拉普拉斯变换及其反变换表
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式
1
1
n 1
n n
n
1
1
m 1
m m
m
a s a s a s a
b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++=
=----ΛΛ （m n >）
式中系数n
1
n 1
a ,a ,...,a ,a
-，m
1
m 1
b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按
代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑
=-=-++-++-+-=n
1
i i
i
n
n
i
i
2
2
1
1
s
s c
s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i
s s i
i
-=→
或
i
s s i
)
s (A )
s (B c
='=
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]t s n 1
i i n 1i i i 11i e c s s c
L )s (F L )t (f -==--∑∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==
0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
s s ()s s ()s s ()
s (B s F n
1
r r 1
---=
+Λ
=
n
n
i
i
1
r 1
r 1
1
1
r 1
1
r r
1
r
s
s c
s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -+
+-++-+-++-+-++--ΛΛΛ 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)s (F )s s (lim c r
1
s s r
1
-=→
)]s (F )s s ([ds
d
lim
c r 1
s s 1
r 1
-=→- M
)s (F )s s (ds
d lim !j 1c r
1
)
j ()
j (s s j
r 1
-=→-
)s (F )s s (ds
d lim )!1r (1c r
1
)
1r ()
1r (s s 1
1
--=--→
原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+
+-++-+-++-+-=++---n
n
i
i
1
r 1
r 1
1
1
r 1
1
r r
1
r
1
s s c
s s c s s c )s s (c )
s s (c )s s (c L ΛΛΛ t
s n
1
r i i
t
s 1
2
2
r 1
r 1
r r
1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++-+-=Λ （F-6）
