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2018-2019学年上海市华东师大第二附属中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.【考点】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.2．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t ty t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．没有对称轴【答案】C【解析】设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】设()x f t =，()y g t = t R ∈()()()()()333cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，()x f t ∴=是奇函数，()()((ln ln g t g t t t -+=-+++((ln ln ln10t t =-+== ,()y g t ∴=也是奇函数，设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()(),Q f t g t --，()f t 和()g t 都是奇函数，所以点Q 的坐标是()()(),Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，∴ 函数图象关于原点对称.故选：C 【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型. 3．．函数()y f x =是R 上的增函数，则0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】又在R 上为增函数，则反之，若4．下列问题中,a b 、是不相等的正数,比较x y 、、z 的表达式,下列选项正确的是（ ） 问题甲:一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨,面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙:某人散步,第一圈的速度是a ,第二圈的速度是b ,这两圈的平均速度为y ； 问题丙:将一物体放在两臂不等长的天平测量,放在左边时砝码质量为a (天平平衡),放在右边时左边砝码质量为b ,物体的实际质量为z . A ．x y = B ．x z =C ．y z =D ．x y 、、z 互不相同 【答案】D【解析】首先根据条件分别列出,,x y z 与,a b 的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案. 【详解】问题甲：根据圆的面积公式可知2222222a b x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2222a b x +=x ∴=问题乙：设每圈的长度为s ，则2syss a b=+ ，整理为：2aby a b=+； 问题丙：设天平左边的杠杆长为x ，右边的杠杆长为y ，则ax zyby zx=⎧⎨=⎩ ，可得2z ab =，即z =,a b R +∈，并且a b ¹，∴a b +>，2aba b∴<+， 根据不等式可知222a b ab +>，>，2ab a b>>+ ，x z y ∴>>.故选：D【点睛】本题考查合情推理以及基本不等式比较大小，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是用,a b 分别表示,,x y z .二、填空题5．已知集合{}|lg M x y x ==，{|N x y ==，则MN =_____________.【答案】(]0,1【解析】求出集合M 、N ，然后利用交集的定义求出集合M N ⋂. 【详解】{}|lg (0,)M x y x ===+∞，{|[1,1]N x y ===-，(0,)[1,1](0,1].M N ⋂=+∞⋂-=故答案为：(]0,1. 【点睛】本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.6．若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【解析】试题分析：由正弦定理有2a c =,所以2a c +=,2222231422cos 22a b ab a b c C ab ab+-+-==,由于223142a b +≥=,故cos C ≥,所以cos C的最小值是【考点】1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出223142a b +≥=，再算出结果来.7．已知函数()3sin 2cos f x x x =+,若对任意x ∈R 均有()()f x f α≥,则tan α=______.【答案】32【解析】由题意可知()f α是函数的最小值，化简函数()()f x x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=，利用()22k k Z παϕπ+=-+∈ 求tan α. 【详解】()3sin 2cos f x x x =+()x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=， 由题意可知，()fα是函数的最小值，()()f ααϕ=+，当()22k k Z παϕπ+=-+∈时，函数取值最小值，22k παϕπ=--+，tan tan 2tan 22k ππαϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 32132sin 2cos 2πϕϕπϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .故答案为：32【点睛】本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用，属于中档题型，本题的关键是通过化简得到()22k k Z παϕπ+=-+∈，并且已知cos ϕ=，sin ϕ=8．设A 、B 、C 是2y x =图像上不同的三点,且OC OA OB λ=+，若A (1,-1),B (1,1),则λ的值为_______. 【答案】3【解析】首先设(),C x y ，根据条件代入坐标得11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，根据2y x =求λ.【详解】 设(),C x y ，OC OA OB λ=+，()()(),1,11,1x y λ=-+∴11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，2y x = ，()211λλ∴-+=+，解得：0λ=或3λ=.当0λ=时，点,A C 重合，故舍去. 故答案为：3 【点睛】本题考查根据向量的坐标求参数，意在考查公式的理解和使用，属于基础题型. 9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm ．【解析】试题分析：根据题意，由于球的半径为1，那么可知其体积公式为244133ππ⨯=，而圆锥的体积公式等于V=SH=3πh=43π，可知其高为4，那么利用母线长和底面的半径以及高勾股定理可知圆锥的母线长，故答案为。
华二附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数arcsin y x =（1[]2x ∈-）的值域是 2. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为n a =3. ()cos f x x x =+的值域是4. “1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的 条件 （填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则30S =6. △ABC 三条边的长度是a 、b 、c ，面积是2224a b c +-，则C = 7. 已知数列{}n a ，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 8. 等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，1720n n m a a a +++⋅⋅⋅+=（,n m *∈N ，n m <）， 则n m +=9. 在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+=++ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++，1,2,3n =⋅⋅⋅，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=二. 选择题11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A. B. C. D.12. 已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为413. 将函数sin(2)5y x π=+向右平移10π个单位长度，那么新函数（ ） A. 在53[,]42ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在35[,]44ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 14. 已知函数215cos()36k y x ππ+=-（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[,3]a a + 上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A. 2或3 B. 4或3 C. 5或6 D. 8或7三. 解答题15. 在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-. （1）求A ；（2）求AC 边上的高.16. 已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++⋅⋅⋅++（n *∈N ，,0a b >）.（1）当a b =时，求数列{}n u 的前n 项和n S （用a 和n 表示）；（2）求1lim n n n u u →∞-.17. 已知方程arctanarctan(2)2x x a +-=. （1）若4a π=，求arccos 2x 的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：3cos(3)4cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得cos()(cos )n nx f x =对所有实数 x 均成立，其中1111()2n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时， 0n a =，当n 为偶数时，2(1)n n a =-；（3）利用（2）的结论判断cos7m π（16m ≤≤，m *∈N ）是否为有理数？参考答案一. 填空题 1. [,]36ππ-- 2. 3122n n n =⎧⎨≥⎩ 3. [2,2]- 4. 必要非充分 5. 60 6. 4π 7. 1 8. 9 9. 2201710. lg3二. 选择题11. D 12. B 13. C 14. A三. 解答题15.（1）3A π=；（2）2.16.（1）12(1)12(1)01(1)1n n n n n a S a a naa a a a++⎧=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且；（2）1lim n n n aa b u ba b u →∞-≥⎧=⎨<⎩. 17.（1）0或23π；（2）33[arctan ]22+；（3）19.18.（1）证明略；（2）证明略；（3）不是有理数.。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n }中.已知a 2=4.a 6=16.则a 4=___ ．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ．4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ．7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n13.（单选题.3分）设S k =1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k.则S k+1为（ ）A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k +12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+114.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 9015.（问答题.0分）已知关于x 的方程sin 2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）． （1）当m=1时.解此方程（2）试确定m 的取值范围.使此方程有解．16.（问答题.0分）在公差为d 的等差数列{a n }中.已知a 1=10.且a 1.2a 2+2.5a 3成等比数列． （Ⅰ）求d.a n ；（Ⅱ）若d ＜0.求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金； （2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n}中.已知a2=4.a6=16.则a4=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由等比数列通项公式得a2a6=a42 .由此能求出a4．【解答】：解：∵在等比数列{a n}中.a2=4.a6=16.∴ a2a6=a42 =4×16=64.且a4＞0.解得a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等比数列的第4项的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．【正确答案】：[1]π+arcsin 13【解析】：先将x∈[π. 32π ].化为π-x∈[- π2，0 ].再利用诱导公式sin（π-x）=sinx.求出π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.然后计算得解．【解答】：解：因为x∈[π. 32π ].所以π-x∈[- π2，0 ].由sinx=- 13.sin（π-x）=sinx.所以sin（π-x）=- 13.即π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.所以x=π+arcsin 13.故答案为：π+arcsin 13 ．【点评】：本题考查了解三角方程.及正弦的主值区间.属简单题3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ． 【正确答案】：[1] {4，n =14n −1，n ≥2【解析】：根据数列的递推公式即可求出通项公式．【解答】：解：当n=1时.a 1=S 1=2×12+1+1=4.当n≥2时.a n =S n -S n-1=2n 2+n+1-[2（n-1）2+n-1+1]=4n-1. 当n=1时.a 1=3≠4. 故a n = {4，n =14n −1，n ≥2 .故答案为： {4，n =14n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查了数列的递推公式.属于基础题4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．【正确答案】：[1] 2661【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= S17T 17.代值计算可得．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= 2a 92b 9 = a 1+a 17b 1+b 17 = S 17T 17 = 3×17+17×17+3 = 2661. 故答案为： 2661【点评】：本题考查等差数列的性质和求和公式.属基础题． 5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出数列通项公式的表达式.求出数列的和.然后求解数列的极限即可．【解答】：解： 11+2+3+⋯+n = 2n (n+1) =2（ 1n −1n+1 ）.∴ lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）= lim n→∞2（1- 12+12−13+13−14 +… +1n −1n+1 ）=lim n→∞（2- 2n+1 ）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列的和.数列的极限的求法.考查计算能力．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ． 【正确答案】：[1]√5+12【解析】：根据题意.这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.结合等比数列的性质可得a 2q 2=a （a-aq ）.即q 2+q-1=0.解可得q 的值.又由aq 为正整数且aq 2＜1.设aq 这个正整数为m.则有a= mq =m× √5+12且m （√5+12 ）×（ √5−12）2＜1.解可得m 的值.变形可得a 的值.即可得答案．【解答】：解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列. 不妨设这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.则q ＞0. 则有a 2q 2=a （a-aq ）. 即q 2+q-1=0. 解得q=√5−12 .q= −1−√52（舍去）. 又由aq 为正整数.设aq 这个正整数为m.则a= mq =m× √5+12. 又由aq 2＜1.即m （ √5+12 ）×（ √5−12）2＜1. 解可得m ＜√5+12.又由m 为整数.则m=1.则a= mq=m× √5+12 = m q = √5+12. 故答案为： √5+12．【点评】：本题考查等比数列的性质.涉及等比中项的计算.注意分析q 的范围.属于基础题． 7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ． 【正确答案】：[1] 1955【解析】：由0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+….可得等号右边的数从0.045起为公比为0.01的无穷等比数列.运用无穷递缩等比数列的求和公式.计算可得所求值．【解答】：解：0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+… =0.3+ 0.0451−0.01 =0.3+ 45990 = 342990 = 1955 ． 故答案为： 1955．【点评】：本题考查循环小数化为分数的方法.考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0. 18 ]【解析】：由题意 a 11−q =12 .|q|＜1.从而q=1-2a 1.进而a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+18.利用-1＜q ＜1.能求出a 2的取值范围．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n }的各项和为 12 .∴ a 11−q =12 .|q|＜1.∴q=1-2a 1.a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+ 18 . ∵-1＜q ＜1.a 2的取值范围是（-1.0）∪（0. 18]． 故答案为：（-1.0）∪（0. 18 ]．【点评】：本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：先将两方程变形为：-θ- π4 =sinθ.-θ- π4 =arcsinθ.由y=sinθ.y=arcsinθ互为反函数.其图象关于直线y=x 对称.则方程组 {y =xy =−x −π4.由对称性及中点坐标公式可得.解的横坐标为θ1+θ22.得解．【解答】：解：由x-cosx= π4 .可化为： π4 -x=sin （x- π2 ）. x+arcsin （x- π2 ）= π4 .可化为： π4 -x=arcsin （x- π2 ）. 设θ=x - π2.则有：-θ- π4=sinθ.-θ- π4=arcsinθ. 由y=sinθ.y=arcsinθ.互为反函数. 其图象关于直线y=x 对称. 联立 {y =x y =−x −π4 .得：x=- π8 .即θ1+θ2=- π4 . 所以x 1- π2 +x 2- π2 =- π4 . 则x 1+x 2= 3π4 . 故答案为： 3π4 ．【点评】：本题考查了函数与其反函数图象关于直线y=x 对称的性质.属中档题 10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ． 【正确答案】：[1]若sp+tm=kn.s+t=k.则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*） 【解析】：利用类比推理可得【解答】：解：利用类比推理可得.对于等比数列{b n }.若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）. 故答案为：若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）【点评】：本题考查了类比推理的问题.属于基础题．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：C【解析】：由举例1.-1.1可得“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “.由等比中项概念可得：当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac “.可推出“a 、b 、c 成等比数列”.故“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac “的必要不充分条件．【解答】：解：当“a 、b 、c 成等比数列”时.不妨取“1.-1.1“.则不满足“b= √ac “. 即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “. 当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac ”.由等比中项概念可得：“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的必要不充分条件. 故选：C ．【点评】：本题考查了等比数列的性质及充分.必要条件.属简单但易错题． 12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n【正确答案】：C【解析】：此题可采用排除法法.可取a n =（-1）n .排除A ；取a n = 1n.排除B ；取a n =b n =n.排除D 得到答案．【解答】：解：取a n =（-1）n .排除A ； 取a n = 1n .排除B ； 取a n =b n =n.排除D ． 故选：C ．【点评】：考查学生认识极限及运算的能力.以及学会采用排除法做选择题． 13.（单选题.3分）设S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .则S k+1为（ ） A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k + 12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+1【正确答案】：C【解析】：先利用S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .表示出S k+1.再进行整理即可得到结论．【解答】：解：因为S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .所以s k+1= 1(k+1)+1 + 1(k+1)+2 +…+ 12(k+1)−2 + 12(k+1)−1 + 12(k+1) =1k+1 +1k+2 +…+ 12k + 12k+1 + 12k+2 - 1k+1=s k +12k+1 - 12k+2． 故选：C ．【点评】：本题主要考查数列递推关系式.属于易错题.易错点在与整理过程中.不能清楚哪些项有.哪些项没有．14.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 90 【正确答案】：B【解析】：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ].考虑数列{a n }的周期为360.一个周期内的和.即可得到所求最小值和最大值．【解答】：解：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ]. 当n 取1到90的自然数可得： S 90=π180 + 2π180 +…+ 90π180； 当n 取91到180的自然数可得： a 91+a 92+…+a 180= 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0； 当n 取181到270的自然数可得：a 181+a 182+…+a 270=-（ π180 + 2π180 +…+ 90π180 ）； 当n 取271到360的自然数可得：a 271+a 272+…+a 360=-（ 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0）． 由{a n }的周期为360.可得S 360=0.且S180＞0.且为最大值；而S1800=S360×5=0.S2016=S216＞0.S1980=S180＞0.则故排除A.C.D．故选：B．【点评】：本题考查反正弦函数值的求法.以及数列的求和.考查分类讨论思想方法.以及运算能力和推理能力.属于中档题．15.（问答题.0分）已知关于x的方程sin2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）．（1）当m=1时.解此方程（2）试确定m的取值范围.使此方程有解．【正确答案】：【解析】：（1）由sin2x+cos2x=1.则sin2x+cosx+m=0可化为：cos2x-cosx-1-m=0.将m=1代入解一元二次方程可得解.（2）分离m与cosx.用值域法可得解.即1+m=cos2x-cosx.再用配方法求cos2x-cosx的值域即可得解．【解答】：解：（1）sin2x+cosx+m=0.所以cos2x-cosx-1-m=0.当m=1时.方程为：cos2x-cosx-2=0.所以cosx=-1或cosx=2.又cosx∈[-1.1].所以cosx=-1.又x∈[0.2π）．所以x=π.故方程的解集为：{π}（2）由（1）得.cos2x-cosx-1-m=0有解.即1+m=cos2x-cosx有解.又1+m=cos2x-cosx=（cosx- 12）2- 14.又cosx∈[-1.1].所以（cosx- 12）2- 14∈[- 14，2 ].即1+m∈[- 14，2 ].即m∈[ −54，1 ].故答案为：[ −54，1 ]【点评】：本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域.与方程有解问题.属中档题16.（问答题.0分）在公差为d的等差数列{a n}中.已知a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列．（Ⅰ）求d.a n；（Ⅱ）若d＜0.求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列列式求出公差.则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论.得到等差数列{a n}的前11项大于等于0.后面的项小于0.所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】：解：（Ⅰ）由题意得5a3•a1=(2a2+2)2 .即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2 .整理得d2-3d-4=0．解得d=-1或d=4．当d=-1时.a n=a1+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．当d=4时.a n=a1+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．所以a n=-n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n.因为d＜0.由（Ⅰ）得d=-1.a n=-n+11．则当n≤11时. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|=S n=−12n2+212n．当n≥12时.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11= 12n2−21n2+110．综上所述.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|= {−12n2+212n，n≤1112n2−212n+110，n≥12．【点评】：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念.考查了等差数列的通项公式.求和公式.考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力.是中档题．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【正确答案】：【解析】：（1）计算n=1.2.3.4.5.6.7即可得到所求结论；（2）考虑1到5年不符题意；n ＞5时.可得1500+2000[n-5-0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.结合n的特殊值.计算可得结论．【解答】：解：（1）新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5 （万元）. 可得a 1=0.a 2=150.a 3=300.a 4=450.a 5=600.a 6=2000×（1-0.6）=800.a 7=2000×（1-0.36）=1280＞1000.则第7年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由n=5时.a 1+a 2+…+a 5=1500＜5000.可得所求n 超过5.可得1500+2000[n-5- 0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.化简可得n+3•0.6n-5＞11.5.由于3•0.6n-5随着n 的增大而减小.当n=11时.11+3•0.66＜11.5.当n=12时.12+3•0.67＞11.5.则第12年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【点评】：本题考查数列在实际问题中的运用.考查化简运算能力和推理能力.属于中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得数列为等差数列.即可得到所求通项公式；（2）由条件可得a n+1+1=2（a n+1）.由等比数列的定义和通项公式、求和公式.计算可得所求；（3）由条件可得a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.结合首项成立.以及二次函数的最值.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）λ=0.μ=1.a1=3.可得a n+1=a n+1.即有a n=3+n-1=n+2；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.可得a n+1=2a n+1.即有a n+1+1=2（a n+1）.可得a n+1=2n.即a n=2n-1.前n项和为S n=（2+4+…+2n）-n= 2(1−2n)1−2-n=2n+1-2-n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立. 可得a n+1=a n2+μa n+1.即有a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.由a1=-1.可得1-（1+μ）+1＞0.即有μ＜1；又（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24≥1- (1+μ)24.可得1- (1+μ)24＞0.可得-3＜μ＜1.综上可得μ的范围是（-3.1）．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知集合M ={y |x +y =1，x ∈R }，N ={y |x -y =1，x ∈R }，则M ∩N =（ ）A. B. C. D. R2. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 3. 若＜＜ ，则下列不等式中，①ab ＜b 2；②a 2＞b 2；③＜ ；④＞ ．成立的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 定义区间（c ，d ），[c ，d ），（c ，d ]，[c ，d ]的长度均为d -c （d ＞c ）已知实数a＞b ，则满足的x 构成的区间的长度之和为（ ）A. 1B.C. D. 2二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 若集合A ={x |x 2+x -2=0}， ＜ ，则A ∪B =______6. 若全集U ={x |-2≤x ≤6，x ∈Z }，集合A ={x |x =2n ，n ≤3，n ∈N }，则∁U A =______（用列举法表示）7. 在如图中用阴影部分表示集合∁U （∁U A ∪∁U B ）______．8. 命题“如果ab =0，那么a =0或b =0”的逆否命题为______9. 已知集合A ={x |x ＜a }，B ={x |x 2-5x +4≥0}，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______10. 已知x ，y ∈R +，且x +4y =1，则xy 的最大值为______．11. 函数的定义域为______12. 若不等式ax 2+ax -1＞0的解集为∅，则实数a 的取值范围是______ 13. 对定义域是D f 、D g 的函数y =f （x ）、y =g （x ），规定函数，当 ∈ 且 ∈，当 ∈ 且，当 且 ∈，设函数f （x ）=x -2（x ∈R ），g （x ）=-2x +3（x ≥1），则函数h （x ）的值域是______14. 设a +b =2019，b ＞0，则当a =______时，+取得最小值． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分） 15. 已知a 、b 是正实数，求证：．16.解不等式组：．17.缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务．①个人所得税率是个人所得税税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入-起征点金额-专项扣除金额（三险一金等）；③2018年8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元．下面两张表格分别是2012年和2018年的个人所得税税率表：（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额=应纳税收入额×适用税率-速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？18.已知集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={y|y=-x2+2x+2，y∈Z+}，集合，∈，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．（1）求实数a的值；（2）对集合A={a1，a2，…，a k}（k≥2），其中a i∈Z（i=1，2，…，k），定义由A 中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对任意的a∈A，总有-a A，则称集合A具有性质P．①请检验集合B∪C与B∪D是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵M=R，N=R；∴M∩N=R．故选：D．可看出M=R，N=R，从而得出M∩N=R．考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算．2.【答案】B【解析】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：＜＜0，∴b＜a＜0．①ab＜b2，正确；②a2＞b2，不正确；③，正确；④，正确．成立的个数是：3．故选：C．＜＜0，可得b＜a＜0．利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵，实数a＞b，∴1，即，设x2-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为x1和x2，则由求根公式可得，x1=∈（b，a），x2=＞a，把不等式的根排在数轴上，用穿根法求得不等式的解集为（b，x1）∪（a，x2），故解集构成的区间的长度之和为（x1-b）+（x2-a ）=（x1+x2）-a-b=（a+b+2）-a-b=2，故选：D．元不等式即，设x2-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为x1和x2，则由求根公式可得这两个根的值，结合数轴，用穿根法来解的不等式的解集，从而求得解集构成的区间的长度之和．本题考查分式不等式的解法，用穿根法解分式不等式和高次不等式，求出x1和x2，是解题的关键，属于中档题．5.【答案】{-2}∪[0，1]【解析】解：∵集合A={x|x2+x-2=0}={1，-2}，={x|0≤x＜1}，∴A∪B={-2}∪[0，1]．故答案为：{-2}∪[0，1]．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】{-2，-1，1，3，5}【解析】解：根据题意，全集U={x|-2≤x≤6，x∈Z}={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，又由A={x|x=2n，n≤3，n∈N}={0，2，4，6}，则∁U A={-2，-1，1，3，5}；故答案为：{-2，-1，1，3，5}．根据题意，用列举法表示集合A与U，由补集的定义分析可得答案．本题考查集合的补集的定义，关键是掌握集合补集的定义，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵∁U（∁U A∪∁U B）=A∩B，∴如图中用阴影部分表示集合∁U（∁U A∪∁U B）如图：．故答案为：．由∁U（∁U A∪∁U B）=A∩B，能用阴影部分表示集合∁U（∁U A∪∁U B）．本题考查集合求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】若a≠0且b≠0，则ab≠0【解析】解：命题的逆否命题为：若a≠0且b≠0，则ab≠0，故答案为：若a≠0且b≠0，则ab≠0．根据逆否命题的定义进行求解即可．本题主要考查四种命题的求解，结合逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．9.【答案】a≤1【解析】解：B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≥4或x≤1}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B即a≤1，故答案为：a≤1．求出集合B的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系进行求解．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式关系转化为对应真子集关系是解决本题的关键．10.【答案】【解析】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．变形为x与4y的乘积，利用基本不等式求最大值考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型．11.【答案】[-1，0）∪（0，2]【解析】解：要使原函数有意义，则：；解得-1≤x≤2，且x≠0；∴原函数的定义域为[-1，0）∪（0，2]．故答案为：[-1，0）∪（0，2]．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，区间表示集合的方法．12.【答案】[-4，0]【解析】解：不等式ax2+ax-1＞0的解集为∅，a=0时，不等式化为-1＞0，解集为∅；a≠0时，应满足，解得-4≤a＜0；综上，实数a的取值范围是[-4，0]．故答案为：[-4，0]．讨论a=0和a≠0时，求出满足题意的a的取值范围．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．13.【答案】 ，【解析】解：由于函数g（x）=-2x+3，f（x）=x-2，根据题意得：当x≥1时，h（x）=f（x）g（x）=（-2x+3）（x-2）=-2x2+7x-6；当x＜1时，h（x）=f（x）=x-2．所以h（x）=．当x≥1时，h（x）=-2x2+7x-6=-2（x-）2+，因此，当x=时，h（x）最大，h（x）的最大值为．若x＜1时，h（x）=x-2＜1-2=-1．∴函数h（x）的最大值为．故答案为：（-∞，]．由于函数g（x）=-2x+3，f（x）=x-2，对x进行分类讨论：当x≥1时，h（x）=f（x）g （x）；当x＜1时，h（x）=g（x）=x-2．从而得出h（x）的解析式；分段函数的值域分段求，所以分别求出x≥1和x＜1时的值域，最后取并集即得函数h（x）的值域．本题主要考查函数的值域、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．14.【答案】-【解析】解：∵a+b=2019，b＞0，∴+==，当且仅当a＜0且且a+b=2019即a=-时取等号，故答案为：-．由已知可得+==，然后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行1的代换配凑应用条件．15.【答案】证明：∵a、b是正实数，∴，（当且仅当a=b时，取“=”号）两式相加得即【解析】利用基本不等式可得，两式相加，即可证得本题主要考查了基本不等式在不等式证明中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则16.【答案】解：由|x+1|≥2时，得x+1≥2或x+1≤-2，得x≥1或x≤-3，当x≥1时，不等式≥等价为9（x+2）≥7（2x-1），即x≤5，此时1≤x≤5，当x≤-3时，不等式≥等价为9（x+2）≥7（2x-1），即x≤5，此时x≤-3，综上x≤-3或1≤x≤5，即不等式组的解集为（-∞，-3]∪[1，5]．【解析】根据绝对值不等式以及分式不等式的解法进行求解即可．本题主要考查不等式组的求解，结合绝对值不等式以及分式不等式的解法是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）10月份，13404-3710-5000=4694，∴3000×3%+1694×10%=259.4；9月份，13404-3710-3500=6194，∴1500×3%+3000×10%+1694×20%=683.8；增加收入683.8-259.4=424.4元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除，如2018年10月的表中，210=3000×7%，1410=9000×10%+3000×17%，2660=13000×5%+9000×15%+3000×22%，依此类推．【解析】（1）将工资去除5000，以及专项扣除，运用两张表格，再由分段累进计算可得所求值；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除，本题考查分段函数的运用和分段累进计算方法，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合B={y|y=-x2+2x+2，y∈Z+}={1，2，3}，集合，∈={0，1，2}，集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．根据题意，3∈D，解得a=5或a=-2，经检验，a=5不符合D∩C=∅，故舍去，a=-2满足题意，即a=-2．（2）①B∪C不具有性质P，B∪D具有性质P，B∪D={-5，1，2，3}，S={（1，2），（2，1）}，T={（2，1），（3，1），（3，2）}；②m=n．证明如下：∵S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，∴a，b不相等，∴a+b的个数与a-b的个数相等，∴m=n．【解析】（1）求出集合B={1，2，3}，集合C={0，1，2}，由集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．得到3∈D，由此能求出a．（2）①B∪C不具有性质P，B∪D具有性质P，B∪D={-5，1，2，3}，由此能求出相应的S和T．②m=n．由S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，得到a，b不相等，从而a+b的个数与a-b的个数相等，由此以能证明m=n．本题考查实数值、集合的求法，考查两实数大小的与证明，考查并集、交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．第11页，共11页。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b22．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．18．（14分）已知函数f（x）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是（1）．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b2【分析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：由可加性知，（1）正确；当c≥0时，（2）显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，（3）显然无意义；取a＝1，b＝﹣2可知，（4）不正确．故答案为：（1）．【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．2．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．【分析】函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，即可得出．【解答】解：函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，∴b＝0．∴函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．故答案为：b＝0．【点评】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝2或﹣1．【分析】函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，利用幂函数的定义得m2﹣m ﹣1＝1，由此能求出m的值．【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1．故答案为：2或﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．【分析】先利用基本不等式可得，再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】解：∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴，即，当且仅当a＝b时取等号，∴，即（a+1）（b+1）的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为（﹣7，6）．【分析】分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式即可．【解答】解：当x≤﹣2时，原不等式等价于1﹣x﹣x﹣2＜13，解得x＞﹣7，此时满足﹣7＜x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，原不等式等价于1﹣x+x+2＜13，即3＜13恒成立；当x≥1时，原不等式等价于x﹣1+x+2＜13，解得x＜6，此时满足1≤x＜6；综上，不等式的解集为（﹣7，6）．故答案为：（﹣7，6）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【分析】本题根据“若p，则q”的逆否命题的形式是：“若￢q，则￢p”，可以解答．【解答】解：若p，则q的逆否命题的形式是：若￢q，则￢p．因此命题“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题为“若x≠1或y≠0，则x+y≠1”．故答案为：若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【点评】本题考查了逆否命题的概念，四种命题的关系．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为[2，2]．【分析】函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，根据单调性可得其值域．于是g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域．【解答】解：函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，由，解得1≤x≤3．∴g（x）∈[2，2]，则g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域，∴g﹣1（x）的定义域为∈[2，2]，故答案为：[2，2]，【点评】本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．【分析】分离常数后，利用双勾函数的性质即可得解．【解答】解：，由双勾函数性质可知，．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求解，属于基础题．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为2．【分析】设3a＝12b＝6ab＝k，把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解．【解答】解：设3a＝12b＝6ab＝k，∴a＝log3k，b＝log12k，ab＝log6k，∴＝2log k6，又∵，∴，∴，∴a+b＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，是中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．【分析】可求得，，根据题意f（x）max≤g （x）min（x＞﹣2），由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．【解答】解：对函数f（x），当x≤1时，；当x＞1时，，∴f（x）在（﹣2，+∞）上的最大值；对函数g（x），函数g（x）若有最小值，则a＝0，即，当x∈（﹣2，0）∪（0，+∞）时，，易知函数；又对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），∴f（x）max≤g（x）min（x＞﹣2），即，∴，∴，即实数k的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数【分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．【解答】解：设幂函数的解析式为：y＝xα，将（3，）代入解析式得：3α＝，解得α＝，∴y＝，故选：D．【点评】本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）【分析】利用函数的单调性，判断指数函数的对称轴，以及一次函数的单调性列出不等式求解即可【解答】解：∵函数f（x）＝单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3﹣a＞0且a＞1．但应当注意两段函数在衔接点x＝7处的函数值大小的比较，即（3﹣a）×7﹣3≤a，可以解得a≥，综上，实数a的取值范围是[，3）．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定【分析】分析：由f（x）+f（﹣x）＝2，得f（t）+f（﹣t）＝2，注意（2020﹣x）与（x ﹣2018）的和等于2，若（x﹣2018）与（2020﹣x）一个是t，则另一个是﹣t，再应用反函数的定义解出t和﹣t即得．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）＝2，∴f（t）+f（﹣t）＝2，令2020﹣x＝m，x﹣2018＝n，∴m+n＝2，∴可令f（t）＝m，f（﹣t）＝n，由反函数的定义知，∴t＝f﹣1（m），﹣t＝f﹣1（n）∴f1（m）+f1（n）＝0，即：f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值是0，故选：A．【点评】本题考查反函数，体现换元的数学思想，属于中档题．14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个【分析】由函数定义直接写出即可得解．【解答】解：当0对应0时，可以有①（1，0），（2，1）；②（1，1），（2，0）；③（1，1），（2，1）；共三种对应方式；当0对应1时，可以有①（1，0），（2，0）；②（1，1），（2，0）；③（1，0），（2，1）；共三种对应方式；故满足条件的函数f（x）共有6个．故选：B．【点评】本题考查函数定义的理解，属于基础题．三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f（f（1））的值；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，作出函数f（x）的图象，由数形结合法分析即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，而y＝f（x）的图象如图：分析可得﹣1＜m＜0；故m的取值范围是（﹣1，0）．【点评】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？【分析】（1）由题意知C的值，再把（27，14），（35，19）代入f（x）中求出B和A的值；（2）写出f（x）的解析式，计算f（29）的值即可．【解答】解：（1）由题意得：C＝4，将（27，14），（35，19）代入f（x）＝4+B（x﹣A），得：，解得A＝11，B＝；所以A＝11，B＝，C＝4．（2）由（1）知，f（x）＝；当x＝29时，f（29）＝4+×（29﹣11）＝＝15.25；所以该居民使用29m3水时，应该缴水费15.25元．【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．【分析】（1）函数f（x）＝的图象关于原点对称，可得f（x）+f（﹣x）＝0，整理得+＝0恒成立，即可得出答案（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求出x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）的最大值，即可解出m的取值范围（3）由于f（x）＝在[2，3]上是增函数，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案【解答】解：（1）函数f（x ）＝的图象关于原点对称，∴f（x）+f（﹣x）＝0，即+＝0，∴（）＝0，∴＝1恒成立，即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，又a＝1时，f（x ）＝无意义，故a＝﹣1；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m 恒成立，即+（x﹣1）＜m，∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，由于y ＝（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是m≥﹣1；（3）f（x ）＝在[2，3]上是增函数，g（x ）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，∴只需要即可保证关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题第11页（共13页）18．（14分）已知函数f（x ）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．【分析】（I）利用y＝|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住线索﹣3∈P∪M，逐层深入，先判断﹣3∈P，得a 的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（﹣∞，0）⊆M，（1，+∞）⊆P，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P，M【解答】解：（I）∵P＝（﹣∞，0），∴f（P）＝{y|y＝|x|，x∈（﹣∞，0）}＝（0，+∞），∵M＝[0，4]，∴f（M）＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈[0，4]}＝[﹣8，1]．∴f（P）∪f（M）＝[﹣8，+∞）（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）＝﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求∴﹣3∈P，从而f（﹣3）＝3∵f（﹣3）＝3∈[﹣3，2a﹣3]∴2a﹣3≥3，得a≥3若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x∵P∩M＝∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0＝2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾∴a＝3此时可取P＝[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M＝[﹣1，0），满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）＝0，∴x∈M∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）＝﹣+2x0＞x0，于是[x0，﹣+2x0]⊆M记x1＝﹣+2x0∈（0，1），x2＝﹣+2x1，…第12页（共13页）∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…由x n+1＝﹣+2x n，得1﹣x n+1＝1+﹣2x n＝（1﹣x n）2；∴1﹣x n＝（1﹣x n﹣1）2＝（1﹣x n﹣2）22＝…＝（1﹣x0）2n对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数n x，则x∈[xn x，xn x+1]⊆M∴[x0，1）⊆M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P＝（0，t）∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P＝（0，t]∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1或者P＝[1，+∞），M＝（﹣∞，1]或者P＝（0，+∞），M＝（﹣∞，0]【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题解决问题的能力第13页（共13页）。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}|1,M y x y x R =+=∈，{}|1,N y x y x R =-=∈，则M N =（ ）A ．()1,0B ．(){}1,0C ．{}0D ．R【答案】D【解析】根据y 的取值范围，求得M N R ==，由此求得两个集合的交集. 【详解】对于集合,M N ，两个集合的研究对象都是y ，且y R ∈，故M N R ==，所以M N R =.故选：D. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B ． 【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题。
3．若110a b <<，则下列不等式中，①2ab b <；②22a b >；③2a b +<④2a bb a+>.成立的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据110a b<<得到0b a <<，结合不等式的性质、基本不等式，对四个不等式逐一分析，由此判断出成立的个数. 【详解】 由110a b<<可知0b a <<.由b a <两边乘以负数b 得2b ab >，故①正确.由0b a <<得()()22220,b a b a b a b a -=+->>，故②错误.由0b a <<，结合基本不等式有()()22a b a b -+-+=-<=③正确.由0b a <<，结合基本不等式有2a b b a +>=，故④正确. 综上所述，正确的个数为3个. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.4．定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->，已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为（ ） A ．-a b B ．+a bC ．4D ．2【答案】D 【解析】将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和. 【详解】原不等式111x a x b +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =.下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<.故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查高次分式不等式的解法，考查一元二次方程、一元二次不等式的关系，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.二、填空题5．若集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x =<，则A B =______.【答案】{}[]20,1-【解析】解一元二次方程求得集合A ，解不等式求得集合B ，由此求得两个集合的并集. 【详解】由()()22210xx x x +-=+-=解得2x =-或1x =，故{}2,1A =-.1<得01x ≤<，故[)0,1B =.所以A B ={}[]20,1-.故答案为：{}[]20,1-.【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元二次方程的解法，考查不等式的解法，属于基础题.6．若全集{}|26,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}|2,3,A x x n n n N ==≤∈，则U C A =______.（用列举法表示）【答案】{}2,1,1,3,5--【解析】分别求得集合,U A 的元素，由此求得U C A . 【详解】 依题意{}2,1,0,1,2,3,4,5,6U=--，{}0,2,4,6A =，所以{}2,1,1,3,5U C A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--. 【点睛】本小题主要考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 7．在如图中用阴影部分表示集合()U U U C C A C B _____.【答案】详见解析【解析】先用阴影部分表示U U C A B C ，再用阴影部分表示()U U U C C A C B .【详解】 依题意可知U U C AB C 表示为：故()U U U C C A C B 表示为：故答案为：【点睛】本小题主要考查利用文氏图表示集合的并集和补集的运算，属于基础题. 8．命题“设,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的逆否命题是：________. 【答案】设,a b ∈R ，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠. 【解析】直接利用逆否命题的定义求解即可. 【详解】逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件， 所以 “,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的否命题是 “,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”, 故答案为“,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”. 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于简单题. 逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件求得.9．已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤【解析】解一元二次不等式求得集合B ，根据P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，判断出A 是B 的真子集，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】 依题意()()254140xx x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥.由于P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，故1a ≤.即a 的取值范围为1a ≤. 故答案为：1a ≤ 【点睛】本小题主要考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.10．已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【答案】116【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.11．函数y =______.【答案】[)[]1,00,2-【解析】根据偶次方根被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意2401010x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪≠⎩，2210x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩，解得[)[]1,00,2x ∈-.故答案为：[)[]1,00,2-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查不等式的解法，属于基础题. 12．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】试题分析：当时，不等式变形为，解集为，符合题意；当时，依题意可得，综上可得．【考点】一元二次不等式．【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错．13．对定义域是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定函数()()()()(),,,,,,f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D⎧∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩，设函数()()2f x x x R =-∈，()()231g x x x =-+≥，则函数()h x 的值域是______.【答案】1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】先根据()h x 函数的定义求得()h x 的解析式，由此求得()h x 的值域.【详解】根据()h x 函数的定义可知()()()223,12,1x x x h x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩，即()2276,12,1x x x h x x x ⎧-+-≥=⎨-<⎩，对于()22761y x x x =-+-≥，其图像开口向下，对称轴为74x =，所以当74x =时有最大值为2771276448⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，没有最小值，即18y ≤.对于()21y x x =-<，21y x =-<-.故函数()h x 的值域是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分段函数解析式和值域的求法，属于基础题.14．设2019a b +=，0b >，则当a =______时，12019a a b+取得最小值.【答案】20192018-【解析】利用已知条件，将12019a a b+转化为2220192019a a ba ab ++，然后利用绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时a 的值. 【详解】2120192019a a a b a b a b ++=+222122019201920192019a a b a a b =++≥-+，当且仅当22019a b a b =且0a <时等号成立，即20192018a =-. 故答案为：20192018- 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题15．已知：a 、b 是正实数，求证：22a ba b b a++≥.【答案】见解析.【解析】由基本不等式得出22a b a b+≥，22b a b a +≥，然后利用同向不等式的可加性可得出证明. 【详解】由基本不等式得出22a b a b +≥=，22b a b a +≥=，上述两个不等式当且仅当a b =时，等号成立，由同向不等式的可加性得2222a b a b a b b a +++≥+，即22a b a b b a++≥.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于中等题.16．解不等式组：9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩.【答案】(][],31,5-∞-【解析】分别求得分式不等式和绝对值不等式的解集，求两者的交集得到不等式组的解集. 【详解】由97212x x ≥-+得970212x x -≥-+，()()50212x x x -≤-+，解得()1,2,52x ⎛⎤∈-∞-⋃ ⎥⎝⎦.由12x +≥得12x +≤-或12x +≥，解得3x ≤-或1x ≥.所以不等式9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩的解集即()(][)(][]1,2,52,31,5,31,x x x ⎧⎛⎤=-∞-⋃⎪ ⎥⇒∈-∞-⋃⎝⎦⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎩.故答案为：(][],31,5-∞-.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查绝对值不等式的解法，考查不等式组的求解，属于基础题.17．缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务.①个人所得税率是个人所得税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入－起征点金额－专项扣除金额（三险一金等）；③2018年8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元.下面两张表格分别是2012年和2018年的个人所得税税率表：2012年1月1日实行：2018年10月1日试行：（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额＝应纳税收入额×适用税率－速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？【答案】（1）何老师10月份应缴纳683.8元个人所得税，增加收入424.4元（2）详见解析【解析】（1）先计算出10月份的扣税，再计算出9月份的扣税，两者作差，计算出何老师增加的收入.（2）直接按当前级数税率计算，则多算了前面级数的金额，所以要扣除.这样计算可以减少运算量，能使财务人员迅速计算出个人所得税. 【详解】（1）10月份，13404371050004694--=，∴30003%169410%259.4⨯+⨯=；9月份，13404371035006194--=，∴15003%300010%169420%683.8⨯+⨯+⨯=；增加收入683.8259.4424.4-=元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除， 如2018年10月的表中，21030007%=⨯，1410900010%300017%=⨯+⨯，2660130005%900015%300022%=⨯+⨯+⨯，依此类推.【点睛】本小题主要考查实际生活中的数学应用，属于基础题.18．已知集合{}22|190D x x ax a =-+-=，{}2|22,B y y x x y Z +==-++∈，集合|C x y x Z ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且集合D 满足D B ≠∅，D C =∅. （1）求实数a 的值；（2）对集合{}()12,,,2k A a a a k =⋅⋅⋅≥，其中()1,2,,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅，定义由A 中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P . ①请检验集合B C ⋃与B D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）2a =-（2）①B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P ；()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =②m n <，证明见解析【解析】（1）先求得集合,B C 所包含的元素，根据DB ≠∅，DC =∅，求得a 的值.（2）根据（1）求得,,B C D ，由此求得,B C B D ⋃⋃.①根据性质P 的定义，判断出B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P .根据集合,S T 的定义求得,S T .②根据①所求,S T ，求得,m n ，由此比较出两者的大小关系.【详解】（1）对于集合B ，222y x x =-++开口向下，对称轴为1x =，当1x =时3y =，故{}1,2,3B =对于集合C ，由201x x -≥+，解得()12x x Z -<≤∈，所以{}0,1,2C =. 根据题意D B ≠∅，D C =∅，所以3D ∈，解得5a =或2a =-，经检验，5a =不符合DC =∅，故舍去，2a =-满足题意，即2a =-. （2）由（1）得{}3,5D =-，{}1,2,3B =，{}0,1,2C =，{}0,1,2,3B C ⋃=，{}5,1,2,3B D =-.①B C ⋃中,00B C B C ⋃-∈⋃∈，故B C ⋃不具有性质P ；B D 中任意元素,a B D a B D ∈-∉，故B D 具有性质P ；根据集合,S T 的定义，求得()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =；②由①知，2,3m n ==，故m n <.【点睛】本小题主要考查二次函数函数值、一元二次不等式的解法，函数的定义域，考查新定义概念的理解和运用，属于中档题.。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉。
睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑。
”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【答案】C【解析】本题符合函数周期性特点．【详解】函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”．打油诗作者【横刀向天笑】→【睡觉】→【拿起刀】→【横刀向天笑】→⋯⋯每三句重复出现一样的内容，符合函数周期性的特点．故选：C．【点睛】打油诗作者通过循环句式，表达了面对将要发生的灾难时，豁达坦然的心境，诙谐中透露出自己的无奈和寂寞．2．函数x xx xe eye e--+=-的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断 【详解】()x xx x e e y f x e e --+==-，定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞()()x xx xe ef x f x e e --+-==--，()y f x ∴=为奇函数，()y f x ∴=的图象关于原点对称，又2211x x x x x e e y e e e --+==+--，∴函数()y f x =在(,0)-∞，(0,)+∞为减函数，故排除A 、C 选项.又当0x > 时21x e >，210x e ->，2201x e >-，22111x e +>-即()f x 的图象在0x >时恒在1y =的上方，故排除D 选项，正确答案为B . 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质． 3．已知()()122018122018R f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-∈，且集合()(){}221M a f a a f a =--=+，则集合(){}N f a a M =∈的元素个数有（ ）A.无数个B.3个C.4个D.2个【答案】A【解析】先判断函数()f x 奇偶性，由2(2)(1)f a a f a --=+进而2|2||1|a a a --=+解得a ，另外当[1x ∈-，1]时()4074342f x =，联立）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩剟剟得到a 的范围，根据()f a 的解析式可以得到()f a 的个数，从而得到结果． 【详解】函数()|2018||2017||1||1||2017||2018|f x x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++， ()|2018||2017||1||1||2017|f x x x x x x ∴-=--+--+⋅⋅⋅+--+-++⋅⋅⋅+-+|2018||2018||2017||1||1||2017||2018|()x x x x x x x f x +-+=-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++=，即函数()f x 是偶函数，当[1x ∈-，1]时，()4074342f x =；当[2x ∈-，1]-时，()22(342018)24074336f x x x =-+++⋅⋅⋅+=-+ 若2(2)(1)f a a f a --=+，则221a a a --=+①，或22(1)a a a --=-+②；2121111a a a ⎧---⎨-+⎩剟剟③ 由①得223(1)(3)0a a a a --=+-=， 即(1)(3)0a a --=，解得1a =-或3a =； 由②得210a -=，解得1a =或1a =-； 由③a综上1a =a3a =； 又()40721434f =，当1a -剟时()4074342f a =1a <时()24074336a a f =-+，有无数个 ()4520212101201540743483f =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=()f a ∴的值有无数个．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数性质，方程与不等式的解法，集合的性质，考查了推理与计算能力，属于难题．4．下列命题中正确的命题是（ ）A.若存在[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()()12f x f x <，则说函数()y f x =在区间[],a b 上是增函数：B.若存在[],i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，i 、*N n ∈），当123n x x x x <<<⋅⋅⋅<时，有()()()()123n f x f x f x f x <<<⋅⋅⋅<，则说函数()y f x =在区间[],a b 上是增函数；C.函数()y f x =的定义域为[)0,+∞，若对任意的0x >，都有()()0f x f <，则函数()y f x =在[)0,+∞上一定是减函数：D.若对任意[]12,,x x a b ∈，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[],a b 上是增函数. 【答案】D【解析】比值大于零，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由增函数的定义可得结论． 【详解】由增减函数的定义可以判断对于A 选项，存在[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()()12f x f x <，无法说明函数的增减性，故A 错误；对于B 选项，同选项A ，只是存在，不是任意的，故B 错误；对于C 选项，只能说明函数()f x ，[)0,x ∈+∞在0x =处取得最大值，无法说明增减性，故C 错误；对于D 选项，对任意1x ，2[x a ∈，]b ，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-成立，即有12x x >时，12()()f x f x >，12x x <时，12()()f x f x <， 由增函数的定义知：函数()f x 在区间[a ，]b 上是增函数，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查增函数、减函数的定义，熟记定义是解题的关键．属基础题．二、填空题 5．函数()lg 1x y x+=的定义域是______.【答案】()()1,00,-⋃+∞【解析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：10x x +>⎧⎨≠⎩，解得：1x >-且0x ≠， 故函数的定义域是(1-，0)(0⋃，)+∞， 故答案为：(1-，0)(0⋃，)+∞． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．6．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，则()2f -=_______ 【答案】0【解析】根据奇函数性质得()00f =，再根据条件求()2.f - 【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，因为()()2f x f x +=-，所以()()222f f -+=--，即()20.f -= 【点睛】已知函数的奇偶性求函数值，首先抓住奇偶性求一些函数具体数值，再充分利用有关()f x 的方程，解得所求的值.7．已知cos 5α=，02πα-<<，则tan α=______.【答案】2-【解析】利用同角三角函数的基本关系式，求出sin α，然后得到tan α． 【详解】因为cos 02παα=-<<，所以sin α==，所以sin tan 2cos ααα===-；故答案为：2- 【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，三角函数值的范围，考查计算能力． 8．2020是第______象限角. 【答案】三【解析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为：三． 【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题． 9．已知函数()y f x =与()1y fx -=互为反函数，若函数()()1,R 1x af x x a x x --=≠-∈+的图像过点()2,3，则()4f =______. 【答案】1 【解析】根据()123f -=得7a =-，再根据1()4fx -=解得1x =即可．【详解】因为1()f x -过(2,3)，所以()123f -=，所以2321a-=+，解得7a =-，所以17()1x f x x -+=+， 由741x x +=+解得1x =，所以()41f =， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反函数点(),x y 在原函数()f x 上则点(),y x 在反函数()1f x -上，属基础题．10．若关于x 的方程12xa a -=，()0,1a a >≠有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是______. 【答案】102a <<【解析】先画出1a >和01a <<时的两种图象，根据图象可直接得出答案． 【详解】据题意，函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象与直线2y a =有两个不同的交点．1a >时01a <<时由图知，021a <<，所以1(0,)2a ∈， 故答案为：1(0,)2． 【点睛】本题主要考查指数函数的图象与性质，考查方程根的个数的判断，体现了数形结合及转化的数学思想．11．屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为______元（保留整数） 【答案】53877【解析】利用等比数列的前n 项和公式直接求解． 【详解】屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元， 且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为：2345(10.025)(10.025)(10.025)(10.025)(10.025)+++++++++51.025(10.025)5387710.025-=≈-．故答案为：53877． 【点睛】本题考查他可取回的钱数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知函数()()14245xx f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[]0,2上存在零点，则实数k 的取值范围______.【答案】(][),45,-∞-⋃+∞【解析】换元令2x t =，则[1t ∈，4]，即22()24(5)(1)5(4)f t k t k t k k t k =--+=--+在[1，4]上有零点，根据零点判定定理即可求得结论． 【详解】令2x t =，则[1t ∈，4]，22()24(5)(1)5(4)f t k t k t k k t k ∴=--+=--+在[1，4]上有零点，()()140f f ∴≤即可，即5(4)(420)0k k -+-…， 解得5k …或4k -…， 故答案为：(-∞，4][5-，)+∞． 【点睛】此题是中档题．考查函数的零点与函数图象的交点之间的关系，体现了转化的能力，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力． 13．下列命题正确的序号为______.①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数； ③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件； ④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上； 【答案】③④【解析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断真假性即可． 【详解】对于①，不是所有的周期函数都有最小正周期，如()0,1,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，∴①错误；对于②，()0f x =，{0}x ∈，是偶函数，它有反函数，∴②错误；对于③，()f x 是单调函数时，()f x 存在反函数，充分性成立， ()f x 存在反函数时，()f x 不一定是单调函数，如1()f x x=，(0)x ≠，必要性不成立，是充分不必要条件，③正确；对于④，原函数与反函数的图象有偶数个交点时，则它们的交点必关于直线y x =对称， 也可能都不在直线y x =上，④正确； 综上所述，正确的命题序号是③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题利用命题真假的判断考查了函数的定义与性质的应用问题，是中档题． 14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意的[],2x t t ∈+，不等式()()2f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是___________．【答案】)+∞【解析】根据奇函数的定义求出函数()f x 的解析式，可得)=2()f f x ，可将())f x t f +≥对任意的[,2]x t t ∈+均成立转化为x t +≥对任意的[],2x t t ∈+恒成立，即可求解.【详解】由题意得：当0x <时，2()f x x =-，所以()f x 是R 上的增函数且()f x 为奇函数，()f x 的解析式为22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩.由题意得)=2()f f x 成立，从而原不等式等价于())f x t f +≥对任意的[,2]x t t ∈+均成立，即x t +≥对任意的[],2x t t ∈+恒成立∴1)x t ≤对[],2x t t ∈+恒成立∴t ≥【点睛】本题主要考查利用奇函数求解析式的方法.解答本题的关键是利用转化思想，将())f x t f +≥对任意的[,2]x t t ∈+均成立转化为x t +≥对任意的[],2x t t ∈+恒成立.三、解答题15．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】()2rad α= 152r =【解析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，依题意有230l R +=，利用扇形面积公式12S lR =扇形，利用基本不等式即可求得答案．【详解】解：设扇形的半径为R ()015R <<，弧长为l ，则230l R +=．可得：()()()2151122530215[]2224R R S lR R R R R -+==-⋅=-⋅=扇形…（当且仅当152R =时取等号）．可得：S 扇形最大值为2254，此时152R =，15l =． 可得：扇形中心角的弧度数152()152l rad R α===． 【点睛】本题考查扇形面积公式，考查弧长公式，考查基本不等式（也可利用配方法）的应用，属于中档题．16．判断并证明函数()2121log 121x xxf x x++=+--的奇偶性. 【答案】奇函数,证明见解析【解析】容易看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明：可求出()f x 的定义域，然后可得出()()f x f x -=-，从而判断出()f x 是奇函数． 【详解】 ()f x 是奇函数．证明：解120101x x x⎧-≠⎪⎨+>⎪-⎩得，11x -<<，且0x ≠；()f x ∴的定义域为{|11x x -<<，且0}x ≠；又22121121()()121121x x x x x xf x log log f x x x--+-++-=+=--=--+--； ()f x ∴是奇函数．【点睛】考查奇函数的定义及判断，对数的运算性质． 17．已知函数f （x ）=9x ﹣2a •3x +3：（1）若a =1，x ∈[0，1]时，求f （x ）的值域； （2）当x ∈[﹣1，1]时，求f （x ）的最小值h （a ）；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①n ＞m ＞3；②当h （a ）的定义域为[m ，n]时，其值域为[m 2，n 2]，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1) [2，6]；(2) h （a ）=;(3)不存在；理由见解析.【解析】试题分析：（1）当a=1，x ∈[0，1]时，令t=3x ，t ∈[1，3]，y=g(t)=223t t -+,t ∈[1，3]，由二次函数可求得值域。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（上）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）函数f（x）= lg(x+1)x的定义域为___ ．2.（填空题.3分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且满足f（x+2）=-f（x）.则f（-2）=___ ．3.（填空题.3分）已知cosα=√55，−π2＜α＜0 .则tanα=___ ．4.（填空题.3分）2020°是第___ 象限角．5.（填空题.3分）已知函数y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数.若函数f−1(x)=x−ax+1(x≠−a，x∈R)的图象过点（2.3）.则f（4）=___ ．6.（填空题.3分）若关于x的方程|a x-1|=2a.（a＞0.a≠1）有两个不相等实数根.则实数a的取值范围是___ ．7.（填空题.3分）屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为___ 元（保留整数）8.（填空题.3分）已知函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0.2]上存在零点.则实数k的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）下列命题正确的序号为___ ．① 周期函数都有最小正周期；② 偶函数一定不存在反函数；③ “f（x）是单调函数”是“f（x）存在反函数”的充分不必要条件；④ 若原函数与反函数的图象有偶数个交点.则可能都不在直线y=x上；10.（填空题.3分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且当x≥0时.f（x）=x2.若对任意的x∈[t.t+2].不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立.则实数t的取值范围是 ___ ．11.（单选题.3分）“我自横刀向天笑.笑完我就去睡觉．睡醒我又拿起刀.我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中.蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象.它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点的图象大致为（）12.（单选题.3分）函数y= e x+e−xe x−e−xA.B.C.D.13.（单选题.3分）已知f（x）=|x+1|+|x+2|+……+|x+2018|+|x-1|+|x-2|+……+|x-2018|（x∈R）.且集合M={a|f（a2-a-2）=f（a+1）}.则集合N={f（a）|a∈M}的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个14.（单选题.3分）下列命题中正确的命题是（）A.若存在x1.x2∈[a.b].当x1＜x2时.有f（x1）＜f（x2）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数B.若存在x i∈[a.b]（1≤i≤n.n≥2.i、n∈N*）.当x1＜x2＜x3＜…＜x n时.有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（x n）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数C.函数y=f（x）的定义域为[0.+∞）.若对任意的x＞0.都有f（x）＜f（0）.则函数y=f（x）在[0.+∞）上一定是减函数D.若对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0 .则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数15.（问答题.0分）已知一个扇形的周长为30厘米.求扇形面积S的最大值.并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数．16.（问答题.0分）判断并证明函数f(x)=1+2x1−2x +log21+x1−x的奇偶性．17.（问答题.0分）已知函数f（x）=9x-2a•3x+3：（1）若a=1.x∈[0.1]时.求f（x）的值域；（2）当x∈[-1.1]时.求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n.同时满足下列条件：① n＞m＞3；② 当h（a）的定义域为[m.n]时.其值域为[m2.n2].若存在.求出m、n的值.若不存在.请说明理由．18.（问答题.0分）设ℎ(x)=x+mx . x∈[14，5] .其中m是不等于零的常数．（1）写出h（4x）的定义域：（2）求h（x）的单调递增区间：（3）已知函数f（x）（x∈[a.b]）.定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）.f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）．其中.min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值.max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=x.x∈[0.1].则f1（x）=0.x∈[0.1].f2（x）=x.x∈[0.1].当m=1时.设M(x)=ℎ(x)+ℎ(4x)2+|ℎ(x)−ℎ(4x)|2.不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立.求t.n的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：0的定义域为___ ．1.（填空题.3分）函数f（x）= lg(x+1)x【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0.+∞）【解析】：根据对数函数以及分母不为0.求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：.{x+1＞0x≠0解得：x＞-1且x≠0.故函数的定义域是（-1.0）∪（0.+∞）.故答案为：（-1.0）∪（0.+∞）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题.考查对数函数的性质.是一道基础题．2.（填空题.3分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且满足f（x+2）=-f（x）.则f（-2）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：利用奇函数的性质f（0）=0；给已知等式中的x赋值0.求出f（2）；利用奇函数的定义求出f（-2）．【解答】：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数.∴f（0）=0∵f（x+2）=-f（x）.令x=0得f（2）=-f（0）所以f（2）=0∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（-2）=-f（2）=0故答案为0【点评】：本题考查奇函数的性质：若f（x）是奇函数.且在x=0处有意义则f（0）=0；考查奇函数的定义；考查通过赋值法求函数值．3.（填空题.3分）已知cosα=√55，−π2＜α＜0 .则tanα=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：利用同角三角函数的基本关系式.求出sinα.然后得到tanα．【解答】：解：因为cosα=√55，−π2＜α＜0 .所以sinα= −√1−cos2α = −√1−(√55)2=−2√55.所以tanα= sinαcosα=−2√55√55=-2；故答案为：-2【点评】：本题是基础题.考查同角三角函数的基本关系式的应用.注意角的范围.三角函数值的范围.考查计算能力．4.（填空题.3分）2020°是第___ 象限角．【正确答案】：[1]三【解析】：把2020°写成5×360°+220°.可知2020°与220°角的终边相同.则答案可求．【解答】：解：∵2020°=5×360°+220°.∴2020°与220°角的终边相同.为第三象限角．故答案为：三．【点评】：本题考查了象限角.考查了终边相同的角.是基础题．5.（填空题.3分）已知函数y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数.若函数f−1(x)=x−ax+1(x≠−a，x∈R)的图象过点（2.3）.则f（4）=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：根据f-1（2）=3得a=-7.再根据f-1（x）=4解得x=1即可．=3.解得a=-7.所以f-1（x）= 【解答】：解：因为f-1（x）过（2.3）.所以f-1（2）=3.所以2−a2+1x+7.x+1=4解得x=1.所以f（4）=1.由x+7x+1故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数.属基础题．6.（填空题.3分）若关于x的方程|a x-1|=2a.（a＞0.a≠1）有两个不相等实数根.则实数a的取值范围是___ ．）【正确答案】：[1]（0. 12【解析】：先画出a＞1和0＜a＜1时的两种图象.根据图象可直接得出答案．【解答】：解：据题意.函数y=|a x-1|（a＞0.a≠1）的图象与直线y=2a有两个不同的交点．a＞1时0＜a＜1时）.由图知.0＜2a＜1.所以a∈（0. 12）．故答案为：（0. 12【点评】：本题主要考查指数函数的图象与性质.考查方程根的个数的判断.体现了数形结合及转化的数学思想．7.（填空题.3分）屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为___ 元（保留整数）【正确答案】：[1]53877【解析】：利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】：解：屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为：（1+0.025）+（1+0.025）2+（1+0.025）3+（1+0.025）4+（1+0.025）5≈53877．= 1.025(1−0.0255)1−0.025故答案为：53877．【点评】：本题考查他可取回的钱数的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．8.（填空题.3分）已知函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0.2]上存在零点.则实数k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-4]∪[5.+∞）【解析】：要使函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0.2]上存在零点.换元令t=2x.则t∈[1.4].即f（t）=k•t2-2k•t-4（k+5）=k（t-1）2-5（k+4）在[1.4]上有零点.根据零点判定定理即可求得结论．【解答】：解：令t=2x.则t∈[1.4].∴f（t）=k•t2-2k•t-4（k+5）=k（t-1）2-5（k+4）在[1.4]上有零点.∴f（1）f（4）≤0即可.即-5（k+4）（4k-20）≤0.解得k≥5或k≤-4.故答案为：（-∞.-4]∪[5.+∞）．【点评】：此题是中档题．考查函数的零点与函数图象的交点之间的关系.体现了转化的能力.同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．9.（填空题.3分）下列命题正确的序号为___ ．① 周期函数都有最小正周期；② 偶函数一定不存在反函数；③ “f （x ）是单调函数”是“f （x ）存在反函数”的充分不必要条件；④ 若原函数与反函数的图象有偶数个交点.则可能都不在直线y=x 上；【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：根据题意.对题目中的命题进行分析、判断真假性即可．【解答】：解：对于 ① .不是所有的周期函数都有最小正周期.如f （x ）= {0，x 为有理数1，x 为无理数.∴ ① 错误；对于 ② .f （x ）=0.x∈{0}.是偶函数.它有反函数.∴ ② 错误；对于 ③ .f （x ）是单调函数时.f （x ）存在反函数.充分性成立.f （x ）存在反函数时.f （x ）不一定是单调函数.如f （x ）= 1x .（x≠0）.必要性不成立. 是充分不必要条件. ③ 正确；对于 ④ .原函数与反函数的图象有偶数个交点时.则它们的交点必关于直线y=x 对称. 也可能都不在直线y=x 上. ④ 正确；综上所述.正确的命题序号是 ③ ④ ．故答案为： ③ ④ ．【点评】：本题利用命题真假的判断考查了函数的定义与性质的应用问题.是中档题．10.（填空题.3分）设f （x ）是定义在R 上的奇函数.且当x≥0时.f （x ）=x 2.若对任意的x∈[t .t+2].不等式f （x+t ）≥2f （x ）恒成立.则实数t 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] [√2，+∞)【解析】：由当x≥0时.f （x ）=x 2.函数是奇函数.可得当x ＜0时.f （x ）=-x 2.从而f （x ）在R 上是单调递增函数.且满足2f （x ）=f （ √2 x ）.再根据不等式f （x+t ）≥2f （x ）=f （ √2 x ）在[t.t+2]恒成立.可得x+t≥ √2 x 在[t.t+2]恒成立.即可得出答案．【解答】：解：当x≥0时.f （x ）=x 2∵函数是奇函数∴当x ＜0时.f （x ）=-x 2∴f （x ）= {x 2 x ≥0−x 2 x ＜0. ∴f （x ）在R 上是单调递增函数.且满足2f （x ）=f （ √2 x ）.∵不等式f （x+t ）≥2f （x ）=f （ √2 x ）在[t.t+2]恒成立.∴x+t≥ √2 x在[t.t+2]恒成立.即：x≤（1+ √2）t在[t.t+2]恒成立.∴t+2≤（1+ √2）t解得：t≥ √2 .故答案为：[ √2 .+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性.难度适中.关键是掌握函数的单调性与奇偶性．11.（单选题.3分）“我自横刀向天笑.笑完我就去睡觉．睡醒我又拿起刀.我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中.蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象.它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【正确答案】：C【解析】：本题符合函数周期性特点．【解答】：解：函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”．打油诗作者【横刀向天笑】→【睡觉】→【拿起刀】→【横刀向天笑】→……每三句重复出现一样的内容.符合函数周期性的特点．故选：C．【点评】：打油诗作者通过循环句式.表达了面对将要发生的灾难时.豁达坦然的心境.诙谐中透露出自己的无奈和寂寞．的图象大致为（）12.（单选题.3分）函数y= e x+e−xe x−e−xA.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：欲判断图象大致图象.可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑.还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．【解答】：解析：函数有意义.需使e x-e-x≠0.其定义域为{x|x≠0}.f（-x）= e−x+e xe−x−e x =- e x+e−xe x−e−x=-f（x）.故函数为奇函数.排除选项D；又因为y=e x+e−xe x−e−x =e2x+1e2x−1=1+2e2x−1.所以当x＞0时函数为减函数.排除选项B.C．故选：A．【点评】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂.需要对其先变形.再在定义域内对其进行考查其余的性质．13.（单选题.3分）已知f（x）=|x+1|+|x+2|+……+|x+2018|+|x-1|+|x-2|+……+|x-2018|（x∈R）.且集合M={a|f（a2-a-2）=f（a+1）}.则集合N={f（a）|a∈M}的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【正确答案】：A【解析】：先判断函数f （x ）奇偶性.由f （a 2-a-2）=f （a+1）进而|a 2-a-2|=|a+1|解得a.另外当x∈[-1.1]时f （x ）=4074342.联立） {−1≤a 2−a −2≤1−1≤a +1≤1得到a 的范围.根据f （a ）的解析式可以得到f （a ）的个数.从而得到结果．【解答】：解：∵函数f （x ）=|x-2018|+|x-2017|+…+|x -1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|. ∴f （-x ）=|-x-2018|+|-x-2017|+…+|-x-1|+|-x+1|+…+|-x+2017|+|-x+2018|=|x-2018|+|x-2017|+…+|x -1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|=f （x ）. 即函数f （x ）是偶函数.当x∈[-1.1]时.f （x ）=4074342；当x∈[-2.-1]时.f （x ）=-2x+2（3+4+……+2018）=-2x+4074336 若f （a 2-a-2）=f （a+1）. 则a 2-a-2=a+1 ① .或a 2-a-2=-（a+1） ② ； {−1≤a 2−a −2≤1−1≤a +1≤1③ 由 ① 得a 2-2a-3=（a+1）（a-3）=0. 即（a-1）（a-3）=0.解得a=-1或a=3； 由 ② 得a 2-1=0.解得a=1或a=-1； 由 ③ 得1−√132 ≤a ≤1−√52综上a=-1或1−√132 ≤a ≤1−√52或a=3；又f （1）=4074342. 当-1≤a ≤1−√52时f （a ）=4074342当1−√132≤a ＜-1时f （a ）=-2a+4074336.有无数个f （3）=4+5+……+2021+2+1+0+1+……+2015=4074348 ∴f （a ）的值有无数个． 故选：A ．【点评】：本题考查了函数性质.方程与不等式的解法.集合的性质.考查了推理与计算能力.属于难题．14.（单选题.3分）下列命题中正确的命题是（）A.若存在x1.x2∈[a.b].当x1＜x2时.有f（x1）＜f（x2）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数B.若存在x i∈[a.b]（1≤i≤n.n≥2.i、n∈N*）.当x1＜x2＜x3＜…＜x n时.有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（x n）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数C.函数y=f（x）的定义域为[0.+∞）.若对任意的x＞0.都有f（x）＜f（0）.则函数y=f（x）在[0.+∞）上一定是减函数D.若对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0 .则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数【正确答案】：D【解析】：比值大于零.说明分子分母同号.即自变量与函数值变化方向一致.由增函数的定义可得结论．【解答】：解：对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0成立.即有x1＞x2时.f（x1）＞f（x2）.x1＜x2时.f（x1）＜f（x2）.由增函数的定义知：函数f（x）在区间[a.b]上是增函数．故选：D．【点评】：本题主要考查增函数、减函数的定义.熟记定义是解题的关键．属基础题．15.（问答题.0分）已知一个扇形的周长为30厘米.求扇形面积S的最大值.并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数．【正确答案】：【解析】：设扇形的半径为R.弧长为l.依题意有l+2R=30.利用扇形面积公式S扇形= 12lR.利用基本不等式即可求得答案．【解答】：解：设扇形的半径为R.弧长为l.则l+2R=30．可得：S扇形= 12 lR= 12（30-2R）•R=（15-R）•R≤[ (15−R)+R2]2= 2254（当且仅当R= 152时取等号）．可得：S扇形最大值为2254.此时R= 152.l=15．可得：扇形圆心角的弧度数α= lR = 15152=2（rad ）．【点评】：本题考查扇形面积公式.考查弧长公式.考查基本不等式（也可利用配方法）的应用.属于中档题．16.（问答题.0分）判断并证明函数 f (x )=1+2x 1−2x+log 21+x1−x的奇偶性．【正确答案】：【解析】：容易看出f （x ）是奇函数.根据奇函数的定义证明：可求出f （x ）的定义域.然后可得出f （-x ）=-f （x ）.从而判断出f （x ）是奇函数．【解答】：解：解 {1−2x ≠01+x 1−x＞0得.-1＜x ＜1.且x≠0；∴f （x ）的定义域为{x|-1＜x ＜1.且x≠0}； 又 f (−x )=1+2−x 1−2−x+log 21−x 1+x = −1+2x1−2x−log 21+x1−x =−f (x ) ；∴f （x ）是奇函数．【点评】：考查奇函数的定义及判断.对数的运算性质． 17.（问答题.0分）已知函数f （x ）=9x -2a•3x +3： （1）若a=1.x∈[0.1]时.求f （x ）的值域； （2）当x∈[-1.1]时.求f （x ）的最小值h （a ）；（3）是否存在实数m 、n.同时满足下列条件： ① n ＞m ＞3； ② 当h （a ）的定义域为[m.n]时.其值域为[m 2.n 2].若存在.求出m 、n 的值.若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设t=3x .则φ（t ）=t 2-2at+3=（t-a ）2+3-a 2.φ（t ）的对称轴为t=a.当a=1时.即可求出f （x ）的值域；（2）由函数φ（t ）的对称轴为t=a.分类讨论当a ＜ 13时.当 13≤a≤3时.当a ＞3时.求出最小值.则h （a ）的表达式可求；（3）假设满足题意的m.n 存在.函数h （a ）在（3.+∞）上是减函数.求出h （a ）的定义域.值域.然后列出不等式组.求解与已知矛盾.即可得到结论．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）=9x -2a•3x +3. 设t=3x .t∈[1.3].则φ（t ）=t 2-2at+3=（t-a ）2+3-a 2.对称轴为t=a ． 当a=1时.φ（t ）=（t-1）2+2在[1.3]递增. ∴φ（t ）∈[φ（1）.φ（3）]. ∴函数f （x ）的值域是：[2.6]； （Ⅱ）∵函数φ（t ）的对称轴为t=a. 当x∈[-1.1]时.t∈[ 13.3].当a ＜ 13 时.y min =h （a ）=φ（ 13 ）= 289 - 2a3 ； 当 13 ≤a≤3时.y min =h （a ）=φ（a ）=3-a 2； 当a ＞3时.y min =h （a ）=φ（3）=12-6a ． 故h （a ）= {289−2a3，a ＜133−a 2，13≤a ≤312−6a ，a ＞3 ；（Ⅲ）假设满足题意的m.n 存在.∵n ＞m ＞3.∴h （a ）=12-6a. ∴函数h （a ）在（3.+∞）上是减函数． 又∵h （a ）的定义域为[m.n].值域为[m 2.n 2].则 {12−6m =n 212−6n =m 2. 两式相减得6（n-m ）=（n-m ）•（m+n ）. 又∵n ＞m ＞3.∴m -n≠0.∴m+n=6.与n ＞m ＞3矛盾． ∴满足题意的m.n 不存在．【点评】：本题主要考查二次函数的值域问题.二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理.是中档题．18.（问答题.0分）设ℎ(x)=x+mx . x∈[14，5] .其中m是不等于零的常数．（1）写出h（4x）的定义域：（2）求h（x）的单调递增区间：（3）已知函数f（x）（x∈[a.b]）.定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）.f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）．其中.min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值.max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=x.x∈[0.1].则f1（x）=0.x∈[0.1].f2（x）=x.x∈[0.1].当m=1时.设M(x)=ℎ(x)+ℎ(4x)2+|ℎ(x)−ℎ(4x)|2.不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立.求t.n的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）考查复合函数的定义域；（2）x+ mx在m＜0时在（0.+∞）单调递增.在m＞0时是对勾函数.x= √m是其极小值点.利用这个求单调递增区间；（3）不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立.就是求函数M1（x）-M2（x）的最大值与最小值.而M（x）实际上是对函数h（x）与h（4x）求较小的那个．【解答】：解：（1）4x∈[ 14 .5].所以h（4x）的定义域为[116，54]；（2）m＜0时.h（x）在[14，5]递增；0＜m≤116时.h（x）在[14，5]递增；116＜m≤25时.h（x）在[√m，5]递增；m＞25时.h（x）在[√m，5]递减.无单调增区间．（3）M（x）的定义域为[ 14 .5 4 ]h（x）≥h（4x）时.M（x）=h（x）；h（x）＜h（4x）时.M（x）=h（4x）．h（x）≥h（4x）⇔x+ 1x ≥4x+ 14x⇔x2≤ 14．所以当x∈[ 14 . 12]时.h（x）≥h（4x）.M（x）=h（x）=x+ 1x.在[ 14. 12]单调递减.所以M1（x）=x+ 1x .M2（x）=M（14）= 174．令g（x）=M1（x）-M2（x）=x+ 1x - 174.则g（x）在区间[ 14. 12]上的最小值为- 74.最大值为0．当x∈（12 . 54]时.h（x）＜h（4x）.M（x）=h（4x）=4x+ 14x.在（12. 54]单调递增.并且M（1）= 174 =M （ 14 ）i ．当x∈（ 12 .1）时.M 1（x ）=M （ 12 ）= 52 .M 2（x ）=M （ 14 ）= 174 .所以g （x ）=- 74 ． ii ．当x∈[1. 54]时.M 1（x ）=M （ 12）= 52.M 2（x ）=M （x ）=4x+ 14x.所以g （x ）= 52-4x- 14x.在[1. 54 ]上单调递减所以g （x ）的最大值为g （1）=- 74.最小值为g （ 54）=- 2710． 综上g （x ）的最大值为0.最小值为- 2710 ． ∴n≥0.t≤- 2710 ．【点评】：本题考查函数的单调性、不等式恒成立等问题.使用了分类讨论、数形结合、转化法等方法.属于难题．。
华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。
