北师大数学八上11探索勾股定理 教案 优质文档

探索勾股定理（一）教学设计教学目标：●知识与技能目标用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．●数学思考让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．●解决问题进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．●情感与态度在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．教法学法1.教学方法：引导—探究—发现法．2.学习方法：自主探究与合作交流相结合．教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一：内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：（2）引导学生从面积角度观察图形：学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.2．探究活动二：（1）观察下面两幅图：（2）填表：A 的面积B 的面积C 的面积AB CC BA（单位面积）（单位面积）（单位面积）左图 右图图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， 13132214=+⨯⨯⨯=C S ． 方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ． 方法三：如图3，正方形C 中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ．学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议：勾股定理（gou-gu theorem ）：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． （在西方称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理. 效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.2．通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容：例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，（教师板演解题过程） 练习：1、基础巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的应用：意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容：教师提问：弦股勾?225100x1517在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+. 2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； ② 面积法；③ “割、补、拼、接”法.3．思想：① 特殊—一般—特殊； ② 数形结合思想．意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：作业：1．教科书习题1.1； 2．阅读《读一读》——勾股世界；3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+.意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．六、教学设计反思a bcabc（1）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（2）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．（3）分层教学，拓展资源 基础训练1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ．3．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（π不取 近似值）4．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．5．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．提高训练6．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ．7．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和 是 cm 2．8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）． （A ）24cm 2（B ）36cm 2（C ）48cm 2（D ）60cm 29．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为CB321S S S 7cmDACB 257S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）．（A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的 路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往 西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则 登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km ．知识拓展11．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.（4）评价方式根据新课标的评价理念，在本课主要从以下几个方面对学生学习情况进行评价：首先，在探索勾股定理的过程中，对学生的参与热情、情感态度、探究的积极性、探究的效果等学习情况进行评价．其次，在“勾股定理的简单应用”这一教学环节中，通过例题和练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况．第三，在“课堂小结”这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中，了解到各个教学目标的达成情况．32168埋宝藏点登陆点86CBAB AC DE第四，通过课后作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解和掌握的程度．教师根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果．。

探索勾股定理教学目标知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程．数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．解决问题：1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果．情感态度：1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．教学重点与难点重难点是探索和证明勾股定理.教学过程：（一）情景引入如图：一块长约80 m、宽约60 m的长方形草坪，被几个不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，这种情况在生活中时有发生.请问同学们：(中学生一步的距离大约0.5m)（1）（第二个问题学生无法解决，意在激发学生学习新知识的兴趣）（二）探索发现勾股定理1．探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．2．探究活动二（1）观察下面两幅图：（2）填表：A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积）左图 右图图1 图2 图3结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．3．议一议（先独立思考，后个人展示）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的AB CC BA弦股勾178By361564289A 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理） （三）勾股定理的简单应用 例1：解决情景引入的第二个问题（四）小结梳理1．知识：勾股定理：2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想． （五）后测达标1、 下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。

北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教案一. 教材分析《探索勾股定理》这一节的内容是八年级数学上册的开篇，主要让学生了解勾股定理的证明过程，培养学生的逻辑思维能力和探索精神。

教材通过引入古希腊人证明勾股定理的故事，引导学生学习运用几何图形和数学逻辑来证明这个重要的数学定理。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对几何图形的认知和推理能力有所提高。

但勾股定理的证明过程涉及到较复杂的逻辑推理，对学生来说是一个较大的挑战。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习反馈，适时给予引导和帮助。

三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的证明过程，理解并掌握勾股定理的证明方法。

2.培养学生的逻辑思维能力和探索精神，提高学生运用几何图形和数学逻辑解决问题的能力。

3.激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探究的学习态度。

四. 教学重难点1.勾股定理的证明过程及证明方法的掌握。

2.逻辑推理能力的培养，如何将问题转化为几何图形进行证明。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生思考和探索勾股定理的证明过程。

2.运用几何图形和数学逻辑，进行直观演示和推理，帮助学生理解和掌握勾股定理。

3.分组讨论和合作探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、几何图形等。

2.设计好教学问题和活动，准备好相关的解答和反馈。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入古希腊人证明勾股定理的故事，激发学生的学习兴趣，引导学生思考和探索勾股定理的证明过程。

2.呈现（10分钟）呈现勾股定理的证明过程，运用几何图形和数学逻辑进行直观演示和推理。

在此过程中，关注学生的学习反馈，适时给予引导和帮助。

3.操练（10分钟）学生分组讨论和合作探究，运用几何图形和数学逻辑尝试证明勾股定理。

教师巡回指导，解答学生的问题，并提供反馈。

4.巩固（10分钟）针对学生的证明过程，进行总结和点评，帮助学生巩固所学内容。

探索勾股定理（三）教学设计教学目标：知识与技能目标：1.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系；2.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

过程与方法目标：1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。

3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。

情感与态度目标：1.通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。

教学重点：1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。

教学难点：1．利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。

2．利用数形结合的方法验证勾股定理。

教学准备：剪刀、双面胶、硬纸板、直尺（或三角板）、铅笔、多媒体课件。

教学过程设计本节课设计了七个教学环节第一环节验证方法的收集与整理第二环节验证过程的分析与欣赏第三环节尝试拼图，验证定理第四环节练习提升第五环节勾股定理的文化价值第六环节小结反思第七环节课题拓展第一环节验证方法的收集与整理<一>课前自主探究活动具体的做法是：请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：方法种类及历史背景验证定理的具体过程知识运用及思想方法意图：勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

1.1.1探索勾股定理1、经历探索直角三角形三边间的数量关系，培养学生的说理和简单推理的意识和能力.2、通过探索过程，使学生理解并掌握勾股定理，并能利用勾股定理解决一些实际问题. 教法与学法指导：如何发展学生的推理能力是初中阶段数学老师需要重点关注的地方之一，所以我打算采用“引导—探究—发现”法来进行教学.在如何得到新知识这一问题，是学生能否很好的掌握并理解新知识的关键，我认为，现阶段最适合学生的方法就是“自主探究与合作交流相结合”这一方法.勾股定理是本节课的重点，如何引出勾股定理和勾股定理的应用时难点.所以我打算通过学生的的预习，直接引导学生重点研究直角三角形三边的平方之间有什么关系，让学生明确方向，避免走弯路，产生混淆.在勾股定理的应用方面，我准备先引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等. 课前准备：带网格的小黑板、直尺、三角板.学生进行课前预习并准备一些网格纸. 教学过程：一、 创设情境，引入新课学生纷纷回答.下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答.(1)、根据测量，【意图：紧扣课题，自然引入，同时教育学生平时就要养成好的行为习惯.效果：从课堂上来看还不错，学生能根据题目自然的想到三边平方间的关系. 建议：以后再用的老师最好能把图形画的完整一些，这样更能引起学生积极性.】今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题） 二、探究新课过程：CB A1、探索发现勾股定理⑴做一做：【意图：有个别到一般，通过一个联想到全体，进而得到需要的新知识，可以锻炼学生，由特殊到一般的思想，也可以提高学生的猜想归纳能力.效果：从课堂上来看大多数学生都能根据自己的理解得到正确的结论.建议：下次再用时，要求学生画直角三角形时，最好尽可能的沿着网格线画，这样方便测量.⑵探究与发现：①观察下面两幅图：②填表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图_A_B_C _C_B_A【本题的困难之处在于学生如何计算两个图形中正方形C的面积.在这里教师简单介绍两种常见的方法，一是小的加小的，二是大的减小的.利用投影或带网格的小黑板画出图形，学生很容易的就能弄明白到底该如何计算，这类题在以后会经常出现，所以最好能讲解清楚.免得以后麻烦】学生通过分析数据，归纳出：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．【意图：此题意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论.建议：在教学中教师最好能把本节课需要用到的辅助工具比如：刚才求正方形C的面积需要的投影或小黑板上事先要画好图形。

第一章勾股定理1 探索勾股定理第1课时勾股定理【知识与技能】1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.2.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.【情感态度】1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.2.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】探索勾股定理.【教学难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影1（章前的图文P1），介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号.【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关的背景，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知勾股定理做一做：1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流.【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质.2.观察教材图1—2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位.正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积单位.正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位.你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理.归纳得出结论：S A+S B=S C.3.教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解.4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高.议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来.三、运用新知，深化理解1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5,b=12，则c=.2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3∶4，斜边长是20，则两直角边长分别是.【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.【答案】1.13；2.12，16四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完善了学生对知识的梳理.1.布置作业：习题1.1第1、2、4题.2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.。

1探索勾股定理第1课时探索勾股定理课题第1课时探索勾股定理授课人教学目标1.用数格子的方法探索直角三角形的三边关系,掌握勾股定理的内容.2.让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思维过程,体会数形结合和从特殊到一般的思想方法.3.探索勾股定理并灵活运用.4.在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐;通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生对祖国悠久文化历史的热爱,激励学生发奋学习.教学重点了解勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题.教学难点在方格纸上通过计算图形面积的方法探索勾股定理.授课类型新授课课时教具三角尺(多媒体)教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾什么叫直角三角形?学生回忆并回答,为本节课的学习提供迁移或类比方法.(续表)活动一: 【课堂引入】请同学们观察动画,我国科学家曾向太空发射勾股图,试图用一段生动有趣的动画,点燃学生的求知欲,创设情境导入新课与外星人沟通.如图1-1-6,在某年的国际数学家大会上采用弦图作为会标,它为什么会有如此大的魅力呢?它蕴含着怎样迷人的奥妙呢?这节课我就带领大家一起探索勾股定理.图1-1-6以景激情,以情激思,引领学生进入学习情境.活动二: 探究与应用【探究1】1.在纸上作出一个直角三角形,分别测量它们的三条边,观察三边长的平方之间有什么关系,与同伴交流.2.(1)观察课本图1-2,正方形A中有个小方格,即A的面积为平方单位.正方形B中有个小方格,即B的面积为平方单位.正方形C中有个小方格,即C的面积为平方单位.(2)你是怎样得出上面的结果的?学生思考交流并加以回答.(留给学生充足的时间,让学生体验正方形C的面积求法的多样性)(3)图1—2中,A,B,C的面积之间有什么关系?学生交流后形成共识,教师板书:S A+S B=S C.【探究2】我们也不难发现课本图1-2中的直角三角形是等腰直角三角形.如果不是等腰直角三角形,而是一般的直角三角形,会不会也有这种关系呢?投影课本第2页图1-3.(让学生先独立思考,教师观察学生活动,指导与合作,让学生充分发表自己的见解,暴露他们的思维过程.若计算正方形C的面积有困难,教师应适时点拨,介绍割补以及拼图等1.此次探究,能使学生初步感受直角三角形三边之间的关系,这为进一步验证勾股定理做好了铺垫.2.割补以及拼图等方法是本节课的教学难点,需要调动全体同学的积极性,留给学生充足的时间探究,同时借助多媒体动态演示,使学生感受方法的技巧,获得掌握知识的快感,这对于学生良好思维品质的形成有重要作用.方法,同时借助多媒体动态演示得出在一般的直角三角形中,S A+S B=S C仍然成立)三个正方形之间的面积关系能用直角三角形的三边关系表示吗?直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.【应用举例】例在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.(1)若a=3,b=4,求c的值;(2)若a=5,c=13,求b的值;(3)若a∶b=3∶4,c=10,求a,b的值.变式训练1.如图1-1-7所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D 的面积的和是cm2.图1-1-72.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a=8,c=b+4,求b,c的值.1.对例题的学习,其目的是巩固新知,通过老师的板演,强调格式步骤.2.模仿改造试题可以体现知识的延伸,使学生养成提出“新数学问题”的习惯.(续表)活动二: 【拓展提升】图1-1-8是“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形拼成的知识的综合与拓展,提探究与应用图形.若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1.设直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则a+b的值是.图1-1-8高应考能力.活动三: 课堂总结反思【达标测评】1.下列说法中,正确的是()A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以a2+b2=c22.已知直角三角形的斜边长为10,一直角边长是另一直角边长的3倍,则直角三角形中较长的直角边长为()A.√10B.2.5C.7.5D.3√103.如图1-1-9,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()图1-1-9A.8米B.10米C.12米D.14米4.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答).通过练习,进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用,也让学生知道了如何将所学知识服务于解题中来.在这里通过具体的实际问题,使学生学数学、用数学的意识得到强化,使学生创造性地将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼.图1-1-105.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.【课堂总结】学生活动:1.你这节课的主要收获是什么?2.在探索勾股定理的过程中,我们运用了哪些方法?教学说明:梳理本节课的重要方法和知识点,加深对本节课知识的理解.让学生在总结的过程中理清思路、整理经验,对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识,再通过排忧解难让学生对知识形成正向迁移,从而构建出合理的知识体系,养成良好的学习习惯.【作业布置】课本P3随堂练习,P4习题1.1.【知识网络】探究发现正方形C的面积的两种算法:勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么就有a2+b2=c2.提纲挈领,重点突出.活动三: 课堂总结反思【教学反思】①[授课流程反思]在探索勾股定理的过程中,分两步进行.第一步先研究课本P2图1-2和图1-3中正方形A,B,C之间的面积关系,第二步完成想一想中的问题.指导学生总结出直角三角形的三边关系,层层深入.每一步都引导学生合作探究,培养了学生的合作精神和动手能力.在正方形C的面积的求法中,学生有很多的办法.有的学生用拼凑法拼出完整的小正方形后,直接数出小正方形的个数;有的学生将其划分为四个边长都为整数的直角三角形,再利用三角形面积公式得到C的面积;还有的将C拼为边长都为整数的长方形,再求面积.讨论时要求学生在小组内进行交流,再请学生做小老师到讲台上讲解,以培养反思,更进一步提升.学生的语言表达能力,教师对学生的讲解进行点评,并给以鼓励,增强了学生学好数学的信心,体验成功的快乐.②[讲授效果反思]这节课从探究定理、总结定理到练习的处理都是引导学生完成的,多数学生在小组活动中表现积极,找出了许多解决问题的办法,乐于与小组其他成员合作,愿意与同伴交流自己的想法,有解决问题的自信心,不回避困难,教师参与到学生的活动中,使每个同学得到了不同程度的发展.③[师生互动反思]④[习题反思]好题题号错题题号。

批注[A1]:结合图形，复习勾股定理 内容。

结合一个具体问题，已课题：八上1-1探索勾股定理（2）—.备课标：（-）内容标准：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题。

（二）核心概念：体验从具体情境中抽象出来的数学问题的过程。

探索具体问题中的数量关 系，合理推理探索勾股定理。

十大核心概念在本节课中发展几何直观和符号意识，体会 数形结合的思想和从特殊到一般的思想. %1. 备重点、难点：（一）教材分析：本节是义务教育课程标准北师大版教科书八年级（上）第一章《勾股 定理》第1节第2课时，是在上节课己探索得到勾股定理之后的内容，具体内容是利用面积 验证勾股定理，并引导学生运用勾股定理解决实际问题。

通过拼图验证勾股定理并体会其中 数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学 生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础. （二）重点、难点分析：勾股定理作为平面几何有关度量的最基本的定理，它的探究方法有很多，而且在各种探究方 法中蕴含着十分丰富的数学思想。

本节主要是通过面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决 简单的实际问题。

重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题 难点：验证勾股定理。

%1. 备学情：（-）学习条件和起点能力分析： 1.学习条件分析：（1）必要条件：学生在七年级己经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质， 并能进行简单的恒等变形；上节课又己经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探 索并发现了勾股定理。

（2）支持性条件：学生在以前数学学习中己经经历了很多独立探究和合作学习的过程， 具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能 力。

2. 起点能力分析学生在上节课又己经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股 定理，但没有对一般的直角三角形进行验证。

在学生己经具备一定的观察、归纳、探索和推 理的能力基础上，他们小学接触过几何图形面积的计算方法（包括割补法）。

课题：1.1.2探索勾股定理教学目标:1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.教学重点与难点：重点：应用勾股定理解决简单的实际问题.难点：用面积法验证勾股定理.课前准备：教师准备：多媒体课件.学生准备：四个全等的直角三角形.教学过程:一、创设情境，引入主题师：伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家,1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.问题1：你能说出勾股定理的内容吗？问题2：伽菲尔德是利用图1验证了勾股定理，你也能利用它验证勾股定理吗？处理方式：问题1学生可以直接回答，对于问题2学生解决还有一定的难度，教师可先不作出解答，让学生带着疑惑走进课堂.【教师板书课题：1.1探索勾股定理(2)]设计意图：上节课仅仅是通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形仍需进行验证.巧妙引用“总统证法”引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲，以景激情，以情促思，引领学生不断探索, 不断深入.二、合作交流，共同验证活动一：拼图验证勾股定理活动内容：如图2,是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和〃，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证.处理方式：不要限制学生的思维，留给学生充分的时间和空间，鼓励学生经过尝试、 合作、交流、探索多样的拼图方法•教师可参与到学生的讨论中，发现同学们不足的地方, 给予提示和指导，之后利用实物投影展示学生的成果，从中选择两种拼图方法为下面进行勾 股定理的证明作准备.（课件动画展示拼图过程）问题1：图3中正方形ABCD 的边长是 ________________ ,正方形ABCD 的面积可表示问题2：图3中正方形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，因此正方形ABCD 的面积还可以表示为 ____________ .问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形，所以结果应 ____________ .问题4：现在，你能验证勾股定理吗？问题5：利用图4如何验证勾股定理？处理方式：学生借助问题1、2小组讨论交流各自的表示方法，对比发现两种计算图3 面积的结果存在相等的关系，从而化简得出a+A 2=c 2成立.教师巡视，多注意有困难的学生, 给出适当的提示和帮助.对于问题5,学生先独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台 讲解验证过程.设计意图：设计这个活动，让学生体会数形结合的思想，通过探究图形的构成，亲身验 证勾股定理的正确性，学生的动手、动脑能力得到了加强.图3、图4都能够证明勾股定理, 并且这两个图形的证明方法类似，因此师生共同来完成一个即可，剩下的一个由学生独立证 明，目的是学以致用，以实践操作强化对知识的理解.D a b C图3 图4活动二：拓宽视野，深入了解勾股定理的证法师：用图4验证勾股定理的方法，据记载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》 作注时给出的.事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，几千年来，人们已经发现了 400多 种，其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就能直观地证出了勾股定理，被誉为“无 字的证明”，我们来欣赏几种！（课件出示）问题：同学们，你能利用美国总统伽菲德所拼的图形验证勾股定理吗？ 处理方式：在教师的介绍下，学生通过欣赏几幅图片，了解中外古人对勾股定理证明的 研究.学生尝试独立利用图5验证勾股定理，然后在班内交流展示，教师对学生的方法进行 适当的指导.设计意图：介绍中外古代人们对勾股定理证明的研究，特别是勾股定理的无字证明，从 另一个角度让学生感受勾股定理的证明思路，体会拼图方法的多样性，激发学生的学习兴趣. 让学生验证总统证法的正确性，希望学生能关注知识、方法之间的内在联系，通过学生自身 的实践活动加深对勾股定理的理解.活动三：探究只有直角三角形才满足a+Z>2=c 2.师：我们已经验证了直角三角形满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形也满足这个 关系吗？观察图6,判断图中三角形的三边长是否满足a?+F=c 2.WWM AIH' ■8久利***家达•芬奇旳方ifcb 图5问题1:利用数格子的方法计算图中正方形的面积分别是多少？问题2：比较正方形的面积，锐角三角形的三边长满足的关系是什么？钝角三角形的三 边长满足的关系是什么？处理方式：学生独立进行计算、观察、比较，然后班内交流，师生共同得出结论：锐角 三角形中，a 2+b 2〈c 2；钝角三角形中，/+F>c 2；只有直角三角形才满足a+l)=c.设计意图：学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它 的三边a,b,c 不满足a 2+b 2=c 2这个结论，学生可以加深对勾股定理的认识，也为下一节直角 三角形的判别打下基础.三、典例解析，形成能力例：我方侦察员小王在距离东西向公路400m 处侦察，发现一辆敌 方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m, 10s后，汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？处理方式：先让学生独立进行解题，然后找一位同学交流自己的解 题思路，最后教师利用课件展示规范的解题过程.解：由勾股定理，得,即5 002=必+40()2,所以BC=300.敌方汽车10s 行驶了 300m,则lh 行驶的距离为108000m,所以它行驶的速度为108km/h.设计意图：为了巩固所学的勾股定理知识，教师逐步引导学生初步运用勾股定理解决实 际的问题；强化应用的意识，在应用中体会勾股定理的价值.四、巩固训练，深化提高1 -如图7,有两颗树，一颗咼10米，另一颗咼4米，两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行 ________ 米.M 卜、30 km'、、、N 、 40 km O 、、、50 kmP120 km 图8 某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M 、0、Q 三城市的沿江2.如图8是 图7高速，己知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？处理方式：学生在练习本上独立完成，完成后各小组组长负责纠正本组完成的题目，最后老师重点讲解.设计意图：在例题的基础上进行拓展，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，运用勾股定理解决实际问题的能力.五、师生交流，知识升华同学们，通过这节课的学习相信大家收获颇丰，谁愿意与大家一起分享分享？学生分享自己的收获.设计意图：在紧张而热烈的学习之余，需要静下心来，反思自己所学的内容，这是一个对知识沉淀、吸收的过程•在畅谈自己的收获中，不断强化对知识的识记、理解与领悟；同样其他学生在倾听别人的想法、意见、收获的同时，不断丰富自己的知识，取长补短、共同提高.六、分层挑战，当堂达标A组：1.若△ABC 中,ZC=90° ,(1)若a=5, c=13,贝!］戻 _____ .(2)若a:K3:4, c=20,贝U a= ________ , b= ________ .(3)若a=8, c=M4,贝!J 戻 _________ , c- _________ .2.学校升国旗的一名国旗手发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高是 _________ .3.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米，小明到达的终止点与原出发点的距离为__________ 米.B组：4.已知直角三角形两边长分别为3和4,则第三边的平方为_________ .5.如图，长方形纸片£砲中，折叠长方形的一边肋，使点〃落在加边的点尸处，已知 AB=CD=3, B(=AD=10,求 EC 的长.处理方式：由于学生学习程度不一样，设计了两种不同层次的题型，学生可选择适合自 己的题组独立完成，完成之后，组内交流、展示结果，师生根据完成的情况，及时给予点评、 纠正.设计意图：当堂检测可及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标•分 层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学生学好数学的信心.七、布置作业，课外延伸基础题：课本第6页习题1.2第1、2题.拓展题：从网上收集有关勾股定理的资料，撰写小论文，与同伴进行交流.设计意图：及时作业是巩固课堂学习的重要环节，收集资料、整理资料、网络学习是未 来公民的基本素质，鼓励学生上网搜集资料，整理成文是发现学生聪明才智的好机会.板书设计： §1. 1探索勾股定理（2）直角三角形中，a 2+Z?2=c 2；锐角三角形中，a 2+F<d ；钝角三角形中，找到引用源。

1.1 探索勾股定理（2）1.经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2.掌握勾股定理和他的简单应用学习重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理学习难点：用面积法证勾股定理教法及学法指导：针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。

引导学生自主探索，合作交流。

并利用教具与多媒体进行教学。

在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动口、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体。

课前准备：制作课件，学生课前进行相关调查及预习工作.教学过程:一、创设情境，导入新课［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边．例如（a+b）（a －b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2，所以平方差公式是成立的．［生］还可以用拼图的方法来推出．例如：（a+b）2=a2+2ab+b2．我们可以用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下图所示的边长为（a+b）的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为（a+b）2；又可以表示为a2+2ab+b2．所以（a+b）2=a2+2ab+b2．［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观．上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理．同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确．因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系．二、性质探究1．拼一拼（1）在一张硬纸板上画4个如下图所示全等的直角三角形．并把它们剪下来．（对于上面2个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来．鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自己拼出的图形，联系（a+b ）2=a 2+2ab+b 2的拼图推证方法说明勾股定理）．［生］我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c 的正方形．观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是（a+b ）．要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可．大正方形面积可以表示为：（a+b ）2，又可以表示为：21ab ×4+（b －a ）． 对比这两种表示方法，可得出c 2=21ab ×4+（b －a ）．化简、整理得c 2=a 2+b 2．因此我们得到了勾股定理．［生］我拼出了和这个同学不一样的图，如下图所示，大正方形的边长是c ，小正方形的边长为b －a ，利用这个图形也可以说明勾股定理．因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c 2，又可以表示为21ab ×4+（b －a ）2．对比两种表示方法可得c 2=21ab ×4+（b －a ）2．化简得c 2=a 2+b 2．同样得到了勾股定理．在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的了．有人做过统计，说有五百余种．1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步．［师］是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思想体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．［师］可以．如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．［师］很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．2．议一议观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2．［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形．［师］△ABC的三边上“长”出三个正方形．谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子．［生］以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积．a2+b2=9+7=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2+b2≠c2．［生］以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积．由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积．在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2．［师］通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有a2+b2=c2（其中a、b是直角边，c为斜边）这样的关系．［师］这位同学很善于思考，的确如此．同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小．三、性质的应用1.例题精讲（学生自己画图完成，全班交流）2.巩固提高［师生共析］1．分析：根据题意，可以画出下图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5000米，AC=4800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即50002=BC2+48002，所以BC=1400米．2分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的．解：根据题意，得到下图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36．6AC=27，AC=4．5．所以这里的水深为4．5分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．四、收获园地师：这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题五、达标检测六、作业1．课本P11，习题1．2． 1 、2 2．收集关于勾股定理的证明方法．七、板书设计探索勾股定理（二）一、用拼图法验证勾股定理 1．由上图得（a+b ）2=21ab ×4+c 2即a 2+b 2=c 2；由上图可得c 2=21ab ×4+（b －a ）2即a 2+b 2=c 2二、议一议 三、例题讲解 四、课时小结八、教学反思学生基本理解，对实际问题理解不透，很多学生不能通过读题把图形画出来，今后应多加强此方面的训练。

探索勾股定理教学目标:知识技能：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.过程方法：在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.情感态度和价值观：在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神； 重点难点:用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点和难点. 教学过程 （一）课前准备制作四个全等直角三角形 （二）复习引入内容：教师提出问题：活动1： （小组合作展示）今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形. 活动2：学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2活动3 ： 自主探究，完成验证二.（三）勾股定理的简单应用图1D'C'B'DCBA 例1、议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2例3、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。

如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理（小组合作交流展示）（四）小结梳理 知识上： 思想方法上：（五）后测达标1.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________________2.以直角三角形的两直角边为边长向外作正方形，所作的正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为_________________ （六）拓展延伸_b_a_a _c _b_cEDBCA2、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长（七）作业布置随堂练习1,、习题1.2 知识技能1 问题解决3 联系拓广5。

探索勾股定理（二）教学设计教学目标1．教学目标●知识与技能目标掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.●过程与方法目标在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.●情感与态度目标在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.2．教学重点用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.3．教学难点验证勾股定理.教法学法1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.教学过程本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）追溯历史，激发情感；（四）例题讲解，初步应用；（五）拓展练习，能力提升；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸.第一环节：复习设疑，激趣引入内容：教师提出问题：意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：小组活动，拼图验证.内容：活动1：教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图1图2在此基础上教师提问：从而利用图1验证了勾股定理.活动3：自主探究，完成验证二.（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：追溯历史激发情感国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.abbcc1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：例题讲解初步应用意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.第五环节：拓展练习能力提升内容：一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题（1）教材 P10练习题.说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第六环节：回顾反思提炼升华目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.第七环节：布置作业，课堂延伸内容：教师布置作业1．习题1．2 1，2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.六、教学设计反思（1）设计理念（2）突出重点、突破难点的策略勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2.这样学生较容易地突破了本节课的难点.（3）分层教学根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择下述内容进行补充或拓展.基础训练1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）．A ．30 cm2B ．130 cm2C ．120 cm2D ．60 cm2提高训练5．轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.知识拓展7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果: 1．（1）13；（2）8；（3）6，8． 2．2.5m ．3．1360cm ． 4．D ．5．25km ．6．4．7．3 cm ． （4）评价方式在教学活动中教师应关注学生在验证勾股定理过程中表现出来的思维水平，应关注学生在应用勾股定理解决问题过程中表现出来的应用能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能.CF D A。