椭圆概念PPT课件
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椭圆的定义PPT课件
2a=2c时, 线段 2a<2c时, 无轨迹
F1
F2
椭圆标准方程
M
F1
F2
x
椭圆的标准方程
椭圆标准方程
y
M M F1 O F2Fra bibliotekyF2
x
O
x
F1
椭圆的标准方程的形式：焦点随着分母
走，焦点在分母大的轴上。
例题精析
例1：已知椭圆的方程为： ，则
3 ，焦点坐标 a=_____ 4 ，c=_______ 5 ，b=_______
的标准方程为______________.
点评：求椭圆方程首先要判断焦点的位置
练习：若方程4x2+kY2=1表示的曲线是 焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。 解：由 4x2+ky2=1
可得 因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6， ∴a=5，c=3，b=4 ∴
M (x,y)
y
F2(0,3) O F1(0,-3)
x
小结：
1.椭圆的定义及焦点、焦距的概念。
2.椭圆的标准方程。
3. 标准方程的简单应用。
作业:
P96习题 8.1
第1,2,4题
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一 个焦点F2的距离等于_________，则三角形F1PF2的周 y 长为___________
F2 P O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为_____________; （2）满足a=4, c= ，焦点在 y轴上的椭圆
椭圆及其标准方程ppt课件
F2
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2
−
你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？
2 2
+ 2=1
2
M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢？
具有何种几何特征才是椭圆呢？
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
M
设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0)
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
椭圆的课件ppt
$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
椭圆的定义课件(2023版ppt)
椭圆的离心率为e = c/a，
04 其中c为椭圆的焦距，a
为椭圆的长半轴
椭圆的图形表示
椭圆的图形特征
椭圆是一种封闭的曲线图形，由两个焦点和
01
一条长轴组成。
椭圆的形状可以根据长轴和短轴的长度比例来
02
变化，当长轴和短轴相等时，椭圆变为圆。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常
03
数，这个常数叫做椭圆的焦距。
01
02
03
04
椭圆的性质与定理
椭圆的性质
椭圆的定义：平面 内到两个固定点的 距离之和等于常数 的点的轨迹
椭圆的焦点：椭圆 的两个固定点，决 定了椭圆的形状和 大小
椭圆的离心率：椭 圆焦点到椭圆中心 的距离与椭圆长轴 长度的比值，决定 了椭圆的扁平程度
椭圆的顶点：椭圆 与坐轴的交点， 决定了椭圆的位置 和方向
2
椭圆在物理学中 的应用：椭圆轨 道、椭圆振动等
3
椭圆在工程学中 的应用：椭圆形 建筑、椭圆形管
道等
4
椭圆在艺术设计 中的应用：椭圆 形构图、椭圆形
图案等
谢谢
椭圆的周长与面积可以通 过公式计算
椭圆的离心率决定了椭圆 的形状
椭圆的焦点决定了椭圆的 位置和方向
椭圆的方程
椭圆的标准方程：
x^2/a^2 + y^2/b^2 01
=1
椭圆的焦点在x轴和y轴
上的坐标分别为(a,0)和 03
(0,b)
椭圆的顶点坐标为(a,0) 05
和(0,b)
02
a和b分别表示椭圆的长 半轴和短半轴
椭圆的性质：椭圆具
2 有对称性、周期性、 可积性等性质，这些 性质在几何应用中具 有重要作用。
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
椭圆ppt课件
故所求的椭圆的标准方程为 y 2 x2 1
10
10
6
6.自我检测
①椭圆 x2 y2 1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点 100 36
P到另一个焦点F2 的距离是_____。
②已知F1 、F2 是椭圆 x2 y2 1 的两个焦点，过F1的直线 25 9
交椭圆于M、N,则△MNF2 的周长为_____。
2a=10, 2c=8 ， 所以a=5 , c=4,
b2 a2 c2 52 42 9
故所求的椭圆的标准方程为
x2 y2 1
25 9
（2）因为椭圆的焦点在Y轴上，所以设它的方程为
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
由椭圆的定义知：
2a
3 2
2
5 2
2
2
3 2
2
52 2
2
2
10
所以 a 10 又c=2, 所以 b2a2c21046
2.1.1椭圆及其标准方程
1
椭圆及其标准方程
学习目标：
1。理解椭圆的定义及焦点，焦距的概念； 2。能够正确推导椭圆的标准方程。
情感目标：
1。培养自己运动变化的观点，训练自己的动手能力； 2。通过小组合作，培养协作，友爱的精神。
学习重点：
1。椭圆的定义
2。椭圆的标准方程
学习难点：
椭圆标准方程的推导
2
有两种方案:
Y
Y
M
F1
M
F1
0 F2
X
0
X
方案一
F2 方案二
7
4.椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1(ab0,c2
a2
2024全新椭圆的课件
通过化简这个等式，可以得到 椭圆的标准方程。
这种方法适用于已知椭圆的焦 点、长轴和短轴等信息，可以 通过这些信息来求解椭圆的标 准方程。
利用极坐标转换求解
01
将椭圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，得到一个关于 $x$和$y$的二次方程。
02
通过解这个二次方程，可以得到椭圆的标准方程中的参数 $a$和$b$。
$frac{x^2}{a^2}
+
frac{y^2}{b^2}
=
1$
（$a>b>0$），其中$a$和$b$分
别为椭圆的长半轴和短半轴。
焦点、焦距和离心率
焦点
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和 等于长轴长。
焦距
离心率
椭圆的离心率$e$定义为 $e=frac{c}{a}$，离心率越小，椭圆 越接近于圆。
两焦点之间的距离，用$2c$表示，其 中$c=sqrt{a^2-b^2}$。
解析：(1) 利用离心率和过点条件列出 方程组，求解得到椭圆C的方程；(2) 联立直线与椭圆方程，利用判别式和垂 直平分线性质列出不等式组，求解得到 $k$的取值范围。
04
椭圆在几何图形中应用
利用椭圆性质解决几何问题
椭圆的定义和性质
椭圆是由在平面内满足“从两个 定点F1和F2出发的线段长度之和 等于常数（且大于两定点之间的 距离）的点的集合”形成的图形。
03
椭圆与直线关系分析
直线与椭圆相交条件判断
判别式法
通过联立直线与椭圆方程，消元后得到一个关于$x$（或$y$）的二次方程，利用判 别式$Delta$判断方程的根的情况，从而确定直线与椭圆的交点个数。
图形法
通过绘制直线与椭圆的图形，观察交点的个数和位置，从而判断直线与椭圆的关系。
椭圆的课件ppt
椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。
《椭圆的定义》课件
《椭圆的定义》ppt课件
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
数学ppt课件椭圆
数学ppt课件椭圆
目 录
• 椭圆的基本定义 • 椭圆的性质 • 椭圆的生成与画法 • 椭圆的实际应用 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的基本定义
椭圆的标准方程
01
椭圆的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
+
frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$
和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴
。
02
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x = a cos theta y = b sin theta end{array} right.$， 其中 $theta$ 是参数。
通过参数方程，我们可以将椭圆的几 何性质转化为参数的性质，便于分析 和计算。
02
椭圆的性质
椭圆的极坐标方程
极坐标方程
椭圆的极坐标方程为 $rho = frac{ep}{1 - costheta}$，其中 $rho$ 是点到原点的距离， $theta$ 是点与正x轴之间的夹角，$e$ 是离心率，$p$ 是焦距。
极坐标与直角坐标关系
通过转换公式，可以将极坐标转换为直角坐标，反之亦然。
应用
极坐标方程在解决物理、工程和金融等领域的问题时非常有用。
03
椭圆的生成与画法
椭圆的生成原理
椭圆是由平面与双曲面或圆锥相 交形成的平面曲线。
当一个平面与双曲面或圆锥相交 时，如果平面不过圆锥的轴，则
相交线为椭圆。
椭圆具有两个焦点，其上的任意 一点到两焦点的距离之和为常数
。
使用几何画板绘制椭圆
打开几何画板软件， 选择“绘图”菜单中 的“椭圆”命令。
可以使用“缩放”和 “旋转”命令对椭圆 进行进一步的操作和 调整。
目 录
• 椭圆的基本定义 • 椭圆的性质 • 椭圆的生成与画法 • 椭圆的实际应用 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的基本定义
椭圆的标准方程
01
椭圆的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
+
frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$
和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴
。
02
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x = a cos theta y = b sin theta end{array} right.$， 其中 $theta$ 是参数。
通过参数方程，我们可以将椭圆的几 何性质转化为参数的性质，便于分析 和计算。
02
椭圆的性质
椭圆的极坐标方程
极坐标方程
椭圆的极坐标方程为 $rho = frac{ep}{1 - costheta}$，其中 $rho$ 是点到原点的距离， $theta$ 是点与正x轴之间的夹角，$e$ 是离心率，$p$ 是焦距。
极坐标与直角坐标关系
通过转换公式，可以将极坐标转换为直角坐标，反之亦然。
应用
极坐标方程在解决物理、工程和金融等领域的问题时非常有用。
03
椭圆的生成与画法
椭圆的生成原理
椭圆是由平面与双曲面或圆锥相 交形成的平面曲线。
当一个平面与双曲面或圆锥相交 时，如果平面不过圆锥的轴，则
相交线为椭圆。
椭圆具有两个焦点，其上的任意 一点到两焦点的距离之和为常数
。
使用几何画板绘制椭圆
打开几何画板软件， 选择“绘图”菜单中 的“椭圆”命令。
可以使用“缩放”和 “旋转”命令对椭圆 进行进一步的操作和 调整。
椭圆高考复习课件ppt
\leqslant
a$和$-b
\leqslant y \leqslant b$
。
椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长度的
比叫做椭圆的离心率，记
作$e$，即$e
=
\frac{c}{a}$，其中$c$是
椭圆的焦距。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程
以焦点为极点，以长轴端点为极轴建立极坐 标系，则椭圆的极坐标方程为$\rho = \frac{2b^{2}}{1 - e^{2}\cos^{2}\theta}$ 。其中$\rho$为极径，$\theta$为极角。
详细描述
例题3：已知椭圆焦点 在x轴上，中心在原点 ，长轴长为4，短轴长 为2，并且一条切线方 程为y=x+1，求椭圆的 标准方程。
解答
根据椭圆的切线方程和 极坐标方程，可得到原 点为极点，极轴为x轴 ，进而求出椭圆的标准 方程。
谢谢
THANKS
践操作能力。
注重实际应用，培养综合素质
强化应用意识
在复习过程中要强化应用意识，引导考生将所学知识应用 到实际生活中，提高知识的实际应用能力。
提高应试技巧
在复习过程中要注重提高应试技巧，包括答题技巧、时间 分配、心态调整等方面，帮助考生在考试中更加从容应对 。
培养综合素质
在复习过程中要注重培养考生的综合素质，包括语言表达 、思维逻辑、人际交往、心理素质等方面，为未来的学习 和生活打下坚实的基础。
椭圆的参数方程与直角坐 标系下的方程转换
将$\rho = \fr乘$\rho$， 可得$\rho^{2} = \frac{2b^{2}\rho^{2}}{1 - e^{2}\cos^{2}\theta}$，再将其展开得到 $\rho^{2} = (1 - e^{2})x^{2} + y^{2}$，
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第2章
椭圆、双曲线、抛物线
2.1
椭圆
创 设 情 境 兴 趣 引 入
我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次 方程 Ax By C 0 为直线的方程，二元二次方程
x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F 0) 为圆的
方程． 下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应 的曲线．
b2 x2 a2 y 2 a2b2， 2 2 2 2 2 c2 ( x c ) y ( x ) y 2a， 得 等式两边同时除以a b ，
动 脑 思 考 探 索 新 知
x2 y 2 2 1 2 a b
(a＞b＞0)
x2 y 2 2 1 2 a b
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
（2）将方程化成标准方程，为
x2 y 2 1． 8 16
因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且
a2 16，b2 8．
故 因此
c2 a2 b2 16 8 8．
x2 y 2 1； 25 16 x2 y 2 1. 16 25
读书部分：阅读教材相关章节
继 续 探 索 活 动 探 究
书面作业：教材习题2.1（必做） 学习指导2.1（选做） 实践调查：用本课所学知识解决 生活中的实际问题
创 设 情 境 兴 趣 引 入
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程．
动 脑 思 考 探 索 新 知
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． 取过焦点 F1、F2 的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为
动 脑 思 考 探 索 新 知
y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）， 椭圆上的点与两个定点 F1、F2 的距
先来做一个实验： 准备一条长度一定的线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下 面的步骤画一个椭圆： （1）如图所示，将绳子的两端固定在画板上的 F1和 F2 两 点，并使绳长大于 F1和 F2的距离． （2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔 尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形． 从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，与 两个定点 F1和 F2 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的 长度）． 我们将平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数（大于 F1 F2 ）的点的轨迹（或集合）叫 做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点，两个焦点间的距离叫做焦 距．
x2 y 2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
理 论 升 华 整 体 建 构
焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
y 2 x2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
学习效果
自 我 反 思 目 标 检 测
学习行为 学习方法
自 我 反 思 目 标 检 测
已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离 之和为10．求椭圆的标准方程．
c 2 2， 2c 4 2．
所以，椭圆的焦点为F 焦距为 4 2． 1 (0, 2 2)、F2 (0,2 2)，
1．已知椭圆的焦点为F1 (0, 2)、F2 (0, 2)， 椭圆上的点到两个 焦点的距离之和为8．求椭圆的标准方程．
运 用 知 识 强 化 练 习
x2 y 2 1. 12 16
离之和为2a（a＞0），则 F1，F2 的
坐标分别为（－c，0）， （c，0）， 由条件 MF1 MF2 2a， 得
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a，
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． ( x c)2 y 2 2a ( x c)2 y 2， 移项得 取过焦点 F1、F2 的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 两边平方得 2 2 a2 2 2 2 2 2 2c 2 b， 设 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． ( x c) y 4a 4a ( x c) y ( x c) y ， 不仅使得方程变得 2 2 2 a a ( x c) y ， 简单规整，同时在后 整理得 设M(x ， y)cx 是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为 2c（c＞0）， 两边平方后，整理得 F1、F2 的距 面讨论椭圆的集 椭圆上的点与两个定点 合性质时，还会看 (a2 c2 ) x2 a2 y 2 a2 (a2 c2 )， 离之和为2a（a＞0），则 F1，F2 的 由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0，到它有明确的几何 意义． 坐标分别为（－ c，0）， （c，0）， 所以 a 2 c 2 0， MF1 2MF2 2 a， 由条件 设 a2 c2 则得 b (b 0)，
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且
a 2 5，b2 4．
故 因此
c 2 a 2 b2 1，
c = 1，2c = 2．
0) F2 (1，， 0) 焦距为2． 所以，椭圆的焦点为 F1 (1，、
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5题关键是判断 椭圆的焦点在哪个 数轴．方法是观察 标准方程中含x项与 含y项的分母，哪项 的分母大，焦点就 在哪个数轴．
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
2．写出下列椭圆的焦点坐标和焦距．
x2 y 2 1； （2） 4x2 y2 64． （1 ） 49 24
（1） F1 (5,0)、F2 (5,0)，焦距10； （2） F1 (0, 4 3)、F2 (0, 4 3)，焦距8 3．
写出焦点在x轴焦点在y轴的椭圆的标准方程
焦点在x轴上的椭圆的标准方程是
(a＞b＞0)
（2.1）
动 脑 思 考 探 索 新 知
方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是
F1 (c，， 0) F2 (c，， 0) 并且
a2 c2 b2．
y 2 x2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
（2.2）
动 脑 思 考 探 索 新 知
方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是
F1 (0， c)，F2 (0，c)， 并
且a2 c2 b2．
想一想 已知一个椭 圆的标准方程， 如何判定焦点 在x轴还是在y轴？
例1 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的
点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以
b2 a2 c2 9，
由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 想一想 2 2 x y 将例1中的 1 ， 条件“椭圆的 52 32 焦点在x轴上” 2 2 x y 去掉，其余的 1． 即 条件不变，你 25 9 能写出椭圆的 标准方程吗？
椭圆、双曲线、抛物线
2.1
椭圆
创 设 情 境 兴 趣 引 入
我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次 方程 Ax By C 0 为直线的方程，二元二次方程
x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F 0) 为圆的
方程． 下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应 的曲线．
b2 x2 a2 y 2 a2b2， 2 2 2 2 2 c2 ( x c ) y ( x ) y 2a， 得 等式两边同时除以a b ，
动 脑 思 考 探 索 新 知
x2 y 2 2 1 2 a b
(a＞b＞0)
x2 y 2 2 1 2 a b
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
（2）将方程化成标准方程，为
x2 y 2 1． 8 16
因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且
a2 16，b2 8．
故 因此
c2 a2 b2 16 8 8．
x2 y 2 1； 25 16 x2 y 2 1. 16 25
读书部分：阅读教材相关章节
继 续 探 索 活 动 探 究
书面作业：教材习题2.1（必做） 学习指导2.1（选做） 实践调查：用本课所学知识解决 生活中的实际问题
创 设 情 境 兴 趣 引 入
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程．
动 脑 思 考 探 索 新 知
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． 取过焦点 F1、F2 的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为
动 脑 思 考 探 索 新 知
y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）， 椭圆上的点与两个定点 F1、F2 的距
先来做一个实验： 准备一条长度一定的线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下 面的步骤画一个椭圆： （1）如图所示，将绳子的两端固定在画板上的 F1和 F2 两 点，并使绳长大于 F1和 F2的距离． （2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔 尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形． 从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，与 两个定点 F1和 F2 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的 长度）． 我们将平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数（大于 F1 F2 ）的点的轨迹（或集合）叫 做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点，两个焦点间的距离叫做焦 距．
x2 y 2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
理 论 升 华 整 体 建 构
焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
y 2 x2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
学习效果
自 我 反 思 目 标 检 测
学习行为 学习方法
自 我 反 思 目 标 检 测
已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离 之和为10．求椭圆的标准方程．
c 2 2， 2c 4 2．
所以，椭圆的焦点为F 焦距为 4 2． 1 (0, 2 2)、F2 (0,2 2)，
1．已知椭圆的焦点为F1 (0, 2)、F2 (0, 2)， 椭圆上的点到两个 焦点的距离之和为8．求椭圆的标准方程．
运 用 知 识 强 化 练 习
x2 y 2 1. 12 16
离之和为2a（a＞0），则 F1，F2 的
坐标分别为（－c，0）， （c，0）， 由条件 MF1 MF2 2a， 得
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a，
实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． ( x c)2 y 2 2a ( x c)2 y 2， 移项得 取过焦点 F1、F2 的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 两边平方得 2 2 a2 2 2 2 2 2 2c 2 b， 设 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． ( x c) y 4a 4a ( x c) y ( x c) y ， 不仅使得方程变得 2 2 2 a a ( x c) y ， 简单规整，同时在后 整理得 设M(x ， y)cx 是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为 2c（c＞0）， 两边平方后，整理得 F1、F2 的距 面讨论椭圆的集 椭圆上的点与两个定点 合性质时，还会看 (a2 c2 ) x2 a2 y 2 a2 (a2 c2 )， 离之和为2a（a＞0），则 F1，F2 的 由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0，到它有明确的几何 意义． 坐标分别为（－ c，0）， （c，0）， 所以 a 2 c 2 0， MF1 2MF2 2 a， 由条件 设 a2 c2 则得 b (b 0)，
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5 4
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且
a 2 5，b2 4．
故 因此
c 2 a 2 b2 1，
c = 1，2c = 2．
0) F2 (1，， 0) 焦距为2． 所以，椭圆的焦点为 F1 (1，、
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
x2 y 2 1； （2） 2 x2 y 2 16． （1） 5题关键是判断 椭圆的焦点在哪个 数轴．方法是观察 标准方程中含x项与 含y项的分母，哪项 的分母大，焦点就 在哪个数轴．
例2 求下列椭圆的焦点和焦距．
2．写出下列椭圆的焦点坐标和焦距．
x2 y 2 1； （2） 4x2 y2 64． （1 ） 49 24
（1） F1 (5,0)、F2 (5,0)，焦距10； （2） F1 (0, 4 3)、F2 (0, 4 3)，焦距8 3．
写出焦点在x轴焦点在y轴的椭圆的标准方程
焦点在x轴上的椭圆的标准方程是
(a＞b＞0)
（2.1）
动 脑 思 考 探 索 新 知
方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是
F1 (c，， 0) F2 (c，， 0) 并且
a2 c2 b2．
y 2 x2 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
（2.2）
动 脑 思 考 探 索 新 知
方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是
F1 (0， c)，F2 (0，c)， 并
且a2 c2 b2．
想一想 已知一个椭 圆的标准方程， 如何判定焦点 在x轴还是在y轴？
例1 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的
点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以
b2 a2 c2 9，
由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 想一想 2 2 x y 将例1中的 1 ， 条件“椭圆的 52 32 焦点在x轴上” 2 2 x y 去掉，其余的 1． 即 条件不变，你 25 9 能写出椭圆的 标准方程吗？