拉普拉斯的逆变换及其性质

拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在物理、工程、数学、经济等领域均有广泛的应用。

本文将详细介绍拉普拉斯变换的定义、性质、公式表、逆变换及其应用方面的内容。

一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数f(t)在复数域上进行变换。

拉普拉斯变换L{f(t)}的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s是复数域上的变量，f(t)是定义在[0,∞)上的函数。

式中的e^-st可以看作是一个因子，它起到了对f(t)作拉普拉斯变换的影响作用。

二、拉普拉斯变换的性质(1)线性性：L{af(t)+bg(t)}=aL{f(t)}+bL{g(t)}其中，a和b为任意常数。

(2)时移性：L{f(t-k)}=e^(-ks)F(s)其中，k为任意实数。

(3)尺度变换：L{f(at)}=1/aF(s/a)其中，a为任意实数，a≠0。

(4)复合性：若F(s)=L{f(t)}，G(s)=L{g(t)}，则L{f(g(t))}=F(G(s))。

(5)初值定理：lim_(t→0^+)f(t)=lim_(s→∞)sF(s)(6)终值定理：lim_(t→∞)f(t)=lim_(s→0^+)sF(s)三、拉普拉斯变换表以下是一些常用的函数的拉普拉斯变换表。

f(t) F(s)t^n n!/s^(n+1)e^at 1/(s-a)sin(at) a/(s^2+a^2)cos(at) s/(s^2+a^2)1 1/st 1/s^2(t^n)e^at n!/(s-a)^(n+1)u(t-a) e^(-as)/sexp(-at)u(t) 1/(s+a)1-exp(-at)u(t) 1/(s(s+a))1/(a+t) exp(-as)δ(t-a) e^(-as)t^n u(t) n!/s^(n+1)t^n exp(-at)u(t) n!/(s+a)^(n+1)(t^n sin(bt))u(t) nb^s/(s^2+b^2)^(n+1)(t^n cos(bt))u(t) s^n/(s^2+b^2)^(n+1)其中，δ(t)表示狄拉克函数，u(t)即单位阶跃函数。

拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数从时间域转换到频率域。

它在许多领域中都有广泛的应用，包括电路分析、信号处理和控制系统等。

本文将介绍拉普拉斯变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。

一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的方法。

对于一个定义在非负实数轴上的函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,+∞] f(t)e^(-st) dt其中，s是复数变量，称为变换域变量。

二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有许多有用的性质，下面列举其中几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意的常数a和b，以及两个函数f1(t)和f2(t)，有以下公式成立：L[af1(t) + bf2(t)] = aF1(s) + bF2(s)2. 移位性质：对于函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)，对t进行平移得到f(t-a)的拉普拉斯变换，可以表示为：L[f(t-a)] = e^(-as)F(s)3. 尺度变换：对函数f(t)进行尺度变换，即对t进行缩放，可以表示为：L[f(at)] = 1/a * F(s/a)三、拉普拉斯变换在电路分析中的应用拉普拉斯变换在电路分析中具有重要的应用价值。

通过将电路中的元件和信号用拉普拉斯变换表示，可以将微分方程转化为代数方程，简化分析过程。

例如，考虑一个简单的RC电路，其中电压源为V，电阻为R，电容为C。

假设电路中的电流为i(t)，则根据基尔霍夫电压定律有以下微分方程：RC di(t)/dt + i(t) = V(t)将此微分方程应用拉普拉斯变换，可以得到以下代数方程：(I(s) - i(0)) / sC + I(s) / (sRC) = V(s)通过求解这个代数方程，可以得到电路中电流I(s)的表达式。

进一步，可以将其逆变换回时间域得到实际的电流函数。

四、拉普拉斯变换在信号处理中的应用在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域信号转换成对应的频域信号，从而方便进行频域分析和滤波等操作。

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。

我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。

本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。

第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。

这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。

一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。

函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。

函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。

关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。

为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。

(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。

为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。

函数的拉普拉斯变换与逆变换定义函数f(t)的拉普拉斯变换定义为：F(s)=∫e−st∞f(t)dt其中s是一个复数变量。

性质拉普拉斯变换具有以下性质：1.线性性：对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有：L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]2.时移性：对于任意常数a，有：L[f(t−a)u(t−a)]=e−as F(s)其中u(t)是单位阶跃函数。

3.微分性：对于任意可导函数f(t)，有：L[f′(t)]=sF(s)−f(0)L[f″(t)]=s2F(s)−sf(0)−f′(0)4.积分性：对于任意可积函数f(t)，有：L[∫ft0(τ)dτ]=F(s)s5.卷积定理：对于任意两个函数f(t)和g(t)，有：L[f(t)∗g(t)]=F(s)G(s)其中∗表示卷积运算。

应用拉普拉斯变换在许多领域都有应用，包括：1.微分方程的求解：拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。

2.信号处理：拉普拉斯变换可以用于分析和处理信号。

3. 控制理论：拉普拉斯变换可以用于分析和设计控制系统。

4. 电路分析：拉普拉斯变换可以用于分析和设计电路。

逆拉普拉斯变换拉普拉斯变换的逆变换定义为：f (t )=12πi ∫e st γ+i∞γ−i∞F (s )ds 其中 γ 是一个大于所有 F (s ) 的奇点实部的常数。

性质逆拉普拉斯变换具有以下性质：1. 线性性：对于任意常数 a 和 b ，以及函数 f (t ) 和 g (t )，有：L −1[aF (s )+bG (s )]=aL −1[F (s )]+bL −1[G (s )]2. 时移性：对于任意常数 a ，有：L −1[e as F (s )]=f (t −a )u (t −a )3. 微分性：对于任意可导函数 F (s )，有：L −1[sF (s )]=f′(t )L −1[s 2F (s )]=f″(t )4. 积分性：对于任意可积函数 F (s )，有：L −1[F (s )s ]=∫f t 0(τ)dτ 5. 卷积定理：对于任意两个函数 F (s ) 和 G (s )，有：L −1[F (s )G (s )]=f (t )∗g (t )应用逆拉普拉斯变换在许多领域都有应用，包括：1. 微分方程的求解：逆拉普拉斯变换可以将代数方程转化为微分方程，从而更容易求解。

拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换t t8 卷积定理L[ [f i(t—l)f2&)dE] =L[ [f i(t)f2(t—l)dl] = F i(s)F2(s)用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设F(s)是s 的有理真分式A(s)二0有重根设A(s) = 0有r 重根s ，F(s)可写为F s-(s-s ,)r(s-s ri ) (s-s n )B(s)b m 「4 g b0A(s)n ,n 」a n S - a n 」s 山…“y s - a 。

式中系数a 0, a i ,..., a n J ,a n , b °,b i , b m 」,b m 都是实常数; 将F(s)展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

m,n 是正整数。

按代数定理可①A(s) = 0无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

i C 2C jC nF(s) 121— s — s i s — S 2s — ss_s nC i(F-1)式中，q,s 2,…,s n 是特征方程 A(s) = 0的根。

C i 为待定常数，称为 可按下式计算：F(s)在S i 处的留数,式中,C =lim (s _sJF (s)S Tic _ B(s) iA(s)s zs iA (s)为A(s)对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式(4 I l j n C i =L !F (S )】=L 巨一—S — Sj 一 f(t)C in -s it=' Ci e ii =1(F-2)(F-3)F-1 )可求得原函数(F-4)B(s)式中, 其中,& r -(S —S i) (s—s)C if ,s〜) CriS —■S r iG •…©S - s S—S nS i为F(s)的r重根，S r审,…,s n为F(s)的n-r个单根;C r +，…,C n 仍按式(F-2)或(F-3)计算，C r，C rj，…, C i则按下式计算:f(t)为厂c r =lim (s — sj r F(s)T id rC ri =lim [(s -sj F(s)] dss :siC i原函数f (t)二L°〔F(s) I冷冗加(DEi d(7C i _____ . C r i ....(F-5)(s -S i)r 1(s—s i) S —S r*G *…+C nS — S j S —S nt r^ +…+c2t +G e Sit(r-2)! 2 5S i t°e iF-6)欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。

我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。

本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。

一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。

例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。

解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。

例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。

解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。

例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。

解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。

常见的拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换公式是数学中的一种重要工具，它在信号与系统、电路分析、控制理论等领域有着广泛的应用。

通过将一个函数或信号从时间域转换到复频域，拉普拉斯变换可以简化复杂的微分方程求解和系统分析问题。

以下是常见的拉普拉斯变换公式及其应用。

1. 原函数定义公式：拉普拉斯变换的第一个公式是原函数定义公式，用于将一个函数从时间域表示转换为复频域表示。

假设函数为f(t)，其拉普拉斯变换为F(s)，则原函数定义公式为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt其中，s为复变量，表示函数在复频域的频率。

2. 常见的拉普拉斯变换公式：拉普拉斯变换公式包括了一系列常见函数的变换结果，以下是其中的几个常见公式及其应用：- 常数函数：L{1} = 1/s，常数函数在拉普拉斯变换后变为1除以复变量s。

- 单位阶跃函数：L{u(t)} = 1/s，单位阶跃函数在拉普拉斯变换后变为1除以复变量s。

- 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，指数函数在拉普拉斯变换后变为1除以复变量s减去常数a。

- 正弦函数：L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)，正弦函数在拉普拉斯变换后变为常数a除以复变量s的平方加上a的平方。

- 余弦函数：L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)，余弦函数在拉普拉斯变换后变为复变量s除以复变量s的平方加上a的平方。

3. 拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有一系列的性质，这些性质可以方便地应用于信号处理和系统分析中。

以下是常见的拉普拉斯变换性质：- 线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b为常数，f(t)和g(t)为函数，F(s)和G(s)为它们的拉普拉斯变换。

- 平移性质：L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)，其中a为常数，f(t)为函数，u(t)为单位阶跃函数，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。