高考数学专题07+导数有关的构造函数方法-(理)(教师版)

解题方法系列⑦——构造法在导数中的应用素养解读：此类涉及到已知f (x )与f ′(x )的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解． 类型一：f ′(x )g (x )±f (x )g ′(x )型 常用构造形式为F (x )＝f (x )·g (x )或F (x )＝f (x )g (x )，这类形式是对u ·v ，uv 型函数导数计算的推广及应用，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，uv 型导函数中体现的是“－”法．因此当导函数形式中出现“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，出现“－”法形式时，优先考虑构造uv 型．【典例1】 (1)定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f ′(x )<12，则不等式f (lg x )>lg x ＋12的解集为________．(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为________．[切入点] (1)由f ′(x )－12<0，构造函数g (x )＝f (x )－12x ；(2)由f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )构造函数F (x )＝f (x )g (x )． [解析] (1)设g (x )＝f (x )－12x ， ∵f ′(x )<12，∴g ′(x )＝f ′(x )－12<0， ∴g (x )为R 上的减函数，又f (1)＝1， ∴f (lg x )>lg x ＋12＝12lg x ＋12，即g (lg x )＝f (lg x )－12lg x >12＝g (1)＝f (1)－12＝g (lg10)， ∴lg x <lg10，又y ＝lg x 为增函数， ∴0<x <10，则不等式的解集为(0,10)． (2)设F (x )＝f (x )g (x )，∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，即F ′(x )>0.∴F(x)在(－∞，0)上递增，又∵f(x)，g(x)分别是定义R上的奇函数和偶函数，∴F(x)为奇函数，关于原点对称，∴F(x)在(0，＋∞)上也是增函数，∵f(－3)g(－3)＝0，∴f(3)g(3)＝0，∴F(x)＝f(x)g(x)<0的解集为{x|x<－3或0<x<3}．[答案](1)(0,10)(2){x|x<－3或0<x<3}(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)．(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx. (3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)．(4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)(g(x)≠0)．类型二：xf′(x)±nf(x)型(n为常数)在类型一中若g(x)＝x或g(x)＝x n，则F′(x)即为此种类型，我们可以思考形如此类函数的一般形式．F(x)＝x n f(x)，F′(x)＝nx n－1f(x)＋x n f′(x)＝x n－1[nf(x)＋xf′(x)]；F(x)＝f(x) x n，F′(x)＝f′(x)·x n－nx n－1f(x)x2n＝xf′(x)－nf(x)x n＋1；结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数f(x)＝x n f(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝f(x) x n.我们根据得出的结论去解决典例2.【典例2】(1)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)(2)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是()A．(－∞，1) B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)[切入点](1)由xf′(x)－f(x)<0构造函数F(x)＝f(x)x；(2)由xf′(x)＋2f(x)>0想到g(x)＝x2f(x)的导数及单调性．[解析](1)令F(x)＝f(x)x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝f(x)x在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝f(x)x在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.(2)∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，即xf′(x)＋2f(x)>0.∵g(x)＝x2f(x)，∴g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)单调递减；由不等式g(x)<g(1)，∴|x|<1且x≠0，得－1<x<0或0<x<1，故选D.[答案](1)A(2)D(1)对于xf′(x)＋nf(x)>0型，构造F(x)＝x n f(x)，则F′(x)＝x n－1[xf′(x)＋nf(x)](注意对x n－1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)＋f(x)>0，构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0.(2)对于xf′(x)－nf(x)>0(x≠0)型，构造F(x)＝f(x)x n，则F′(x)＝xf′(x)－nf(x)x n＋1(注意对x n＋1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)－f(x)>0，构造F(x)＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2>0.类型三：f ′(x )±λf (x )(λ为常数)型在类型一中若g (x )＝e x ，那么在F ′(x )中会出现e x 量，这时可以考虑构造F (x )＝f (x )·e x 或F (x )＝f (x )e x 型，一般地F (x )＝e nxf (x )， F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]； F (x )＝f (x )e nx ，F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx ；结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )； (2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 我们根据得出的结论去解决典例3.【典例3】 (1)f (x )为定义在R 上的可导函数，且f ′(x )>f (x )，对任意正实数a ，则下列式子成立的是( ) A ．f (a )<e a f (0) B ．f (a )>e a f (0) C ．f (a )<f (0)e aD ．f (a )>f (0)e a(2)已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f (x )满足：(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0，f (2－x )＝f (x )·e 2－2x ，则下列判断一定正确的是( ) A ．f (1)<f (0) B ．f (2)>e 2f (0) C ．f (3)>e 3f (0)D ．f (4)<e 4f (0)[切入点] (1)由f ′(x )－f (x )>0构造函数g (x )＝f (x )e x ；(2)由(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0构造函数g (x )＝f (x )e x . [解析] (1)令g (x )＝f (x )e x ，∴g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x >0.∴g (x )在R 上为增函数．又∵a >0，∴g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e 0，即f (a )>e a f (0)．故选B. (2)令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ，∵(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0，∴当x <1时，f ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，1)上为减函数， ∴g (－1)>g (0)，即f (－1)e －1>f (0)e 0＝f (0)， ∵f (2－x )＝f (x )e 2－2x ，∴f (3)＝f (－1)e 4>e －1f (0)·e 4＝e 3f (0)，故选C. [答案] (1)B (2)C(1)对于f ′(x )＋nf (x )型构造F (x )＝e nx f (x )，F ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]． 特别地n ＝1时，F (x )＝e x f (x )，F ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )]． (2)对于f ′(x )－nf (x )型构造F (x )＝f (x )e nx ，F ′(x )＝f ′(x )－nf (x )e nx .特别地n ＝1时，F (x )＝f (x )e x ，F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x .类型四：f ′(x )与sin x 、cos x 组合型类型一中当g (x )＝sin x 或g (x )＝cos x 时，F ′(x )会出现f ′(x )与sin x 、cos x 的结合形式，我们一起看看常考的几种形式． F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ； F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x ；F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ； F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x我们根据得出的结论去解决典例4.【典例4】 (2019·湖南益阳调研)定义在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，恒有f ′(x )>f (x )·tan x 成立，则有( ) A.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2cos1·f (1)C ．2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<6f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3[切入点] 由f ′(x )>f (x )tan x ，构造函数g (x )＝f (x )·cos x .[解析] 由于f ′(x )>f (x )tan x 且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ′(x )cos x －f (x )sin x >0.设g (x )＝f (x )cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x >0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.故A 正确．同理可得B ，C ，D 错误．故选A. [答案] A若导函数中出现了sin x 、cos x 、tan x 与f ′(x )的组合形式，根据F ′(x )的结构特点可考虑构造F (x )＝f (x )sin x ，F (x )＝f (x )cos x 等形式．1．(2020·太原十二中月考)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数，则( ) A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <b C ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >b D ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b[解析] 因为a >0，b >0，所以e a ＋2a ＝e b ＋3b ＝e b ＋2b ＋b >e b ＋2b .对于函数y ＝e x ＋2x (x >0)，因为y ′＝e x ＋2>0，所以y ＝e x ＋2x 在(0，＋∞)上单调递增，因而a >b 成立．故选A. [答案] A2．若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为________．[解析] 令g (x )＝f (x )－x ， ∴g ′(x )＝f ′(x )－1.由题意知g ′(x )>0，∴g (x )为增函数． ∵g (2)＝f (2)－2＝0， ∴g (x )>0的解集为(2，＋∞)． [答案] (2，＋∞)。

导数中的构造函数【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F nf x x x=；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nxx e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e =． 【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ⋅，u v 的导函数观察可得知，u v ⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv． 例1. 设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．0或2 【举一反三】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A ．B ．C ．当时，取得极大值D ．当时，2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e =． 例2、 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【举一反三】 已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x ，都有，当时，若，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．利用()f x 与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=；()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=． 例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（ ） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭类型二 构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．1.直接法：直接根据题设条件构造函数 例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+>【举一反三】 已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．2. 参变分离，构造函数例5. 设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【举一反三】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【强化训练】一、选择题1．已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．2.已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．3.若函数有三个零点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．2．4.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．3．5.已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．4．6.已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．8.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．6．9.定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．10.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．11.已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题12．若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．13.定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．14.已知定义在R 上的奇函数满足f （1）=0，当x ＞0时，，则不等式的解集是______．8． 15.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.9．16.设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．导数中的构造函数答案【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F nf x x x=；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nx x e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e=． 【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （nx ）构造常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v⋅，uv 的导函数观察可得知，u v⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv．例2.设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】设，因为函数为偶函数，所以也是上的偶函数，所以．由已知，时，，可得当时，，故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在上单调递增．所以，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A．【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．【举一反三】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A．B．C．当时，取得极大值D．当时，【答案】C【解析】设，则则又得即，所以即，由得，得，此时函数为增函数由得，得，此时函数为减函数则，即，则，故错误，即，则，故错误当时，取得极小值即当，，即，即，故错误当时，取得极小值此时，则取得极大值本题正确选项：2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e =． 例3、 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】令，则，可设， ∵，∴． ∴，∴．可得：时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．，，，．∴时，不等式的解集中恰有两个整数，．故的取值范围是，故选C．【指点迷津】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【举一反三】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则当时，，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选B.f x与sin x，cos x构造3．利用()sin x，cos x因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=； ()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=．例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（ ） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】B【指点迷津】满足“()()cos sin 0f x x f x x '+>”形式，优先构造()()F cos f x x x=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化． 类型二 构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．1.直接法：直接根据题设条件构造函数例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+> 【答案】B【解析】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x '=+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又Q ()f x 为偶函数，根据单调性和图象可知选B ．【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数()sin f x x x =，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可． 【举一反三】 已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】易知当≤0时，方程只有一个解， 所以>0．令，，令得，为函数的极小值点，又关于的方程=在区间内有两个实数解，所以，解得，故选A.【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．2. 参变分离，构造函数例5. 设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，由，可得的对称轴为，所以，所以，所以，由可得，变形可得，即，设，，易得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，故实数b的取值范围为，故选A【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.【举一反三】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵函数，有且只有一个零点，∴方程，，有且只有一个实数根，令g（x）=，则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=故选B.【强化训练】一、选择题1．已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，.当时，，则在上单调递增，又，所以恒成立；当时，因为在上单调递增，故存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，则，这与恒成立矛盾，综上.故选D.10．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意设，则，所以函数在上单调递增，所以，即．故选B．11．若函数有三个零点，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，设，则，由得得或，此时函数为增函数，由得得，此时函数为减函数，即当时，取得极小值，当时，取得极大值，当，且，函数图象如下图所示：要使有三个零点，则，即实数a的取值范围是，故本题选D．12．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：∵函数的定义域是∴，∵是函数的唯一一个极值点∴是导函数的唯一根，∴在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为，所以必须，故选：A．13．已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2恒成立．令l（x）＝2，x∈（0，），则l′（x），再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），则m′（x）0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）＝2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）＝2﹣4ln2，故要使a＞2恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞）.14．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由恒成立得，恒成立，设，则.设，则恒成立，在上单调递减，又，当时，，即；当时，，即，在上单调递增，在上单调递减，，，故选:D15．已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，∴，化简可得.设，∴，∴时，，因此为减函数，∴时，，因此为增函数，∴，∴，∴在上为增函数.∵函数是偶函数，∴函数，∴函数关于对称，又∵，即，又在上为增函数，∴，由函数关于对称可得，，故选A.16．若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．【答案】B【解析】函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其对称轴为，当即时，在上恒成立等价于，由线性规划知识可知，此时；当即时，在上恒成立等价于，，即；当即时，在上恒成立等价于，此时；综上可知，，故选.17．定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】构造函数因为是奇函数，所以为偶函数当时，恒成立，即，所以在时为单调递减函数在时为单调递增函数根据偶函数的对称性可知，所以所以选D18．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，令，则，又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，所以是在上的单调递增函数，又因为，可化为，即，又因为是在上的单调递增函数，所以恒成立，令，则，因为，所以在单调递减，在上单调递增，所以，则，所以.所以正整数的最大值为2.故选：B19．已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】由题意，设，则．由已知，所以当时，，当时，，又因为在上可导，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以无解，即方程无解，即方程无解，所以函数无零点．故选A．二、填空题12．若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，先看成b的一次函数，可得即为，可得恒成立，设，，，可得时，，递增；时，，递减，又，，可得在的最小值为，可得．即有a的范围是．故答案为：．20．定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．【答案】【解析】的周期为定义在上的奇函数①时，令，则，即单调递减又不等式的解集为②时，时，不等式成立综上所述：本题正确结果：21．已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x＞0时，，则不等式的解集是______．【答案】【解析】设，则，结合可得为减函数.因为为奇函数，所以为偶函数，作出简图如下：结合简图，所以的解集是.22．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.【答案】【解析】令g（x）＝e x f（x）﹣e x，则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x（f（x）+f′（x）﹣1），∵f（x）+f′（x）<1，∴f（x）+f′（x）﹣1<0，∴g′（x）<0，g（x）在R上为单调递减函数，∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017∴原不等式可化为g（x）＞g（0），根据g（x）的单调性得x<0, ∴不等式（其中为自然对数的底数）的解集为,故答案为．23．设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．【答案】1【解析】由题意对任意的，不等式恒成立，则x=1时，不等式也成立，代入x=1得e+3,又为整数，则a，这是满足题意的一个必要条件，又为整数，只需验证a=1时，对任意的，不等式恒成立，即证，变形为对任意的恒成立，令g（x），x∈，则g′（x），在（0，1）上小于0，在（1，）上大于0，故g（x）在（0，1）递减，在（1，）递增，∴g（x）g（1）=3>0，∴对任意的恒成立，故a=1满足题意.故答案为1．。

构造函数解与导数有关的选填压轴题方法规律：1.注意逆向思谁，构造出的函数的导函数与已知条件相同，或者能够利用已知条件求解2.根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑： ①原函数是函数和差的组合； ②原函数是函数乘除的组合； ③原函数是函数与x 的乘除的组合； ④原雨数是函数与xe 的乘除的组合；⑤原函数是函数与)(cos sin x x 的乘除的组合； ⑥原函数是函数与x ln 的乘除的组合 3.常用的构造函数有：)()('x xf x f +构造)(x xf )()(2'2x f x x xf +构造)(2x f x )()('x f x xf -构造x x f )( )()('x f x f +构造)(x f e x)()('x f x f -构造x ex f )(等等（一）与等式有关的函数构造例1若函数)(x f 满足xe x xf x xf 3')()(=-，0)1(=f ，则当0>x 时，)(x f （ B ） A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值又无极小值解析：设x x f x F )()(=，则x xe x x f x xf x F =-=2'')()()(，所以C e x x x f x F x+-==)1()()( Cx e x x x f x +-=⇒)()(2，又由00)1(=⇒=C f ，所以x e x x x f )()(2-=2510)1()(2'+->⇒>-+=∴x e x x x f x 或251--<x 所以)(x f 在]215,0(-上递减，),215[+∞-上递增所以当0>x 时，)(x f 有极小值，无极大值，故选B练习1.函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足x x x f x xf ln )(2)('=+，且ee f 21)(=，则)(x f 的极值情况为（ D ）A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值解析：设)()(2x f x x F =，则x x f x x xf x F ln )()(2)('2'=+=C x x x x f x x F +-==⇒ln )()(22ln )(x C x x x x f +-=⇒，221)(2eC e eC e f =⇒==∴，22ln )(x ex x x x f +-=∴3'2ln )(xex x x x f -+-=∴，设e x x x x g -+-=2ln )(，则e x x x g <<⇒>-=00ln 1)(' )(x g ∴在],0(e 上递增，),[+∞e 上递减0)()(=≤⇒e g x g ，即0)('<x f所以)(x f 在),0(+∞上递减⇒)(x f 在),0(+∞上既无极大值也无极小值，故选D 练习2.若函数)(x f 在R 上可导，且3)2(2)('2-+=x f x x f ，则（ C ）A .)4()0(f f < B. )4()0(f f = C. )4()0(f f > D.以上都不对 解析：4)2()2(24)2()2(22)('''''-=⇒+=⇒+=f f f f x x f ，38)(2--=∴x x x f ，其开口向上，对称轴为4=x ，所以)4()0(f f >，故选C练习 3.函数)(x f 在其定义域内满足xe xf x xf =+)()('（其中)('x f 为函数)(x f 的导函数），e f =)1(，则函数)(x f （ B ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值 解析：令)()(x xf x F =，则x e x f x xf x F =+=)()()(''，C e x xf x F x +==∴)()(x C e x f x +=⇒)(，0)1(=⇒=+=∴C e C e f ，x e x f x =∴)(，10)1()(2'>⇒>-=x xx e x f x ，)(x f ∴在)0,(-∞上递减，]1,0(上递减，),1[+∞上递增)(x f ⇒有极小值，无极大值，故选B（二）与不等式有关的函数构造例 2.已知定义在R 上的奇函数)(x f 的导函数为)('x f ，当0<x 时，)(x f 满足)()()(2'x xf x xf x f <+，则)(x f 在R 上的零点个数为（ D ）A.5B.3C.1或3D.1解析：设)0()()(2<=x e x f x x F x ，则0)]()()(2[)()()(2)('2'2'>-+=-+=x x e x xf x xf x f x e x f x x f x x xf x F )(x F ∴在)0,(-∞上递增，又0)0(=F ，0<∴x 时，0)0()()(2=<=F ex f x x F x0)(<⇒x f又)(x f 为奇函数，所以)(x f 仅有一个零点0=x ，故选D练习4.设)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有0)()('>+x xf x f ，则不等式0)1()2017()2017(>-+++f x f x 的解集为（ C ）A.)2017,(-∞B.)0,2018(-C.)2017,2018(--D.)2018,(--∞ 解析：设)()(x xf x F =，则)(0)()()(''x F x xf x f x F ⇒>+=在)0,(-∞上递增0)1()2017()2017(>-+++f x f x )1()2017(->+⇔F x F 020171<+<-⇒x20172018-<<-⇒x ，故选C练习5.定义在R 上的函数)(x f 与其导函数)('x f 满足xe xf x f ->+1')()(，则下列不等式一定成立的是（ A ）A.)1()0(ef e f <+B.)1()0(ef e f >+C.)1()0(f e f <+D.)1()0(f e f >+ 解析：设0)]()([)()()(''>-+=⇒-=e x f x f e x F ex x f e x F x x )(x F ⇒在R 上递增)1()0()1()0()1()0(ef e f e ef f F F <+⇒-<⇒<∴，故选A练习6.定义域为R 的可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，满足)()('x f x f >，且1)0(=f ，则不等式1)(<x ex f 的解集为（ B ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)2,(-∞ D.),2(+∞解析：设x ex f x F )()(=，则)(0)()()(''x F e x f x f x F x ⇒<-=在R 上递减，又1)0(=F 0)0()(1)(>⇒<⇔<∴x f x F ex f x ，故选B 练习7.已知定义),0(+∞在上的函数)(x f 的导数为)('x f ，且满足)(2)ln )((2'x f x x x f >，则（ B ）A.)(3)(2)(623e f e f e f >> B.)(2)(3)(632e f e f e f << C.)(2)(3)(632e f e f e f >> D.)(3)(2)(623e f e f e f <<解析：)(2)ln )((2'x f x x x f >⇔)(2)ln 2)(('x f x x x f >⇒)()(ln 'x f x xf x >设0)(ln )()(ln )(ln )(1ln )()(ln )()(2'2''>-=-=⇒=x x x f x xf x x x f x x x f x F xx f x F )(x F ⇒在),0(+∞上递增)(2)(3)(63)(2)()()()()(323232e f e f e f e f e f e f e F e F e F <<⇒<<⇒<<∴，故选B练习8.设函数)(x f 是定义)0,(-∞在上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有)(3)('x f x xf <，则不等式0)2()2015()2015(83>-+++f x x f 的解集为（ C ）A.)2017,(--∞B.)0,2017(-C.)2015,2017(--D.)2018,(--∞解析：设3)()(xx f x F =，则)(0)(3)()(4''x F x x f x xf x F ⇒<-=在)0,(-∞上递减0)2()2015()2015(83>-+++f x x f 20152017020152)2()2()2015()2015(33-<<-⇒<+<-⇒--<++⇒x x f x x f 故选C（三）与三角函数有关的构造函数 例 3.定义在)2,0[π上可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，且0sin )(cos )('<+x x f x x f ，0)0(=f ，则（ A ）A.)3(2)6(ππf f >B.)3(2)4(ππf f <C.0)2(ln >fD.)4(2)6(ππf f < 解析：设x x f x F cos )()(=，则)(0cos sin )(cos )()(2''x F x x x f x x f x F ⇒<+=在)2,0[π上递减 )0)3()(3(2)3(3)6(21)3(23)6(0)3()6()0(<>>⇒>>⇒>>∴ππππππππf f f f f f F F F ，故A 对)3(2)4(21)3(22)4()3()6(ππππππf f f f F F >⇒>⇒>∴，故B 错0)2(ln 0cos )0(2ln cos )2(ln )0()2(ln <⇒<⇒<∴f f f F F ，故C 错)4(26)6(22)4(23)6()4()6(ππππππf f f f F F >⇒>⇒>∴，故D 错练习9.定义在)2,0(π上的函数)(x f ，)('x f 是它的导函数，且恒有)(cos x xf 0sin )('>+x x f 成立，则（ B ）A.)3(3)4(2ππf f > B.)6(211(1sin πf f >） C.)4(2)6(ππf f >D.)3(3)6(ππf f >解析：设)(0cos )(sin )()(sin )()(''x F x x f x x f x F x x f x F ⇒>+=⇒=在)2,0(π上递增)3(3)4(2)3(23)4(22)3()4(ππππππf f f f F F <⇒<⇒<，故A 错 )3(3)4(2)6(211sin )1()6()1(ππππf f f f F F <⇒>⇒>，故选B练习10定义在)2,0(π上的函数)(x f )满足: x x f x f tan )()('>恒成立，则下列不等式中成立的是（ A ）A.)3()6(3ππf f > B.1sin )3(332)1(πf f <C.)4()6(2ππf f <D.)3(2)4(3ππf f <解析：在)2,0(π上，x x f x xf x x f x f sin )()(cos tan )()(''>⇔>设x x f x F sin )()(=，则)(0sin cos )(sin )()(2''x F x x x f x x f x F ⇒<-=在)2,0(π上递减)3()6(323)3(21)6()3()6(ππππππf f f f F F >⇒>⇒>∴，故选A 迁移运用：1.奇函数)(x f 定义域为),0()0,(ππ -，其导函数是)('x f ，当π<<x 0时，有0cos )(sin )('<-x x f x x f ，则关于x 的不等式x f x f sin )4(2)(π<的解集为（ D ）A.),4(ππB.),4()4,(ππππ --C.)4,0()0,4(ππ -D.),4()0,4(πππ - 解析：设x x f x F sin )()(=，则当π<<x 0时，0sin cos )(sin )()(2'<-=xx x f x x f x F )(x F ⇒在),0(π上递减，又)(x F 为偶函数，所以)(x F 在)0,(π-上递增当0>x 时，x f x f sin )4(2)(π<πππππ<<⇒<⇔<⇔x f x F f x x f 4)4()(4sin )4(sin )(当0<x 时，x f x f sin )4(2)(π<04)4()(4sin )4(sin )(<<-⇒->⇔>⇔x f x F f x x f ππππ故选D2.已知)(x f 是定义在R 上的函数，)('x f 是)(x f 的导单数，且满足)(3)('x f x f >，e f =)31(，则3)(ln x x f <的解集为（ B ） A.),0(e B.),0(31e C.),1(e D.),1(31e解析：设x ex f x F 3)()(=，则)(0)(3)()(3''x F e x f x f x F x ⇒>-=在R上递增，又1)31()31(==e f F 所以3)(ln x x f <313031ln )31()(ln 1)(ln e x x F x F xx f <<⇒<⇒<⇔<⇔，故选B 3.已知可导函数)(x f 的导函数为)('x f ，2018)0(=f ， 若对任意的R x ∈都有)()('x f x f >，则不等式x e x f 2018)(<的解集为（ A ）A.),0(+∞B.)(21∞+，e C.)1,(2e -∞ D.)0,(-∞ 解析：设x e xf x F )()(=，则)(0)()()(''x F e x f x f x F x⇒<-=在R 上递减，又2018)0()0(==f F x e x f 2018)(<0)0()(2018)(>⇒<⇔<⇔x F x F ex f x ，故选A 4.已知)(x f 是定义在区间),0(+∞上的函数，其导函数为)('x f ，且不等式)(2)('x f x xf <恒成立，则（ B ）A.）2()1(4f f <B.）2()1(4f f >C.）2(4)1(f f <D.）2(4)1('f f <解析：设2)()(xx f x F =，则0)(2)()(3''<-=x x f x xf x F )(x F ⇒在),0(+∞上递减 )2()1(44)2()1()2()1(f f f f F F >⇒>⇒>∴，故选B 5.函数)(x f 的导函数为)('x f ，对R x ∈∀都有)()('x f x f >成立，若2)2(e f =，则不等式xe xf >)(的解是（ A ）A.),2(+∞B.)10(，C.),1(+∞D.)2ln ,0(解析：设x e x f x F )()(=，则)(0)()()(''x F e x f x f x F x ⇒>-=在R上递增，又1)2()2(2==e f F 所以xe xf >)(2)2()(1)(>⇒>⇔>⇔x F x F e x f x，故选A 6.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足2)('<x f ，则不等式x e x x f x 32)2ln()1(1+>-+-++的解集为（ A ）A.)1,2(--B.),1(+∞-C.)2,1(-D.),2(+∞解析：设0321)1()(32)2ln()1()(1''1<--+-+=⇒---+-+=++x x e x x f x F x e x x f x F 对)2(∞+-∈，x 恒成立，)(x F 在)2(∞+-，上递减，又0312)0()1(=+--=-f F 所以0)(>x F 的解集为)1,2(--，故选A7.已知函数)(x f 的定又域为R ，)('x f 为)(x f 的导函数，当),0[+∞∈x 时，0)(cos sin 2'>-x f x x ，且R x ∈∀，12cos )()(=++-x x f x f ，下列说法一定正确的是（ B ）A.)32(43)65(41ππ-->--f f B.)34(43)65(41ππ-->--f f C.)43(21)3(43ππf f ->- D.)3(43)43(21ππf f ->-- 解析：设)(sin )(2x f x x F -=，则)(0)(cos sin 2)(''x F x f x x x F ⇒>-=在),0[+∞上递增12cos )()(=++-x x f x f )(sin )()(sin sin 22cos 1)()(222x x f x f x x x x f x f ---=-⇔=-=-+⇔)()(x F x F --=⇔)(x F ⇒为奇函数，又0)0(0)0(=-=f F ，所以)(x F 在R 上递增)34(43)65(41)34(65(ππππ-->--⇒->-∴f f F F ，故选B 8.函数)(x f 在R 上的导函数为)('x f ，对于任意的实数x ，都有x x f 40342017)('<+，若t t f t f 40342017)()1(++-<+，则实数t 的取值范围是（ A ） A.),21(+∞-B.),23(+∞-C.)21,(--∞D.)23,(--∞ 解析：设x x x f x F 20172017)()(2+-=，则)(020174034)()(''x F x x f x F ⇒<+-=在R 上递减 所以t t f t f 40342017)()1(++-<+)()1(t F t F -<+⇔t t t f t t t f t F t F 20172017)()1(2017)1(2017)1()()1(22---<+++-+⇔-<+⇔211->⇒->+⇔t t t ，故选A9.已知函数)(x f 的定义域为R ，其图像关于点)0,1(-中心对称，其导函数为)('x f ，当1-<x 时，0)]()1()()[1('<+++x f x x f x ，则不等式)0()1(f x xf >-的解集为（ A ）A.),1(+∞B.)1,(--∞C.)1,1(-D.),1()1,(+∞--∞ 解析：设)()1()(x f x x F +=，则0)()1()()(''>++=x f x x f x F 对)1,(--∞∈x 恒成立)(x F ∴在]1,(--∞上递增，又)(x F 关于)0,1(-对称，且0)1(=-F ，)(x F ∴在R 上递增所以)0()1(f x xf >-101)0()1(>⇒>-⇒>-⇔x x F x F ，故选A10.设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ，R x ∈∀有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <)('，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ A ）A.),2[+∞B.]2,2[-C.),0[+∞D.),2[]2,(+∞--∞解析：设221)()(x x f x F -=，则0)()(''<-=x x f x F 对0>x 恒成立，)(x F ∴在),0(+∞递减2)()(x x f x f =+-)()()()()(2121)(22x F x F x F x f x x x f ⇒--=⇔---=-⇔为奇函数又)(x f 连续)(x F ⇒连续，)(x F ∴在R 上递减所以m m f m f 48)()4(-≥--)()4(21)()4(21)4(22m F m F m m f m m f >-⇔-≥---⇔24≥⇒≤-⇒m m m ，故选A。

高中数学导数构造函数导数是高中数学中的重要概念，它用于描述函数某一点处的变化率。

在学习导数的过程中，学生们会接触到很多不同类型的函数，其中涉及到构造导数函数的问题。

本文将介绍高中数学中如何构造导数函数，帮助学生们更好地理解和掌握这一概念。

一、导数的概念回顾在构造导数函数之前，我们先来回顾一下导数的概念。

在数学中，对于一个函数f(x)，它在一点x_0处的导数记作f'(x_0)，表示函数在该点处的变化率。

导数可以用以下的极限定义来表示：f'(x_0) = lim_{h->0} [(f(x_0+h) - f(x_0))/h]可以理解为当自变量x的偏移量h无限趋近于0时，函数f(x)在点x_0处的平均变化率无限趋近于f'(x_0)。

这里的导数实际上就是函数在某一点的斜率，它的值可以正负，表示函数上升和下降的趋势。

二、构造导数函数的方法1. 常数函数的导数对于一个常数函数f(x) = c，其中c为常数，它的导数恒为0。

这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率恒为零。

2. 幂函数的导数对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的导数为f'(x) =nx^(n-1)。

这里的n-1就是幂函数次数减1。

3. 一次函数的导数对于一次函数f(x) = ax + b，其中a不等于零，它的导数为f'(x) = a。

一次函数的导数恒为一个常数，表示其变化率恒定。

也可以说一次函数的导数是其斜率。

4. 指数函数的导数对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。

这里的ln(a)是自然对数函数的常数。

5. 对数函数的导数对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

对数函数的导数可以通过换底公式以及求导法则求出来。

导数证明不等式构造函数法类别1、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ， 从其导数入手即可证明。

【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ， 即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的 图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题，即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。

利用导数运算法则构造函数含详解导数运算法则是微积分中的重要内容，它用于求导函数。

在构造函数时，利用导数运算法则可以简化运算，提高计算效率。

本文将详解常见的导数运算法则，方便读者了解并应用于函数构造。

一.常数法则当函数f(x)为常数时，f'(x)=0。

这是由于常数的导数等于0。

二.幂函数法则1.构造函数：设f(x)=x^n，其中n为实数。

2.对函数f(x)求导，根据导数的定义：f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx3.展开f(x+Δx)-f(x):f(x+Δx)-f(x)=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx=[x^n+n*x^(n-1)Δx+O((Δx)^2)-x^n]/Δx（O(Δx)表示Δx的高阶无穷小）=n*x^(n-1)+O(Δx)4.带入导数的定义，得到导数f'(x)=n*x^(n-1)。

三.指数函数法则2.对函数f(x)求导，根据导数的定义：f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx3.展开f(x+Δx)-f(x):f(x+Δx)-f(x)=e^(x+Δx)-e^x=e^x*e^Δx-e^x=e^x*(e^Δx-1)4. 带入导数的定义，得到导数f'(x)=e^x * lim(Δx→0) [(e^Δx - 1)/Δx]。

根据数学推导，lim(Δx→0) [(e^Δx - 1)/Δx]=1，因此f'(x)=e^x。

四.对数函数法则1. 构造函数：设f(x)=ln(x)，其中ln(x)是以e为底的自然对数。

2.对函数f(x)求导，根据导数的定义：f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx3.展开f(x+Δx)-f(x)：f(x+Δx)-f(x)=ln(x+Δx)-ln(x)= ln[(x+Δx)/x]= ln(1+Δx/x)4. 使用泰勒展开：ln(1+Δx/x)≈Δx/x，当Δx趋近于0时。

一、 基础知识常见导数结构1. 对于不等式f x k k '>≠(),(0)，构造函数()()=−+g x f x kx b2. 对于不等式xf x f x '+>()()0,，构造函数=g x xf x ()()3. 对于不等式xf x f x '−>()()0,，构造函数=()()g x f x x4. 对于不等式xf x nf x '+>()()0,，构造函数=ng x x f x ()() 5. 对于不等式xf x nf x '−>()()0,，构造函数=g x f x x ()()n6. 对于不等式f x f x '+>()()0,，构造函数=xg x e f x ()() 7. 对于不等式f x f x '−>()()0,，构造函数=()()g x f x e x8. 对于不等式f x kf x '+>()()0,，构造函数=kxg x e f x ()() 9. 对于不等式f x xf x '+>()2()0,，构造函数=x g x ef x 2()()10. 对于不等式f x a f x '+⋅>()ln ()0,，构造函数=xg x a f x ()() 11. 对于不等式f x f x x +'⋅>()()tan 0,，构造函数=⋅g x x f x ()sin () 12. 对于不等式f x x f x '−⋅>()tan ()0,，构造函数=⋅g x x f x ()cos ()13. 对于不等式f x f x '>()()0,，构造函数=g x f x ()ln () 14. 对于不等式f x x f x x'+>()ln ()0,，构造函数=⋅g x x f x ()ln ()导数构造例1.已知函数=+f x x alnx 2()12，若对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有−>−x x f x f x 4()()1212恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[4，+∞) B ．+∞(4,) C ．−∞(，4] D ．−∞(,4)【答案】A【解答】解：已知函数=+f x x alnx 2()12，若对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有−>−x x f x f x 4()()1212恒成立，构造函数可得即当>x 0时，=+−≥'xf x x a()40在+∞(0,)上恒成立， 即≥+xa x 42在+∞(0,)上恒成立， 则≥−=a x x max (4)42， 则实数a 的取值范围是+∞4,)[， 故选：A ．变式1.已知函数=+−f x e ax x ()2，其中∈a R ，若对于任意的x 1，∈x [12，+∞)，且<x x 12，都有−<−x f x x f x a x x ()()()211212成立，则a 的取值范围是( ) A ．[1，+∞) B ．[2，+∞)C ．−∞(，1]D ．−∞(，2]【答案】D【解答】解：对于任意的x 1，∈x [12，+∞)，且<x x 12，都有−<−x f x x f x a x x ()()()211212成立，∴不等式等价为<++x x f x a f x a()()1212成立， 令=+xh x f x a()()，则不等式等价为当<x x 12时，<h x h x ()()12恒成立， 即函数h x ()在+∞(1,)上为增函数；=+−+xh x e ax a x ()2，则'=−+−xh x xe e ax x ()022在+∞(1,)上恒成立；二、课堂练习1.加减构造法∴−+−xe e a x x 20；即−−a xe e x x 2恒成立，令=−g x xe e x x ()，∴'=>g x xe x ()0；∴g x ()在+∞(1,)上为增函数； ∴>g x g ()（1）=0；∴−a 20； ∴a 2．∴a 的取值范围是−∞(，2]．故选：D ． 2．指数乘除法构造例1. 已知f x ()为R 上的可导函数，且∀∈x R ，均有>'f x f x ()()，则以下判断正确的是（） A ．>f e f (2019)(0)2019 B ．<f e f (2019)(0)2019 C ．=f e f (2019)(0)2019D ．f (2019)与e f (0)2019大小无法确定 【答案】C【解答】解：设=e h xf x x ()()，则'='−e h x f x f x x()()()， ∀∈x R ，均有>'f x f x ()()，∴'<h x ()0，∴h x ()在R 上是减函数， ∴<h h (2019)(0)， ∴<ef f (0)(2019)2019， ∴<f e f (2019)(0)2019．故选：B ．变式1.函数=y f x ()的导函数为'f x ()，满足∀∈x R ，'>f x f x ()()且f （1）=e ，则不等式>f lnx x ()的解集为( )A ．+∞e (,)B ．+∞(1,)C ．e (0,)D ．(0,1)【答案】A【解答】解：令=t lnx ，则>⇔>f lnx x f t e t ()()， 令=e g xf x x ()()，则'=>'−eg x f x f x x()0()()， 因为：满足∀∈x R ，'>f x f x ()()∴g x ()在R 上单调递增，∴>⇔>⇔>ef t eg t g f t t t ()1()()（1）⇔>⇔>⇔>t lnx x e 11， 故选：A ．变式2.定义在[0，+∞)上的可导函数，且+<'x f x f x ()()，则对任意正实数a ，下列式子恒成立的是( )A ．f （a ）<e f a (0)B ．f （a ）>e f a (0)C ．e f a （a ）<f (0)D ．e f a （a ）>f (0) 【答案】A 【解答】解：+<'x f x f x ()()，∴−<−'f x f x x ()()，∴<−'−e e f x f x xx x0()()，设=e g x f x x()()， ∴'=<'−e g x f x f x x()0()()，∴g x ()在[0，+∞)单调递减，∴g （a ）<g (0)∴<e ef a f a ()(0)0， 即f （a ）<e f a (0)， 故选：A ． 3.指数升级构造法例1.对定义在R 上的可导函数f x ()恒有−+'>x f x xf x (4)()()0，则f x ()( ) A ．恒大于等于0 B ．恒小于0C ．恒大于0D ．和0的大小关系不能确定【答案】C【解答】解：令=eg x x f x x()()4，∴'=−+'e g x x x f x xf x x()[(4)()()]3−+'>x f x xf x (4)()()0恒成立，∴当>x 0时，>'g x ()0，此时函数g x ()单调递增， 当<x 0时，<'g x ()0，此时函数g x ()单调递减，∴当=x 0时，g x ()取得极小值，同时也是最小值=g (0)0，∴=e g x g x f x x()(0)()4，即=e g x x f x x()()4，当≠x 0时，>g x ()0，∴当≠x 0时，>f x ()0，−+'>x f x xf x (4)()()0恒成立，∴当=x 0时，+>f 4(0)00恒成立，∴>f (0)0，综上无论x 取何值，恒有>f x ()0， 故选：C ．变式1.设'f x ()是函数f x ()的导函数，且'>∈f x f x x R ()2()()，=f e e 2()(1为自然对数的底数），则不等式<f lnx x ()2的解集为( )A ．e 2(0,)B ．C ．e (1，e 2)D ．e2(【答案】B【解答】解：可构造函数=e F xf x x()()2， '==−'−e eF x f x e f x e f x f x x xx x ()()()2()()2()22222， 由'>f x f x ()2()，可得'>F x ()0，即有F x ()在R 上递增． 不等式<f lnx x ()2即为<x f lnx 1()2，>x (0)，即<e f lnx lnx1()2，>x 0．即有==eF f 2()121()1，即为<F lnx F 2()()1，由F x ()在R 上递增，可得<lnx 21，解得<<x 0．故不等式的解集为，故选：B ． 4.幂函数乘除法构造例题1．已知函数=y f x ()对任意的∈+∞x (0,)满足>'f x xf x ()()（其中'f x ()为函数f x ()的导函数），则下列不等式成立的是( )A ．>f f 2()21（1）B ．<f f 2()21（1）C ．<f f 22()(11D ．>f f 22()1（1）【答案】D【解答】解：令=x F x f x ()()，∈+∞x (0,)，则'='−x F x xf x f x ()()()2， >'f x xf x ()()，即：'−<xf x f x ()()0， ∴'<F x ()0，∴F x ()在∈+∞x (0,)上单调递减，故>F F 2()1（1），即：>f f 22()1（1）故选：D ．变式1．已知定义在R 上的偶函数=y f x ()的导函数为'f x ()，函数f x ()满足：当>x 0时，'+>x f x f x ()()1，且f （1）=2018．则不等式<+x f x ||()12017的解集是( ) A ．−(1,1)B ．−∞(,1)C ．−(1，⋃0)(0，1)D ．−∞(，⋃−1)(1，+∞)【答案】C【解答】解：当>x 0时，'+>x f x f x ()()1， 所以：'+−>x f x f x ()()10， 令：=−=−F x x f x x x f x ()()(()1)， 则'='+−>F x x f x f x ()()()10，即当：>x 0时，F x ()单调递增．又f x ()为R 上的偶函数， 所以：F x ()为R 上的奇函数，=F (0)0， 则当<x 0时，F x ()单调递增．不等式：<+x f x ||()12017， 当>x 0时，<+x f x x ()2017，即：−<x f x x ()2017，F （1）=f （1）−=12017， 即：<F x F ()（1）， 所以：<<x 01；当<x 0时，−x ．<−+f x x ()2017，−>−x f x x ()2017，−=−F F (1)（1）=−2017，即：>−F x F ()(1)， 所以：−<<x 10； 综上，不等式：<+x f x ||()12017，的解集为：−(1，⋃0)(0，1)． 故选：C ． 5．对数乘除法构造例1.已知定义在e [，+∞)上的函数f x ()满足+<'f x xf x lnx ()()0且f （4）=0，其中'f x ()是函数f x ()的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式>f x ()0的解集为( ) A ．e [，4) B ．+∞(4,) C ．e (,4) D ．e [，+e 1)【答案】A 【解答】解：x e ，∴lnx 1，则不等式+<'f x xf x lnx ()()0等价为+<'xf x lnx f x ()0()， 设=g x f x lnx ()()， 则'='+<xg x f x lnx f x ()()0()， 即g x ()在e [，+∞)上为减函数，f （4）=0，∴g （4）=f （4）=ln 40，则不等式>f x ()0等价为>lnxf x ()0， 即>=g x g ()0（4），g x ()在e [，+∞)上为减函数，∴<e x 4，即不等式>f x ()0的解集为e [，4)， 故选：A ．变式1.已知定义在e [，+∞)上的函数f x ()满足+<'f x xf x lnx ()()0且f （4）=0，其中'f x ()是函数f x ()的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式>f x ()0的解集为( )A ．e [，4)B ．+∞(4,)C ．e (,4)D ．e [，+e 1)【答案】A则不等式+<'f x xf x lnx ()()0等价为+<'xf x lnx f x ()0()， 设=g x f x lnx ()()， 则'='+<xg x f x lnx f x ()()0()， 即g x ()在e [，+∞)上为减函数，f （4）=0，∴g （4）=f （4）=ln 40，则不等式>f x ()0等价为>lnxf x ()0， 即>=g x g ()0（4），g x ()在e [，+∞)上为减函数，∴<e x 4，即不等式>f x ()0的解集为e [，4)， 故选：A ． 6.对数升级构造法例1．．已知函数f x ()的导函数为'f x ()，e 为自然对数的底数，若函数f x ()满足'+=x xf x f x lnx ()()，且f （e ）=e1，则不等式+−+>−f x f e x e (1)(1)的解集是( ) A ．e (0,) B ．+e (0,1) C ．−e (1,) D ．−+e (1,1)【答案】C 【解答】解：'+=xxf x f x lnx()()， ∴'=xxf x lnx(())， 两边积分=+xf x ln x C 2()12，∴=+x f x ln x C 2()()112， f （e ）=e 1，∴f （e ）=+=e e C 2()111，∴=C 21，∴=+x f x ln x 22()()1112，。

专题07 导数有关的构造函数方法一．知识点基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________；⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二．题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型3.构造xe 形式的函数 4.构造成积的形式5.与ln x 有关的构造6.构造成商的形式7.对称问题（一）构造多项式函数例1．已知函数()()f x x R ∈满足()1f l =，且()f x 的导函数()1'2f x <，则()122x f x <+的解集为（ ） A. B.{}|x 1x <- C. D.{}|1x x >【答案】D考点：函数的单调性与导数的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数()F x ，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.练习 1.设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，对于任意的实数x ，都有，当(,0)x ∈-∞时，.若，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1[,)2-+∞ B ．3[,)2-+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞ 【答案】A 【解析】∵，设，则，∴()g x 为奇函数，又，∴()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又等价于，即，∴1m m +≥-，解得12m ≥-． 考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，则，可得()g x 为奇函数，又，得()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果. 练习2.设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键. 练习3.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x R ∈，都有，且(0,)x ∈+∞时，()f x x '>，若，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】令，则，则，得()g x 为R 上的奇函数．∵0x >时，，故()g x 在(0,)+∞单调递增，再结合(0)0g =及()g x 为奇函数，知()g x 在(,)-∞+∞为增函数，又则，即(],1a ∈-∞．故选B ．考点：函数的单调性及导数的应用.【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化为关于a 的不等式来求解.本题解答的关键是由已知条件()f x x '>进行联想，构造出新函数，然后结合来研究函数()g x 的奇偶性和单调性，再通过要解的不等式构造，最终得到关于a 的不等式，解得答案.（二）构造三角函数型例2．已知函数()f x 的定义域为R ,()'fx 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，且x R ∀∈，.则下列说法一定正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】令，则.因为当[)0,x ∈+∞时，，即，所以，所以在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ∀∈，，所以，所以，故为奇函数，所以在R 上单调递增，所以.即，故选B.练习1．已知函数)(x f y =对任意的满足（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】构造函数，则，即函数g （x ）在单调递增，则，，即，故A 正确．，即练习2．定义在)2,0(π上的函数)(x f ，()'f x 是它的导函数，且恒有成立，则（ ）A.B.C ． D.【答案】D【解析】在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，有，即令，则，故()F x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 令，则有，D 选项正确.【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到tan x ，往往转化为sin cos x x来思考；第二个要点是构造函数法，题目中，可以化简为，这样我们就可以构造一个除法的函数，而选项正好是判断单调性的问题，顺势而为.（三）构造xe 形式的函数例3．已知函数()f x 的导数为()f x ′，且对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）A.()f xB.()xf xC.()xe f x D.()xxe f x【答案】D 【解析】设，则.对R x ∈恒成立，且0x e >.在R 上递增，故选D.练习1. 设函数)(x f '是函数的导函数，1)0(=f ，且，则的解集为（ ） A.),34ln (+∞ B.),32ln (+∞ C.),23(+∞ D.),3(+∞e 【答案】B【解析】依题意，构造函数，由，得，ln 23x >【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．学科网练习2.已知()f x 定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，若，且()02f =，则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集是（ ） A ． B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．【答案】C 【解析】设，则，∵，∴，∴()x g '，∴()x g y =在定义域上单调递增，∵，∴()1>x g ，又∵，∴()()0g x g >，∴0>x ，∴不等式的解集为()0,+∞故选：C.考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．结合已知条件中的以及所求结论可知应构造函数，利用导数研究()x g y =的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.练习3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有，且()1f x +为奇函数，则不等式的解集是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设．由，得，故函数()g x 在R 上单调递减．由()1f x +为奇函数()01f =-，所以．不等式等价于()1xf x e<-，即，结合函数()g x 的单调性可得0x >，从而不等式的解集为()0,+∞，故答案为B.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0，即得，当是形如时构造；当是时构造，在本题中令，（R x ∈），从而求导()0<'x g ，从而可判断()x g y =单调递减，从而可得到不等式的解集．练习4.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数()'f x ，满足，且()2+f x 为偶函数，()41=f ，则不等式()<x f x e 的解集为（ ）A ．()2,-+∞B ．()4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞ 【答案】D【解析】设，则∴函数g x （）是R 上的减函数， ∵函数()2+f x 是偶函数， ∴函数∴函数关于2x =对称， ∴原不等式等价为1g x （）＜， ∴不等式()<x f x e 等价1g x （）＜，即∵g x （）是R 上的减函数， ∴0x ＞．∴不等式()<x f x e 式的解集为()0,+∞．选D 练习5．设函数()f x '是函数的导函数，1)0(=f ，且，则的解集是（ ）A.ln 4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.3,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.,3e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设，则，所以（c 为常数），则，由，2c =，所以，又由，所以即()3f x >，即3213x e ->，解得ln 23x >．故选B ． （四）构造成积的形式例4．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，且当(),0x ∈-∞时，（()f x '是函数()f x 的导函数）成立．若，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c ＞＞B ．b a c ＞＞C ．c a b ＞＞D ．a c b ＞＞ 【答案】A【解析】易知()x f 关于y 轴对称,设,当()0,∞-∈x 时,,()x F ∴在()0,∞-上为递减函数,且()x F 为奇函数,()x F ∴在R 上是递减函数.,即c b a >>,故选A.【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较c b a ,,的大小关系,需要构造新函数,通过已知函数()x f 的奇偶性,对称性和单调性,判断()x F 的各种性质,可得()x F 在R 上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临界值1,0作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.练习 1.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有，则不等式的解集为（ ） A ．B ．C ．(2018,0)-D ．(2016,0)- 【答案】B考点：函数导数与不等式，构造函数．【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件，这样我们就可以构造函数，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出()F x 的单调性，即函数()F x 为减函数.注意到原不等式可以看成，利用函数的单调性就可以解出来.练习2．设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有，则不等式的解集为（ ）A ．()2012,+∞B ．()0,2012C ．()0,2016D ．()2016,+∞ 【答案】D【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，，∴函数2y x f x =（）在()0,+∞上是增函数，∴不等式的解集为()2016,+∞．【名师点睛】本题考查函数的单调性，解不等式，以及导数的应用，属中档题．解题时正确确定函数2y x f x =（）在()0,+∞上是增函数是解题的关键练习3.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'fx ，且满足，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C（五）与ln x 有关的构造例5.已知定义在实数集R 的函数()f x 满足f （1）=4,且()f x 导函数()3f x '<，则不等式的解集为（ ）A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(0,1)D.(0,)e 【答案】D【解析】设t=lnx,则不等式化为13)(+>t t f ，设g(x)=f(x)-3x-1,则。

导数构造函数技巧在数学和工程学领域中，导数是一个非常重要的概念。

导数不仅在微积分的学习中扮演着重要的角色，而且在机器学习、优化和信号处理等领域也起着至关重要的作用。

为了更好地理解和应用导数，构造函数技巧是一个非常有用的工具。

本文将介绍导数构造函数的技巧，并且通过一些示例来展示它们的应用。

一、定义导数在介绍导数构造函数技巧之前，我们首先需要了解导数的定义。

导数是描述函数在某一点的变化率的概念。

对于一个函数 f(x)，它的导数可以用下面的公式表示：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中 h 是一个无穷小的变化量。

导数告诉我们函数 f 在某一点上的瞬时变化率。

二、构造函数的技巧构造函数技巧是一种通过使用已知函数的导数来构造新的函数导数的方法。

通过应用构造函数技巧，我们可以得到一些特定函数的导数，而不必进行繁琐的求导运算。

1. 常数的导数对于一个常数函数f(x) = c，其中c 是一个常数，它的导数恒为零。

这是因为常数函数在任何点上的变化率都为零。

f'(x) = 0例如，对于函数 f(x) = 5，它的导数 f'(x) = 0。

2. 幂函数的导数对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 是一个正整数，它的导数可以通过应用幂函数的导数规则来得到。

f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于函数 f(x) = x^2，它的导数 f'(x) = 2x。

类似地，对于函数 f(x) = x^3，它的导数 f'(x) = 3x^2。

3. 指数函数的导数对于指数函数 f(x) = e^x，它的导数恒等于其本身。

f'(x) = e^x例如，对于函数 f(x) = e^2x，它的导数 f'(x) = e^2x。

4. 对数函数的导数对于对数函数 f(x) = ln(x)，其导数可以通过应用对数函数的导数规则来得到。

f'(x) = 1 / x例如，对于函数 f(x) = ln(x^2)，它的导数 f'(x) = 2/x。