．则此数列的公差=d ．2. 数列｛a n ｝，｛b n ｝满足a n b n =1, a n ＝n 2＋3n ＋2，则｛b n ｝的前10次之和为 3．若{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，11+=n n n a a b ，则数列{}n b 的前n 项和n T= ． 4．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 5．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．三、解答题：1. 设｛a n ｝为等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，S 7＝7，S 15＝75，已知T n 为数列｛S nn｝的前n 项数，求T n ． 2．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，12,633==S a ． （１）求数列{}n a 的通项公式；（２）求．nS S S 11121+++ 3．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N *)(1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 求{a n }的通项公式．4．在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a n =66，a 2·a n －1=128，且前n 项和S n =126，求n 及公比q ．参考答案一、选择题：1.B 提示： 998911452s ⨯=⨯+⨯=2.A 提示：由等差数列性质，a 4+a 6=a 3+a 7=－4与a 3·a 7=－12联立，即a 3，a 7是方程x 2+4x －12=0的两根，又公差d >0，∴a 7>a 3⇒a 7=2，a 3=－6，从而得a 1=－10，d =2，S 20=180．3.C 提示：在等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，∴ 198a a +=，则该数列前9项和S 9=199()2a a +=36 CAD B B二、填空题：1．答案：２提示：411==S a ，102322221=⨯+==+S a a ，62=∴a ，2=d ． 2. 512提示：b n ＝1a n ＝1（n ＋1）（n ＋2） ＝1n ＋1 －1n ＋2∴S 10＝b 1＋b 2＋…b n ＝12 －112 ＝512 ．3．答案：69nn + 提示：)321121(21)32)(12(1,12+-+=++=+=n n n n b n a n n ，用裂项求和法求得96+=n nT n ．4.2， 3·2n －2．5.251+．三、解答题：1.解：设数列｛a n ｝的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n （n －1）d ．∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝7 15a 1＋105d ＝75， ∴⎩⎨⎧a 1＝－2d ＝1∴S n n ＝a 1＋12 ·（n －1）d ＝－2＋12·（n －1） ∴S n +1n ＋1 －S n n ＝12 ∴数列｛S n n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ·(－2)＋n （n －1）2·12 ＝14 n 2－94n ．2．解：（１）设数列{}n a 的公差为ｄ，由题意得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+1222336211d a d a ，解得 ⎩⎨⎧==221d a ，∴数列{}n a 的通项公式为n d n a a n 2)1(1=-+=，即n a n 2=．（２）∵n a n 2=，∴)1(2)(1+=+=n n a a n S n n ． ∴n S S S 11121+++ )1(1321211+++⨯+⨯=n n ．3.(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n－14.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ，∴q =2，由a n =a 1q n－1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6． 综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．。

等差数列与等比数列的综合应用题下面是2000字的文章，涉及到等差数列和等比数列的综合应用题。

等差数列和等比数列的综合应用题数列是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。

其中等差数列和等比数列是最常见的两种数列，它们在实际问题中有着丰富的应用。

本文将探讨其中一些有趣的综合应用题。

一、等差数列的综合应用1. 现有一连续数列，首项为a，公差为d，共有n项。

若已知该等差数列的和为Sn，则求出该数列的最后一项。

解析：根据等差数列的性质，我们知道等差数列的前n项和可以表示为Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2。

将该式子中的Sn替换为已知的值，整理后得到一个关于未知数的一元二次方程，通过解方程，我们可以求得该数列的最后一项。

2. 小明上学迟到了，他每天比前一天迟到10分钟，第一天迟到15分钟，到第九天小明迟到多久？解析：这是一个等差数列的应用题，题目中已经给出了首项和公差，我们需要求出第九项。

根据等差数列的性质，我们知道第九项可以表示为a9 = a1 + (9-1)d。

将已知的值代入公式，计算得到小明第九天迟到了85分钟。

二、等比数列的综合应用1. 小明通过研究发现，他所在的城市每年的垃圾总量是前一年的1.5倍。

今年城市的垃圾总量为2000吨，请计算出5年后的城市垃圾总量是多少吨。

解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。

根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

将已知的值代入公式，计算得到5年后的城市垃圾总量为3750吨。

2. 一颗植物的高度是前一天的2倍，已知第一天植物的高度为10厘米，请计算出第五天的植物高度。

解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。

根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

专题5 等差等比综合一、解答题1．已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）n a n =；（2）122n n S +=-.【解析】（1）先设等差数列的公差为d ，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，得到n b ，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，156a a +=，所以112246a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以1(1)n a n n ；（2）由（1）可得，22n a nn b ==，即数列{}n b 为等比数列，所以数列{}n b 的前n 项和()12122212n n n S +-==--.2．已知等差数列{}3log n a 的首项为1，公差为1，等差数列{}n b 满足()212n n b n n k +=++．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）3nn a =．1n b n =+（2）525443n nn S +=-⋅ 【解析】（1）由等差数列的通项公式及对数的运算可得数列{}n a 的通项公式，根据条件中的递推式求出123,,b b b ，利用它们成等差数列列方程求出k ，进而可得数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n S . 【详解】解：（1）由条件可知，3log 11n a n n =+-=，3nn a ∴=.()212n n b n n k +=++，132k b +∴=，283k b +=，3154kb +=. 由题意{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，解得1k =，()211n b n n ∴=+-=+； （2）由（1）知，13n n n n b n c a +==，2231333n n n S +∴=++⋅⋅⋅+① 则23112313333n n n S ++=++⋅⋅⋅+① ①-①可得23311221111525333333623n n n n n S ++++=+++⋅⋅⋅+-=-⋅，525443n nn S +∴=-⋅. 3．若数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()221log *n n b a n N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）2n T n =. 【解析】 【分析】（1）根据公式11(2,),(1)n n n S S n n N a a n *-⎧-≥∈=⎨=⎩，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合等差数列的定义、等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈.2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=，1n =时，1122a a =-，解得12a =.∴数列{}n a 是等比数列，首项为2，公比为2. 2n n a ∴=.（2）221log 21n n b a n -==-.因为12n nb b ，∴数列{}n b 是等差数列，首项为1，公差为2，所以 21()(1+21)22n n n a a n n T n +-∴===. 4．在等差数列{}n a 中，138a a +=，且2429a a a =⋅ （1）求数列{}n a 的首项､公差； （2）设()()1218n n n a a b -+=，若13mm m bb b +++=，求正整数m 的值.【答案】（1）数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6. 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可；（2）由（1）求出数列{}n a 的通项，然后再求出n b ，再根据13m m m b b b +++=求出m .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，由已知可得：1121112284(3)()(8)0a d a a d a d a d d ⎧+==⎧⇒⎨⎨+=++=⎩⎩或113a d =⎧⎨=⎩， 即数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. （2）由（1）可知4n a =或13(1)32n a n n =+-=- 当4n a =时，(41)(42)118n b -+==，又13m m m b b b +++=，而1121+=>不满足题意；当32n a n =-时，(321)(322)(1)182n n n n n b ---+-==，又13m m m b b b +++=，所以(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为m 为正整数，所以m =6.5．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：①数列是等差数列；①213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】选①①作条件证明①,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明. 选①①作条件证明①选①①作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①①作条件证明①：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a =+>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d =-，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a ==．所以213a a =．选①①作条件证明①：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n =+=所以是等差数列. 选①①作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a =+>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d -=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①①时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①①证明①的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d 12d a =，进而得到213a a =；选①①时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选①①时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a前两项的差1d利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.6．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =*n ∈N 且2n ≥). (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =- (2)21n n T n =+ 【解析】 【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥及题意可得数列为等差数列，从而求出2n S n =，从而可求出答案；（2）利用裂项相消法即可求出答案． (1)①1(2)n n n a S S n -=-≥，①2)n a n =≥，又)*2,,0n n a n n a ≥∈>N ，1(2)n ≥，①数列1==为首项，1为公差的等差数列，1(1)n n =+-=，①2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，11a =，满足上式， ①数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；(2)由（1）可知，21n a n =-， 12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++ 11111335572121n n =++++⨯⨯⨯(-)(+)1111111221213351n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭ 21nn =+， ①当*n ∈N 时，21n nT n =+． 7．已知数列{an }满足1a ＝1，an ＋1＝2an ＋1，bn ＝an ＋1(n ①N*)． （1）求证：{ bn }是等比数列； （2）求{ an }的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）an ＝2n －1. 【解析】 【分析】（1）由题意可得an ＋1＋1＝2(an ＋1)，利用等比数列的定义即可证明. （2）利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】（1）证明：①an ＋1＝2an ＋1，①an ＋1＋1＝2(an ＋1)，即bn ＋1＝2bn ， ①b 1＝1a ＋1＝2≠0.①bn ≠0，①1n nb b +＝2，①{bn }是等比数列． （2）由（1）知{bn }是首项b 1＝2，公比为2的等比数列， ①bn ＝2×2n －1＝2n ，即an ＋1＝2n ，①an ＝2n －1.8．已知等差数列{}n a 的公差为正数，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，12b =，且2212b S =，2310b S +=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . （3）设1n n n c b S =+，n *∈N，求数列{}n c 的前2n 项和. 【答案】（1）n a n =；2nn b =；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）212221n n +-+. 【解析】【分析】（1）假设公差d 和公比q ，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得,d q ，由等差和等比通项公式可求得结果；（2）由（1）可得2nn n a b n ⋅=⋅，利用错位相减法可求得结果；（3）由（1）可得11221nn c n n ⎛⎫=+⨯- ⎪+⎝⎭，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，等比数列{}n b 公比为q ，()()22112311222123323310b S b q a d q d b S b q a d q d ⎧=+=+=∴⎨+=++=++=⎩，解得：21q d =⎧⎨=⎩，()111n a n n ∴=+-⨯=；1222n n n b -=⨯=；（2）由（1）得：2nn n a b n ⋅=⋅，()1231122232122n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， ()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， 两式作差得：()()211231212222222212n n nn n T n n -++--=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅+-112242n n n ++=-⋅-+()1122n n +=-⋅-，()1122n n T n +∴=-⋅+.（3）由（1）得：()()121122221112n n n n c n n n n n n ⎛⎫=+=+=+⨯- ⎪+++⎝⎭， 则2212321111122221223221nn c c c c n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭()221212121422122212212121n n n n n n n ++-⎛⎫=+⨯-=-+=- ⎪-+++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：当数列通项公式满足等差⨯等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前n 项和，具体步骤如下：①列出1231n n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++的形式；①左右两侧同乘通项中的等比部分的公比q ，得到n qS ；①上下两式作差得到()1n q S -，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分； ①整理所得式子求得n S .9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4n n a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】 【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-①，①-①得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤. 【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.10．已知实数111,,a b c 成等差数列，求证：,,222b b b ac --成等比数列.【答案】见详解. 【解析】 【分析】根据条件，证明：2222b b b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可，注意各项均不为零.【详解】因为111,,a b c 成等差数列，所以112a c b +=，即2b ac a c =+且0abc ≠，又()()2220222444b b b b ac b b a c ac a c ac a c a c ⎛⎫⎛⎫-⋅-=-++=-++=> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 所以2222b b b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立且各项均不为零，所以：,,222b b ba c --成等比数列.【点睛】本题考查等比数列的证明，难度一般.注意说明各项均不为零. 11．设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-. (1) 求123,,b b b ；(2) 求数列{}n b 的通项公式. 【答案】(1)123b =；229b =；3227b =.(2)23n n b =.【解析】 【分析】(1)对于已知式令1,2,3n =即可解得123,,b b b 的值.(2)由22n n b S =-，得1122n n b S --=-，两式相减可推得{}n b 是等比数列，进而可得通项公式.也可以由(1)的结论归纳出{}n b 的通项公式，再验证其符合已知条件. 【详解】（1）由22n n b S =-，令1n =，得1122b S =-，又11S b =，所以123b =； 令2n =，得21222()b b b =-+，所以229b =； 令2n =，得312322()b b b b =-++，所以3227b =. （2）方法一：当2n ≥时，由22n n b S =-，可得1122n n b S --=-， 两式相减得112()2n n n n n b b S S b ---=--=-，即11=3n n b b －. 所以{}n b 是以123b =为首项，13为公比的等比数列，于是1212333n n n b -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭. 方法二：由（1）归纳可得23n nb =， 此时21133111313nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，可使22n n b S =-成立，所以23n nb =. 【点睛】本题考查数列问题，考查由n a 和n S 的关系求通项公式.通过赋值列举若干项，寻找规律和解题思路，是解决数列问题的一种常见策略. 12．已知数列{}n a 满足112n n a a +=-+，其中10a =. （1）求证11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设121n n n n T a a a +-=+++，若n T p n ≤-对任意的n *∈N 恒成立，求p 的最小值.【答案】（1）证明见解析，11n a n=-；（2）最小值为1.【解析】 【分析】 （1）根据112n n a a +=-+，可得1211111222n n n n n n a a a a a a ++-++=-+==+++，从而可得12111111n n n n a a a a ++==++++，即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）121n n n n T a a a p n +-=+++≤-，即()()()()12211111n n n n a a a a p ++-++++++++≤，设()()()()121111n n n H n a a a +-=++++++，利用作差法证明数列(){}H n 单调递减，从而可得出答案.【详解】（1）证明：①112n n a a +=-+， ①1211111222n n n n n n a a a a a a ++-++=-+==+++， ①10n a +≠，①12111111n n n n a a a a ++==++++， ①11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列. ()1111n n n a =+-=+，①11n a n=-. （2）解：①121n n n n T a a a p n +-=+++≤-，①121n n n n a a a p +-++++≤，即()()()()12211111n n n n a a a a p ++-++++++++≤对任意的n *∈N 恒成立，而11n a n+=， 设()()()()121111n n n H n a a a +-=++++++，①()111121H n n n n =++++-， ()1111111221221H n n n n n n +=+++++++-+， ①()()1111110221212H n H n n n n n n+-=+-=-<++， ①数列(){}H n 单调递减，①当n *∈N 时，()()11H n H ≤=，①1p ≥. ①p 的最小值为1.13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4120S =，13n n a a +=. （①）求数列{}n a 的通项公式；（①）设321log n n b a -=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）3nn a =（2）n T 21nn =+ 【解析】 【分析】（1）利用13n n a a +=，得到数列{}n a 是等比数列，且公比等于3，利用求和公式求得数列的首项1a ，再利用等比数列的通项公式求得结果；（2）根据题意，可得21n b n =-，之后应用裂项相消法对数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭求和.【详解】（①）①13n na a +=，①{}n a 是公比为3q =的等比数列， 又()4141312013a S -==-，解得13a=.①{}n a 是以13a =为首项，以3q =为公比的等比数列，通项公式为113n nn a a q -==. （①）①213log 321n n b n -==- ①()()11113352121n T n n =+++⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11(122121n n n =-=++） 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.14．某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第n 个月的维修费和工资支出为600(1)3000-+n 元. （1）设月平均消耗为y 元，求y 与n （月）的函数关系； （2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？ 【答案】（1）30000003009700,y n n N n+=++∈；（2）投入第100个月，成本最低； （3）7年后收回成本. 【解析】 【分析】（1）先求出购船费和所有支出的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到每一个月，即可求得平均消耗y与n （月）的函数关系；（2）利用基本不等式可得最值，从而求出此时n 的值，即可求解；（3）假设x 年后可收回成本，则收入是首项为50，公比为0.95的等比数列，然后建立收入大于成本的不等式，即可求解. 【详解】（1）购船费和所有支出费为30000007000[300030006003000260030006000(1)]n n +++⨯+⨯⨯++⨯-230000009700300n n =++元，所以月平均消耗30000003009700=++y n n， 即月平均消耗为y 与n 的函数关系30000003009700,y n n N n+=++∈.（2）由（1）30000003009700970069700y n n =++≥=， 当且仅当3000000300n n=，即100n =时等号成立， 所以当投入营运100个月时，营运成本最低. （3）假设x 年后可收回成本，则收入为： 215050(15%)50(15%)50(15%)1000(10.95)300x x -+-+-++-=->，解得7x =时满足条件，6x =时不满足条件， 故7年后可收回成本. 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，以及基本不等式求最值的应用，着重分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. （1）求n a ，n b ； （2）设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1,2n n n a n b -==；（2）121nn S n =-+. 【解析】 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意列关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，则n a ，n b 可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入n c ，分组后利用等比数列前n 项和与裂项相消法求解数列{}n c 的前n 项和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 由题意，4114(41)446102S a d a d ⨯-=+=+=，① 又①124,,a a a 成等比数列，①2214a a a =， 即2111()(3)a d a a d +=+，得1a d =，①联立①①可得，11a d == ①n a n = ，12n n b -=； （2）①1112(1)(1)n n n n n c b a a n n -=+=+++，①01111111(222)(1)2231n n S n n -=++++-+-++-+ ＝1211121211n n n n -+-=--++. ①数列{}n c 的前n 项和n S 为121n n S n =-+. 【点睛】本题考查等差等比数列基本量的计算，等比数列求和公式，裂项求和，分组求和法等，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于先根据分组求和，转化为等比数列的和与1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的和，进而利用裂项求和求解.16．记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-， 从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a ，n a ，n S 为等差数列；数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++. (1)求数列{}n b 的前n 项和n T ； (2)若对于*N n ∀∈，总有3207464n n m a --<成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)+1112+32n n n n T -=-. (2)6>7m .【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质得12+n n a a S =，继而有+11+12+n n a a S =，两式相减得+12n n a a =，由此得数列{}n a 是以2为公比的等比数列，求得n a ，n S ，再由此求得n b ，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得n T . （2）由（1）将不等式转化为132074>642n n m ---⨯，再令13202n n n c --=，作+12233n nnnc c --=，判断出当8n =时，n c 取得最大值132，由此得174>6432m -⨯，求解即可.(1)解：因为1a ，n a ，n S 为等差数列，所以12+n n a a S =，所以+11+12+n n a a S =，两式相减得+1+122n n n n a a S S -=-， 即+12n n a a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又16b =，14n n n b S a =++，所以11164a a =++，解得11a =，所以12n n a ，12112122n n n S -⨯-=--=，所以1111242+3212nnn n n b --=++=+-， 所以212112111112+32+32+++++3+22+2n n n n T b b b ---++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭⎝⎭()21112+221++2++++32n n n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111112222+311212nn n --⨯-=+--⨯+1112+32n n n -=-， 所以+1112+32n n n n T -=-； (2)解：由（1）得不等式为132072464n n m ---<，整理得132074>642n n m ---⨯， 令13202n n n c --=，则()+113+122203202332n n n n nn n n c c -----=-=， 所以当07n <≤，*N n ∈时，+1>0n n c c -，即+1>n n c c ，当>7n ，*N n ∈时，+10n n c c -<，即+1n n c c <，所以当8n =时，n c 取得最大值88138201232c -⨯-==，所以174>6432m -⨯，即74>2m -，解得6>7m . 所以实数m 的取值范围为6>7m .18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2610a a +=，520S =. （1）求n a 与n S ； （2）设数列{}n c 满足1n n c S n=-，求{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+,n S ()32n n +=（2）n T 21nn =+ 【解析】 【分析】 （1）由()1553552a a S a +==和2642a a a +=，可求出3a 和4a ，然后利用等差数列的性质可求出n a 与n S ；（2）由（1）知()32n n n S +=，可得2121121n n c S n n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭，利用裂项相消的求和方法，可求出{}n c 的前n 项和n T . 【详解】解：（1）设等差数列公差为d ，()155355202a a S a+===，故34a =，264210a a a +==，故45a =，1d ∴=，()331n a a d n n =+-=+，易得12a =， ∴()12n n nS a a =+ ()()32122n n n n +=++=． （2）由（1）知()32n n n S +=，则2121121n n c S n n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭，则111111121223341n T n n ⎛⎫=-+-+-+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题．19．数列{}n a 满足()1331,2n n n a a n n *-=+-∈≥N ，已知395a =．（1）求1a ，2a ； （2）若()()13n n nb a t n *=+∈N ，则是否存在实数t ，使{}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）15a =；223a =；（2）存在；12t =-．【解析】 【分析】（1）代入2n =，3n =进入1331nn n a a -=+-，结合395a =，即得解；（2）利用等差数列定义，要使{}n b 为等差数列，则11213n n ntb b -+-=-为常数，分析即得解 【详解】（1）当2n =时，221331a a =+-． 当3n =时，33233195a a =+-=，①223a =．①12338a =+，解得15a =． （2）当2n ≥时，()()1111133n n n n n n b b a t a t ----=+-+ ()()1113331233nn n n n a t a t t -=+--=-- 1213nt+=-． 要使{}n b 为等差数列，则1213n t +-为常数，即12t =-， 即存在12t =-，使{}n b 为等差数列．20．在正项数列{}n a 中，11a =()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT .【答案】（1）22n n a =，2nn b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++【解析】（1）在已知等式()()2211121n n n n a a a a ++-=-两边同时除以1n n a a +，即可证得{}n b 是等比数列（必须求出10b ≠），然后可求得n b ，解方程1n n nb a a =-可得n a ； （2）由（1）求出2(2)44nn n n a b n n -=⋅+，其前n 项和用分组求和法，一部分由等差数列前n 项和公式可得，另外一部分用错位相减法求和． 【详解】（1）①()()2211121n n n n a a a a ++-=-，①11112n n n n a a a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ①12n n b b +=. 又11112b a a =-=，①{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列， 从而2nn b =.①1n n n b a a =-，①12n n n a a -=，又0n a >，解得22n n a =. （2）()()224444n nn n n a b n n n -=+=⋅+，设数列{}4nn ⋅的前n 项和为n S ， 则214244nn S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，231414244n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，则2144444n n n n S S n +-=+++-⋅，即()11134444434143n n n n n S n ++---⨯-=-⋅=-，即()131449n nn S +-+=， 故()()()11314442129n n n n n n T S n n ++-+=+⨯=++.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，考查分组求和、错位相减法求和．数列求和除等差数列和等比数列的求和公式外还有一些特殊数列的特殊方法：。

等差数列与等比数列【考情分析】【题型一】等差、等比数列基本运算【题组练透】1.（山东省淄博市2021届高三二模数学试题）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若32342S a a a =++，则公比q =（）．A ．12B ．12-C ．1D ．2【答案】D 【解析】因为32342S a a a =++，所以()3412232a a a a a a ++=++，即41232a a a a ++=，因为10a ≠，所以232q q q ++=，即()()2210q q q -++=，因为210q q ++≠，所以q =2.故选：D2．我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A ．30.8贯B ．39.2贯C ．47.6贯D ．64.4贯【答案】A【继续】依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，由数列{a n }为等差数列，可记公差为d ，依题意得：()123451155223833.6a a a a a a d a a ⎧++++=+=⎨-=⎩，解得a 1=64.4，d =﹣8.4，所以a 5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.3．（2021·武汉市第一中学高三二模）等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1＞0，S 10＝S 20，则（）A ．d ＜0B ．a 16＜0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当S n ＜0时n ≥32【答案】ABC【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 10＝S 20，∴10a 1+45d ＝20a 1+190d ，∴2a 1+29d ＝0，∵a 1＞0，∴d ＜0，故A 正确；∴a 1+14d +a 1+15d ＝0，即a 15+a 16＝0，∵d ＜0，∴a 15＞a 16，∴a 15＞0，a 16＜0，故B 正确；∴S n ≤S 15，故C 正确；又131311631()3102a a S a +==<，130********()15()02a a S a a +==+=，∴当且仅当S n ＜0时，n ≥31，故D 错误.故选：ABC ．4．（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）已知等比数列{}n a 中，22a =，514a =，则满足12231212n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 的值为______．【答案】3【解析】已知{}n a 为等比数列，设其公比为q ，由352a a q =⋅得，3124q ⋅=，318q =，解得12q =，又22a =．∴14a =．因为21211==4n n n n a a q a a +++，所以数列{}1n n a a +也是等比数列，其首项为128a a =，公比为14．∴()1223132211432nn n a a a a a a -+++⋅⋅⋅+=-≤，从而有11464n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．∴3n ≤．故max 3n =．故答案为：3.【提分秘籍】1.在等差(比)数列中,a 1,d(q),n,a n ,S n 五个量中知道其中任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般是转化为首项a 1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2.对于等比数列的前n 项和公式,应按照公比q 与1的关系分类讨论,一般地,若涉及n 较小的等比数列前n 项和问题,为防止遗忘分类讨论,可直接利用通项公式写出,而不必使用前n 项和公式.【题型二】等差、等比数列的性质【题组练透】1．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（文））等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=（）A ．10B ．5C ．8D ．4【答案】B 【分析】应用等比数列等比中项的性质可得32a =，运用对数的运算性质可得原式为235log a ，代入3a 可计算结果.【详解】解：因为154a a =，且0n a >，则有32a =521222324252323log log log log log log 5log 5a a a a a a a ++++===.故选：B.2．（2021·山东青岛市·高三三模）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A ．152B ．45C ．75D ．150【答案】C 【分析】先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前n 项和公式求和即可.【详解】由行列式的定义有9711(10)0a a ⨯-⨯-=，即1875a d a +==，所以11581515()1527522a a a S +⨯===.故选：C.3．（2021·广东潮州市·高三二模）已知数列{}n a 满足()*,01nn a n k n N k =⋅∈<<，下列命题正确的有（）A ．当12k =时，数列{}n a 为递减数列B ．当45k =时，数列{}n a 一定有最大项C ．当102k <<时，数列{}n a 为递减数列D ．当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项【答案】BCD 【分析】分别代入12k =和45k =计算判断AB 选项；再利用放缩法计算判断C 选项；设1=-k n k ，则1=+k nn ，所以化简得11n na a +=，可知数列{}n a 为常数数列，可判断D ；【详解】当12k=时，1212a a==，知A错误；当45k=时，1415nna na n++=⋅，当4n<，11nnaa+>，4n>，11nnaa+<，所以可判断{}n a一定有最大项，B正确；当12k<<时，11112nna n nka n n+++=<≤，所以数列{}n a为递减数列，C正确；当1kk-为正整数时，其值不妨取为n，则1=+k nn，所以11111+++==⋅=+nna n n nka n n n，可知数列{}n a为常数数列，D正确；故选：BCD.4.已知数列{a n}为等差数列，若a2＋a8＝23π，则tan(a3＋a7)的值为A ．33B ．－33CD【解析】∵数列{a n}为等差数列，∴a3＋a7＝a2＋a8＝23π．∴tan(a3＋a7)＝tan 2 3π【提分秘籍】1.利用等差(等比)数列的性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数的性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的这些性质解题.【题型三】等差、等比数列的判断与证明【典例分析】【典例】若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：}1{nS 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故}1{nS 是首项为2，公差为2的等差数列.(2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【变式探究1】本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由.【解析】因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2).所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以}1{nS 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n }1111{--+n n ＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【变式探究2】本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.【解析】由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，又a 1＝35，∴}{na n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n .【提分秘籍】1.常见的判定等差数列的方法(1)定义法:对于数列{a n },若a n+1-a n =d(n ∈N *)(d 为常数),则数列{a n }是等差数列;(2)等差中项法:对于数列{a n },若2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *),则数列{a n }是等差数列.2.常见的判定等比数列的方法(1)定义法:若n n a a 1+=q(q≠0,n ∈N *)或1-n n a a=q(q≠0,n≥2,n ∈N *),则数列{a n }是等比数列;(2)等比中项法:若数列{a n }中,a n ≠0且21-n a =a n ·a n-2(n≥3,n ∈N *),则数列{a n }是等比数列.注意:如果要证明一个数列是等差(等比)数列,则必须用定义法或等差(等比)中项法.判断时易忽视定义中从第2项起,以后每项与前一项的差(比)是同一常数,即易忽视验证a 2-a 1=d(12a a =q)这一关键条件【变式演练】1.(2021·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n .(1)证明因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列.(2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.1．（2021·山西阳泉市·高三三模（文））在正项等比数列{}n a 中，34a a m +=，1314a a n +=，则2324a a +的值为（）A ．nmB ．22n m C ．2n mD ．2n m 【答案】C 【分析】利用广义通项公式计算，可得10nq m=，即可得到答案；【详解】10101010131434n a a a q a q q m n q m+=+=⋅=⇒=，∴()14210232413n n a a a a q n m m+=+⋅=⋅=，故选：C.2．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）设n S 是某个等差数列的前n 项和，若201920202020S S ==，则2021S =（）A ．220202019-B ．220202019+C ．120201010-D ．120201010+【答案】A 【分析】由题设易得12019a d =-且20212020S S d =+，利用等差数列前n 项和公式，由20192020S =求d ，即可求2021S .【详解】由题意知：20200a =即12019a d =-，且20212020S S d =+，∴201912019201820192019(1010)20202S a d d ⨯=+=⨯-=，故22019d =-，∴2021220202019S =-.故选：A3．（2021·济南市·山东省实验中学高三二模）已知等差数列{}n a 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A ．28B ．29C ．30D ．31【答案】B 【分析】本题可设等差数列{}n a 共有21n +项，然后通过S S -奇偶即可得出结果.【详解】设等差数列{}n a 共有21n +项，则13521n S a a a a +=++++ 奇，2462n S a a a a =++++ 偶，中间项为1n a +，故()()()13254212n nS S a a a a a a a +-=+-+-++- 奇偶111n a d d d a nd a +=++++=+= ，131929029n a S S +=-=-=奇偶，故选：B.4．（2021·安徽马鞍山市·高三三模（文））在天然气和煤气还未普及时，农民通常会用水稻秸秆作为生火做饭的材料．每年水稻收割结束之后，农民们都会把水稻秸秆收集起来，然后堆成如图的草堆，供生火做饭使用．通常他们堆草堆的时候都是先把秸秆先捆成一捆一捆的，然后堆成下面近似成一个圆柱体，上面近似成一个圆锥体的形状．假设圆柱体堆了7层，每层所用的小捆草数量相同，上面收小时，每层小捆草数量是下一层的12倍．若共用255捆，最上一层只有一捆，则草堆自上往下共有几层（）A ．13B ．12C ．11D ．10【答案】B 【分析】由题可知，上面的圆锥每层的数量是以1为首项，2为公比的等比数列；设草堆自上往下共有x 层，则圆锥有()7x -层，依题意列关系式.【详解】设草堆自上往下共有x 层，则圆锥有()7x -层，由题可知，上面的圆锥每层的数量是以1为首项，2为公比的等比数列，则287122272255x x --+++++⨯= ，()771127225512x x --⨯-+⨯=-，解得：12x =∴草堆自上往下共有12层.故选：B.【点睛】知识点点睛：等比数列前n 项和()111n n a q S q-=-.5．（2021·全国高三其他模拟）已知数列{}n a 满足12a =，()11312,n n n n a a a a n n N *--+=-≥∈，若123nn Ta a a a =⋅⋅⋅，当10n T >时，n 的最小值为（）A ．3B ．5C ．6D ．7【答案】C 【分析】将已知递推关系式变形可得1111112n n a a --=--，由此可知数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，由等差数列通项公式可取得11n a -，进而得到n a ；由123n n T a a a a =⋅⋅⋅可上下相消求得n T ，结合n *∈N 解不等式可求得n 的最小值.【详解】由1131n n n n a a a a --+=-得：11311n n n a a a ---=+，()11111121312211111n n n n n n n a a a a a a a ---------∴-=-==+++，()()111111121111212112n n n n n n a a a a a a -----+-+∴===+----，即1111112n n a a --=--，∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111a =-为首项，12为公差的等差数列，()11111122n n n a +∴=+-=-，则31n n a n +=+，()()123234562323416n n n n n n T a a a a n n ++++=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=+∴，由10n T >得：()()23106n n ++>，又n *∈N ，6n ∴≥且n *∈N ，n ∴的最小值为6.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的不等式的求解问题，解题关键是能够根据已知的递推关系式，构造出全新的等差数列，利用等差数列通项公式求得通项后，即可确定n a .6．（2021·四川内江市·高三一模（理））若数列{}n a 满足1120n na a +-=，则称{}n a 为“梦想数列”，已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且1231b b b ++=，则678b b b ++=（）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】D 【分析】利用等比数列的定义可推导出“梦想数列”{}n a 是公比为12的等比数列，进而结合题意可知数列{}n b 是公比为2的等比数列，由此可得()56781232b b b b b b ++=++，即可得解.【详解】由题意可知，若数列{}n a 为“梦想数列”，则1120n n a a +-=，可得112n n a a +=，所以，“梦想数列”{}n a 是公比为12的等比数列，若正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，则1112n n b b +=，所以，12n n b b +=，即正项数列{}n b 是公比为2的等比数列，因为1231b b b ++=，因此，()5678123232b b b b b b ++=++=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为12的等比数列，解题要将这种定义应用到数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，推导出数列{}n b 为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解.7．（2021·全国高三其他模拟）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且220a =，798S =，则（）A ．1534a a +=B ．89a a <C ．9n S S ≤D ．满足0nS <的n 的最小值为17【答案】AD 【分析】先由等差数列的性质及798S =求得414a =，结合220a =及等差数列的性质即可判断选项A ；由选项A 得到数列{}n a 的公差，进而得到等差数列{}n a 的通项公式，然后求出8a ，9a 的值，结合{}n a 的增减性即可判断选项B ，C ；由等差数列的性质及8a ，9a 易得到16S ，17S 的值，结合{}n a 的增减性即可判断选项D ．【详解】因为()177477982a a S a +===，所以414a =.又220a =，所以152434a a a a +=+=，A 选项正确；设等差数列{}n a 的公差为d ，由4226a a d -==-，解得3d =-，所以()()223263n a a n n =+-⨯-=-.826382a =-⨯=，926391a =-⨯=-.所以89a a >，B 选项不正确；由3d =-知数列{}n a 为递减数列，又820a =>，910a =-<.所以8S 为n S 的最大值，C 选项不正确；因为()()1161689168802a a S a a +==+=>，()11717917171702a a S a +==⨯=-<.所以满足0n S <的n 的最小值为17，D 选项正确.故选AD ．【点睛】结论点睛：在处理等差数列及其前n 项和问题时，通常会用到如下的一些性质结论；1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .2.前n 项和的性质：(1)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .8．（2021·全国（文））《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（）A ．甲得钱是戊得钱的2倍B ．乙得钱比丁得钱多12钱C ．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D ．丁、戊得钱的和比甲得钱多13钱【答案】AC 【分析】由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，结合已知求a ，d ，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，且22a d a d a a d a d -+-=++++，即6a d =-，又2255a d a d a a d a d a -+-+++++==，∴1a =，16d =-，即1421263a d ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，17166a d ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，15166a d ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，1221263a d ⎛⎫+=+⨯-= ⎪⎝⎭，∴甲得43钱，乙得76钱，丙得1钱，丁得56钱，戊得23钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的2倍，故A 正确；乙得钱比丁得钱多751663-=钱，故B 错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的413276+=倍，故C 正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多52416336+-=钱，故D 错误．故选：AC ．9．（2021·全国高二专题练习）数列{}n a 为等比数列，公比q >1，其前n 项和为S n ，若a 5﹣a 1=15，2416a a ⋅=，则下列说法正确的是（）A ．S n +1=2S n +1B ．a n =2nC ．数列{log 3(S n +1)}是等比数列D ．对任意的正整数k (k 为常数)，数列{log 2(S n +k ﹣S n )}是公差为1的等差数列【答案】AD 【分析】根据条件可求出12n n a -=，21nn S =-，然后逐一判断即可.【详解】因为公比为q >1，由512415,16,a a a a -=⎧⎨⋅=⎩可得41131115,16,a q a a q a q ⎧-=⎨⋅=⎩，即421154q q -=，所以4q 4﹣15q 2﹣4=0，解得q 2=4，所以112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=，()1122112n n nS ⋅-==--，所以112121n n n S S ++=-=+，S n +1=2n ，所以log 3(S n +1)=n log 32，所以数列{log 3(S n +1)}是等差数列，对任意的正整数n ，k ，S n +k ﹣S n =2n +k ﹣2n =(2k ﹣1)2n ，所以log 2(S n +k ﹣S n )=n +log 2(2k ﹣1)，所以数列{log 2(S n +k ﹣S n )}是公差为1的等差数列，故选：AD10．（2021·济南市历城第二中学高二开学考试）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020220212020S S -=，则数列{}n a 公差为___________.【答案】4【分析】由等差数列性质可知，112n S n a d n -=+，从而得到结果.【详解】由等差数列性质可知，112n S n a d n -=+又20212020220212020S S -=，∴2019101022d d -=,解得，4d =故答案为：411．（2021·河南高三月考（理））已知数列{}n b ，()1*12N n n b b b n +-==∈，等比数列{}n a 中，11a b =，48a b =，若数列{}n b 中去掉与数列{}n a 相同的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，则{}n c 前200项的和为___________.【答案】42962【分析】根据等差数列的定义，结合等比数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n 项和公式进行求解即可.【详解】∵12n n b b +-=，∴{}n b 为等差数列，又12b =，∴2n b n =，∴12a =，416a =，则等比数列{}n a 的公比为2=，∴2n n a =.∵208416b =，12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，664a =，7128a =，8256a =，9512a =.∴()()1220012208128c c c b b b a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()82122082416212⨯-⨯+=--()920920822=⨯--42962=.故答案为：4296212．（2021·广东汕头市·高三三模）已知数列{}n a 满足()12335213nn a a a n a ++++-= ，则3a =__________，若对任意的N n *∈，()1nn a λ≥-恒成立，则λ的取值范围为_____________.【答案】185[]3,2-【分析】由1n =可求得1a 的值，令2n ≥由()12335213nn a a a n a ++++-= 可得出()1123135233n n a a a n a --++++-= ，两式作差可得出数列{}n a 的通项公式，可得出3a 的值，然后分n 为奇数和偶数两种情况讨论，分析数列{}n a 的单调性，由此可求得实数λ的取值范围.【详解】当1n =时，13a =；当2n ≥时，()()12313523213nn n a a a n a n a -++++-+-= ，可得()1123135233n n a a a n a --++++-= ，上述两式作差可得()11213323nn n n n a ---=-=⋅，即12321n n a n -⋅=-，13a =不满足12321n n a n -⋅=-，所以，13,123,221n n n a n n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪-⎩，则23231855a ⨯==.当2n ≥时，()()()118312323021212121n n n n n n a a n n n n -+⋅⋅-⋅⋅-=-=>+--+，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 从第二项开始为递增数列，对任意的N n *∈，()1nn a λ≥-恒成立.①若n 为正奇数，则n a λ≥-，1351835a a a =<=<< ，则3λ-≤，可得3λ≥-；②若n 为正偶数，则n a λ≥，可得22a λ≤=.综上所述，32λ-≤≤.故答案为：185；[]3,2-.【点睛】思路点睛：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项公式n a 的步骤：（1）当1n =时，11a S =；（2）当2n ≥时，根据n S 可得出1n S -，化简得出1n n n a S S -=-；（3）如果1a 满足当2n ≥时1nn n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式为1n n n a S S -=-；如果1a 不满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式要分段表示为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.13．（2021·山东临沂市·高三二模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足21444n n S a n +=--，且1112a b =+=，44a b =．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若从数列{}n a 中去掉数列{}n b 的项后余下的项按原来的顺序组成数列{}n c ，求123100c c c c +++⋅⋅⋅+．【答案】（1）证明见解析；（2）11302．【分析】（1）由递推公式，将n 换成1n -，与原式作差，化简，求出1a ，结合等差数列的定义可证明.（2）先求出,n n a b 的通项公式，求出数列{}n a 的前100项中，与{}n b 重合的项，然后再求和即可.【详解】（1）证明：∵21444n n S a n +=--，∴当2n ≥时，2144n n S a n -=-，所以22n n 1n4a a a 4+=--，∴()2212n n a a +=+，又0na >，所以12n n a a +=+．当1n =时，21248S a =-，即21248a a =-，又12a =，∴24a =，212a a -=适合上式，所以数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列．（2）由（1）可知2n a n =，设{}n b 的公比为q ，又448b a ==，1111b a =-=，∴38q =，∴2q =，∴12n n b -=．∴11b =，212b a ==，324b a ==，448b a ==，5816b a ==，61632b a ==，73264b a ==，864128b a ==，9128256b a ==．∴()()123100123107238c c c c a a a a b b b +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()7212107221411302212-+=-=-．【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系证明数列为等差数列，数列求和问题，解答本题的关键是应用1111n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩时，注意n 的范围，以及求和时根据条件123100c c c c +++⋅⋅⋅+()()123107238a a a a b b b =+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+，属于中档题.14．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知数列{}n a 中，121a a ==，且212n n n a a a ++=+.记1n n n b a a +=+，求证：（1）{}n b 是等比数列；（2）{}n b 的前n 项和n T 满足：3121223112n n n b b b T T T T T T ++++⋅⋅⋅+<⋅⋅⋅.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）将212n n n a a a ++=+变形为()2112n n n n a a a a ++++=+，并计算1b 的值，由此根据定义可证明{}n b 是等比数列；（2）先根据等比数列的前n 项和公式求解出n T ，然后根据1111n n n n n n n b T T T T T T ++++-=⋅⋅并采用裂项相消的方法求解出11n n n b T T ++⎧⎫⎨⋅⎩⎭的前n 项和，最后分析11n n n b T T ++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和并完成证明.【详解】（1）证明：由212n n n a a a ++=+，得()121122n n n n n n b a a a a b ++++=+=+=，又11220b a a =+=≠，所以{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，()22222112n n n T -⨯==--.于是1111111111122121n n n n n n n n n n n b T T T T T T T T ++++++-⎛⎫==-=- ⎪⋅⋅--⎝⎭.31212231n n n b b b T T T T T T ++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅1223111111112212121212121n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111221n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭.因为11021n +>-，所以3121223112n n n b b b T T T T T T ++++⋅⋅⋅+<⋅⋅⋅.。

Ⅰ题型归类练习1．已知等比数列{}n a ，12a =，且2525(3)2n n n a a -⋅≥=，试求21222l o g ()l o g ()l o g ()n a a a +++ 例1． 数列121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，求212a ab -。

练习1．等比数列{}n b 中，0nb >，524346236b b b b b b ++=，求53b b +。

练习2．等比数列{}n b 前n 项和n S ，若422S S =，求{}n b 公比。

二、求数列通项例1． 数列{}n a 满足21nn S a =+(1n ≥)，求n a 。

练习1．数列{}n a 满足11a =，且10n n n a S S -⋅+=(2n ≥)，试求n a 。

类型3．1()n n a a f n +=+⇒1()n n a a f n +-=⇒利用累加法(逐差相加法)求解例3．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，求n a 。

练习3．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n n +=++，求n a 。

类型4．1()n n a f n a +=⨯ ⇒1()n na f n a +=⇒利用累乘法(逐商相乘法)求解例4．已知数列{}n a 满足123a =，1(1)n n n a na ++=，求n a 。

练习4．已知数列{}n a 满足13a =，1(43)(41)n n n a n a ++=-，求n a 。

类型5．1n n a pa q +=+(其中p,q 为常数,(1)0pq p -≠) ⇒ 待定系数法例5．已知数列{}n a 中，满足12a =，121n n a a +=+，求n a 。

解：由条件得：12()n n a t a t ++=⨯+⇒ 1t = ⇒112(1)n n a a ++=⨯+ ⇒ 令1n n b a =+，则{}n b 是以1113b a =+=为首项，2为公比的等比数列 ⇒ 132n n b -=⨯ ⇒ 1321n n a -=⨯-练习5．已知数列{}n a 中，满足11a =，124nn a a +=+，求n a 。

等差等比数列综合应用一、选择题１、在等比数列{}n a 中，n S 为其前ｎ项和，若103013S S =，1403010=+S S ，则20S 的值是（） A50 B40 C30 D 13102、数列{}n a 且公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 且等比数列，{}n b 的相邻三项，若52=b ，则n b 等于（）A 1355-⎪⎭⎫ ⎝⎛∙n B 1535-⎪⎭⎫⎝⎛∙n C 1533-⎪⎭⎫⎝⎛∙n D 1353-⎪⎭⎫⎝⎛∙n3、已知数列{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ，则数列{}n a 的前10项的和为（）A56 B61 C65 D674、数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且76b a =，则有（） A 10493b b a a +≤+ B 10493b b a a +≥+C 10493b b a a +≠+D 93a a +与104b b +的大小不确定5、数列{}n a 中，n a 互不相等且0≠n a ，321,,a a a 成等差数列，432,,a a a 成等比数列，543,,a a a 的倒数成等差数列，则531,,a a a （）A 成等差数列B 倒数成等差数列C 成等比数列D 倒数成等比数列6、{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且121211,++==n n b a b a ，则（） A 11++=n n b a B 11++>n n b a C 11++<n n b a D 11++≥n n b a7、各项是正数的等比数列{}n a 公比1≠q 且132,,21,a a a 成等差数列，5443a a a a ++=（）A215+ B215- C251- D215+或215-8、等比数列{}n a 中，0>n a ，b a a a a a m m m m ==+++605010,，则135125++m m a a =（）A22aab bB235a b - Cab D235b a -9、数列{}n a 的通项公式212log++=n n n a ()+∈N n ，设其前n 项和为nS，则使5-<n S 成立的自然数n 有（）A 最小值63B 最大值63C 最小值31D 最大值3110、在下列表格中每格填上一数字，每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a+b+c=（）A1 B2 C3 D411、两等差数列2，5，8 197与2，7，12 197中公共项的和为（） A1939 B1339 C1933 D139312、命题甲：22,2,211x x x-⎪⎭⎫⎝⎛成等比数列，命题乙：()()3lg ,1lg ,lg ++x x x 成等差数列，则甲是乙的（）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件二、填空题13、互不相等的三个数a ，b ，c 成等差数列，a ，c ，b 成等比数列，则a ：b ：c=_____ 14、方程031631622=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++nx x mx x 的四个实根组成一个首项为23的等比数列，则n m -=_____15、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12-=n n a ，则n nn n n S C S C S C +++ 2211=_____16、已知n S 是首项为1，公比为()1≠q q 的等比数列{}n a 的前n 项和，则223122021C S C S C S +-=____________334233132031=-+-C S C S C S C S由此归纳()_____1134231201=-++-+-+nn n nn n n n C S C S C S C S C S三、解答题17、已知等差数列{}n a 中，83=a ，前n 项和为n S 61020=S （1）求{}n a 的通项公式（2）从{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项 第n 2项按原顺序组成一个新数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n T18、已知()nn x a x a x a x f +++= 221，且n a a a 21,组成等差数列，n 为正偶数，又()()n f n f =-=1,12，试比较⎪⎭⎫⎝⎛21f 与3的大小19、已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()n S n ,均在函数()x f y=的图像上（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设13+=n n n a a b ，{}n b 的前n 项和n T ，求使20m T n <对所有+∈N n 都成立的最小正整数m20、函数()x f 对任意R x ∈都有()()211=-+x f x f（1）求⎪⎭⎫⎝⎛21f 和()+∈⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛N n n n f n f 11的值（2）数列{}n a 满足()()11210f n n f n f n f f a n +⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ，数列{}n a 是等差数列吗？给予证明 （3）nS b b b T a b n n n n n 1632,,14422221-=+++=-= ，试比较n T 与n S 的大小21、已知21=a ，点()1,+n n a a 在函数()x x x f 22+=的图像上，+∈N n （1）证明数列(){}n a +1lg 是等比数列（2）设()()()n n a a a T +++=11121 ，求n T 及{}n a 的通项 （3）设211++=n nn a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并证明1132=-+n n T S。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

等差数列等比数列综合练习题一．选择题1. 已知 a n 1 a n 3 0 ，则数列 a n 是 （ ） A. 递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列2. 等比数列 { a n } 中，首项 a 1 8 ，公比 q 1，那么它的前 5 项的和 S 5 的值是（ ）A ． 31． 33 2 ． 35 ． 37 C22223. 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 S 7=35，则 a 4=( )A. 8B.7C.6D.54. 等差数列 { a n } 中， a 1 3a 8 a15120,则 2a 9a10（）A ．24B ．22C ．20D ．-85. 数列 a n 的通项公式为 a n 3n 228n ，则数列 a n 各项中最小项是 （ ）A. 第 4 项B.第 5 项C.第 6 项 D. 第 7 项6. 已知 a ， b ， c ， d 是公比为 2 的等比数列，则 2a b等于（ ）2cdA ．1B ． 1． 1 ． 12C 4D 87.在等比数列 a n 中, a 7 ? a 11 6, a 4 a 14 5, 则a 20()a 10A. 2B.3C. 2 或3 D.2 或3323 2328.已知等比数列 a n 中, a n >0, a 2a 4 2a 3a 5 a 4 a 6 25 ,那么 a 3 a 5 =( )A.5B .10C.15D .209.各项不为零的等差数列a n 中 ,有 2a 3 a 722a 110 ,数列 b n 是等比数列 ,且b7 a7 , 则 b6b8( )A.2B. 4C.8 D .1610.已知等差数列a n中,a n 0, 若 m 1且 a m 1 a m1 a m2 0, S2 m 1 38, 则m等于A. 38B. 20C.10D. 911.已知s n是等差数列a n(n N * ) 的前n项和,且 s6 s7 s5,下列结论中不正确的是 ( )A. d<0B. s11 0C. s12 0D. s13 012.等差数列{ a n}中，a1，a2 ， a4恰好成等比数列，则a4 的值是（）a1A ．1 B．2 C．3 D．4二．填空题13．已知 { a n} 为等差数列， a15＝8，a60＝20，则 a75＝________14. 在等比数列{ a n}中，a2?a816 ，则 a5=__________15．在等差数列 { a n} 中，若 a7＝m，a14＝n，则 a21＝__________16. 若数列x n满足lg x n 1 1 lg x n n N,且x1x2L x100100 ,则lg x101x102L x200________17.等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n,若 a3+a17=10,则 S19的值_________18.已知等比数列 {a n} 中， a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前 9 项之和等于_________三.解答题19.设三个数 a ，b， c 成等差数列，其和为6，又 a ，b，c 1成等比数列，求此三个数 .20. 已知数列a n中，a11,a n2a n 13，求此数列的通项公式.21. 设等差数列an的前n项和公式是sn5n23n ,求它的前3项，并求它的通项公式 .22. 已知等比数列a n的前n项和记为S n,，S10=10，S30=70，求S40。

4.2数列大题4.2.1等差、等比数列的综合问题必备知识精要梳理1.判断给定的数列{a n}是等差数列的方法(1)定义法:a n+1-a n=d是常数(n∈N*).(2)通项公式法:a n=kn+b(k,b是常数).(3)前n项和法:数列{a n}的前n项和为S n=An2+Bn(A,B是常数且A2+B2≠0).(4)等差中项法:a n+a n+2=2a n+1(n∈N*).2.若数列{a n},{b n}为等差数列且项数相同,则{ka n},{a n±b n},{pa n+qb n}都是等差数列.3.判断给定的数列{a n}是等比数列的方法(1)定义法:a n+1a n=q(常数q≠0).(2)通项公式法:a n=kq n(k,q为常数,且kq≠0).(3)中项法:a n·a n+2=a n+12(n∈N*).(4)前n项和法:数列{a n}的前n项和为S n=A-Aq n(常数A≠0,公比q≠1).4.若数列{a n},{b n}为等比数列且项数相同,则{ka n}(k≠0),{a n2},{a nb n}都是等比数列.关键能力学案突破热点一等差(比)数列的判断与证明【例1】(2020山东淄博4月模拟,18)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=4a n+3n-1,b n=a n+n.(1)证明:数列{b n}为等比数列;(2)求数列{a n}的前n项和.解题心得1.判断数列是等差(比)数列的方法通常有四种,证明数列是等差(比)数列的方法常用定义法.2.对已知数列a n与S n的关系,证明{a n}为等差或等比数列的问题,解题思路是:由a n与S n 的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.【对点训练1】(2019全国Ⅱ,理19)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.热点二等差数列的通项及求和【例2】(2019全国Ⅰ,文18)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{a n}的通项公式;(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.解题心得a1,n,d是等差数列的三个基本量,a n和S n都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,a n,S n中可“知三求二”,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.【对点训练2】(2020海南天一大联考第三次模拟,17)对于由正整数构成的数列{A n},若对任意m,n∈N*且m≠n,A m+A n也是{A n}中的项,则称{A n}为“Q数列”.设数列{a n}满足a1=6,8≤a2≤12.(1)请给出一个{a n}的通项公式,使得{a n}既是等差数列也是“Q数列”,并说明理由;(2)根据你给出的通项公式,设{a n}的前n项和为S n,求满足S n>100的正整数n的最小值.热点三等比数列的通项及求和【例3】(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3=8.(1)求{a n}的通项公式;(2)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b m}的前100项和S100.解题心得1.已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可.2.若已知条件没有明确数列{a n}是等比数列,而是已知a n=f(S n)的关系式,在转化此条件时,通常有两种思路,一是将a n用S n-S n-1代替,二是由a n=f(S n)推出a n-1=f(S n-1),两式作差,消去S n.【对点训练3】(2020四川绵阳三模,理17)若数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,a n+1=23S n.(1)求S n;(2)设b n=1S n ,求证:b1+b2+b3+…+b n<52.热点四等差、等比数列的综合问题【例4】(2020安徽合肥4月质检二,理17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2=1,S7=14,数列{b n}满足b1·b2·b3·…·b n=2n2+n 2.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)若数列{c n}满足c n=b n cos(a nπ),求数列{c n}的前2n项和T2n.解题心得对于等差、等比数列的综合问题,解决的思路主要是方程的思想,即运用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式将已知条件转化成方程或方程组,求出首项、公差、公比等基本量,再由基本量求出题目要求的量.【对点训练4】(2020全国Ⅲ,文17)设等比数列{a n}满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为数列{log3a n}的前n项和.若S m+S m+1=S m+3,求m.热点五等差、等比数列的存在问题【例5】(2020山东新高考模拟,17)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值;若k不存在,说明理由.设等差数列{a n}的前n项和为S n,{b n}是等比数列,,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得S k>S k+1且S k+1<S k+2?解题心得从三个给出的选择性条件中,选择自己好理解的条件是解题的关键,将已知的条件通过逻辑推理进行转换是解题的突破口,较强的运算能力是拿到满分的重要保证.【对点训练5】(2020山东枣庄二模,17)在①S4是a2与a21的等差中项;②a7是S33与a22的等比中项;③数列{a2n}的前5项和为65这三个条件中任选一个,补充在横线中,并解答下面的问题.已知{a n}是公差为2的等差数列,其前n项和为S n,.(1)求a n;(2)设b n=(34)n·a n,是否存在k∈N*,使得b k>278?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.核心素养微专题(四) 求解等差、等比数列的应用题【例1】(2020安徽合肥一中模拟,文12)如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:△ABC 是边长为2的正三角形,曲线CA 1,A 1A 2,A 2A 3是分别以A ,B ,C 为圆心,AC ,BA 1,CA 2为半径画的圆弧,曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线的第一圈,然后又以A 为圆心,AA 3为半径画圆弧,……,这样画到第n 圈,则所得螺旋线的长度l n 为( ) A.(3n 2+n )π B.2(3n 2+n )πC.(3n 2+n )π2D.(3n 2-n+1)π2核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意的基础上,从题目所给的几何图形中通过“数学抽象”得到一组数据;再通过“数学建模”将问题转化为等差数列模型;然后对等差数列模型的各项数值通过“数据分析”得到等差数列的项数和公差;最后通过“数学运算”得出答案.【跟踪训练1】(2019四川绵阳模拟,理16)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n =a n ,若a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的通项公式是 .【例2】已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为6,E ,F ,G 分别为A 1B 1,BB 1,B 1C 1的中点,E 1,F 1,G 1分别为EB 1,FB 1,B 1G 的中点,E 2,F 2,G 2分别为E 1B 1,F 1B 1,B 1G 1的点,……,依此类推,令三棱锥B-A 1B 1C 1的体积为V 1,三棱锥F-EB 1G 的体积为V 2,三棱锥的体积为F 1-E 1B 1G 1的体积为V 3,……,则V 1+V 2+V 3+…+V n =( ) A.288-18×(14)n -23B.288-18×(14)n -13C.288-36×(18)n -17D.576-9×(18)n -27核心素养分析本例考查三个核心素养,考生在读懂题意的基础上,需要从题目所给的正方体中通过“数学抽象”得到三棱锥的一组体积数据;再通过“数学建模”将问题转化为等比数列模型;然后对等比数列通过“数学运算”得出答案.【跟踪训练2】在数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n 满足3x (S n+1-1)=(2x+3)S n x ≠0,x ≠-32,n ∈N *.令f (x )=a n+1a n,则f (x )= .4.2 数列大题4.2.1 等差、等比数列的综合问题关键能力·学案突破【例1】 (1)证明 ∵b n =a n +n ,∴b n+1=a n+1+n+1.又a n+1=4a n +3n-1,∴bn+1b n=a n+1+n+1a n +n=(4a n +3n -1)+n+1a n +n=4(a n +n )a n+n =4.又b 1=a 1+1=1+1=2,∴数列{b n }是首项为2,公比为4的等比数列. (2)解 由(1)知,b n =2×4n-1,∴a n =b n -n=2×4n-1-n ,∴S n =a 1+a 2+…+a n =2(1+4+42+…+4n-1)-(1+2+3+…+n )=2(1-4n )−n (n+1)=23(4n -1)-12n 2-12n. 对点训练1 (1)证明 由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n +b n ),即a n+1+b n+1=12(a n +b n ).又因为a 1+b 1=1,所以{a n +b n }是首项为1,公比为12的等比数列. 由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n -b n )+8,即a n+1-b n+1=a n -b n +2. 又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)知,a n +b n =12n -1,a n -b n =2n-1.所以a n =12[(a n +b n )+(a n -b n )]=12n +n-12,b n =12[(a n +b n )-(a n -b n )]=12n -n+12. 【例2】 解 (1)设{a n }的公差为d.由S9=-a5,得a1+4d=0.由a3=4,得a1+2d=4.可得a1=8,d=-2.因此{a n}的通项公式为a n=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故a n=(n-5)d,S n=n(n-9)d.由a1>0知d<0,故S n≥a n等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.对点训练2解(1)给出的通项公式为a n=2n+4,a1=6,a2=8符合题意.因为对任意n∈N*,a n+1-a n=2(n+1)+4-2n-4=2,所以{a n}是公差为2的等差数列.对任意m,n∈N*且m≠n,a m+a n=2m+4+2n+4=2(m+n+2)+4=a m+n+2,所以{a n}是“Q数列”.(2)因为{a n}是等差数列,所以S n=n(6+2n+4)2=n2+5n(n∈N*).因为S n单调递增,且S7=72+5×7=84<100,S8=82+5×8=104>100,所以n的最小值为8.注:以下答案也正确,解答步骤参考上面内容:①a n=3n+3,S n=32n2+92n,n的最小值为7;②a n=6n,S n=3n2+3n,n的最小值为6.【例3】解(1)设{a n}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,b m=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.对点训练3(1)解a n+1=2S n,可得a n+1=S n+1-S n=2S n,即S n+1=5S n,由a 1=1,可得S 1=1,可得数列{S n }是首项为1,公比为53的等比数列,则S n =(53)n -1;(2)证明 因为b n =1n=(3)n -1,所以{b n }是首项为1,公比为35的等比数列,则b 1+b 2+b 3+…+b n =1-(35)n 1-35=521-(35)n <52.【例4】 解 (1)设{a n }的公差为d ,由a 2=1,S 7=14得{a 1+d =1,7a 1+21d =14.解得a 1=12,d=12,所以a n =n2.∵b 1·b 2·b 3·…·b n =2n 2+n2=2n (n+1)2,∴b 1·b 2·b 3·…·b n-1=2n (n -1)2(n ≥2),两式相除得b n =2n (n ≥2).当n=1时,b 1=2,适合上式,∴b n =2n . (2)∵c n =b n cos(a n π)=2n cos (nπ),∴T 2n =2cos π2+22cos π+23cos 3π2+24cos 2π+…+22n-1cos(2n -1)π2+22n cos n π=22cos π+24cos 2π+26cos 3π+ (22)cos n π=-22+24-26+…+(-1)n·22n=-4[1-(-4)n ]1+4=-4+(-4)n+15.对点训练4 解 (1)设{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n-1.由已知得{a 1+a 1q =4,a 1q 2-a 1=8,解得a 1=1,q=3.所以{a n }的通项公式为a n =3n-1. (2)由(1)知log 3a n =n-1,故S n =n (n -1)2.由S m +S m+1=S m+3得m (m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m 2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.【例5】 解 因为在等比数列{b n }中,b 2=3,b 5=-81,所以公比q=-3,从而b n =b 2(-3)n-2=3×(-3)n-2,从而a 5=b 1=-1.若存在k ,使得S k >S k+1,即S k >S k +a k+1,从而a k+1<0; 同理,若使S k+1<S k+2,即S k+1<S k+1+a k+2,从而a k+2>0.若选①:由b 1+b 3=a 2,得a 2=-1-9=-10,又a 5=-1,则可得a 1=-13,d=3,所以a n =3n-16,当k=4时,能使a5<0,且a6>0成立;若选②:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列{a n}为递减数列,故不存在a k+1<0,且a k+2>0;若选③:由S5=-25=5(a1+a5)2=5a3,解得a3=-5,从而a n=2n-11,所以当k=4时,能使a5<0,a6>0成立.对点训练5解(1)若选①S4是a2与a21的等差中项,则2S4=a2+a21,即24a1+4×32×2=(a1+2)+(a1+20×2).解得a1=3.所以a n=3+2(n-1)=2n+1.若选②a7是S33与a22的等比中项,则a72=S33·a22,即(a1+6×2)2=a1+3-12×2·(a1+21×2).解得a1=3.所以a n=3+2(n-1)=2n+1.若选③数列{a2n}的前5项和为65,则a2+a4+a6+a8+a10=65,即5a1+25d=65,解得a1=3.所以a n=3+2(n-1)=2n+1.(2)不存在.理由如下,b n=(34)n·a n=(2n+1)·(34)n.b n+1-b n=(2n+3)·(3)n+1-(2n+1)·(3)n=3n4n+1[3(2n+3)-4(2n+1)]=3n4n+1(5-2n).所以b n+1>b n可转化为b n+1-b n>0,即5-2n>0,解得n<2.5,则n=1,2,即b3>b2>b1;b n+1<b n可转化为b n+1-b n<0,即5-2n<0,解得n>2.5,则n=3,4,5,…,即b3>b4>b5>….所以{b n}中的最大项为b3=(2×3+1)×(34)3=7×2764.显然b3=7×2764<8×2764=278.所以∀n∈N*,b n<278.所以不存在k∈N*,使得b k>278.核心素养微专题(四)【例1】B解析第一圈的三段圆弧为CA1,A1A2,A2A3,第二圈的三段圆弧为A3A4,A4A5,A5A6,…,第n圈的三段圆弧为A3(n-1)A3n-2,A3n-2A3n-1,A3n-1A3n.各段圆弧的长度分别为2×2π3,4×2π3,6×2π3,8×2π3,10×2π3,12×2π3,…,(6n-4)×2π3,(6n-2)×2π3,6n ×2π, 此数列是以4π3为首项,4π3为公差,项数为3n 的等差数列, 则l n =(2×2π3+6n×2π3)×3n 2=2(3n 2+n )π,故选B .跟踪训练1 a n =√3n -2 解析 设S △OA 1B 1=S ,∵a 1=1,a 2=2,OA n =a n , ∴OA 1=1,OA 2=2.又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2, ∴S △OA 1B1S △OA 2B2=(OA 1)2(OA 2)2=(12)2=14.∴S 梯形A 1B 1B 2A 2=3S △OA 1B 1=3S.∵所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等,且△OA 1B 1∽△OA n B n , ∴OA 1OA n=√S △OA 1B1S △OA n B n=√S S+3(n -1)S =√13n -2.∴a1a n=√3n -2,∴a n =√3n -2. 【例2】 C 解析 由题意得V 1=13×12×6×6×6=36.因为E ,F ,G 分别为A 1B 1,BB 1,B 1C 1的中点,所以三棱锥F-EB 1G 的体积为V 2=18V 1;E 1,F 1,G 1分别为EB 1,FB 1,B 1G 的中点,所以V 3=18V 2;E 2,F 2,G 2分别为E 1B 1,F 1B 1,B 1G 1的中点,所以V 4=18V 3;…,V k+1=18V k . 所以V 1,V 2,V 3,…,V n 成等比数列,且首项为36,公比为18, 所以S n =36×[1-(18)n]1-18=288-36×(18)n -17.故选C .跟踪训练22x+33x解析 由题知,当n=1时,3x (a 1+a 2-1)-(2x+3)a 1=0,因为a 1=1,所以a 2=2x+33x , 所以a2a 1=2x+33x . 当n ≥2时,有3x (S n+1-1)-(2x+3)S n =0, ① 3x (S n -1)-(2x+3)S n-1=0,②①-②得3xa n+1-(2x+3)a n=0,即a n+1a n =2x+33x,于是f(x)=2x+33x.。

高二数学数列综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 与b ，n ，c 分别成两个等差数列，则a m ＋cn等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为 ( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－143．设等比数列{a n }的前n 项与为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( )A ．2 B.73 C.83D ．34．已知数列{a n }的前n 项与为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于 ( ) A ．－54 B.54 C.516 D.25165．等比数列{a n }的前n 项与为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．166．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n －1)·…·2·110n，则{a n }为( )A ．递增数列B ．递减数列C ．从某项后为递减D ．从某项后为递增7．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项与为S n ，则数列{S nn}的前11项与为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－668．设数列{a n }的前n 项与为S n , 已知15a =，且12(1)(1)n n nS n n n S +=+++( n ∈N*)， 则过点P(n,n a ) 与Q(n+2,2+n a )( n ∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ）A ．（2，21）B ．(-1, -1)C ．(21-, -1)D ．（2,21--）9．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 29a 11的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－410．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项与分别为A n 与B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．511．已知{a n }是递增数列，对任意的n ∈N *，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则λ的取值范围是 ( )A ．(－72，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 008项的与等于 ( ) A ．1 506 B ．3 012 C ．1 004D ．2 008二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13.已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时3a n ＋1，当a n 为奇数时，若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．14.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝a n －1＋1n 2－1(n ≥2)，则{a n }的通项公式为________．15．已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项与为S n (n ∈N *)．若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，则通项公式a n ＝________. 16.下面给出一个“直角三角形数阵”： 14 12，1434，38，316满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式．⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nna b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010的值． 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，其前n 项与为S n ，且n ，a n ，S n 成等差数列(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n >57时n 的取值范围． 19．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ≠0)，不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a n }的前n 项与为S n ＝f (n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设各项均不为0的数列{c n }中，满足c i ·c i ＋1<0的正整数i 的个数称作数列{c n }的变号数，令c n ＝1－aa n(n ∈N *)，求数列{c n }的变号数．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n －1·a 2n ，求数列{b n }的前n 项与S n .21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项与为S n ，点(n ，S nn)在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项与为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项与为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．22．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．数列综合测试题参考答案一、选择题CABDC DDDBD DA 二、填空题13、4，5，32 14、a n ＝54－2n ＋12n (n ＋1)15、n ＋1 16、12三、解答题17．⑴由题意得（a 1＋d ）(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2(d >0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n －1．⑵当n ＝1时，c 1＝3 当n ≥2时，∵,1n n nna abc -=+∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n故132-⋅=n n c18．解：(1)∵n ，a n ，S n 成等差数列，∴S n ＝2a n －n ，S n －1＝2a n －1－(n －1) (n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1－1 (n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)，两边加1得a n ＋1＝2(a n －1＋1) (n ≥2)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2 (n ≥2)． 又由S n ＝2a n －n 得a 1＝1.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，S n ＝2a n －n ＝2n ＋1－2－n ，∴S n ＋1－S n ＝2n ＋2－2－(n ＋1)－(2n ＋1－2－n ) ＝2n ＋1－1>0，∴S n ＋1>S n ，{S n }为递增数列．由题设，S n >57，即2n ＋1－n >59. 又当n ＝5时，26－5＝59，∴n >5.∴当S n >57时，n 的取值范围为n ≥6(n ∈N *)．19．解：(1)由于不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素， ∴Δ＝a 2－4a ＝0⇒a ＝4， 故f (x )＝x 2－4x ＋4.由题S n ＝n 2－4n ＋4＝(n －2)2 则n ＝1时，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n －2)2－(n －3)2＝2n －5， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，2n －5 n ≥2.(2)由题可得，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 n ＝11－42n －5 n ≥2.由c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，所以i ＝1，i ＝2都满足c i ·c i ＋1<0，当n ≥3时，c n ＋1>c n ，且c 4＝－13，同时1－42n －5>0⇒n ≥5，可知i ＝4满足c i 、c i ＋1<0，n ≥5时，均有c n c n ＋1>0.∴满足c i c i ＋1<0的正整数i ＝1,2,4，故数列{c n }的变号数为3.20．解：(1)经计算a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝18.当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2，即数列{a n }的奇数项成等差数列，∴a 2n －1＝a 1＋(n －1)·2＝2n －1.当n 为偶数时，a n ＋2＝12a n ，即数列{a n }的偶数项成等比数列，∴a 2n ＝a 2·(12)n －1＝(12)n.因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，(12)n2(n 为偶数).(2)∵b n ＝(2n －1)·(12)n，∴S n ＝1·12＋3·(12)2＋5·(12)3＋…＋(2n －3)·(12)n －1＋(2n －1)·(12)n， ①12S n ＝1·(12)2＋3·(12)3＋5·(12)4＋…＋(2n －3)·(12)n＋(2n －1)·(12)n ＋1， ②①②两式相减， 得12S n ＝1·12＋2[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]－(2n －1)·(12)n ＋1 ＝12＋12·[1－(12)n －1]1－12－(2n －1)·(12)n ＋1＝32－(2n ＋3)·(12)n ＋1. ∴S n ＝3－(2n ＋3)·(12)n .21．解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式． ∴a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列，由{b n }的前9项与为153，可得9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5，∴b n ＝3n ＋2.(2)c n ＝3(2n －1)(6n ＋3)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)． ∵n 增大，T n 增大， ∴{T n }是递增数列．∴T n ≥T 1＝13.T n ＞k57对一切n ∈N *都成立，只要T 1＝13＞k57，∴k ＜19，则k max ＝18.22．解：(1)∵a 1≠0，∴a n ≠0，∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列．(2)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1，∴λ≤(3n ＋1)(3n －2)3n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立．设C n ＝(3n ＋1)(3n －2)3n －3，则C n ＋1－C n ＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1)>0，故C n ＋1>C n ，∴C n 的最小值为C 2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．。

数列等差数列与等比数列练习题数列是数学中基础而重要的概念之一，同时也是数学的应用领域中常见的数学模型之一。

其中，等差数列和等比数列是数列中最基础的两种常见类型。

本文将为大家提供一些关于等差数列和等比数列的练习题，以巩固和提高大家对数列的理解和运用能力。

【练习题一】1. 若等差数列的首项是3，公差是4，求第n项的表达式。

解析：由题意，首项是3，公差是4。

所以等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

代入已知条件，可得an = 3 + (n-1)4。

2. 若等差数列的第7项是18，公差是2，求首项和第n项的和。

解析：由题意，第7项是18，公差是2。

所以等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

代入已知条件，可得18 = a1 + (7-1)2。

解方程得a1 = 5。

首项和第n项的和可以表示为Sn = (n/2) * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。

代入已知条件，得Sn = (n/2) * (5 + 5 + (n-1)*2)。

【练习题二】1. 若等比数列的首项是2，公比是3，求第n项的表达式。

解析：由题意，首项是2，公比是3。

所以等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

代入已知条件，可得an = 2 * 3^(n-1)。

2. 若等比数列的第4项是16，公比是2，求首项和第n项的和。

解析：由题意，第4项是16，公比是2。

所以等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

代入已知条件，可得16 = a1 * 2^(4-1)。

解方程得a1 = 2。

首项和第n项的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a1为首项，r为公比。

代入已知条件，得Sn = 2 * (1 - 2^n) / (1 - 2)。

等差数列等比数列综合练习题一．选择题1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比21=q ，那么它的前5项的和5S 的值是（ ） A ．231 B ．233 C ．235 D ．2373. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7C.6D.54. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（ ） A ．24B ．22C ．20D ．-85. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22等于（ ） A ．1 B ．21 C ．41D ．817.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a •=+=则2010a a =( ) A.23B.32C.23或32 D.23-或 32- 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .209.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且7768,b a b b ==则( )A.2B. 4C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10D. 911.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( )A. d<0B. 110s >C.120s <D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则14a a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二．填空题13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=•a a ，则5a =__________15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=,则()101102200lg x x x +++=________17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________三.解答题19. 设三个数a ，b ，c 成等差数列，其和为6，又a ，b ，1+c 成等比数列，求此三个数.20. 已知数列{}n a 中，111,23n n a a a -==+，求此数列的通项公式.21. 设等差数列{}na的前n项和公式是253ns n n=+,求它的前3项，并求它的通项公式.22. 已知等比数列{}n a的前n项和记为S n,，S10=10，S30=70，求S40。

习题课(一) 等差数列、等比数列的综合一、选择题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝( )A．2n－1B．n－1C.n－1D．解析：选B　因为a n＋1＝S n＋1－S n，所以由S n＝2a n＋1，得S n＝2(S n＋1－S n)，整理得3S n＝2S n＋1，所以＝，所以数列{S n}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故S n ＝n－1.2．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，b n＝log2a n，则数列{b n}的前10项和等于( )A．130 B．120 C．55 D．50解析：选C　在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1－2a n＝0，即＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以a n＝2×2n－1＝2n.所以b n＝log22n＝n.则数列{b n}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C.3．[多选]已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5＜a k＜9，则k可以是( )A．9 B．8 C．7 D．6解析：选AB　∵S n＝n2－9n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－10.又a1＝S1＝－8，符合上式．∴a n＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜9，解得7.5＜k＜9.5，∴k＝8或9.故选A、B.4．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值为( )A．13 B．－76 C．46 D．76解析：选B　∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S22＝(－4)×11＝－44，S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.5．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a4a6－2a＋a2a4＝144，则a5－a3＝( ) A．6 B．8 C．10 D．12解析：选D　∵{a n}是递增的等比数列，∴由a4a6－2a＋a2a4＝144，a5－a3>0可得a－2a3a5＋a＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故选D.6．已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a3－2a＋3a7＝0，数列{b n}是等比数列，且b6＝a6，则b1b7b10等于( )A．1 B．2 C．4 D．8解析：选D　根据等差数列的性质，得a3＋a7＝2a5，a5＋a7＝2a6.又a3－2a＋3a7＝0，所以2a5＋2a7－2a＝0，即2a6＝a，解得a6＝2或a6＝0(舍去)，所以b6＝a6＝2，则b1b7b10＝b2b6b10＝b＝8.二、填空题7．对于项数为m(m≥3)的有穷数列{a n}，若存在项数为m＋1的等比数列{b n}，使得b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m，则称数列{b n}为{a n}的“等比分割数列”．已知数列7,14,38,60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)解析：取一个首项为6，公比为2的数列即满足b k＜a k＜b k＋1，其中k＝1,2，…，m.答案：6,12,24,48,968．已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1·b n＝0.若b n＝3n－1，则数列{a n}的前n项和S n＝________.解析：因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0，所以－＝2，所以数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1.由b n＝3n－1，得a n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1,3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，两式相减得－2S n＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)3n，所以S n＝(n－1)3n＋1.答案：(n－1)3n＋1三、解答题9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝3S n＋1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)由a n＝3S n＋1，得a n＋1＝3S n＋1＋1，两式相减，得a n＋1－a n＝3(S n＋1－S n)＝3a n＋1，即＝－.又a1＝3S1＋1＝3a1＋1，得a1＝－，所以a2＝－×＝.(2)由(1)知，数列{a n}是首项为－，公比为－的等比数列，所以a n＝×n－1＝n.10．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1＝a，a≠0，前n项和为S n，且，，成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列的前n项和为A n，若A2 021＝，求实数a的值．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由2＝·，即a＝a1·a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，所以a n＝a＋(n－1)a＝na.(2)因为S n＝＝，所以＝，所以A n＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝.又A2 019＝＝，所以a＝2.11．(2021·全国乙卷)设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式．(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n<.解：(1)设等比数列{a n}的公比为q.∵a1,3a2,9a3成等差数列，∴6a2＝a1＋9a3，即6q＝1＋9q2，解得q＝.∴a n＝n－1，∴b n＝＝n n.(2)证明：由(1)得，S n＝＝＝＝－×n－1.T n＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n n， ①则T n＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n＋1.　②①－②，得T n＝1＋2＋3＋…＋n－n n＋1＝－n n＋1＝－×n，∴T n＝－×n.∵＝－×n－1＝－×n，且3＋2n>3，∴当n为正整数时，T n<.。

高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题（含答案解析）一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d a 1＋4d24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．]2．设公比为q (q >0)的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23B [S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2 ，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0 ，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1 (舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1，故选B ．]3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝a 1＋2a 3，a 4＝1，则S 4＝( )A ．78B ．158C ．14D ．15D [由S 2＝a 1＋2a 3，得a 1＋a 2＝a 1＋2a 3，即a 2＝2a 3，又{a n }为等比数列，所以公比q ＝a 3a 2＝12，又a 4＝a 1q 3＝a 18＝1，所以a 1＝8.S 4＝a 11－q 41－q＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.故选D ．]4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0,a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]5．(2018·衡水模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [在等比数列中，因为S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，所以a m ＝S m －S m －1＝－11－5＝－16，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝32.则公比q ＝a m ＋1a m＝32－16＝－2，因为S m ＝－11， 所以a 1[12m ]1＋2＝－11，①又a m ＋1＝a 1(－2)m ＝32，② 两式联立解得m ＝5，a 1＝－1.] 6．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1B [a na 2n ＝a 1n －1da 12n －1d ＝a 1－d ＋nda 1－d ＋2nd，若a 1＝d ，则a na 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.] 7．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为( )A ．9B ．27C ．54D ．72B [根据等比数列的基本性质有a 2a 10＝a 26＝6a 6，a 6＝6，所以b 4＋b 6＝a 6＝6，所以S 9＝9b 1＋b 92＝9b 4＋b 62＝27.]8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{a n }中，a 2＝8,16a 24＝a 1a 5，则数列{a n }的前n 项积T n 中的最大值为( )A ．T 3B ．T 4C ．T 5D ．T 6A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则16a 24＝a 1a 5＝a 2a 4＝8a 4，a 4＝12，q 2＝a 4a 2＝116，又q ＞0，则q ＝14，a n ＝a 2q n －2＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＝27－2n ，则T n ＝a 1a 2…a n ＝25＋3＋…＋(7－2n )＝2n (6－n )，当n ＝3时，n (6－n )取得最大值9，此时T n 最大，即(T n )max ＝T 3，故选A ．]二、填空题9．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为________．2 [根据等比中项有a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，化简得a 1＝－4d ，S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d 2a 1＋7d ＝－2d －d＝2.] 10．已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为________．10或11 [由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)，两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b2a＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n 取10或11时，a n 取最小值．]11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________． 16 [S 10＝10a 1＋a 102＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16， 当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．]12．已知函数{a n }满足a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3，且a 1＝1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1的前20项和为________．780 [由a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3得2a n ＋3a n ＋1＝1a n ＋1＋1，即1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以12为首项，2为公差的等差数列，则1a n ＋1＝2n －32，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]三、解答题13．(2018·德阳二诊)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1 . (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n . [解] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n －1， ∴2na n a n ＋1＝2n2n －12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1，∴T n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1.14．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21. (2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)， 所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列， 因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n＋3＝(a1＋3)×2n－1，a n＝3(2n－1)(n∈N*)．。

时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】 D【解析】 ∵a 3＋a 11＝2a 7，∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝a 27＝16，故选D.2．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )B ．－13D ．－19【答案】 C【解析】 ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，由a 3＝9a 1＝a 1·q 2，∴q 2＝9，故a 1＝19.3．(2013·新课标Ⅰ理)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.【答案】 (－2)n －1 【解析】 ∵S n ＝23a n ＋13，∴当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13＝a 1，∴a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2，∴a n ＝1×(－2)n －1＝(－2)n －1. 4．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【分析】 (1)由a 1＝10结合等比数列的性质可求得d 的值，进而求出a n ；(2)首先确定出⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，的n 值，然后分类讨论．【解析】 (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11 ＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400【答案】 B【解析】 S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.2．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】 A【解析】 利用等比数列的性质和通项公式求解． ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵a n >0，∴a 7＝4，a 5＝a 7·q －2＝4×2－2＝1.故选A.3．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )A ．135B ．100C ．95D ．80【答案】 A【解析】 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×(32)3＝135.4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )或5 或5【答案】 C【解析】 由题知q 3＝S 6－S 3S 3＝8，则q ＝2，由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为12，首项为1的等比数列，其前5项和T 5＝1×1－1251－12＝3116，故选C. 5．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700，则a 1等于( )A ．－1 221B ．－C ．－D ．－20【答案】 C【解析】 设{a n }公差为d ，则a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700＝200＋50×50d ，∴d ＝1.把d ＝1代入a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，可得a 1＝－.6．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月【答案】 C【解析】 设第n 个月份的需求量超过万件．则S n －S n －1＝n90(21n－n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＞，解不等式，得n 2－15n ＋54＜0，即6＜n ＜9.∴应选C.7．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】 C【解析】 由a 2·a 3＝2a 1知a 21q 3＝2a 1，又a 1≠0.∴a 1q 3＝2，由a 4和2a 7的等差中项为54得，52＝a 4＋2a 7，即52＝a 1q 3＋2a 1q 6＝2＋4q 3，∴q 3＝18，q ＝12； ∴a 1＝16，S 5＝16?1－125?1－12＝31.8．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( )A ．2－n2n ＋1－12nB ．2－12n －1－n2n(n 2＋n ＋2)－12n(n ＋1)n ＋1－12n ＋1【答案】 B【解析】 S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ，①∴12S n ＝1×122＋2×18＋…＋(n －2)12n －1＋(n －1)·12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②，得：12S n ＝1×12＋1×14＋1×18＋…＋12n －n ×12n ＋1.12S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1.∴S n ＝2－12n －1－n 2n . 二、填空题(每小题10分，共20分)9．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2＝________. 【答案】 52【解析】 由题意知，a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝b 1·b 3＝1×4，∴b 2＝2或－2.又∵b 21＝1×b 2，∴b 2>0，故b 2＝2.∴a 1＋a 2b 2＝52.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.【答案】 11【解析】 利用“特殊值”法，确定公式．由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a1?1－q5?1－q＝1－?－2?53＝11.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．等差数列{a n}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}的前20项和S20.【解析】设数列{a n}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.因为a3，a6，a10成等比数列，所以a3a10＝a26，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0，或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4＝200；当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，于是S20＝20a1＋20×192d＝20×7＋190＝330.12．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在实数λ，使数列{a n}为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．【分析】(1)把a1，a2及n代入已知等式，即可求出λ，从而a3也很容易求出．(2)假设存在实数λ，使数列{a n} 为等差数列，利用等差数列的定义求解．【解析】(1)因为a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，所以λ＝3，所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)不存在实数λ使数列{a n}为等差数列．理由如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)．若存在实数λ，使数列{a n}为等差数列．则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.所以a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{a n}为等差数列矛盾．所以不存在λ使数列{a n}为等差数列．【规律方法】根据等差数列的定义可知，一个数列是不是等差数列，要看任意相邻两项的差是不是同一个常数，要判断一个数列是否为等差数列，需证明a n＋1－a n＝d(d为常数)．。

等差数列与等比数列的求和问题综合练习题数列是数学中常见的一个概念，它包含了一系列按照某种规律排列的数字。

在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的类型，它们之间存在着不同的求和方法。

本文将通过综合练习题的方式，详细探讨等差数列与等比数列的求和问题。

一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

首先，我们来看一个等差数列求和的例子。

例题1：已知等差数列的首项a1为3，公差d为4，求前10项的和S10。

解题思路：利用等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d，其中an代表数列的第n 项。

首先计算出第10项的值a10 = a1 + (10-1)d = 3 + (10-1)4 = 3 + 9*4 = 3 + 36 = 39。

其次计算出前10项的和S10 = (a1 + a10) * n / 2 = (3 + 39) * 10 / 2= 42 * 10 / 2 = 210。

答案：前10项的和S10为210。

二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。

下面我们来看一个等比数列求和的例子。

例题2：已知等比数列的首项a1为3，公比q为2，求前5项的和S5。

解题思路：利用等比数列通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中an代表数列的第n 项。

首先计算出第5项的值a5 = a1 * q^(5-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48。

其次计算出前5项的和S5 = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) = 3 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 3 * (1 - 32) / (1 - 2) = 3 * (-31) / (-1) = 93。

答案：前5项的和S5为93。

三、综合练习题接下来，我将给出一些综合训练题，涵盖了等差数列与等比数列的求和问题。

请你根据题意，独立思考并计算出答案。

练习题1：已知等差数列的首项a1为2，公差d为3，求前20项的和S20。

以下是等差数列和等比数列的经典例题：
等差数列求和问题：已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，求前n项和Sn。

解法：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，得到Sn = (a1+an)n/2 = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2。

将其化简可得Sn = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2 = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+a1+(n-1)d)，其中a1和an可以根据公式计算出来，从而求得Sn。

等比数列求和问题：已知一个等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，求前n项和Sn。

解法：根据等比数列的通项公式an = a1q^(n-1)，得到Sn = a1(1-q^n)/(1-q)。

将其化简可得Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) = a1*(1-q)*(1+q+q^2+...+q^(n-1))/(1-q)。

由于1+q+q^2+...+q^(n-1)是一个等比数列的前n项和，因此可以用等比数列求和公式S=q^n-1/(q-1)求出，将其代入上式，就可以得到Sn的表达式。

这些例题是等差数列和等比数列求和问题中比较经典的例子，掌握了这些例题的解法，就能够比较顺利地解决一类问题。

在实际应用中，还会有更加复杂的情况，需要根据具体的条件设计相应的求和方法。

2.3等差数列、等比数列综合运用1、设是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列。

其中正确命题的个数是（）A、1B、2C、3D、42、为等比数列，公比为，则数列是（）A、公比为的等比数列B、公比为的等比数列C、公比为的等比数列D、公比为的等比数列3、已知等差数列满足，则有（）A、B、C、D、4、若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为（）A、5，8，11B、9，12，15C、10，13，16D、15，18，215、数列必为（）A、等差非等比数列B、等比非等差数列C、既等差且等比数列D、以上都不正确6、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有A、10项B、11项C、12项D、13项（）7、在等差数列中，，且成等比数列，则的通项公式为（）A、B、C、或D、或8、数列的前项的和为（）A、B、 C、D、以上均不正确9、等差数列中，，则前10项的和等于（）A、720B、257C、255D、不确定10、某人于2000年7月1日去银行存款元，存的是一年定期储蓄；2001年7月1日他将到期存款的本息一起取出，再加元后，还存一年的定期储蓄，此后每年7月1日他都按照同样的方法，在银行存款和取款；设银行一年定期储蓄利率不变，则到2005年7月1日，他将所有的存款和利息全部取出时，取出的钱数共有多少元？（）A、B、C、D、11、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中的数列的特点，用适当的数填入表中空格内：年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱，毫米）110 115 120 125 130 135 145舒张压70 73 75 78 80 83 8812、两个数列与都成等差数列，且，则=13、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比=14、等比数列中，，前项和为，满足的最小自然数为15、设是一个公差为的等差数列，它的前10项和，且成等比数列．（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式．16、（1）在等差数列中，，求及前项和；（2）在等比数列中，，求．17、设无穷等差数列的前项和为．（1）若首项，公差，求满足的正整数；（2）求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立．18.甲、乙两大型超市，2001年的销售额均为P（2001年为第1年），根据市场分析和预测，甲超市前n年的总销售额为，乙超市第n年的销售额比前一年多.（I）求甲、乙两超市第n年的销售额的表达式；（II）根据甲、乙两超市所在地的市场规律，如果某超市的年销售额不足另一超市的年销售额的20％，则该超市将被另一超市收购，试判断哪一个超市将被收购，这个情况将在哪一年出现，试说明理由.参考答案：1.C;2.C;3.C;4.B;5.D;6.D;7.D;8.D;9.C; 10.C;11. 140，85; 12.. ; 13. 3; 14. 815、（1）略；（2）16、（1），；（2）当时，；当时，17、（1）当时，，由得，，即，又，所以．（2）设数列的公差为，则在中分别取得即，由（1）得或．当时，代入（2）得：或；当时，，从而成立；当时，则，由，知，，故所得数列不符合题意；当时，或，当，时，，从而成立；当，时，则，从而成立，综上共有3个满足条件的无穷等差数列；或或．另解：由得，整理得对于一切正整数都成立，则有解之得：或或所以所有满足条件的数列为：或或．18. （I）设甲超市第n年的年销售量为时又时，.设乙超市第n年的年销售量为,……以上各式相加得：（II）显然时 , 故乙超市将被早超市收购.令得得时不成立. 而时成立.即n=11时成立. 答：这个情况将在2011年出现，且是甲超市收购乙超市．。