高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第9练三角函数的概念、三角恒等变换练习文
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第9练 三角函数的概念、三角恒等变换[明考情]三角函数的概念和三角恒等变换是研究三角函数图象、性质的基础，常在交汇点处命题，个别年份单独命题，难度中档偏下. [知考向]1.任意角的三角函数.2.三角函数的求值与化简.3.三角恒等变换的应用.考点一 任意角的三角函数要点重组 (1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }.(2)三角函数：角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0). (3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.1.已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α等于( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案 B解析 圆的周长为4π，π2弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α | α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.2.已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( )A.27B.127C.9D.19答案 B解析 角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则tan 7π3＝tan π3＝3＝3m m＝16m -，则m ＝127.3.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 因为r ＝42＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255， 所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.4.(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________.答案 13解析 由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z )， 所以sin β＝sin α＝13.5.函数y ＝2sin x －1的定义域是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ∈Z 考点二 三角函数的求值与化简要点重组 (1)同角三角函数基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：角k2π±α(k ∈Z )的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限. (3)和差公式.方法技巧 (1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”；注意角的变形，看函数名称之间的关系；观察式子的结构特点.(2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点，sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.6.(2017·安徽淮北二模)已知α满足sin α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A.718 B.2518 C.－718D.－2518答案 A解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α－sin α)·22(cos α＋sin α)＝12(cos 2α－sin 2α)＝12(1－2sin 2α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×19＝718，故选A.7.(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A.8.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于( ) A.14 B.12 C.4 D.12 答案 C解析 由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17， ∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)， ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝4.9.(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案31010解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α).又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010. 10.已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________. 答案π3解析 因为cos(2α－β)＝－1114且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4＜α－2β＜π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.考点三 三角恒等变换的应用要点重组 辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·sin(α＋φ)， 其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2.11.(2017·山东)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C.π D.2π 答案 C解析 ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.故选C.12.(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15 答案 A解析 方法一 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.方法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.13.已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ，下列说法错误的是( ) A.f (x )的最小正周期为πB.直线x ＝π2是f (x )图象的一条对称轴C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上单调递增 D.|f (x )|的值域是[0，1] 答案 C解析 f (x )＝cos 2x ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上不单调， ∴选项C 中的结论错误.14.设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.答案 －255解析 f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55.当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数f (x )取到最大值，即当θ＝2k π＋π2＋φ时，函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255. 15.函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________.答案 [－3，3]解析 f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝sin x －⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝32sin x －32cos x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6∈[－3，3].1.设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k2k B.－1－k2k C.k1－k2D.－k1－k2答案 B解析 sin 80°＝1－cos 280°＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2， 所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.2.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 ∵tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.①∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，∴由①得α－β＝π2－α，即2α－β＝π2.故选B.3.已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ的值为________.答案 －125解析 ∵sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，∴sin θcos θ＝－60169，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝289169.又θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝1713，∴sin θ＝1213，cos θ＝－513，∴tan θ＝－125.解题秘籍 (1)使用平方关系求函数值，要注意角的某象限和三角函数值的符号.(2)利用三角函数值求角要解决两个要素：①角的某一个三角函数值；②角的范围(尽量缩小).1.点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12答案 A解析 设点Q 的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2.若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析 根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.3.(2017·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A.－7210 B.7210 C.－210 D.210答案 D解析 由题意得tan θ＝2，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝45， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝210.4.若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α等于( )A.15B.－15C.513D.－513 答案 D解析 由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513. 5.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32 C.3 D. 2 答案 C 解析原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.6.已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010， 所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255. 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22， 所以β＝π4.7.tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于( ) A. 3 B.33 C.－33D.－ 3 答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.8.记a ＝sin(cos 2 010°)，b ＝sin(sin 2 010°)，c ＝cos(sin 2 010°)，d ＝cos(cos 2 010°)，则a ，b ，c ，d 中最大的是( ) A.a B.b C.c D.d 答案 C解析 注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin 2 010°＝－sin 30°＝－12，cos 2 010°＝－cos 30°＝－32，因为－π2＜－32＜0，－π2＜－12＜0，0＜12＜32＜π2，所以cos 12＞cos 32＞0，所以a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32＜0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12＜0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12＞d ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32＞0，因此c 最大.9.已知角α终边上一点P (－4，3)，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________.答案 －3411 解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α. 根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34， 所以原式＝－34. 10.已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α的值为________. 答案 334解析 1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 11.若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________. 答案 1解析 由于f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx ＝12sin 2ωx ，所以T ＝2π2ω＝π⇒ω＝1. 12.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________. 答案 12 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4，且tan α>0， ∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12， 故sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12.。
