海淀中考数学试题及答案

初三数学试题及答案海淀一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. √4答案：C2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个数的平方根是2，那么这个数是：A. 2B. 4C. -4D. 8答案：B4. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B5. 一个二次方程x² - 5x + 6 = 0的根是：A. x = 2, 3B. x = 1, 6C. x = -2, 3D. x = 2, -3答案：A6. 一个数的立方根是3，那么这个数是：A. 27B. 64C. 81D. 243答案：A7. 如果一个数的相反数是-7，那么这个数是：A. 7B. -7C. 0D. 14答案：A8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是答案：C9. 一个多项式3x³ - 2x² + 5x - 7的首项是：A. 3x³B. -2x²C. 5xD. -7答案：A10. 一个分数的倒数是1/3，那么这个分数是：A. 3B. 1/2C. 1/3D. 3/1答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的平方是16，这个数是______。

答案：±42. 一个圆的直径是10，那么它的周长是______。

答案：π×103. 如果一个三角形的三个内角分别是30°，60°，90°，那么这是一个______三角形。

答案：直角4. 一个数的立方是-27，这个数是______。

答案：-35. 一个数的平方根是-2或2，这个数是______。

答案：46. 如果一个数的绝对值是3，那么这个数是______。

答案：3或-37. 一个多项式x³ - 2x² + x - 2的常数项是______。

2022北京海淀初三（上）期中数 学注意事项1．本试卷共6页，共两部分，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）1. 一元二次方程23640x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 3，6，4B. 3，6-，4C. 3，6，4-D. 3，6-，4-2. 将抛物线21y x =-+向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ）A. 23y x =-+ B. 2(2)1y x =--+C. 21y x =-- D. 2(2)1y x =-++3. 下列四幅图案中，可以由右侧的一笔画“天鹅”旋转180︒得到的图案是（ ）A. B.C. D.4. 如图，BD 是ABC 中线，E ，F 分别是BD ，BC 的中点，连接EF ．若4=AD ，则EF 的长为（ ）的A. 32 B. 2 C. 52D. 45. 用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ）A. ()225x -= B. ()223x -=C. ()225x += D. ()223x +=6. 二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x 1-01234y m 212510则m 的值是（ ）A. 1B. 2C. 5D. 107. 如图，在ABC 中，135BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点,A B 的对应点分别为,D E ，连接AD ．当点,,A D E 在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）A. ABC DEC≌△△ B. =45ADC ∠︒C. AD =D. AE AB CD=+8. 如图，已知关于x 的一元二次方程2()10a x k --=的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k 的值可能是（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 若1是关于x 的方程20x ax -=的根，则a 的值为___________．10. 已知ABCD Y 的周长为143AB =，，则BC 的长为___________．11. 若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则ac _____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．12. 如图，等边ABC 绕顶点A 逆时针旋转80︒得到ADE V ，连接BE ，则ABE ∠=___________︒．13. 若关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值为___________．14. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x 米，可列方程为___________．15. 点()()122A y B a y ，，，在二次函数223y x x =-+的图象上．若12y y <，写出一个符合条件的a 的值___________．16. 甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如2y ax bx =+的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点第三象限；丙：经过点（2-，0），（1，3）．根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是___________（填“甲”，“乙”或“丙”）．在三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17. 解方程：（1）249x =；（2）2680x x -+=．18. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到DEC ，点A 与点D 对应，点B 与点E 对应．（1）依题意补全图形；（2）直线AB 与直线DE 的位置关系为___________．19. 已知m 是方程2240x x +-=的一个根，求代数式2(2)(3)(3)m m m +++-的值．20. 如图，在ABC 中，90,20C B ∠=︒∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转25︒得到ADE V ，AD 交BC 于点F ．若3AE =，求AF 的长．21. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过()0,3A 和()10B ,两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）该抛物线的对称轴为___________．22. 已知关于x 的一元二次方程2660x m x m --=＋（）．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根小于2，求m 的取值范围．23. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()211y x =--图象顶点为A ，与x 轴正半轴交于点B ．（1）求点B 的坐标，并画出这个二次函数的图象；（2）一次函数y kx b =+的图象过A ，B 两点，结合图象，直接写出关于x 的不等式()211x kx b --+>的解集．24. 如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为△ABC 的中线．BE DC ∥，BE DC =，连接CE ．（1）求证：四边形BDCE 为菱形；（2）连接DE ，若60ACB ∠=︒，4BC =，求DE 的长．25. 探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为2y ax =，则抛物线的焦点为(0，14a )．如图，在平面直角坐标系xOy 中，某款探照灯抛物线的表达式为214y x =，焦点为F ．（1）点F 的坐标是___________；（2）过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，已知沿射线FA 方向射出的光线，反射后沿射线AM 射出，AM 所在直线与x 轴的交点坐标为()4,0．① 画出沿射线FB 方向射出的光线的反射光线BP ；②BP 所在直线与x 轴的交点坐标为___________．26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2222y x mx m =-+-．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）已知点(3,2)P ．① 当抛物线过点P 时，求m 的值；② 点Q 的坐标为()1m ，．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．27. 在等边△ABC 中，将线段CA 绕点C 逆时针旋转α（0°<α<30°）得到线段CD ，线段CD 与线段AB 交于点E ，射线AD 与射线CB 交于点F ．（1）① 依题意补全图形；② 分别求∠CEB 和∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段BE ，CE ，CF 之间数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),A a b ．对于点(),P x y 给出如下定义：当x a ≠时，若实数k 满足y b k x a -=-，则称k 为点P 关于点A 的距离系数．若图形M 上所有点关于点A 的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M 关于点A的距离系数．的（1）当点A 与点O 重合时，在()()()1232,22,14,4P P P --,,中，关于点A 的距离系数为1的是___________；（2）已知点()()2,1,1,1B C -，若线段BC 关于点(),1A m -距离系数小于12，则m 的取值范围为___________；（3）已知点()()4,0,0,A T t ，其中24t ≤≤．以点T 为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点D ，E 为该正方形上的动点，线段DE 的长度是一个定值（02DE <<）． ① 线段DE 关于点A 的距离系数的最小值为___________；② 若线段DE 关于点A 距离系数的最大值是32，则DE 的长为___________．的的参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）1. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解．【详解】解：一元二次方程23640x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，6-，4-；故选D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．2. 【答案】A【解析】【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减，平移即可求解．详解】解：将抛物线21y x =-+向上平移2个单位长度，得到的抛物线是212y x =-++，即23y x =-+，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．3. 【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质即可解答．【详解】解：可以下图一笔画“天鹅”旋转180︒得到的图案是．故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只改变了图形的方向、不改变形状．4. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形中线求出CD ，再根据三角形中位线定理即可求出EF ．【详解】解：∵BD 是ABC 的中线，4=AD ，∴4CD AD ==，【∵点E ，F 分别是BD ，BC 的中点，∴122EF CD ==，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的中线定义、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5. 【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式，结合等式的性质，进行配方即可．【详解】解：∵2410x x -+=，∴24133x x -++=，∴2443x x -+=，∴()223x -=，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的求解步骤是解题的关键．6. 【答案】C【解析】【分析】根据表格数据可知，抛物线的对称轴为1x =，由抛物线的对称性可知，=1x -时y 的值与3x =时的值相等，即可求解．【详解】解：有表格可知，当0x =，2y =，当2x =，2y =，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为1x =，∴=1x -时y 的值与3x =时的值相等，∴=1x -时y 的值为5，即m 的值为5，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象的对称性，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．7. 【答案】D【解析】【分析】将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，可得,,,,ABC DEC CA CD CB CE AB DE === ≌再证明45,90,ADC ACD ∠=︒∠=︒ 再逐一分析即可．【详解】解：∵将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，∴,,,,ABC DEC CA CD CB CE AB DE === ≌ 故A 不符合题意；∴135,BAC CDE ∠=∠=︒∴45,CDA CAD ∠=︒=∠ 故B 不符合题意；∴90,ACD ∠=︒∴222,AC CD AD +=∴,AD = 故C 不符合题意；∵,AE AD DE =+∴.AE AD AB =+ 故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键．8. 【答案】C【解析】【分析】先确定方程两根的范围，然后再确定抛物线的对称轴，最后根据抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称即可解答．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2()10a x k --=的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，∴一个根110x -<< ，另一个根223x <<，∵抛物线2()y a x k =-的对称轴是直线x k =，∴抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，∴k 的值可能为1．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程关系，掌握二次函数图像与x 轴的交点关于对称轴对称是解答本题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】1【解析】【分析】把1代入方程即可．【详解】解：把1代入方程得210a -=，∴1a =故答案为：1．【点睛】本题主要考查已知方程根求参数的做法，能够正确代入方程计算是解题关键．10. 【答案】4【解析】【分析】根据平行四边形对边相等，即可求解．【详解】解：∵ABCD Y 的周长为143AB =，，的∴,AB CD AD BC ==，∴()214AB BC +=，∴4BC =,故答案为：4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．11. 【答案】＜【解析】【分析】首先由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断ac 与0的关系．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴ac ＜0．故答案为＜．【点睛】考查二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．常数项c 决定抛物线与y 轴交点．12. 【答案】20【解析】【分析】根据旋转的性质得出AC AE =，根据等边三角形的性质可得AB AC =，等量代换得到AB AE =，由旋转得出80ABD ∠=︒，继而可得20CAD ∠=︒，根据三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质得出20ABE ∠=︒．【详解】解：∵等边ABC 绕顶点A 逆时针旋转80︒得到ADE V ，∴AC AE =，80BAD ∠=︒，∵ABC ，ABD △是等边三角形，∴AB AC =，60BAC ∠=︒，60DAE ∠=︒，∴AB AE =，20CAD BAD BAC ∠=∠-∠=︒，∴ABE AEB ∠=∠，∴602060140BAE ∠=︒+︒+︒=︒，∴20ABE ∠=︒．故答案为：20．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，旋转的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．13. 【答案】14【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个相等的实数根，则方程的判别式0∆=，据此列方程，解方程可得答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x x k ++=有两个相等的实数根，∴方程的判别式：21410k ∆=-⨯⨯=，∴14k =，故答案为：14．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个相等的实数根，则0∆=”是解题的关键．14. 【答案】(18)(30)288x x --=【解析】【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x 米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可．【详解】解：依题意得(18)(30)288x x --=，故答案为：(18)(30)288x x --=【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15. 【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】二次函数开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，找一个离对称轴比1大的数即可．【详解】解：∵二次函数开口向上，∴离对称轴：直线1x =越远的点的函数值越大，A 点离对称轴水平距离为1，故a 可以等于3．故答案为3（答案不唯一）【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，熟练运用函数图像的最低点及性质比大小是解题关键．16. 【答案】甲【解析】【分析】根据2y ax bx =+可知，函数图象过()0,0，再根据丙的描述，画出图象即可进行判断．【详解】解：2y ax bx =+，当0x =时，0y =；∴图象过()0,0，根据丙的描述，可得2y ax bx =+的图象如下：∴抛物线的开口朝上，顶点在第三象限，∴乙，丙两位同学描述的是同一函数图象，∴抽到与其他两人解析式不同的是：甲；故答案为：甲．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17. 【答案】（1）132x =，232x =- （2）12x =，24x =【解析】【分析】（1）根据直接开平方法进行求解方程即可；（2）根据因式分解法进行求解方程即可．【小问1详解】解：249x =294x =32x =±∴132x =，232x =-；【小问2详解】解：2680x x -+=()()240x x --=20x -=或40x -=∴122,4x x ==．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．18. 【答案】（1）见解析（2）AB ⊥DE 【解析】【分析】（1）直接根据旋转的性质作图即可；（2）如图：延长DE 交AB 于点F ，然后根据旋转的性质可得CED B ∠=∠，然后根据对顶角相等并结合90ACB ∠=︒即可解答．【小问1详解】解：如图即为所求：．【小问2详解】解：延长DE 交AB 于点F由旋转可得:CED B ∠=∠,∵CED AEF ∠=∠,∵B AEF∠=∠∵90ACB ∠=︒，∴90A B A AEF ∠+∠=∠+∠=︒ ,∴90AFE ∠=︒，即AB DE ⊥．故答案为：AB DE ⊥．【点睛】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解答本题的关键．19. 【答案】3【解析】【分析】把m 代入方程，求出224m m +=，再将代数式进行化简，利用整体思想进行计算即可．【详解】19．解：∵m 是方程2240x x +-=的一个根，∴2240m m +-=．∴224m m +=．原式22449m m m =+++-2245m m =+-()2225m m =+- 245=⨯-3=．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，以及利用整体思想求代数式的值．熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．20. 【答案】【解析】【分析】利用旋转的性质，得到AC AE =，ACF △为等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵ABC 绕点A 顺时针旋转25︒得到ADE V ，∴25,FAB AC AE ∠=︒=．∵3AE =，∴3AC =．∵20B ∠=︒，∴45AFC FAB B ∠=∠+∠=︒．∵90C ∠=︒，∴ACF △是等腰直角三角形．∴ AF ==．【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．21. 【答案】（1）243y xx =-+（2）2x =【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =++经过(03)A ，和()1，0B 两点，∴310c b c =⎧⎨++=⎩，解得：34c b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：243y xx =-+．【小问2详解】解：∵()224321y x x x =-+=--，∴抛物线的对称轴为2x =．故答案：2x =．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤，是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析（2）2m >-【解析】【分析】（1）求得该一元二次方程根的判别式大于等于零即可证明结论；（2）先求出该方程的解，然后令一个实数根小于2，然后求解不等式即可解答．【小问1详解】证明：由题意，2(6)4(6)m m ∆=--⨯- 2+12+36m m =2+60m =≥（）．∴ 该方程总有两个实数根．【小问2详解】（2）解：解方程2660x m x m --=＋（），得：1x m =-，26x =．∵ 方程有一个实数根小于2，∴ 2m -<．∴ 2m >-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，当一元二次根的判别式大于等于零，则该方程有两个不相等的实数根或相等的实数根．23. 【答案】（1）（2，0），画图见解析（2）12x ＜＜【解析】【分析】（1）令0y =，得出()2110x --=，然后解方程即可求出点B 的坐标；（2）先在平面直角坐标系中画出一次函数y kx b =+的图象，然后观察函数图象即可得出答案．【小问1详解】解：令0y =，则()2110x --=，为解得10x =，22x =，∴B 点坐标为（2，0），列表得：x1-0123y301-03画图得：【小问2详解】解：如图，观察图象可知：关于x 的不等式()211x kx b --+>的解集为12x ＜＜．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定BD CD =即可．（2）连接DE ，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵BE DC ∥，BE DC =，∴ 四边形BDCE 为平行四边形．∵ 90ABC ∠=︒，BD 为AC 边上的中线，∴ 12BD CD AC ==，∴ 四边形BDCE 为菱形．【小问2详解】解：连接DE 交BC 于O 点，如图．∵ 四边形BDCE 为菱形，4BC =，∴ 129022OC BC COD DE DO ==∠=︒=，，．∵ 60ACB ∠=︒，∴ 9030EDC ACB ∠=︒-∠=︒．∴ 24DC OC ==．∴ DO ==．∴ 2DE DO ==【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键．25. 【答案】（1）()0,1（2）①见解析，②()1,0-【解析】【分析】（1）根据题意得出114a=，即可确定点F 的坐标；（2）①根据题意确定AM y ∥轴，得出()4,4A ，经抛物线反射后所得的光线平行于y 轴，B P y ∥轴，据此作出平行线即可；②设直线AB 的解析式为()0y kx b k =+≠，利用待定系数法确定直线AB 的解析式，然后与214y x =联立求解即可得出结果．【小问1详解】解：根据题意得214y x =，14a =，∴114a =，∴()0,1F ，故答案为：()0,1；【小问2详解】由题意可知抛物线214y x =的对称轴是y 轴，∴经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y 轴，∴AM y ∥轴∵AM 所在的直线与x 轴的交点坐标为()4,0，∴A 点的横坐标为4，纵坐标为21444y =⨯=，∴()4,4A ，①经抛物线反射后所得的光线平行于y 轴，∴B P y ∥轴∴画出沿射线FB 方向射出的光线的反射光线BP ，如下图所示：②设直线AB 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()4,4A 、()0,1F 代入，得441k b b +=⎧⎨=⎩，解得：341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为314y x =+，由题意可知，直线AB 与抛物线交于A 、B两点，把214y x =代入314y x =+整理得2340x x --=，解得：11x =-，24x =，∵点B 在y 轴的左侧，∴B 点的横坐标为1-，∵B P y ∥轴，∴BP 所在直线与x 轴的交点坐标为()1,0-，故答案为：()1,0-．【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键．26. 【答案】（1）(2)m -，（2）①11m =，25m =，②1m £或5m ≥【解析】【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；（2）①将点(3,2)P 代入解析式，解一元二次方程，即可得m 的值；②根据①的结论，结合图形即可求解．【小问1详解】解：∵ 22222()2y x mx m x m =-+-=--， ∴ 抛物线的顶点坐标为(2)m -，．【小问2详解】① ∵ 点(3,2)P 在抛物线2222y x mx m =-+-上，∴ 29622m m -+-=．∴ 26+50m m -=．解得11m =，25m =．②解：抛物线的对称轴为x m =，点Q 的坐标为()1m ，，(3,2)P ，根据①可得，点(3,2)P 在抛物线2222y x mx m =-+-上，11m =，25m =．当1m £时，点P 在对称轴的右侧，此时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，如图，当5m ≥时，点P 在对称轴的左侧，此时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，如图，综上所述， 1m £或5m ≥．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．27. 【答案】（1）①见解析，②∠CEB =60°＋α，∠AFC =230+α（2）CF =BE ＋CE ，见解析【解析】【分析】（1）①按要求补全图形即可，②利用等边三角形及旋转的性质结合外角，内角和解题即可．（2）CF =BE ＋CE ，延长EA 至点G 使得EG =CE ，运用截长补短方法解题即可．【小问1详解】解：① 补全图形，如图．② 解：∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠BAC =∠ACB =60°．∵ 线段CA 绕点C 逆时针旋转α得到线段CD ，∴ CA =CD ，∠ACD =α．∴ ∠CAD =∠CDA =1802ACD -∠ =902α- ． ∴ ∠CEB =∠BAC ＋∠ACD =60°＋α．∴ ∠AFC =180°-∠CAD-∠ACB =230+α ．【小问2详解】解：线段BE ，CE ，CF 之间的数量关系为CF =BE ＋CE ．证明：延长EA 至点G 使得EG =CE ，连接CG ，如图．∴ ∠G =∠ECG ．∵ ∠CEB =∠G ＋∠ECG =2∠G ，∠CEB =60°＋α，∴ ∠G =230+α．∵ ∠AFC =230+α，∴ ∠G =∠AFC ．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC =BC ，∠ABC =∠ACB =60°．∴ △ACF ≌△CBG ．∴ CF =BG ．∵ BG =BE ＋EG =BE ＋CE ，∴ CF =BE ＋CE ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及截长补短法在三角形全等证明中的应用，能够熟练运用内角，外角知识点求角度，能够利用截长补短作辅助线是解题关键．28. 【答案】（1）1P ，3P（2）3m <-或2m >（3）①15【解析】【分析】（1）根据距离系数的定义进行计算即可；（2）利用距离系数的定义，用m 表示k ，根据距离系数小于12，进行计算即可；（3）①根据题意，当正方形上的点到()4,0A ，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段DE 关于点A 的距离系数的最小，得到点点()1,1-关于点A 的距离系数的最小，进行计算即可；②根据线段DE 关于点A 的距离系数的最大值是32，即线段上的所有点关于点A 的距离系数存在最小值为32，得到线段DE 上的点的横坐标和纵坐标的取值范围，利用勾股定理进行求解即可．【小问1详解】解：∵()()()()1232,22,14,4,0,0P P P A --,,，∵y b k x a -=-，∴y bk x a -=-，∴12020212k -=-==，22010221k --=-==，34040414k --=-==；∴关于点A 的距离系数为1的是：1P ，3P ；【小问2详解】解：∵()()2,1,1,1B C -，(),1A m -，∴线段BC ：()121y x =-≤≤，()1112y bk x a x m --=---=<，即：4x m ->∴4x m ->或 4x m -<-∴4m x <-或4m x >+∴当两个点的横坐标间的距离越远，k 越小，∴当B 点离A 点横坐标最远时：242m >-+=，当C 离A 点横坐标最远时：143m <-=-，综上：3m <-或2m >；【小问3详解】解：①由y bk x a -=-可知，当正方形上的点到()4,0A ，横坐标的距离最大，纵坐标之间的距离最小时，线段DE 关于点A 的距离系数的最小，根据题意，当正方形如图所示，点()1,1-关于点A 的距离系数的最小：此时：101415k -=--=；②若线段DE 关于点A 的距离系数的最大值是32，即线段上的所有点关于点A 的距离系数存在最小值为32，∴432y byk x a x -=--=≥，由题意知：11,15x y -≤≤≤≤ ∴14414x -≤-≤--，即345x ≤-≤∴952y ≤≤当5y =时，213x ≤≤，∴DE ===【点睛】本题考查坐标系下的新定义．熟练掌握距离系数的定义和运算方法是解题的关键．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 2C. -√3D. 1/2答案：C2. 已知a=3，b=4，则a^2 + b^2 = （）A. 7B. 11C. 13D. 17答案：C3. 若x=2是方程x^2 - 3x + 2 = 0的解，则x^2 - 3x + 2的因式分解为（）A. (x-2)(x+1)B. (x-1)(x-2)C. (x+1)(x-2)D. (x+2)(x-1)答案：A4. 已知a、b是方程x^2 - 2ax + a^2 = 0的两个实数根，则a+b= （）A. 0B. 2aC. 4a答案：B5. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，则AB的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C6. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=200，则公差d= （）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则sinC= （）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 1答案：A8. 若x+y=2，x^2 + y^2 = 2，则x^3 + y^3 = （）A. 2B. 4D. 8答案：C9. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) = （）A. -7B. -5C. -3D. 1答案：A10. 若函数y=√(x-1)的图像上任意一点P(x,y)，则OP的长度为（）A. √(x+1)B. √(x-1)C. √(x^2+1)D. √(x^2-1)答案：C二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=__________。

答案：a1+(n-1)d12. 若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn=__________。

答案：b1q^(n-1)13. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a__________。

2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷一、选择题（共8小题）1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体2．故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将720000用科学记数法表示应为（）A．0.72×105B．7.2×105C．7.2×104D．72×1033．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜04．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF 等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°5．如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式x（x+2）+（x+1）2的值是（）A．﹣5B．5C．3D．﹣36．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b7．如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BF A 的面积比为（）A．1：B．1：2C．1：4D．1：88．某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），使得，则n的取值不可能为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：4a2﹣28ab＝．11．把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是．12．数据组：28，37，32，37，35的中位数是．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为．14．如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为6，则k＝．15．小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是．16．小夏同学从家到学校有A ，B 两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时频数公交车线25≤t ≤3030＜t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤45合计A 59151166124500B4357149251500据此估计，早高峰期间，乘坐B 线路“用时不超过35分钟”的概率为；若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐（填A或B ）线路．三、解答题：（共68分）17．计算：．18．解不等式组：．19．下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，▱ABCD ．求证：∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ．方法一：证明：如图，连接AC ．方法二：证明：如图，延长BC 至点E ．方法三：证明：如图，连接AC 、BD ，AC 与BD 交于点O ．20．关于x 的方程x 2﹣2x +2m ﹣1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．21．如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．22．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点且与y轴交于A点．（1）求函数解析式及点A的坐标；（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝kx+b的值，求m 的取值范围．23．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月之间存在如图2（一段抛物线）所示的变化趋势．（1）分别求函数y1和y2的表达式；（2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？24．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC＝90°，请直接写出实数m的取值范围．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点D作DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，CF＝CD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若，求⊙O半径的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）若c＝4，点C（﹣2，4）在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标（0，﹣2），过原点的直线OC与直线AB交于C，∠COA＝∠OCA＝∠OBA＝30°，AB＝4．（1）点C坐标为，OC＝，△BOC的面积为，＝；（2）点C关于x轴的对称点C′的坐标为；（3）过O点作OE⊥OC交AB于E点，则△OAE的形状为，请说明理由；（4）在坐标平面内是否存在点F使△AOF和△AOB全等，若存在，请直接写出F坐标；若不存在，请说明理由．28．已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE ＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE＝CE＝3时，求CD的长．2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷参考答案与试题解析（3月份）一、选择题（共8小题）1．【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱．故选：A．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．2．【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．【解答】解：将720000用科学记数法表示应为7.2×105．故选：B．【点评】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．3．【分析】根据数轴确定a，b的大小与符号，然后根据实数的运算法则计算即可．【解答】解：由数轴可知，a＜﹣2，故A结论错误，不符合题意；a＜﹣2，0＜b＜1，|a|＞b，故B结论正确，符合题意；a＜0，b＞0，|a|＞|b|，a+b＜0，故C结论错误，不符合题意；a＜0，b＞0，b﹣a＝b+（﹣a）＞0，故D结论错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，解题的关键是关键数轴确定a，b的符号与绝对值的大小．4．【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，∴∠FCA＝∠A＝30°．∵∠F＝∠E＝45°，∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，则原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝5，故选：B．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．6．【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜2；所以：A、B、C都是错误的；故选：D．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．7．【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△CEF∽△ABF，∴＝，∵E为DC的中点，∴＝＝，∴＝．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF ∽△ABF是解题关键．8．【分析】设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx的图象上，根据正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点的个数即可得出答案．【解答】解：设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx 的图象上，即：正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点，由图象可知，正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点可能有1个或2个或3个或4个或5个．故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象，数形结合是解题的关键．二、填空题9．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≠0，解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．【分析】原式提取公因式即可．【解答】解：原式＝4a（a﹣7b）．故答案为：4a（a﹣7b）．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．11．【分析】分析命题的题设和结论，写成“如果…那…”的形式即可．【解答】解：命题“不相等的角不是对顶角”的题设是两个角不相等，结论为这两个角不是对顶角．改写成“如果…那…”的形式为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．故答案为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．【点评】本题考查了命题即相关知识，掌握命题的形式是解决本题的关键．12．【分析】先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可得出答案．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：28，32，35，37，37，最中间的数是35，则中位数是35．故答案为：35．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．13．【分析】利用扇形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意，∠FAB＝120°，AF＝AB＝2，＝＝，∴S阴故答案为：．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积S ＝．14．【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE，和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．设D点的横坐标为x，纵坐标就为，∵D为OB的中点．∴EA＝x，AB＝，∴四边形DEAB的面积可表示为：（+）x＝6k＝4．故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．15．【分析】设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可．【解答】解：设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，依题意得：，解这个方程组得：，则小亮的得分是2x+3y＝6+15＝2（1分）．故答案为21；【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．16．【分析】用乘坐B线路“用时不超过35分钟”的班次数量除以总数量即可得出答案；先结合表中数据得出两线路40分钟之内到达学校的概率，从而得出答案．【解答】解：由表知，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为＝，∵A线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.752，B线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.498，∴若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐A线路，故答案为：，A．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．三、解答题：（共68分）17．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用负整数指数幂法则计算．【解答】解：原式＝，＝，＝9．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分．【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，解不等式，得：x＜5，则不等式组的解集为：﹣2≤x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：选择方法一：如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠DCA，∴∠BAC＝∠DAC，在△ADC与△BCA中，，∴△ADC≌△BCA（SAS），∴∠B＝∠D，即平行四边形的对角相等．【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行．20．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．21．【分析】（1）由三角形中位线定理得PM∥OC，PN∥OD，得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠MON＝90°，即可得出结论；（2）证△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB＝4，得OD＝2，再由勾股定理得OA＝2，则AN＝OA+ON＝3，然后由矩形的性质得NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点，∴PM、PN是△OCD的中位线，∴PM∥OC，PN∥OD，∴四边形OMPN是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠MON＝90°，∴平行四边形OMPN是矩形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∴OD＝BD＝2，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OC＝2，∵M，N分别为OD，OC的中点，∴OM＝OD＝1，ON＝OC＝，∴AN＝OA+ON＝3，由（1）可知，四边形OMPN是矩形，∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，∴AP＝＝＝2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22．【分析】（1）把2个已知点的坐标分别代入y＝kx+b中得到关于k、b的方程组，再解方程组求出k、b，从而得到以此函数解析式，然后计算自变量为0对应的函数值得到点A 的坐标；（2）根据题意，当m≥0，x＝1时，函数y＝mx的函数值比y＝﹣3x+5的函数值小，所以m≤﹣3+5；当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，所以﹣3≤m＜0．【解答】解：（1）把（1，2），（3，﹣4）分别代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣3x+5，当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5，∴A点坐标为（0，5）；（2）∵x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝﹣3x+5的值，当m≥0时，x＝1时，m≤﹣3+5，即m≤2，当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，则﹣3≤m＜0，∴m的取值范围为﹣3≤m≤2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象与系数的关系．23．【分析】（1）设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，用待定系数法求解即可；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，将（6，10），（9，9）代入y1＝kx+b，得：，解得，∴y1＝﹣x+12；将（11，14）代入y2＝a（x﹣5）2+8，得：14＝a（11﹣5）2+8，解得a＝，∴y2＝（x﹣5）2+8，函数y1和y2的表达式分别为y1＝﹣x+12，y2＝（x﹣5）2+8；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得：w＝﹣x+12﹣[（x﹣5）2+8]＝﹣（x﹣4）2+2.5，＝2.5．∴当x＝4时，w有最大值，w最大∴销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是2.5元．【点评】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．24．【分析】（1）由y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）首先令x＝0，求得点C的坐标，然后设直线BC的解析式为y＝kx+b′，由待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），＝S△PDC+S△PDB，得到S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次求出PD的长，由S△BDC函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，点P的坐标；（3）将x＝代入抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3求出点P的纵坐标，过点C作CG⊥DF，然后分①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大，然后根据勾股定理得出CD2+DM2＝CM2，列出关于m的方程，解方程求出m的最大值；②点N在线段GF上时，设GN＝x，然后表示出NF，根据同角的余角相等求出∠NCG＝∠MNF，然后证明△NCG和△MNF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出MF，再根据二次函数的最值问题求出y的最大值，然后求出MO，从而得到点M的坐标，求出m的最小值．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝3，即C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，＝S△PDC+S△PDB＝PD•a+PD•（3﹣a）＝PD•3＝（﹣a2+3a）＝﹣（a ∴S△BDC﹣）2+，∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）将x＝代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣（）2+2×+3＝，∴点D的坐标为（，）．过点C作CG⊥DF，则CG＝．①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大．∵∠MNC＝90°，∴CD2+DM2＝CM2，∵C（0，3），D（，），M（m，0），∴（﹣0）2+（﹣3）2+（m﹣）2+（0﹣）2＝（m﹣0）2+（0﹣3）2，解得m＝．∴点M的坐标为（，0），即m的最大值为；②点N在线段GF上时，设GN＝x，则NF＝3﹣x，∵∠MNC＝90°，∴∠CNG+∠MNF＝90°，又∵∠CNG+∠NCG＝90°，∴∠NCG＝∠MNF，又∵∠NGC＝∠MFN＝90°，∴Rt△NCG∽△MNF，∴＝，即＝，整理得，MF＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时（N与P重合），MF有最大值，此时M与O重合，∴M的坐标为（0，0），∴m的最小值为0，故实数m的变化范围为0≤m≤．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．25．【分析】（1）连接OC，则∠OCB＝∠OBC，由CD⊥AB于点E，得∠BEC＝90°，由CH⊥DF，CF＝CD，得∠FCH＝∠DCH，则∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC ＝90°，即可证明CF是⊙O的切线；（2）由垂径定理得CE＝DE，而CD＝CF＝8，所以CE＝CD＝4，由＝tan∠DCB＝，则BE＝CE＝2，根据勾股定理得（OC﹣2）2+42＝OC2，即可求得OC＝5，则⊙O半径的长是5．【解答】（1）证明：连接OC，则OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵CD⊥AB于点E，∴∠BEC＝90°，∵DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，∴CH⊥DF，∵CF＝CD，∴∠FCH＝∠DCH，∴∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，∴CF是⊙O的切线．（2）解：∵AB⊥CD，∴∠OEC＝∠BEC＝90°，CE＝DE，∵CD＝CF＝8，∴CE＝CD＝×8＝4，∵＝tan∠DCB＝，∴BE＝CE＝×4＝2，∵OE2+CE2＝OC2，OE＝OB﹣2＝OC﹣2，∴（OC﹣2）2+42＝OC2，解得OC＝5，∴⊙O半径的长是5．【点评】此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式后，利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；（2）分a＞0、a＜0两种情况，结合函数图象，分别求解即可．【解答】解：（1）若c＝4，则抛物线为y＝ax2﹣2x+4（a≠0），∵点C（﹣2，4）在抛物线上，∴4＝4a+4+4，∴a＝﹣1，∴抛物线为y＝﹣x2﹣2x+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）当a＞0时，如图1．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＞0，∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∴＞2，∴0＜a＜；（ⅱ）当a＜0时，如图2．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，∴抛物线与线段AB只有一个公共点A，∴a＜0，综上所述，a的取值范围是：0＜a＜或a＜0．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论、数形结合是解题的关键．27．【分析】（1）先由∠OBA＝30°、AB＝4得到OA的长，即可得到点A的坐标，过点C 作CD⊥x轴于点D，然后结合∠COA＝∠OCA＝30°求得AC的长，进而得到AD、CD 的长，即可得到点C的坐标；然后得到OC的长；由点B的坐标得到OB的长，进而得到△BOC的面积；由点A、点B、点C的坐标求得△OAC和△OAB的面积，再求得的值；（2）直接由点C的坐标求得点C'的坐标；（3）由OE⊥OC得到∠COE＝90°，然后由∠COA＝30°求得∠AOE＝60°，再由∠OBA＝30°求得∠OAE＝60°，即可得到∠AOE＝∠OAB＝60°，从而得到△OAE是等边三角形；（4）分情况讨论：①△AOB≌△AOF；②△AOB≌OAF，然后作出对应的图形求得点F 的坐标．【解答】解：（1）∵点B（0，﹣2），∴OB＝2，∵AB＝4，∠OBA＝30°，∠AOB＝90°，∴OA＝2，即A（2，0），∵∠AOC＝∠ACO＝30°，∴AC＝OA＝2，∠OAB＝60°，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＝60°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝，∴OD＝OA+AD＝2+1＝3，∴C（3，），＝＝＝3，∴OC＝2，S△BOC＝＝，S△OAB＝＝2，∴S△AOC∴＝，故答案为：（3，），2，3，．（2）∵C（3，），点C与点C'关于x轴对称，∴C'（3，﹣），故答案为：（3，﹣）；（3）∵OE⊥OC，∴∠COE＝90°，∵∠COA＝30°，∴∠AOE＝60°，∵∠OAE＝60°，∴∠AOE＝∠OAB＝60°，∴△OAE是等边三角形，故答案为：等边三角形；（4）在坐标平面内存在点F使△AOF和△AOB全等；理由如下：①如图1，当△AOB≌△AOF时，OB＝OF，∵OB＝2，∴OF＝2，∴F1（0，2），F2（0，﹣2），②如图2，当△AOB≌OAF时，AF＝OB，∴AF＝2，∴F3（2，2），F4（2，﹣2），综上所述，存在F1（0，2），F2（0，﹣2），F3（2，2），F4（2，﹣2），使得△OAB与△OAF全等．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形三边关系、等腰三角形、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过含30°角的直角三角形三边关系求得相关线段的长度．28．【分析】（1）根据圆周角定理，将2∠ADB+∠CDB转化为△ABC的内角和即可；（2）过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，利用ASA证明△CEN≌△CGN，从而证明结论；（3）连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，先证AQ⊥BC，再证EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，求得PE＝HE＝，由△CDE∽△BAE，即可求得CD的值．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ADC＝∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC＝∠CDB+∠ADB+∠ADB＝∠CDB+2∠ADB＝180°，∴2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）证明：过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，如图1，∵∠DBC＝45°，∴∠MCB＝180°﹣∠CNB﹣∠DBC＝45°，∴∠MCB＝∠DBC＝45°，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∴∠ACM＝∠DBA，∵∠CNG＝∠GFB，∠NGC＝∠FGB，∴∠NCG＝180°﹣∠CNG﹣∠NGC＝180°﹣∠GFB﹣∠FGB＝∠GBF＝∠ECN，在△CEN与△CGN中，，∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE＝CG；（3）解：如图2，在DE上取EP＝EH，连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O 作OM⊥AB于M，∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，∵AB＝AC，∴OE＝OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ＝BQ，点H在AQ上，∴CH＝BH，∵∠DBC＝45°，∴∠HCB＝∠DBC＝45°，∴∠CHB＝180°﹣∠HCB﹣∠DBC＝90°，∴CH⊥BD，∵CE＝CG，∴EH＝GH，∵在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，∴AP∥CH，AP＝CH，∠APH＝90°，∵∠AHP＝∠BHQ＝45°，设PE＝x，∴AP＝PH＝2PE＝2x，AH＝PH＝2x，∵AH2﹣PH2＝AE2﹣PE2，∴8x2﹣4x2＝32﹣x2，3解得：x＝，∴PE＝HE＝，∴AP＝PH＝CH＝BH＝，BE＝，∴AH＝PH＝，∴HQ＝BH＝，在Rt△ABQ中，BQ＝HQ＝，AQ＝+＝，∴AB＝＝6，∵弦AC与BD相交于E，∴△CDE∽△BAE，∴＝，∴CD＝＝＝2；方法二：作DL⊥AC，如图4，∵∠DLA＝90°，∠DBC＝45°，∴△DLA是等膘直角三角形，∴DL＝AL，∵CF⊥AB，∠DBA+∠FGB＝90°，CE＝CG，∴∠FGB＝∠CGE＝∠CEG＝∠DEL，∴∠DBA＝∠ACE＝∠EDL，∵△DLE∽△DCL，设DL为x，则CL＝6﹣x，∴＝，解得：x＝2，∴CL＝4，∴CD＝＝2．【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键。