下载文档原格式
关于人在雨中行走的数学模型摘要本题在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中题中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
利用MATLAB软件对各个问题进行求解。
对于问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
对于问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量w与行走速度v之间的函数关系。
分析表明当行走速度为v时，淋雨量最少。
m对于问题三，雨从背面吹来，雨线与行走在同一平面内，人淋雨量于人和雨相对速度有关，列出函数关系式分析并求解。
关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度，雨滴下落的速度，角度，降雨强度问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a =1.5m （颈部以下），宽b =0.5m ，厚c =0.2m .设跑步距离d =1000m ，跑步最大速度m v =5s m /，雨速u =4s m /，降雨量w =2h cm /，记跑步速度为v .按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数θ,,,,,,wa之间的关系，问速度v多大，bucdθ,0ο30时的总淋雨量。
总淋雨量最少。
计算==θ（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数α,dca之间的关系，问速度v多ub,,w,,,大，总淋雨量最少。
人在雨中行走时的淋雨量问题人在雨中行走时的淋雨量问题一．模型假设 1.把人看做一个长方体；2.雨滴下落的速度，方向保持不变；3.人行走一段距离的速度，方向保持不变。
4.假设主要淋雨量集中在正面，背面和头部，忽略两侧淋雨量。
即考虑总淋雨量时只考虑（正面+头部）或者（背面+头部）二．符号说明1.V 为雨速（m/s ），方向定义为朝着人正面为正。
2.D 为人在雨中行走距离。
3.R 为人在雨中行走速度3.θ为雨滴下落方向与地平面的所成角，0°≤θ≤90°。
4. h1，h2，h3分别为视人体为一个长方体时人的身高(m)、身宽(m)、厚度(m)；5.总淋雨量为W （R)单位为m 3。
三．模型建立本模型是在上诉理想条件下分析人在行走时的淋雨量的大小，而淋雨量的大小取决与降雨量的大小，方向，还有人行走的速度，行走的路程。
我们的目标是求出使得人在雨中行走时淋雨量最小的条件。
即最佳行走速度。
以人为Z 轴，人行走的方向为X 轴，左边为y 轴建立空间坐标系。
则雨的降落速度可以按这个坐标系分解到x 轴，y 轴，z 轴。
得到θθθsin ,cos ,cos V Vz V Vy V Vx ===。
进一步得到θcos V R V +=相.人的头部，正面或背面的淋雨面积为h1h2，h2h3，淋雨时间为D/V.则可得到人正面或背面的淋雨量为θcos 21V R h h R D +；人头部淋雨量为θsin 32V h h RD ；进一步得总淋雨量W(R ）=()θθsin 33cos 21V h h V R h h RD ++。
分析：1）当雨从人正面降落，即V 方向取正，V>0,由此得到}sin 32)cos (21{)(θθV h h V R h h R D R W ++=；对W （R)进行单调性分析可知，其一阶导数0)(<'R W 。
所以W(V)单调递减。
无最小值。
2）当雨从人后面降落，即V 方向取负，V<0，由此得到()θθsin 33cos 21)(V h h V R h h RD R W ++= =21)cos 21sin 32(h Dh RV h h V h h D --θθ，θcos 0V R -<<----------------① =θθθcos ,21)sin 32cos 21(V R h Dh RV h h V h h D -≥++；------------------② 分别讨论上诉两种情况下的一阶导数可得：2)cos 21sin 32()(R V h h V h h D R W θθ+-=' 下面对其进行极值分析：其 a ）当θcos 0R R -<<时，当θθcos 21sin 32V h h V h h +>0时，。
雨中行走问题的研究
人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想到，走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进,雨的速度(大小和方向)已知，问行人走的速度多大才能使淋雨量最少。
参与这问题的因素：
降雨的大小；风(降雨)的方向；路程的远近和人跑的快慢。
分析：
淋雨量在数学上如何表示？
假设
1. 人行走的路线为直线，行走距离为L
选择适当的直角坐标系，使人行走速度为：v1=(u,0,0),则行走的时间为L/u.
2. 雨的速度不变，记为：v2=(vx,vy,vz)
相对速度：v= v2- v1 =(vx-u,vy,vz)
3. 人体为长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c
单位时间内的淋雨量: | vx －u|＋| vy |b＋| vz |c
从而总淋雨量:
R(u)=(| vx －u|＋| vy |b＋| vz |c)T (行走的时间为L/u)
=(| vx －u| +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c >0)
于是雨中行走问题抽象成如下数学问题：
已知L,Vx,a,求u为何值时R(u)最小？
1. Vx > 0
vx >a的情形（有最小值）vx a时, u=vx才使取最小值Rmin=La/Vx
当vx a>0时，取u=Vx可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它情况下，都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。
专业及班级土木10班学号20136452姓名杨昌友淋雨量模型一摘要：本文主要研究人在雨中行走的淋雨量问题。
在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。
得出结论：若雨迎面落下，则以最大的速度跑完全程淋雨量最少；若雨从背后落下，则以降雨速度的水平分量时奔跑时淋雨量最少。
关键词：淋雨量雨速大小雨速方向跑步速度路程远近二、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化三、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v四模型假设（1）、将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速度为v；（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；五、符号淋雨量V降雨量ω人体淋雨面积S淋浴时间t跑步距离d跑步速度v人高a人宽b人厚c六、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S ＝（㎡）V ＝ (cm ³)= (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v1800v 875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ 由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
人在雨中行走的淋雨量数学模型院系：数学与统计学院班级：数学与应用数学1班姓名：学号：摘要一直以来，下雨对我来说，是件很烦恼的的事情。
不管下雨有多大，不管有没有打伞，总是会让自己淋得全身是雨，所以研究人在雨中行走的淋雨量对我这样的人有很大的必要。
本题给定路人在地点AB之间为直线行走。
要求建立路人淋雨量与雨速、雨向、行走速度之间的关系。
假设题中所涉及的降雨量为指天空降落到地面上的直接降雨量（未经流失、蒸发、渗透在地面上（假设是水平地面）集聚的水层深度。
）。
淋雨量，指下雨时路人在行走时全身所淋的全部雨的量（即淋雨的路人淋雨的体积，为人表面的面积×淋雨时间×单位面积的淋雨量。
）。
雨速为天空中降雨的速度。
雨向随风而定。
行走速度即行人的步速。
对于问题，我们设人淋雨面积为模型人前、后、左、右、头顶面积之和。
当有风时，人的身体就不会全部淋雨，那么此时淋雨面积就要根据风向即雨向来定，要根据具体情况来确定淋雨体积。
关键词：模型、淋雨量、降雨量、雨速、雨向、降雨角度、行人行走速度、分析、联系实际。
问题重述与分析：问题：下雨时，路人从A地点直线行走到达B地点。
（1）建立路人淋雨量与雨速、雨向、行走速度的关系；（2）并用计算机模拟方法对建立的关系证实。
分析：假设雨向与行人行走方向成夹角为α，①当无风时，α=90°，雨自上而下垂直向下。
则雨均匀淋遍全身。
②当风迎面吹来，即此时α<90°，此时淋在行人身上的雨即为降雨的竖直分量。
③当风从背面吹来，即此时α>90°，此时淋在行人身上的雨也为降雨的竖直分量。
当有风时还要考虑降雨速度与行人速度的相对速度。
问题假设：假设行人为标准长方体形状。
假设行人在雨中行走时，以速度ν从地点A匀速向地点B走去，不管雨速、雨向如何都不变化。
雨向一旦固定，就不会在改变，即α恒定。
雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨滴为标准球形。
假设行人淋雨的量与雨速成正比。
雨中行走问题的分析吴珍数学与应用数学二班 A班冯奎艳数学与应用数学二班 A班杨彦云数学与应用数学二班 A班摘要本文讨论了雨线方向、跑步速度与淋雨量关系的问题.针对问题一，将人视为长方体，采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的结论。
针对问题二，首先引入雨滴降落频率的概念，解决了用雨速来确定降雨量雨滴降落不连续的问题。
然后采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，建立跑步速度与淋雨量关系的优化模型，得到速度越大淋雨量越小的结论。
针对问题三，在问题二的基础上，改变雨线方向，采用物理学中流体计算的思想方法，建立与跑步速度与淋雨量关系的优化模型，确定淋雨量最小情况下的跑步速度.针对问题四，综合雨线方向与跑步方向夹角，跑步速度，淋雨量的关系，建立几何模型，采用数形结合的方法建立淋雨量模型。
关键词雨滴降落频率；优化模型；淋雨量一、问题重述一般情况下，行人未带雨具却突降大雨，都会选择加快行走速度以减少淋雨量，但如果考虑风速、雨速，就会发现淋雨量并不光与淋雨时间有关。
那么在雨中以何种速度跑，淋雨量最少。
现假设要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型，讨论是否跑得越快,淋雨量越少。
按以下步骤进行讨论:(1) 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。
(2) 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为θ,问速度多大时,总淋雨量最少。
(3) 雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为α,问速度多大时,总淋雨量最少。
(4) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内即异面时,模型会有什么变化。
二、问题分析人在雨中行走时，行走时间即淋雨时间。
把人看成一个长方体，总淋雨量是各个面淋雨量之和。
为解决雨滴不是连续的，引进雨滴频率P (模型建立部分会做具体阐述)的概念。
对于问题一，在不考虑雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及顶部都会被淋到雨，此时淋雨量只与行走时间及单位时间内的降雨量有关。
下雨的时候跑着淋的雨多还是走着淋的雨多？这是一个古老的问题，经过了国内外的数次讨论，《流言终结者》还做了个实验，最后两次实验居然得到了相反的结果。
原因是影响问题的因素很多，例如雨量、风速、人的速度、人的表面积等等。
我在这里基于简单的物理模型做一个分析。
物理模型1.雨是均匀下落的，单位体积内雨的质量为ρ。
2.没有风，雨滴匀速下落，速度为v3.人运动的速度为u4.人身体前方的面积为S1，头顶的面积为S25.人的目标是从A地到达相距为L的B地基本分析人在雨中，头顶会淋雨；由于人向前运动，人的前面也会有雨滴。
如果相对于地面研究，问题会比较复杂。
我们可以选择人为参考，这样一来，雨滴一方面具有下落的速度v，一方面相对于人具有向后的水平速度u，这样，雨滴相对于人就是斜向下运动的，如图所示：这样一来，人从A地到B地的过程中，人所迎接的雨滴（在忽略人头顶的一个小三角形）几乎是他斜前方一个柱体内的雨滴。
这些雨滴会朝着人奔跑，最终撞到人身上。
这个柱体的底面积是人迎接雨滴的截面积S，如图中AE部分所示。
而柱体的高是L，于是雨滴的总量为：m=ρSL如何淋雨最少显而易见，无路以多大速度奔跑，AB之间的距离L是一定的，当奔跑速度不同时，雨滴相对于人的速度不同，因而柱体的倾斜程度不同，截面积S不同。
如上图所示，如果人的奔跑速度比较大，雨滴相对于人速度更接近水平，这样人迎接雨滴的截面积为AF部分；如果人的奔跑速度比较小，雨滴相对于人速度更加竖直，人迎接雨滴的面积是AE部分。
显然，AF部分面积更小，柱体体积更小。
如果人以无限大的速度奔跑，则雨滴一点也不落到头顶，而是全部落在人的身体前侧面。
结论：人在雨中奔跑速度越快雨滴越少。
还能再给力一点吗？那么，如果人已经达到最大奔跑速度了，还有没有可能继续减少淋雨呢？其实我们还有方法。
因为人的头顶面积小于身体前面的面积，我们可以让身体倾斜过来，迎接雨滴，这样就可以使得人迎接雨滴的面积进一步减小，雨柱体变得更细。
论文题目：淋雨量与人在雨中奔跑速度的关系目录一.摘要 ................................................................................二.问题的重述....................................................................三.问题分析 .........................................................................四.建模假设 .........................................................................五.模型的建立......................................................................六.模型的评价......................................................................七.参考文献 .........................................................................一.摘要本模型是研究人的淋雨量与人在雨中奔跑的速度的关系。
由于人在雨中行走的过程比较复杂，我们只能将人体简化为一个长方体建立模型，进行讨论。
本题中采用了优化模型，通过将人分为几个平面，分别求得各个平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。
在问题一中，因为已经假设降雨淋遍全身，且人以最大的速度跑步。
所以根据已知条件，直接列出方程进行求解。
在问题二中，我们利用最优化原理，建立出一个动态规划模型。
雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
摘要夏天日益临近，天气情况也逐渐变幻莫测。
我们常常遇到过这样的问题，我们走在大街上，突然下起大雨，目的地离我们不远，所以我们并不准备避雨。
这是我们就遇到一个问题，是按照正常速度前行，还是大步奔跑地前进，以减少身上的淋雨量。
按照常理，我们大多数人都会奔跑前行。
但是，这样果真能够减少被淋湿的程度吗？1.问题重述一个雨天，你有件急事需要从家中要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。
一个似乎很简单事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨时间。
但如果考虑将与方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
2.建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最少。
主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。
3.模型假设即符号说明（1）把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。
淋浴总量用C升来记。
（2）降雨大小用降雨强度I（cm/h）来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。
在这里可视为一常量。
（3）风速保持不变。
（4）你一定速度v(m/s)跑完全程D米。
4.模型建立与计算（1）不考虑雨的方向，此时你的前后左右和上下都将被淋雨。
淋雨面积：S=2wh+2dh+wd（米2）雨中行走的时间：t=（秒）降雨强度：I（厘米/时）=0.01I（米/时）=（米/秒）淋雨量：C=（米3）=（升）（模型中D，I，S为参数，而v为变量）结论：淋雨量与速度成反比。
这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。
若取参数D=1000m, I=2cm/h, h=1.5m, w=0.5m, d=0.2m时，则有S=2.2m2 .若你在雨中行走的最大速度v=6m/s, 则计算得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。
数学模型论文学校：班级：姓名：学号：雨中行走问题摘要当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就会越小。
但事实上会是这种情况吗？在这里，我们将给予综合性的考虑，来解释不同情况下的淋雨量。
在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。
那么模型也可算出淋雨量。
当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成θ角。
因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。
便可根据题的要求解出模型。
当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成α角。
因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨。
可分几种情况分别来说。
关键词人速；雨速；风向；夹角1.问题的重述当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，建立合理的数学模型。
讨论一下，在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。
2.问题的分析当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。
人在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。
从而使人所淋到的雨量有所不同。
3.模型的假设与符号说明3.1模型的假设（1）把人体视为长方体，身高h米，身宽w米，身厚d米，淋雨总量C升。
（2）把降雨强度视为常量，记为：I（cm h）。
（3）风速保持不变。
v m s跑完全程D。
（4）以定速度()3.2符号说明h人体的身高（m）w 人体的宽度(m)d 人体的厚度(m)D 人跑步的全程(m)v 人跑步的速度(m/s)i 降雨强度(cm/h)c 人在跑步中的淋雨总量(L)s 人在雨中会被雨淋的面积 (㎡)t 人在雨中跑步的时间 (s)v 雨滴下落速度 (m/s)θ 雨滴反方向与人速度方向的夹角ρ 雨滴密度4.模型的建立与求解（1）不考虑雨的方向，此种情况，人的前后左右都会淋雨。
在雨中被淋雨量与行进速度的关系探究鲁妙然提要：本文通过建立模型，简要分析了在雨中被淋雨量与行进速度的关系，希望对生活有所帮助。
关键词：小尺度，雨滴流密度面积分，对时间函数正文：1.引言生活中我们经常遇到这样的情况：外面在下雨，我们没带伞但又必须冒雨经过一段路程，这就让我产生了一个疑问：在雨中究竟是跑步淋到的雨少还是走路淋到的雨少？对于同一段路程，跑步花的时间短，但单位时间内淋的雨量可能更多。
本文试对该问题做一个相对具体的分析。
2.建立流密度场模型首先我们要建立一个模型，实际生活中由于风受地形，温度，气压影响较大，情况很复杂，所以本文只讨论在一块较为平坦的区域，行进路线为直线，且区域内没有剧烈气温、气压变化的情况，并且降雨量同一时刻在所选区域内处处相同。
一般冒雨出行距离不会太远，大约在几百米左右，这个距离小于小尺度天气系统最低尺度，所以可认为在该区域内不同地点同一时刻风向一致（当然若正好处在天气系统边界上就可能会不一致，但所选区域尺度极小，所以恰好处在天气系统边界上概率不大）。
我们定义“雨滴流密度”：即在空间中某点附近单位时间内通过垂直于该处雨滴运动方向的面积微元的某一指定尺寸的雨滴数目与面积的比值，用字母j 表示，有v n v dsnds j ==，其中v 是在该处附近雨滴的速度，n 是该处附近雨滴的数密度。
（这个定义参照电流密度）。
需注意的是同一位置同一时刻的n 是雨滴直径的函数，及不同大小的雨滴数密度是不同的，下面的分析中我们只讨论某一确定大小雨滴（认为尺寸与之差异微小的的雨滴看作尺寸与之相同）的情况，因为不同大小的雨滴对该问题的情况是相同的。
所有尺寸雨滴的总淋雨点数N 乘以每个水滴的含水量求和（)(ρV N V ⋅∑）即得总淋雨量。
后面的讨论中主要是对水滴的水平速度做分析，而不同尺寸雨滴水平分速度差异并不大，因为一般的雨滴直径最大不超过5mm ，所以均认为等于水平风速，所以只需讨论一种尺寸的雨滴行为，就可以代表全部了。
人在雨中奔跑速度与淋雨量问题班级:数学(2)班 学号:1107022037 姓名:张柯摘要 在雨速和方向都不变的情形下讨论雨中行走问题,分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系,建立相应的数学模型,使得被雨水淋湿的程度最低.得出不考虑雨的方向,淋雨总量(22)/Q wd ab ac bc =++v .即人走的越快淋雨量越少.因此在这种情况下应以最大速度行走.考虑风向时[cos (sin )]bpd Q uc a u v vθθ=++.当夹角θ一定,淋雨量Q 随着v 的变大而变小,即人走的越快淋雨量越少. 关键词 淋雨量,数学模型,最优淋雨量正文1 问题的提出1.1 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的淋雨量.1.2 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体夹角为θ,跑步速度v 为多大时淋雨量最小.2 合理假设2.1 假设人在雨中沿直线的方向奔跑且匀速.2.2 假设雨的速度为常数、雨的方向及降雨量即降雨强度不变.2.3 假设风速和风向保持不变.2.4 假设不考虑人表面不平整和衣服的原因对雨水的吸收量,将人 体简化为一长方体.2.5 假设雨线方向与人跑步方向在同一平面内.2.6 变量的限定表一变量表3 模型的构建3.1 不考虑雨方向淋雨总量模型图 1 雨水与人关系模型图不考虑雨的方向,如图1人以最大的速度奔跑,雨淋遍全身.前后面及两侧面与上面受淋雨面积分别为2ab,2ac,bc.淋雨的总面积22=,在雨中历经的时间w cm hS ab ac bc=++,降雨量2/t=/d v,淋雨总量为=Q Swt故=++v(1)(22)/Q wd ab ac bc3.2 考虑风向淋雨总量模型雨迎面吹来,雨线方向与行走方向在同一平面内且与人体夹角为θ,如图2所示.根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前左右几个方向上.雨迎面吹来时,由于雨相对于人的速度有变化,因此人单位时间内接收雨量变化,且与相对速度成正比.据此,推算出前后侧上单位时间接受雨量.同理,头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比.分别计算出头顶侧与前侧单位时间接雨量,并分别乘以各自面积以及时间d v,从而得到头顶及两侧淋雨的总量.即人体总的淋雨量.据此可得Q 与v 之间关系.图 2 雨水与人关系模型图顶部淋雨量为顶部淋雨面积bc 与降雨强度pu 以及淋雨时间d v的乘积,故1Q =c o s d b c p u v θ (2) 前方淋雨量为前侧淋雨面积ba 与降雨强度(sin )p u v θ+以及淋雨时间d v的乘积,故 2Q =(s i n )d b a p u v vθ+ (3) 因此，淋雨总量c o s (s i n )d d Q bcpu bap u v v v θθ=++ [c o s (s i n )]bpd Q uc a u v vθθ=++ (4)4 模型的求解4.1 不考虑降雨方向的情况下,将100d =米,最大速度为max 5/v m s =,雨速为4/u m s =,降雨量为2/w cm h =带入,则跑完全程的淋雨量为Q 0.002(22)/3ab ac bc =++ (5)4.2 考虑降雨方向即风向,其模型应用了雨滴速度的分解及相对运动速度的概念,得出总的淋雨量为c o s (s i n )d d Q bcpu bap u v v v θθ=++ (6) [cos (sin )]bpd Q uc a u v vθθ=++ (7)其中假设夹角θ一定,淋雨量Q 随着v 的变大而变小,即人走的越快淋雨量越少.5 结果分析5.1 根据不考虑雨的方向,雨淋遍全身即人的前面、后面 、左面、右面和上面淋雨建立了相应的模型.(22)/Q Swt wd ab ac bc v ==++ (8)从模型中可以看出淋雨总量Q 随着v 的变大而变小,即人走越快淋雨量越小.5.2 雨迎面吹来,雨线方向与行走方向在同一平面内且与人体夹角为θ,应用雨滴速度的分解及相对运动速度的概念建立了相应的数学模型.cos (sin )[cos (sin )]d d Q bcpu bap u v v vbpd Q uc a u v v θθθθ=++=++ (9)其中假设夹角 一定,淋雨量Q随着v的变大而变小,即人走的越快淋雨量越少.6 模型的评价通过对题目的分析求解,可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关,还与雨线与人跑步方向的夹角,雨速以及人跑步速度等因素有关.文章中并未对雨从背面吹来的情况进行研究,建出相应的模型.,文章还忽略了降雨密度不均匀,风向不稳定等次要因素,以便更好的对问题进行分析和研究.但在实际问题中的限制性因素远远超过这些,因此文章的分析方法仍存在一定的局限性,有待改进和提高.参考文献[1] 刘锋.葛照强.数学建模[M].南京:南京大学出本社,2005.[2]全国大学生数学建模竞赛组委会.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编[C].北京:中国物价出版社,2002.[3] 党林立.孙晓群.主编数学建模简明教程[M]西安电子科技大学出版社.。
建模论文|淋雨模型姓名：王瑜班级：服工112学号：1人在雨中行走的速度与淋雨量关系摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的v时，淋雨量最少。
函数关系。
分析表明当行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解。
关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。
当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。
1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系？2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系？3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系？二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。
人在雨中行走时的淋雨量问题
一．模型假设 1.把人看做一个长方体；
2.雨滴下落的速度，方向保持不变；
3.人行走一段距离的速度，方向保持不变。
4.假设主要淋雨量集中在正面，背面和头部，忽略两侧淋雨量。
即考虑总淋雨量时只考虑（正面+头部）或者（背面+头部）
二．符号说明
1.V 为雨速（m/s ），方向定义为朝着人正面为正。
2.D 为人在雨中行走距离。
3.R 为人在雨中行走速度
3.θ为雨滴下落方向与地平面的所成角，0°≤θ≤90°。
4. h1，h2，h3分别为视人体为一个长方体时人的身高(m)、身宽(m)、厚度(m)；
5.总淋雨量为W （R)单位为m 3。
三．模型建立
本模型是在上诉理想条件下分析人在行走时的淋雨量的大小，而淋雨量的大小取决与降雨量的大小，方向，还有人行走的速度，行走的路程。
我们的目标是求出使得人在雨中行走时淋雨量最小的条件。
即最佳行走速度。
以人为Z 轴，人行走的方向为X 轴，左边为y 轴建立空间坐标系。
则雨的降落速度可以按这个坐标系分解到x 轴，y 轴，z 轴。
得到
θθθsin ,cos ,cos V Vz V Vy V Vx ===。
进一步得到θcos V R V +=相.
人的头部，正面或背面的淋雨面积为h1h2，h2h3，淋雨时间为D/V.则可得到人正面或背面的淋雨量为θcos 21V R h h R D +；人头部淋雨量为θsin 32V h h R
D ；进一步得总淋雨量W(R ）=()
θθsin 33cos 21V h h V R h h R
D ++。
分析：
1）当雨从人正面降落，即V 方向取正，V>0,由此得到 }sin 32)cos (21{)(θθV h h V R h h R D R W ++=；
对W （R)进行单调性分析可知，其一阶导数0)(<'R W 。
所以W(V)单调递减。
无最小值。
2）当雨从人后面降落，即V 方向取负，V<0，由此得到
()
θθsin 33cos 21)(V h h V R h h R
D R W ++= =21)cos 21sin 32(h Dh R
V h h V h h D --θθ，θcos 0V R -<<----------------① =θθθcos ,21)sin 32cos 21(V R h Dh R
V h h V h h D -≥++；------------------② 分别讨论上诉两种情况下的一阶导数可得：
2
)cos 21sin 32()(R V h h V h h D R W θθ+-=' 下面对其进行极值分析：其 a ）当θcos 0R R -<<时，当θθcos 21sin 32V h h V h h +>0时，。
其一阶导数0)(<'R W 。
所以W(V)单调递减。
无最小值。
b 当θcos R R -≥时，当θθcos 21sin 32V h h V h h +<0时，
其一阶导数0)(>'R W 。
所以W(V)单调递增，有最小值。
且当θcos V R -= θsin 3221(min )(h h h h D R W +-=；
C ）当θθcos 21sin 32V h h V h h +=0时，容易分析出同b ）一样的情况，此时
21min )(h Dh R W =;
从以上的分析可以得出结论：当雨滴下落在人行走的前面时，此时人应该以最大速度向前跑；当雨滴下落在人行走的后面时，将出现两种情况： ①当θθcos 21sin 32V h h V h h +时此时人仍然应该以最大速度向前跑； ②当θθcos 21sin 32V h h V h h +<0时，此时人应该以速度 θcos R V -= 向前跑,（当θθcos 21sin 32V h h V h h +=0时，可以以速度θcos R V -≥ 向前跑)，此时人的淋雨量为
θsin 3221(min )(h h h h D R W +-=；
四，模型评价与改进
评价：本模型只考虑了理想条件下人的淋雨量主要集中在头部和身体的前部或后部这些大面积的条件，但是还是较好的模拟得出人在下雨天淋雨量达到最小时的条件。
改进：
1.实际上人在下雨行走时侧面也会淋雨，这需要考虑。
2.还有上述模型是将雨滴的下落速度分解后都是理想的雨线方向是和跑步方向在同一平面的面得到淋雨量关系，实际情况是大多数的雨线方向是和跑步方向不在同一平面的，模型会发生变化，需要考虑在次将雨的分量在平面的投影再次合成到人的平面上。
3.还可以考虑当地降水强度和降雨强度，引入降水强度和降雨强度系数来改进模型。
4.实际是人的体型也会影响淋雨量。
