2018年高考文科数学考前集训：空间几何体(解析版)

第八章 立体几何第二节 空间几何体的表面积和体积考点2 空间几何体的体积（2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2，∴该几何体的体积为V ＝2×[12×(2+1)×2]＝6.故选C ．【答案】C（2018·江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【解析】由题意知所给的几何体是棱长均为√2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥＝2×13×（√2）2×1＝43.【答案】43（2018·天津卷（文））如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为________．【解析】∵正方体棱长为1，∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，√2.∵四棱锥A1－BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为√22，∴V四棱锥A1－BB1D1D ＝13Sh＝13×（1×√2）×√22＝13.【答案】13（2018·全国卷Ⅲ（文））设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D－ABC体积的最大值为（）A．12√3B．18√3C．24√3D．54√3【解析】由等边△ABC的面积为9√3，可得√34AB2＝9√3，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝√33AB＝2√3.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝√R2−r2＝√16−12＝2.所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为13×9√3×6＝18√3.【答案】B（2018·全国Ⅱ卷（文））已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．【解析】在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝12·SA2＝8，解得SA＝4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，所以r ＝2√3，h ＝2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2·h ＝13π×（2√3）2×2＝8π. 【答案】8π（2018·全国Ⅰ卷（文））在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．6√2C ．8√2D ．8√3【解析】如图，连接AC 1，BC 1，AC ．∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中， AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝√AC 12−AC 2＝√42−(22+22) ＝2√2，∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×2√2＝8√2.故选C ．【答案】C（2018·全国Ⅰ卷（文））如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．【解析】（1）证明 由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC ．又BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3√2.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2√2.如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE ∥DC 且QE ＝13DC ．由（1）知平面ACD ⊥平面ABC ，又平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，CD ⊥AC ，CD ⊂平面ACD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q －ABP 的体积V Q －ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×2√2sin 45°×1＝1.【答案】见解析。

第六章立体几何考点测试40 空间几何体的结构特征及三视图和直观图一、基础小题1．三视图如图所示的几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台答案 B解析由三视图可作几何体如图，可知选B.2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆答案 A解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．3．下列命题中，错误的是( )A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形答案 B解析根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．故选B.4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )答案 D解析由俯视图可知是B和D中的一个，由正视图和侧视图可知B错．故选D.5．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为( )A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2答案 A解析根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.6．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )答案 D解析A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D.7．将正方体(如图a所示)截去两个三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．8．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A．24a2B．22a2C．22a2D．223a2答案 B解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于a224＝22a2.故选B.9．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案 B解析由几何体的直观图知，该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上，因此排除A、C、D，经验证B符合题意，故选B.10．如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．6πB．4＋4πC．8＋6πD．4＋6π解析图答案 C解析由三视图知该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱上下部各截去一个高为2的半圆柱，如图所示，则该几何体的表面积为2π×12＋2π×1×2＋2×2×2＝8＋6π，故选C.11．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．答案24 2解析由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE×12×22＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4 2.∴S▱OABC＝6×42＝24 2.12. 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．答案2 3解析由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3.二、高考小题13．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π答案 A解析 由三视图可知，该几何体是一个球被截去18后剩下的部分，设球的半径为R ，则该几何体的体积为78×43πR 3，即283π＝78×43πR 3，解得R ＝2.故其表面积为78×4π×22＋3×14×π×22＝17π.选A.14．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A ．18B ．17C ．16D ．15答案 D解析 如图，由已知条件可知，截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D －ABC .设正方体的棱长为a ，则截去部分的体积为16a 3，剩余部分的体积为a 3－16a 3＝56a 3，它们的体积之比为15.故选D.15. 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②答案 D解析设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)．∵B、C、D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0)，(0,2,1)，(0,2,2)，点A(0,0,2)在平面yOz上，又点C的横坐标小于点B和D的横坐标，∴该几何体的正视图为图④.∵点A、C、D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0)，(1,2,0)，(2,2,0)，点B(2,2,0)在平面xOy上，∴该几何体的俯视图为图②.故选D.16．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )答案 B解析由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．该几何体的侧视图为选项B.17．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．6 2 B．6C．4 2 D．4答案 B解析由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥，如图所示．其中面ABC⊥面BCD，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝4，取BC的中点M，连接AM，DM，则DM⊥面ABC，在等腰△BCD中，BD＝DC＝25，BC＝DM＝4，所以在Rt△AMD中，AD＝AM2＋DM2＝42＋22＋42＝6，又在Rt△ABC中，AC＝42<6，故该多面体的各条棱中，最长棱为AD，长度为6，故选B.18．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案 33解析 由题意及正视图可知，三棱锥的底面等腰三角形的底长为23，三棱锥的高为1，则三棱锥的底面积为12×22－32×23＝3，∴该三棱锥的体积为13×3×1＝33.三、模拟小题19．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析 ∵该几何体的体积为12，且由题意知高为1，故底面积为12，结合选项知选C.20．一只蚂蚁从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④答案 D解析由点A经正方体的表面，按最短践线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.21．已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线．故选C.22．某几何体的主视图和左视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( )A．48 B．64C．96 D．128答案 C解析由几何体的三视图可知，该几何体为一个四棱柱．因为它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2，所以俯视图的直观图的面积为12，由平面图形的直观图与原图形面积的关系可知俯视图的面积为242，易知俯视图是边长为6的菱形，又几何体的高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.23．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则( )A．3∈A B．5∈AC．26∈A D．43∈A答案 D解析由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为43，BF 的长为25，EF的长为25，EC的长为42，故选D.24．已知点E、F、G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上．以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图不可能是( )答案 C解析当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥P －MNQ的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时，三棱锥P－MNQ的俯视图为B；当M、N、Q、P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P－MNQ，使其俯视图为D.故选C.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1？如何组拼？试证明你的结论．解 (1)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD 是边长为6的正方形，高为CC 1＝6，故所求体积是V ＝13×62×6＝72.(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示．证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是V C1－ABCD＝V C1－ABB1A1＝V C1－AA1D1D，故所拼图形成立．2．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，求该几何体的外接球半径．解该几何体为三棱锥，直观图如图所示，其中AB⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，过P作PD⊥AC于D，可知D是AC的中点，PD⊥平面ABC，则外接球球心O 在PD所在直线上．易知O不在DP的延长线上．由三视图得PD＝52－32＝4，AC＝62，∴CD＝32，由PD<CD知O不在线段PD上，故O在PD的延长线上．设外接球的半径为r，在直角三角形ODC中，由OD2＝OC2－CD2，得(r－4)2＝r2－(32)2，解得r＝174.。

第一单元 高考中档大题突破
解答题: 立体几何
基本考点——空间平行、垂直关系及体积、表面积的计算
．直线、平面平行的判定及其性质
()线面平行的判定定理：⊄α，⊂α，∥⇒∥α.
()线面平行的性质定理：∥α，⊂β，α∩β＝⇒∥.
()面面平行的判定定理：⊂β，⊂β，∩＝，∥α，∥α⇒α∥β.
()面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝，β∩γ＝⇒∥.
．直线、平面垂直的判定及其性质
()线面垂直的判定定理：⊂α，⊂α，∩＝，⊥，⊥⇒⊥α.
()线面垂直的性质定理：⊥α，⊥α⇒∥.
()面面垂直的判定定理：⊂β，⊥α⇒α⊥β.
()面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝，⊂α，⊥⇒⊥β.
.(·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥－中，∥，且∠＝∠＝°.
()证明：平面⊥平面；
()若＝＝＝，∠＝°，且四棱锥－的体积为，求该四棱锥的侧面积．
()证明：由已知∠＝∠＝°，
得⊥，⊥.
由于∥，故⊥，从而⊥平面.
又⊂平面，
所以平面⊥平面.
()解：如图，在平面内作⊥，垂足为.
由()知，⊥平面，故⊥，⊥，
可得⊥平面.
设＝，则由已知可得＝，＝.
故四棱锥－的体积
－＝··＝.
由题设得＝，故＝.
从而结合已知可得＝＝＝＝，＝＝，＝＝.
可得四棱锥－的侧面积为
·＋·＋·＋°＝＋. .(·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥－中，侧面为等边三角形且垂直于底面，＝＝，∠＝∠＝°.。

真题演练集训1．[2016·浙江卷]已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案：C解析：因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.2．[2016·新课标全国卷Ⅱ］α，β是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α，那么m⊥n。

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案:②③④解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误:如图,不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立；命题②正确，证明如下:设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n,由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n,结论正确；由平面与平面平行的定义知，命题③正确；由平行的传递性及线面角的定义知，命题④正确．3．[2016·江苏卷］如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E 分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1。

求证：(1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F。

证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC。

在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点，所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1。

又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F ＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F。