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初中八年级上册数学《探索勾股定理

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探索勾股定理(19张PPT)数学八年级上册

探索勾股定理(19张PPT)数学八年级上册
在公元前300年左右，著名的数学家希腊的欧几里得提出了一套简洁而准确的几何方法，以求证在给定直角三角形中已知两直角边与斜边，斜边与另外两条边的平方和的关系。
1637年，路易十四命令巴黎学院组织了一场盛大的比赛，将法国的贵族们集结起来解决了这道难题，当时获胜的人可以得到很丰厚的奖品。
有关于勾股定理的趣味历史
勾股定理的介绍
目录
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
用勾股定理解决实际问题
勾股定理的跨学科
勾股定理的验证推导
什么是勾股定理
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
有关于勾股定理的趣味历史
据说在古埃及文明中，他们建造金字塔时使用了“几何法则”来确定石块之间的距离和角度。这个神秘的几何法则据说与古代建筑物的外形有关系，可能就是指勾股定理。
折叠毕达哥拉斯定律
勾股定理的验证推导
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理．这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角．他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形．他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理；给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的；如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
在语文课堂上的应用
在科学实验中的应用
用勾股定理解决实际问题
物理学中的应用
勾股定理在物理学中被广泛运用，可以用于建筑结构分析、机械设计以及其他类似问题的解决，同时也是桥梁设计的重要理论基础之一。
有不少现代的编程语言内置了计算器功能，提供了简便易用的库支持。而且在算法领域也能看到它的踪影，如分治算法、动态规划算法等

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件

2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.

初中八年级上册数学《探索勾股定理》

初中八年级上册数学《探索勾股定理》
2、图l一2，1-3中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？
3、从图1一l、1一2、1一3中你发现了什么？
4、图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
小结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议，归纳定理
5、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
注意引导学生发现数字间的倍数关系
引导学生进一步发现勾股定理还可以用来解决其他图形的问题
以问题串的形式引导学生总结本节课的学习内容
检测与反馈
激发学生的探索欲望和学习热情
阅读，小组合作，获取有用信息，归纳
动手操作，数方格，并小组合作
引导学生从中发现不同的解题方法
计算并说明依据
观察前三组数据，小组合作发现规律
小组交流，解决问题
根据提供问题总结
独立完成
课题
1.1探索勾股定理
课型
新授
教学目标
知识目标：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
能力目标：让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法，培养学生的观察力、抽象概括能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力
（2）查阅与勾股定理与关的资料，了解勾股定理的其他证明方法。
出示投影，创设问题的情境，揭示课题。
引导学生了解勾股定理的内容和相关背景，
引导学生数格子，并交流不同的的解题方法
引导学生发现A + B＝C
引导学生归纳勾股定理

北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》课件

北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》课件

c=
。
2.在△ABC中，∠C=90°,若c=13，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=12，则
a=
。
3.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
二、提高训练
4．一个长为10 m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距
地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2 m后，底端
滑动
m．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
视察这三 个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间 存在什么关系吗？
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长 的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正 方形的面积.
分小组动手操作实践
用四张全等的等腰直角三角形纸片，拼成一个 正方形。（不能重叠，不能有间隙）
∵c2= 4×12 a2 ∴c2=2a2
（1）如果三角形的三边长分别为a,b,c，则 a2+b2=c2
( ×)
（2）如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2
( ×)
( 3) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 a+b=c
( ×)
(4) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 b2=c2-a2
2002年国际数 学家大会会标 ——弦图.
四、课堂小结 定理内容
重要的 思想方 法及数 学思想
勾股 定理
从特殊 到一般、 数形结 合思想
定理运用
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界.

1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册

1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册

121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图

北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)

北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)

勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

八年级数学上册《探索勾股定理》教案、教学设计

-设计具有挑战性的延伸性问题，激发学生的探究欲望，为下一节课的学习打下基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过多媒体展示勾股定理的历史背景，如古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的故事，以及我国古代对勾股定理的研究成果，引发学生对勾股定理的好奇心。
2.提问学生：“同学们，你们知道直角三角形有什么特征吗？”让学生回忆直角三角形的定义和性质，为新课的学习做好铺垫。
3.教师提出问题：“在直角三角形中，斜边与直角边之间是否存在某种特殊的数量关系？今天我们就一起来探讨这个问题。”
（二）讲授新知
1.教师通过动画演示，引导学生观察直角三角形中斜边与直角边的关系，并提出勾股定理的猜想。
2.教师逐步引导学生，利用数学归纳法证明勾股定理，强调数学逻辑性和严谨性。
-首先，验证直角边长度为1的直角三角形，斜边长度是否满足勾股定理；
4.多元评价：采用口头提问、课堂练习、课后作业等多种形式，全面评价学生的学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探索数学知识的热情；
2.培养学生严谨、细心的学习态度，提高他们的数学素养；
3.培养学生的团队协作意识，让他们在合作探究中学会倾听、交流、分享；
4.使学生认识到勾股定理在数学发展中的重要地位，以及数学在人类文明进步中的价值。
此外，学生在解决问题的过程中，可能存在以下问题：对勾股定理的理解不够深入，难以灵活运用；在解决实际问题时，容易忽略细节，导致计算错误。因此，在教学过程中，教师应关注学生的这些薄弱环节，有针对性地进行教学设计和指导。
在此基础上，教师要关注学生的兴趣和动机，通过生动有趣的教学手段，激发学生的学习兴趣，使他们愿意主动参与到勾股定理的探究过程中。同时，注重培养学生的团队合作精神，让他们在互动交流中共同提高，为学生的全面发展奠定基础。

2.7 探索勾股定理八年级上册数学浙教版

第2章 特殊三角形
2.7 探索勾股定理
学习目标
1.掌握勾股定理，了解勾股定理的证明过程.
2.会用勾股定理解决简单的几何问题和实际问题.
3.掌握勾股定理的逆定理.
4.会应用勾股定理的逆定理来判定直角三角形.
知识点1 勾股定理 重点
勾股定理
几何语言
变式
应用Βιβλιοθήκη 图示直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
考点2 利用勾股定理的逆定理解决实际问题
典例5 （2021·玉林中考）如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点 ， 处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿____________方向航行.
典例1 在 中, ， ， 的对边长分别为 ， ， .
（1） 若 ， , ，求 ；
解：（1） ， , ，由勾股定理，得 . ， .
， , .由勾股定理，得 ,解得 （ 舍去）. .
（2） 若 ， , ,求 ；
（3） 若 ， ，求 .
（3）当 是斜边长时，由勾股定理，得 . ， .当 是直角边长时，由勾股定理，得 . ， .综上, 或 .
由图（1）得大正方形的面积 ,由图（2）得大正方形的面积 ,联立两式易得 .
续表
古印度的“无字证明”，单靠移动几个图形就直观地验证了勾股定理
典例2 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法.如图所示，火柴盒倒下后，它的一个侧面 到了四边形 的位置，连结 ， ， ，设 ， ， .请利用四边形 的面积验证勾股定理： .
北偏东
解析：由题意可知, 海里， 海里， 海里. ， 是直角三角形，且 .由题意知 ， ，即乙船沿北偏东 方向航行.

八年级数学探索勾股定理


100%
解决物理问题
勾股定理在解决物理问题中也有 着广泛的应用，如求物体的速度 、加速度等。
80%
建立物理模型
勾股定理可以用来建立物理模型 ，如建立质点运动模型、弹性碰 撞模型等。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，勾股定理可以 用来确定建筑物的角度和长度 ，以确保建筑物的稳定性和安 全性。
航海定位
八年级数学探索勾股定理
目
CONTENCT
录
• 引言 • 勾股定理的证明 • 勾股定理的应用 • 勾股定理的扩展 • 勾股定理的探索与发现
01
引言
勾股定理的背景
勾股定理是数学中一个基本而重要的定理，它揭示 了直角三角形三边之间的数量关系。这个定理在古 代文明中就已经被发现和应用，如古希腊、古中国 和古巴比伦等。
勾股定理的推广在几何学中有着广泛的应用，它可以用来判 断一个三角形是否为直角三角形，也可以用来证明一些与三 角形相关的定理和性质。
勾股定理在复数域中的应用
勾股定理在复数域中的应用是指将勾股定理应用到复数领域 中。在复数域中，勾股定理仍然成立，即对于任意两个复数a 和b，有a^2 + b^2 = c^2，其中c是a和b的模长。
在西方，勾股定理最早可以追溯到公元前6世纪，古 希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了直角三角形三边 之间的数量关系，并给出了证明。
在中国，勾股定理也被称为商高定理，最早的记载 可以追溯到周朝时期的《周髀算经》。
勾股定理的重要性
勾股定理是几何学中的基石之 一，它不仅在数学领域有着广 泛的应用，而且在物理学、工 程学、天文学等领域也有着重 要的应用。
勾股定理在三角函数、解析几 何、微积分等数学分支中也有 着广泛的应用，是数学学习中 不可或缺的一部分。

北师大版数学 八年级上册 探索勾股定理(第1课时)

1.1 探索勾股定理 （第1课时）
导入新知
同学们，在我们美丽的 地球王国上，原始森林，参 天古树带给我们神秘的遐想； 绿树成荫，微风习习，给我 们以美的享受.你知道吗？ 在古老的数学王国，有一种 树木它很奇妙，生长速度大 的惊人，它是什么呢？下面 让我们带着这个疑问一同到 数学王国去欣赏吧！
勾股树
探究新知
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积
“割”
分割为四个直角 三角形和一个小 正方形
“补”
“拼”
将几个小块拼成一个正 方形，如图中两块红色 （或绿色）可拼成一个 小正方形
探究新知 （4）分析填表数据
A的面积
图3
4
图4
16
C A
B
图3
B的面积 9 9
C A
B
图4
C的面积 13 25
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知 问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
C A
B
图1 （图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考1 用什么办法能求出图1中A, B的面积? 数格子
C A
B
图1
正方形A中含有 9 个小方格,即 A的面积是 9 个单位面积.
同理:正方形B的面积是 9 个单 位面积.
探究新知
2.求非直角三角形的面积
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面
积． 解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，
所以BD=CD=5， 所以AD2=AB2-BD2 =132-52 =144，AD=12
所以S△ABC=12 BC•AD= 12×10×12=60．
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？
1
a bc
b a
c
c
c
a
a
b c b bc
b
a
a
c
a
c
b
三国时期数学家赵爽在
《周髀b算经》a作注时给出。2002年北京
世界数学家大会会标，既标志着中国古
代的数学成就，又像一只转动风车，欢
迎来自世界的数学家们。
2
a bc
b ca
ac b
cb a
c
a
a
b
c
b bb
c
a
a
c
大正方形面积(a+b)2 大正方形面积 c2
6千米/时 小明
因此 x2 = 122 + 52 = 169
x = 13
答：两队相距13千米。
7
飞机在空中水平飞
行，某一时刻刚好
飞到一个男孩头顶 正上方15千米处， 过了40秒，飞机距 离这个男孩头顶17 千米.飞机每时飞行 多少千米？
？
C
B
15
千 米
17千米
A
8
解：如所画示意图。 BC2=AB2 一AC2
商高就提出了“勾三、股四、弦五
a2 = c2_ b2 b2 = c2_ a2
” 的说法。 两千年前，希腊的毕达 c2 = a2+b2
哥拉斯学派证明了勾股定理，此定
理被世界上称为毕达哥拉斯定理。
4
( 口答)：求出图中的x和S值
6x 8
解：X2=62+82=100 x=10
5 6
13 12 面积 S =15
BC2=172—152 =64 BC =8(千米) v=8÷40×3600 =720千米 /时 答：飞机每小时飞行 720千米。
？
C
B
15
千 米
17千米
A
9
与直角三角形有关的：
1、勾股定理：a2+b2=c2
2、角：直角三角形两锐角互余；
3、全等：HL B
a
c
C bA
10
11
12
个人观点供参考，欢迎讨论！
小正方形面积 c2 小正方形面积(b-a)2
4个三角形面积
4个三角形面积
½ ab×4
½ ab×4
这三者有什么关系？这三者有什么关系？ 3
勾股定理
a2 + b2 = c2
B
直角三角形两直角边的 a
c
平方和等于斜边的平方 C b A
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之 一。早在三千多年前，周朝数学家
5
北 东
放假了，小明团队、小 小强 强团队相约去内蒙古草
？
原。某日早晨7时小明团
队先出发，6千米/时的速 度向东行走；1小时后小
6千米/时 小明
强团队出发，以5千米/时
的速度向北行进。上午9
时他们两队相距多远？
6
北 东

解：设两队相距x米。 小强
小明路程:
？
6 x 2 = 12千米
小强路程: 5 x 1 = 5千米