高中数学椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。

椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。

双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。

抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

双曲线和抛物线双曲线和抛物线一、知识梳理1.双曲线的定义双曲线是平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a（2aF1F2时，P的轨迹不存在；当PF1-PF2=2a=F1F2时，P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线。

2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0），y^2/b^2-x^2/a^2=1（a>0,b>0）。

双曲线的范围为x≥a或x≤-a，对称轴为坐标轴，对称中心为原点。

双曲线有两条渐近线y=±b/a*x，顶点为（0,0），离心率为e=√(1+b^2/a^2)。

实轴长度为2a，虚轴长度为2b。

3.抛物线的定义抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

当定点F在定直线l时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。

4.抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0）。

抛物线的范围为x≥0或x≤0，对称轴为y轴或x轴，顶点为（0,0），离心率为e=1.焦点F在y轴上时，抛物线的准线方程为x=-p/2，焦点F在x轴上时，抛物线的准线方程为y=-p/2.二、方法归纳1.双曲线的离心率需要分两种情况计算，共渐近线的双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=λ或y^2/b^2-x^2/a^2=λ（λ≠0）。

渐近线方程为y=±b/a*x。

2.抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0），焦点在y轴上时，准线方程为x=-p/2，焦点在x轴上时，准线方程为y=-p/2.关于双曲线的渐近线，可以得出以下结论：对于已知双曲线方程为$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $或$ \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 $的情况，它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；对于已知双曲线的两渐近线的情况，先将它们写成一个方程$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $的形式，再设出双曲线方程的形式$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda(\lambda\neq 0)$。

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。

2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。

3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。

二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。

2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。

3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。

三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。

2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。

3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。

四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。

2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。

3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。

五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。

03- 抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、种类及其几何性质() ：标准方程图形焦点准线范围对称轴极点离心率二、抛物线的焦半径、焦点弦轴（0，0）轴1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+，(2) ，－ p2(3)弦长 , ，即当 x1=x2时 , 通径最短为 2p(4)若 AB的倾斜角为θ，则 =（5） +=2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。

过焦点的全部弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的地点关系2.直线，抛物线，3.，消 y 得：4.（ 1）当 k=0 时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5.（ 2）当 k≠ 0 时，＞0，直线与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线与抛物线相切，一个切点；＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗（不必定）6.对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为, ，则有 , 以及，还可进一步求出，在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.订交弦 AB的弦长或b.中点, ，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在波及斜率问题时，b.在波及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线订交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点 1 抛物线的定义题型利用定义, 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的变换[ 例1 ]已知点P 在抛物线 y2= 4x 上，那么点P 到点Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为[分析]过点P 作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P 点为抛物线与垂线的交点时，获得最小值，最小值为点Q到准线的距离, 因准线方程为x=-1,故最小值为31. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［分析］C由抛物线定义，即：．2.已知点 F 是抛物线的焦点 ,M 是抛物线上的动点 , 当最小时 ,M点坐标是()A. B. C. D.[分析]设 M到准线的距离为, 则，当最小时，M点坐标是，选C考点2抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程[ 例 2 ]求知足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2)(2)焦点在直线上[ 分析 ] (1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点 (-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0) 或 (0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程; 焦点为 (0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或, 对应的准线方程分别是.3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值[分析]4.对于极点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2， 1）.能使这抛物线方程为y 2=10的条件是 ____________. （要求填写适合条件的序号）x[分析]用清除法，由抛物线方程y2=10x 可清除①③④，进而②⑤知足条件.5.若抛物线的极点在原点，张口向上， F 为焦点， M为准线与 Y 轴的交点， A 为抛物线上一点 , 且，求此抛物线的方程[ 分析 ]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点 A 的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点 3抛物线的几何性质题型：相关焦半径和焦点弦的计算与论证[ 例 3 ] 设 A、 B 为抛物线上的点, 且 (O 为原点 ), 则直线 AB必过的定点坐标为__________.［分析］设直线OA方程为 , 由解出 A点坐标为解出 B 点坐标为，直线AB方程为 , 令得，直线AB 必过的定点增补：抛物线的几个常有结论及其应用结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种, 即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。

1、抛物线的定义平面内到一个定点 F 和不过 F 的一条定直线 l 距离相等的点的轨迹 (或集合称之为抛物线。

F 称为 " 抛物线的焦点 ", l 称为 " 抛物线的准线 " 。

如图:设定点 F 到定直线 l 距离 FN 为 p , M为 x 轴,建立坐标系,设动点 M 的坐标为 (x,y 若 M 到直线 l 的距离与到定点 F 的距离相等, 则有:2222p x y p x +=+⎪⎭⎫⎝⎛-整理可得抛物线的标准形式为:px y 22= 对应的焦点坐标为( , 2p 对应的准线方程为 2p x -=对应的顶点坐标为(0, 0 离心率 e=1抛物线的形式一共有以下四种:2、抛物线的性质设抛物线的标准方程 y 2=2px (p >0 ,则(1 . 范围:则抛物线上的点 (x , y 的横坐标 x 的取值范围是x ≥0., 在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。

(2 . 对称性:这个抛物线关于轴对称, 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 . 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 .(3 .顶点:抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点,这个抛物线的顶点是坐标原点。

(4 .离心率;抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率, 其值为 1.(5 . 在抛物线 y 2=2px (p >0中,通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 , 2(, , 2(p p p p -,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为 2p .(6 . 平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点 . 但它不是双曲线的切线 . (7 焦点弦长公式:过焦点弦长 121222p p P Q x x x x p =+++=++抛物线和椭圆、双曲线的比较(1 . 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大 . 它的离心率等于 1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它无中心,也没有渐近线 .(2 . 椭圆、双曲线都有中心,它们均可称为有心圆锥曲线 . 抛物线没有中心,称为无心圆锥曲线 .3. 习题讲解例 1(1 如图 5, 已知定直线 l 及定点 F , 定直线上有一动点 N , 过 N 垂直于 l 的直线与线段 N F 的垂直平分线相交于点 M ,则点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (2 点 M 与 (4,0 F 的距离比它到直线 :50l x +=的距离小 1, 点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (3 已知圆 22:(3 1C x y -+=, 动圆 M 与圆 C 外切且与 y 轴相切 (图 6 , M 的轨迹是什么形状的曲线?例 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线上的射影分别为 A 1、 B 1,则∠ A1FB 1=__________。

抛物线椭圆双曲线定义抛物线平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线.另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线".定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

2.抛物线的标准方程右开口抛物线:y^2=2px左开口抛物线:y^2=-2px上开口抛物线:y=x^2/2p下开口抛物线:y=-x^2/2p3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)4.它的解析式求法:三点代入法5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.抛物线:y = ax* + bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a(x-h)* + k就是y等于a乘以(x-h)的平方+kh是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2pyx^2=-2py椭圆目录?定义?标准方程?公式?相关性质?历史定义椭圆是一种圆锥曲线(也有人叫圆锥截线的)，现在高中教材上有两种定义:1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合(该定值大于两点间距离)(这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距);2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合(定点不在定直线上，该常数为小于1的正数)(该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线)。

课程星级：★★★★★【椭圆】 一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）知能梳理1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点知识点是知识、理论、道理、思想等的相对独立的最小单元，以下是店铺为大家整理的高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点，希望对你有所帮助。

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义：1、到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2、到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0|F1F2|)的点的轨迹3、与定点和直线的距离之比为定值e的点的'轨迹.(02.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程(0,b0)y2=2px参数方程(t为参数)范围─a￡x￡a，─b￡y￡b|x| 3 a，y Rx30中心原点O(0，0)原点O(0，0)顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴;长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0)焦距2c (c=)2c (c=)离心率e=1准线x=x=渐近线y=x焦半径通径2p焦参数P数学椭圆知识点双曲线⑴集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2注：（a，b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=—2p_2=2pyx2=—2py直棱柱侧面积S=c_h斜棱柱侧面积S=c'_h正棱锥侧面积S=1/2c_h'正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h'圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi_r2 圆柱侧面积S=c_h=2pi_h圆锥侧面积S=1/2_c_l=pi_r_l弧长公式l=a_ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2_l_r 锥体体积公式V=1/3_S_H圆锥体体积公式V=1/3_pi_r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中，S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s_h圆柱体V=p_r2h乘法与因式分a2—b2=（a+b）（a—b）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）a3—b3=（a—b（a2+ab+b2）三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a—b|≤|a|+|b||a|≤b<=>—b≤a≤b|a—b|≥|a|—|b|—|a|≤a≤|a|一元二次方程的解—b+√（b2—4ac）/2a—b—√（b2—4ac）/2a根与系数的关系X1+X2=—b/aX1_X2=c/a注：韦达定理判别式b2—4ac=0注：方程有两个相等的实根b2—4ac>0注：方程有两个不等的实根b2—4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A—B）=sinAcosB—sinBcosAcos（A+B）=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB）tan（A—B）=（tanA—tanB）/（1+tanAtanB）ctg（A+B）=（ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA）ctg（A—B）=（ctgActgB+1）/（ctgB—ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/（1—tan2A）ctg2A=（ctg2A—1）/2ctgacos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a半角公式sin（A/2）=√（（1—cosA）/2）sin（A/2）=—√（（1—cosA）/2）cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=—√（（1+cosA）/2）tan（A/2）=√（（1—cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=—√（（1—cosA）/（（1+cosA））ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1—cosA））ctg（A/2）=—√（（1+cosA）/（（1—cosA））和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A—B）2cosAsinB=sin（A+B）—sin（A—B）2cosAcosB=cos（A+B）—sin（A—B）—2sinAsinB=cos （A+B）—cos（A—B）sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A—B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A—B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA—tanB=sin（A—B）/cosAcosBctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB—ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB【高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点】。

人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。

要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。