第六章-基础-思维总结与递进(讲义及答案)

第六章思维总结与递进（讲义）知识点睛等差数列三大公式 求和公式：通项公式：递增数列： 5 = £/] +(« — 1)X 〃5 =初]—(« — l)xd项数公式：等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同 一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列 的公比，公比通常用字母q 表示（qHO ）。

和=（首项+末项）X 项数一2末项二首项+（项数_i ）x 公差 递减数列: 末项二首项-（项数7）X 公差项数=（末项-首项）一公差+1精讲精练【板块一】归纳与递推探索经典例题1通项归纳，就是找一找式子中每一项有什么共同规律，找出项数 "和第《项数值之间的关系，然后写出这个关系式，即为“通项 公式”。

如：第1项是1、第2项是3、第3项是5、……则第" 项是2«-1；① ； 项是0 ；项是 0 ； 项是 36 9 ◎ 第I 项是1、第2项是：、第3项是14 7 10 第1项是1、 第1项是1、 第1项是2、 第2项是4、 第2项是4、 第2项是4、 第3项是7、第3项是9、第3项是8、是 _________ ；© 第I项是1X2、第2项是2X3、第3项是3X5、第4项是4X8、第5项是5X12……则第《项是练一练(1) 一个队列按照每排2人，4人，6人，8人……的顺丿芋可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？(2)已知一个等差数列，它的首项是7,第7项是31,求它的公差是多少。

求它的第11项是多少。

经典例题2小正方形的边K是1厘米，依次作出下面这些图形，图上第一个图形的周长是10厘米。

①第4个图形是山 __________ 个小正方形组成的，它的周长是________ 厘米。

②周长是70厘米的图形是第_ 个图形，它是山____________ 个正方形组成的。

练一练下图表示"宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的。

读书破万卷下笔如有神第六章思维一、名词解释1．思维、言语、想象思维：思维是借助语言、表象或动作实现的对客观事物概括的、间接的反映。

言语：一种心理现象，它是个体运用语言规则表达个人思想，从而实现与他人沟通的目标的过程。

想象：想象是对头脑中已有的表象进行加工改造，重新组合成为新形象的过程。

2．概念、博弈性聚焦和保守性聚焦、推理概念：是人脑对客观事物本质特征的认识，是高级认知活动的基本单元。

博弈性聚焦和保守性聚焦：这种策略将首次获得的肯定例证中的部分属性作为初始假设，然后经过验证剔除无关的属性，逐步聚焦到关键属性。

若每次验证仅选一种属性，则称为保守性聚焦；若每次验证选两种或以上属性，则称为博弈性聚焦。

推理：是根据已有的知识推出新结论的过程，它是思维活动的一种重要形式。

3．问题表征、迁移、定势、功能固着、原型启发问题表征：就是对问题信息的搜索、提取和理解、内化的过程，是对觉察到的问题的各种条件和规则的解释。

迁移：是指已有的知识经验对解决问题的影响。

定势：是由先前的活动或经验而造成的一种预先准备状态或活动的倾向性。

功能固着：是指人们在解决问题时往往只看到某种事物的常见功能，而看不到它其他方面可能有的功能上。

原型启发：对解决问题能产生启发作用的事物叫原型启发。

4．手段—目的分析、逆向工作法手段——目的分析法：就是将问题的目标状态分解为若干子目标，通过实现一系列的子目标最终达到目标状态。

逆向工作法：是指从目标状态出发，然后返回起始状态，进而解决问题。

二、填空题1．表象是感性认识向理性认识过渡的桥梁。

2．概括性、间接性是思维的两个基本特征。

3．根据思维过程中凭借助物不同，可以将思维分为直观动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维三类；根据思维时是否具有明确的逻辑规则，思维又分为形式逻辑思维和非形式逻辑思维；根据思维的指向性不同，分为聚合思维和发散思维。

读书破万卷下笔如有神4．根据信息加工的观点，问题解决的四个阶段是问题表征，选择算子，应用算子，评价当前状态。

第六章思维与想象教学要求：1、了解思维和创造思维概念、思维的过程及思维的分类；2、掌握问题解决的思维过程、影响解决问题的心理因素、创造性思维的过程、创造性思维在行为上的特征、良好的思维品质、青少年思维与想象的特点及学生创造性思维的培养。

3、了解想象概念、想象的分类。

4、了解概念学习的有关知识。

第一节思维与想象概述一、思维的一般概念（一）什么是思维思维是人脑对客观事物的间接和概括的反映，属于思维的高级阶段。

间接性和概括性是思维的主要特征。

（二）思维的过程（1）分析与综合分析是将反映的对象分解为各个部分。

综合是把对象的各个部分按一定要求、线索组成一个有机的整体。

（2）比较将两个或两个以上的反映对象的特征加以对照，确定其异同的思维操作活动。

（3）抽象与概括抽象是抽取出同类是事物的共同特征的操作活动。

概括是将抽象出来的特征推广到一类事物中去。

对鸟下定义：鸟是有羽毛、有翅膀、会飞的动物。

（下定义的过程体现了思维的抽象与概括）（三）思维的分类1．直观动作思维、形象思维和抽象思维（根据所依据的中阶物分）（1）直观动作思维在思维过程中借助知觉和实际动作操作为媒介的思维。

（2）形象思维凭借事物的具体形象和表象来进行的思维。

（3）抽象思维借助语言为媒介，运用概念，进行判断推理的思维。

2．聚合思维和发散思维（根据思维探索目标的方向分）（1）聚合思维又叫求同思维，指把问题所提供的各种信息聚合起来，朝着同一个方向得出一个正确答案的思维。

（2）发散思维又叫求异思维，是指从一个目标出发，沿着各种不同途径去思考，探求多种答案的思维。

其主要特点是求异与创新。

3．直接思维与分析思维（根据思维的过程特点分）（1）直接思维是一种非逻辑性思维，它是人脑对于突然出现的新问题、新事物和新现象，能迅速理解并作出判断的思维方式。

（2）分析思维也叫做逻辑思维，它严格遵从逻辑规律，逐步进行分析与推导，最后得出合符逻辑的正确答案或作出合理的结论。

4．常规思维和创造思维（根据思维的创新程度分）（1）常规思维指人们运用已获得的知识经验，按现成的方案和程序，用惯常的方法、固定的模式来解决问题的思维方法。

《逻辑与思维》基础知识第一单元树立科学思维观念第一课走进思维世界1.思维（P 1-4）含义思维有广义和狭义之分。

广义的思维与意识同义，狭义的思维与理性认识同义。

“逻辑与思维”中所说的“思维”主要是从狭义角度来讲的，指认识的高级阶段，是对事物的本质及其规律的反映。

特征思维具有间接性、概括性、能动性等特征作用思维在实践中产生，在实践中发展，又反作用于实践。

正确的思维能够指导人们在实践中实现预期的目的2.思维形态的分类（P5）从思维的方向看发散思维和思维聚合思维从思维对认识对象的思考角度看综合思维和分析思维从思维反映认识对象的方式看辩证思维和形而上学思维根据思维运行的基本单元的不同抽象思维和形象思维3.思维基本形态的特征（P6）抽象思维含义以概念、判断和推理等反映认识对象、揭示事物本质和规律的思维形态主要特征基本单元的概念性、运行方式的推导性和思维表达的严谨性形象思维含义在感觉、知觉和表象为基础上，运用联想、现象和幻想等反映认识对象、触及事物本质和规律的思维形态主要特征基本单元的形象性、运行方式的想象性和思维表达的情感性第二课把握逻辑要义1.人们把研究思维形式结构及其规律的形式逻辑视为狭义的逻辑学，而把含有狭义的逻辑学和研究辩证思维中的规律、规则与方法的辩证逻辑等视为广义的逻辑学。

(P8)形式逻辑特别关注推理问题，其核心任务是要把握从真前提推导出真结论的规律和规则。

2.逻辑思维的基本要求（形式逻辑的基本规律）同一律矛盾律排中律要求合乎逻辑的思维是具有确定性的思维。

要正确反映客观事物的事实与规律，必须让思维确定下来，该是什么就是什么，不能游移不定。

合乎逻辑的思维是具有一致性的思维。

要避免思维出现不融贯一致的逻辑错误。

合乎逻辑的思维是是具有明确性的思维。

公式“A是A”。

意思是：在同一时间、从同一方面、对同一对象所形成的论断“A”,如果是真的，就是真的；如果是假的，就是假的。

“A不是非A”。

意思是：在同一时间、从同一方面、对同一对象所形成的论断“A”和它的否定论断“非A”不能同真，其中必有一假。

期末复习《逻辑与思维》知识梳理第一单元树立科学思维观念第一课走进思维世界第一桩思维的含义与特征1、思维的含义（1）广义的思维：意识。

（2）狭义的思维：理性认识。

（“逻辑与思维”中所说的''思维”主要是从狭义角度来讲的，指认识的高级阶段，是对事物的本质及其规律的反映。

）2、★思维的共同特征①思维具有间接性.思维能够凭借获得的感性材料、巳有的经融和知识,透过事物的现象，揭示事物的本质和规律。

②思维具有概括性。

思维能够从多种事物及其各种各样的属性中，把握一类事物的共同本质。

③思维具有能动性。

思维能够提炼加工感性材料，形成有别于客观实际的认识。

第二框思维形态及其特征1、思维形态的分类（P5）①从思维的方向看，有发散思维和聚合思维；②从思维对认识对象的思考角度看，有综合思维和分析思维；③从思维反映认识对象的方式看，有辩证思维和形而上学思维；④根据思维运行的基本单元的不同，可以将思维分为抽象思维和形象思维。

2、★思维基本形态的特征(P6)第二课把握遗辑要义第一框“逻辑”的多种含义U逻辑学的含义(P8)（1）狭义的逻辑学：形式逻辑。

（2）广义的逻辑学：①形式逻辑。

（研究思维形式结构及其规律）②辩证逻辑。

（研究辩证思维中的规律、规则与方法）2、★形式近辑特别关注推理问题（P9）（1）推理结构：推理是由前提和结论构成的，由前提推导结论，前提作为结论的理由。

（2）从形式建辑角度看，从其前提推出宾结论，并不取决于思想的具体内容，而是取决于思想的形式结构。

（3）形式逻辑的核心任务：要把握从真前提推导出真结论的规律和规则。

3、运用推理进行论证和论辩（P9）（1）论证：把推理的理由讲出来作为“论点”的“论据”，就构成了通常所说的“论证”。

（2）论辩：用这样的论证方式去说服人，让他人接受自己的观点，或者用这样的论证方式去反驳别人的观点，就构成了“论辩”。

（3）论证和论辩中使用的推理是否有效，直接影响说服的效果。

姓名，年级：时间：单元学习任务关键能力培养——学会辩论【相关知识】辩论是语文教学的有效活动形式之一，也是语文教学的一个难点.依据教材确定辩论主题，以预备卡指导学生学会搜集和整理素材，从而为辩论活动做好准备；而辩论后的整理反思则可进一步提升活动效果。

一、辩论的原则1.正确对待辩论的胜负辩论没有胜负之分，因为辩论的话题本身往往没有一个绝对正确的答案，所以决定辩论胜负的不是双方谁掌握了或者坚持了真理，而是看谁能够在理论上自圆其说,能够表现出高超的辩论技巧、风趣幽默的语言以及令人尊重的个人魅力,比的是谁更有人气。

2.尊重辩论对手的人格当辩论的结果明显不利于自己的时候，辩手会采用种种诡辩的手法进行辩论.但是,如果掌握不好分寸，就可能会演变成双方的谩骂和攻击,甚至对对方进行人格的蔑视乃至否定。

如果你不尊重对方的人格，自然也往往会受到对方对你人格的攻击.要想使自己的人格得到尊重,必须首先尊重他人的人格。

3。

诡辩不等于胡搅蛮缠由于辩论双方是为自己所“信奉”的真理在辩，往往明知道自己的观点不对,也不愿意认输，在辩论中进行某种诡辩是很正常的，但诡辩不等于胡搅蛮缠。

所谓的胡搅蛮缠就是：当对方把问题阐述得清清楚楚时，自己却不看对方的文章，分析对方的观点，而是继续把自己所“理解”的观点强加到对方的身上，对别人进行无目标的攻击。

二、参加辩论要注意知识的积累要取得辩论的胜利，必须要有丰富的知识积累。

这里包括两方面的含意.1。

要认真阅读对方的文章及相关资料。

从理论上分析主题的内容，避免辩词的庸俗化、贫乏化，使辩词在理论上和知识上都更丰富。

绝对避免使用庸俗不堪的实例和趣味低级的噱头进行辩论，或者以感情取代理论,故作姿态煽动性地赢取辩友们的同情或喝彩。

2.要注意日常综合知识的积累。

一个人如果光有辩论的热情，但其知识底蕴很差，可供调动的东西很少，那就会陷入“巧妇难为无米之炊”的窘境，言不达词，词不达意,纵有再高的热情，也无法取得理想的效果。

1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．5．直接证明——数学归纳法(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可，由n＝k⇒n＝k＋1时必须使用归纳假设，否则不算是数学归纳法．(2)数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题，但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法．[例1] 给出下面的数表序列：表1 1 表21 34表3 …1 3 54 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．[解] 表4为1 3 5 74 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2] 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .[解析] 分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. [答案]91解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12， 所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1. 答案：37 3n 2－3n ＋12.如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数S 3为28，按其规律再画下去，可得n (n ∈N ＋)层六边形，试写出S n 的表达式．解：设每层除去最上面的一个点的点数为a n ， 则a n 是以5为首项，4为公差的等差数列， 则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1＝n [5＋5＋4(n －1)]2＋1＝2n 2＋3n ＋1(n ∈N ＋).[例3] 在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D . 求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[证明] 如右图所示，由射影定理， AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. ∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中， AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________________.答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝12a 2＋b 2，把上述结论类比到空间，写出相似的结论．解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A -BCD 且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则此四面体的外接球半径为R ＝12a 2＋b 2＋c 2.[例4] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.[证明] 法一：(综合法) ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 法二：(分析法)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8， 只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab ≥2.由基本不等式可知，当a ＞0，b ＞0时，b a ＋ab≥2成立⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，所以原不等式成立．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．5．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)． (1)证明：函数f (x )的图象在y 轴一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是图象上的两点，证明：直线AB 的斜率大于零． 证明：(1)由a x －1>0，得a x >1.①当a >1时，x >0，函数图象在y 轴右侧； ②当0<a <1时，x <0，函数图象在y 轴左侧． 故函数图象总在y 轴一侧．(2)由于k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，又由x 1<x 2， 故只需证y 2－y 1>0即可．因为y 2－y 1＝log a (a x 2－1)－log a (a x 1－1)＝log a a x 2－1a x 1－1.①当a >1时，由0<x 1<x 2，得 a 0<a x 1< a x 2， 即0<a x 1－1<a x 2－1. 故有a x 2－1a x 1－1>1，log a a x 2－1a x 1－1>0， 即y 2－y 1>0. ②当0<a <1时， 由x 1<x 2<0， 得a 0>a x 1>a x 2>1. 即a x 1－1>a x 2－1>0. 故有0<a x 2－1a x 1－1<1，∴y 2－y 1＝log aa x 2－1a x 1－1>0，即y 2－y 1>0. 综上，直线AB 的斜率总大于零.[例5] 已知a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a，b，c中至少有一个大于0.[证明]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，与a＋b＋c≤0矛盾，故假设不成立．∴a，b，c中至少有一个大于0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．(2)反证法证题的思路是：“假设—归谬—存真”．6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A[例6]已知数列{a n}满足：a1＝1,4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)的结果猜想a n用n表示的表达式；(3)用数学归纳法证明(2)的猜想．[解](1)由a1＝1及a n＋1＝9－2a n4－a n，得a2＝9－2a14－a1＝73，a3＝9－2a24－a2＝9－2×734－73＝135，a 4＝9－2a 34－a 3＝9－2×1354－135＝197.所以a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)观察a 1，a 2，a 3，a 4的值，分母构成正奇数数列2n －1，分子构成首项为1，公差为6的等差数列，故猜想：a n ＝6n －52n －1，n ∈N ＋. (3)用数学归纳法证明上面的猜想．①当n ＝1时，a 1＝6×1－52×1－1＝1，猜想正确．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，猜想正确，即a k ＝6k －52k －1. 所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝9－2a k4－a k ＝9－2·6k －52k －14－6k －52k －1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1.这就是说n ＝k ＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意正整数n 都成立．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．7．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，求a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5， 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时猜想成立， 即a k ＝3k ＋5， 则当n ＝k ＋1时，a k＋1＝3a ka k＋3＝3·3k＋53k＋5＋3＝3(k＋1)＋5，所以当n＝k＋1时猜想也成立．由①②知，对n∈N＋，a n＝3n＋5都成立．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第()A．22项B．23项C．24项D．25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．答案：C2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．答案：D3．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)”时，第一步验证n＝1时，左边应取的项为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n ＝1时，左边的最后一项为4，故为1＋2＋3＋4. 答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A ．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.答案：A6．用数学归纳法证明“1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A.2k (k ＋2)B.1k (k ＋1)C.1(k ＋1)(k ＋2)D.2(k ＋1)(k ＋2)解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).答案：D7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 019的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：∵75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，78＝5 764 801，… ∴7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4， 记7n (n ∈N ＋，且n ≥5)的末两位数为f (n )，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， ∴72 019与73的末两位数相同，均为43. 答案：B8．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ①a ·b ＝b ·a ； ②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ④由a ·b ＝a ·c (a ≠0)可得b ＝c .以上通过类比得到的结论正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确， ②错误；由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得a ·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．答案：B9．已知a >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n ＋1，故a ＝n n . 答案：B10．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63， 此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64， 故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 答案：C11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为r ＝2Sa ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为：V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A.1360 B.1504 C.1840D.11 260解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19，18－19，⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110，19－110，⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110，⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－18－⎝⎛⎭⎫18－19－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18－19－⎝⎛⎭⎫19－110＝1840. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为________．答案：在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→＋AD ―→)14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…， ∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2. 答案：n 216．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②当报出的数为3的倍数时，则报该数的同学需拍手一次． 当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．解析：设报出的第n 个数为a n ，则有a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋.a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8，a 7＝13，a 8＝21，…，所以a 4，a 8为3的倍数，a 12＝a 10＋a 11＝2a 10＋a 9＝2a 8＋3a 9也为3的倍数，可得规律a 4m ( m ∈N ＋)为3的倍数．则当第30个数被报出时，报出的数中是3的倍数的有a 4，a 8，a 12，a 16，a 20，a 24，a 28，故五位同学拍手的总次数为7.答案：7三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出图形，可知凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，请归纳猜测凸n (n >3，n ∈N ＋)边形对角线的条数f (n )，并证明所得结论．解：由题意得，当n ＝4时，f (4)＝2＝4×12；当n ＝5时，f (5)＝5＝5×22；当n ＝6时，f (6)＝9＝6×32；…，由此猜测f (n )＝n (n －3)2， 即凸n (n >3，n ∈N ＋)边形有n (n －3)2条不同的对角线． 证明：因为凸n (n >3，n ∈N ＋)边形中从每一个顶点出发的对角线有(n －3)条， 所以从所有的顶点出发的对角线有n (n －3)． 又每条对角线都被数了两次，所以凸n (n >3，n ∈N ＋)边形的对角线的条数为n (n －3)2.18．(本小题满分12分)△ABC 的三条高分别为h a ，h b ，h c ，r 为内切圆半径，且h a ＋h b ＋h c ＝9r ，求证：该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边分别为a ，b ，c ，故只需证a ＝b ＝c . 因为h a ＝2S a ，h b ＝2S b ，h c ＝2Sc ， 其中S 为△ABC 的面积， 所以h a ＋h b ＋h c ＝2S ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c .又因为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，h a ＋h b ＋h c ＝9r ，所以(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝9.所以a 2b ＋a 2c ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2a ＋c 2b －6abc ＝0. 将上式分解因式，得a (b －c )2＋b (c －a )2＋c (a －b )2＝0. 因为a >0，b >0，c >0，所以(b －c )2＝(c －a )2＝(a －b )2＝0. 所以a ＝b ＝c .∴该三角形为等边三角形．19.(本小题满分12分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥SO 的两条母线，O是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：假设AC ⊥平面SOB ， 因为直线SO 在平面SOB 内， 所以SO ⊥AC ，因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB . 所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾， 所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，试利用三段论形式证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)21．(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1(n ≥2)的值． 解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得f (5)＝41. (2)可得f (2)－f (1)＝4×1； f (3)－f (2)＝8＝4×2； f (4)－f (3)＝12＝4×3； f (5)－f (4)＝16＝4×4； ……由上式规律，可得f (n )－f (n －1)＝4(n －1)．由以上各式相加可得f (n )－f (1)＝4[1＋2＋…＋(n －1)]＝4×(1＋n －1)(n －1)2＝2n 2－2n ，又f (1)＝1，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴原式＝11＋121－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， ∵a n >0，∴a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， ∴a 2＝2－1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3. 得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. ∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，n ∈N ＋时，a n ＝n －n －1.。

理论精讲10-逻辑思维能力（讲义）第四章基本能力1.第一节逻辑思维能力信息处理能力阅读理解能力写作能力2.第二节3.第三节4.第四节书上无 一、概念讲义123-125 一、概念（一）概念间的关系（高频考点） （1）全同：北京——中国的首都第一节逻辑推理能力（2）包含：教师——小学教师（3）交叉：大学生——共产党员（4）全异：猫——狗看课件真题回顾1.【2022上】下列选项中，与“大米—粮食”的逻辑关系一致的是（）。

A.“蜂蜜”和“蜂巢”B.“花生油”和“食用油”C.“面包”和“面粉”D.“冷却液”和“润滑液”2.【2020下】（书上无）下列选项中，与“绿茶—茶叶”的逻辑关系相同的是（）。

A.“蔬菜”和“水果”B.“雨伞”和“雨具”C.“跑鞋”和“跑道”D.“面粉”和“面包”看课件真题回顾3.【2019下】下列选项中的概念关系，与“教授”和“科学家”一致的是（）。

A.夹克—衬衫B.中文书—英文书C.足球—篮球D.大学生—运动员4.【2021下中学】（书上无）下列选项中，与“医生”和“军人”的逻辑关系一致的是（）。

A.“青年”和“少年”B.“中年”和“老年”C.“青年”和“干部”D.“明星”和“影星”看课件真题回顾5.【2021上】下列选项中，与“大学生”和“志愿者”的逻辑关系不一致的是（）。

A.“英文书”和“教材”B.“铅笔”和“画笔”C.“老年人”和“科学家”D.“医生”和“护士”6.【2017下】（书上无）下列选项中，与“教师”和“戏剧爱好者”两个概念的关系一致的是（）。

A.“军人”和“军医”B.“杨树”和“柳树”C.“蛋糕”和“面包”D.“作家”和“画家”讲义125一、概念（二）概念的限制和概括（前提——两个概念之间是包含关系）1.概念的限制“从大到小”如：大学生——女大学生2.概念的概括“从小到大”如：青年党员——党员看课件小试牛刀1.【2012年下中学】（书上无）下列选项中，对概念所做的概括，正确的一项是（）A.将启明星概括为太白星B.将火焰山概括为吐鲁番C.将中国文学概括为艺术哲学D.将长篇小说概括为文学作品讲义126二、命题与命题推理（一）直言命题及其推理含义：结构上不能分解（拆不开）——宪法是国家的根本大法1.直言命题的形式（1）“A是B”/“A不是B”（2）“有些A是B”/“有些A不是B”（3）“所有A是B”/“所有A不是B”讲义1262.直言命题的负命题看课件练习：1.“所有同学是第一次参加教资考试”的矛盾命题是（）。

选修三《逻辑与思维》必备知识整理第一单元树立科学思维观念第一课走进思维世界1、思维的含义：广义的思维与意识同义，狭义的思维与理性认识同义。

“逻辑与思维”中所说的“思维”主要是从狭义角度来讲的，指认识的高级阶段，是对事物的本质及其规律的反映。

2、科学的思维方式：战略思维、历史思维、辩证思维、创新思维、、底线思维等，是对人类理性认识方式的高度概括，是人们认识事物本质、把握事物规律的重要的思维方式，是具有指导性和针对性的科学的思想方法和工作方法。

3、思维的特征：差异性和共同性思维的共同特征：间接性、概括性和能动性①间接性：思维能够凭借获得的感性材料、已有的经验和知识，透过事物的现象，揭示事物的本质和规律，实现对未知事物的认识。

（强调由已知——未知、由感性——理性）②概括性：思维能够从多种事物及其各种各样的属性中，舍去表面的、非本质的属性，抓住内在的、共同的、本质的属性，把握一类事物的本质。

（强调由具体——抽象、由个别——一般）③能动性：思维能够提炼加工感性材料，形成有别于客观实际的认识。

正确的思维如实的反映认识对象，错误的思维歪曲的反映认识对象。

（强调再加工、再创造，有目的、有计划、主动）4、思维与实践的关系：思维在实践中产生，在实践中发展，又反作用于实践。

正确的思维能够帮助人们在实践中实现预期的目的。

5、思维形态的分类①从思维的方向看，有发散思维（向不同方向扩散）和聚合思维（向同一方向收敛）。

②从思维对认识对象的思考角度看，有综合思维（整体地认识对象）和分析思维（分别地认识对象）。

③从思维反映认识对象的方式看，有辩证思维（用联系、发展、全面的观点看待事物和思考问题）和形而上学思维（用孤立、静止、片面的观点看待事物和思考问题）④根据思维运行的基本单元不同，可以将思维分为抽象思维（以概念为基本单元）和形象思维（以感性形象为单元）。

【知识拓展】1、科学的思维方式：战略思维：高瞻远瞩、统揽全局，善于把握事物发展总体趋势和方向历史思维：以史为鉴、知古鉴今，善于运用历史眼光认识发展规律、把握前进方向、指导现实工作辩证思维：用联系、发展、全面的观点看待事物和思考问题，其实质和核心是运用矛盾分析方法，在对立统一中把握事物创新思维：破除迷信、超越陈规，善于因时制宜、知难而进、开拓创新，有所发现、有所发明法治思维：将法律作为判断是非和处理事务的准绳，它要求崇尚法治、尊重法律，善于运用法律手段解决问题和推进工作底线思维：客观地设定最低目标，立足最低点，争取最大期望值2、全面理解感性认识与理性认识的辩证关系3、感性认识的形式（感觉、知觉、表象）和理性认识的形式（概念、判断和推理）感觉：是对客观事物的个别特征和属性的反映，使整个认识过程的起始环节；知觉：是对客观事物的整体特征反映，知觉是感觉的综合，是把感觉集中在一起并把他们组合起来，形成对各方面外部特征的整体认识；表象：是人脑对过去的感觉和知觉形象的再现和回忆概念：是对事物本质、全体的反映，包含同类事物的共同的、一般的特征，概念是理性认识最基本的形式；判断：是对客观事物是否具有某种属性的判明和断定；推理：是根据事物之间的联系，由已知判断推出新判断的思维形式第二课把握逻辑要义第一框逻辑的多种含义1、逻辑的含义：（1）与“规律”同义；作为规律的逻辑，是所有科学的研究对象。

思维逻辑课程知识点总结一、思维的基本概念1.1 思维的概念思维是人类高级神经活动的一种形式，是人类在认识对象的过程中，运用概念、判断和推理等心理活动，对客观事物进行加工、处理和再现的精神活动。

1.2 思维的特点思维具有客观性、综合性、多样性、动态性和能动性等特点。

1.3 思维的功能思维的功能主要包括认识的功能、引导行为的功能、传统文化的功能和发明创新的功能等。

二、思维的发展规律2.1 思维的传统规律思维的传统规律主要包括辨证性、系统性、发展性和设计性等。

2.2 思维的科学规律思维的科学规律主要包括真实性、明确性、有限性和相对性等。

2.3 思维的创新规律思维的创新规律主要包括创造性、跨界性、协同性和进步性等。

三、思维的方法与技巧3.1 分析思维方法分析思维方法主要包括归纳分析、演绎分析和类比分析等。

3.2 综合思维方法综合思维方法主要包括综合分析、整体综合和多角度综合等。

3.3 创新思维方法创新思维方法主要包括提出问题、思维拓展和思维突破等。

四、思维的误区与修正4.1 经验主义思维的误区经验主义思维的误区主要表现为片面性、死板性和机械性等。

4.2 盲目性思维的误区盲目性思维的误区主要表现为轻率性、随意性和局限性等。

4.3 极端性思维的误区极端性思维的误区主要表现为绝对性、偏激性和狭隘性等。

五、思维的学习与提高5.1 思维的学习方式思维的学习方式主要包括阅读、实践和交流等。

5.2 思维的提高方法思维的提高方法主要包括积累经验、培养兴趣和学会思辨等。

5.3 思维的评价与反思思维的评价与反思主要包括对成功经验的总结、对失败经验的反思和对现有思维模式的调整。

六、思维的应用6.1 在学习中的应用思维在学习中的应用主要包括解决问题、分析事物和评价论断等。

6.2 在工作中的应用思维在工作中的应用主要包括创新思维、决策思维和领导思维等。

6.3 在生活中的应用思维在生活中的应用主要包括问题解决、人际沟通和时间管理等。

统编版2023-2024学年高二政治选择性必修三逻辑与思维第一课走进思维世界同步练习一、选择题1．相传，重耳为了躲避祸乱，流亡他国长达十九年，期间介子推始终追随左右，甚至割股啖君以充饥。

但重耳成为晋文公后，介子推却选择与母亲归隐绵山。

为了迫使介子推出山相见，晋文公轻信他人意见，下令放火烧山，但介子推坚决不出山，最终被火焚而死。

为了纪念这位忠臣，晋文公在介子推死难之日禁火寒食，以寄哀思，这便是寒食节的由来。

晋文公轻信他人意见酿成惨剧的典故，告诫我们（）①感性认识在通常情况下不可信，也靠不住①借鉴他人意见应注意时间、地点和条件变化①感性认识和理性认识相互依赖、相互转化①要善于运用概念、判断和推理进行理性思考A．①①B．①①C．①①D．①①2．2023年7月，致信祝贺中巴经济走廊启动十周年庆祝活动在巴基斯坦举行时表示，中巴经济走廊是“一带一路”重要先行先试项目。

中巴经济走廊已经成为中巴全天候友谊的生动诠释，为两国构建新时代更加紧密的中巴命运共同体提供了重要支撑。

这一论述（）①运用了以概念为基本单元进行的抽象思维①在感觉的基础上抽象和概括了事物的形象特征①以形象思维为主，并辅之以抽象思维①思维表达严谨，揭示了事物的本质和规律A．①①B．①①C．①①D．①①3．他多次要求党的领导干部提高战略思维、历史思维、辩证思维、创新思维、底线思维能力。

这些“思维”是（）①人们认识事物本质、把握事物规律的重要思维方式①人们认识事物本质、把握事物规律的具体理性认识①以感性形象作为运行的基本单元①具有指导性和针对性的科学的思想方法和工作方法A．①①B．①①C．①①D．①①4．古诗词是我们宝贵的文化遗产，也是中华优秀文化的重要组成部分。

很多诗词意境不仅华丽秀美，而且蕴含着璀璨的智慧之光。

下列诗词语句与思维特征对应正确的是（）①“白鹭立雪，愚人看鹭，聪者观雪，智者见白”，体现了思维的科学性1/ 14①“天有不测风云，人有旦夕祸福”，主要体现了思维的概括性①“月晕而风，础润而雨”，体现了思维的概括性、间接性和能动性①“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，主要体现了思维的概括性A．①①B．①①C．①①D．①①5．模拟画像，一般是指在有目击者参与协助调查的案件中，通过目击者口述，画像师根据各种信息画出嫌疑人的面部肖像，协助警方寻找嫌疑人的一种公安刑侦技术手段。

第六章知识总结及测试一、单选题（每题只有一个选项有正确答案，每题5分，8题共 40分） 1．（2020·全国高一课时练习）在矩形ABCD 中，1AB =，AD =，点M 在对角线AC 上，点N 在边CD 上，且14AM AC =，13DN DC =，则MN AC ⋅=（ ） A ．12B ．4C ．73D ．316【答案】C【解析】11131344412MN AN AM AD AB AD AB AD AB =-=+--=+， 所以2231315()4124126MN AC AD AB AB AD AD AB AB AD ⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪⎝⎭9174123=+=.故选：C. 2．（2020·全国高一课时练习）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ）A ．12(00)(12)e e ==-，，， B ．12(12)(57)e e =-=，，， C ．12(35)(610)e e ==，，， D ．1213(23)()24e e =-=-，，， 【答案】B【解析】因为A ，C ，D 选项中的两个向量均存在实数使得12e e λ=，所以两向量均共线，故不可作为基底．因为B 选项中的两个向量不存在实数使得12e e λ=，所以两向量不共线，所以可以作为一组基底．故B 正确． 3．（2020·天津河东区·高一期中）已知5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线【答案】A 【解析】5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-∴5=+=+BD BC CD a b ， ∴AB BD =， ∴AB 与BD 共线，A ∴、B 、D 三点共线．故选：A ．4．（2020·全国高一课时练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：2a b cS p ++==；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为10+ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．12【答案】C【解析】在ABC 中，因为sin :sin :sin 2:A B C =，由正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==设2a x =，3=b x ，c =，且10a b c ++=+∴2310x x +=+2x =，即4a =，6b =，c =52a b cp ++==，∴S==故选：C .5．（2020·全国高一课时练习）如果向量(0,1)=a ，(2,1)b =-，那么|2|a b += ( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】B【解析】由已知2(4,3)a b +=-，所以2|2|(4)5a b +=-=，故选：B ．6．（2020·全国高一课时练习）设a ，b 是两个不共线的平面向量，已知2m a b =-，3()n a kb k R =+∈，若//m n ，则k =（ ） A ．2 B ．-2C ．6D ．-6【答案】D【解析】因为//m n ，故,m n R λλ=∈，故()323a kb kb a b a λλλ-==++，因为a ，b 是两个不共线的平面向量，故132k λλ=⎧⎨-=⎩，解得136k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.故选：D7．（2020·四川省叙永县第一中学校高一期中）在ABC 中，下列各式正确的是（ ） A ．sin sin a Bb A= B ．sin sin a C c B = C ．2222cos()c a b ab A B =+-+ D ．sin()sin a A B c A +=【答案】D【解析】对于选项A ：由正弦定理有sin sin sin a b cA B C ==，故sin sin a A b B=，故选项A 错误； 对于选项B ：因为sin sin a cA C=，故sin sin a C c A =，故选项B 错误； 对于选项C ：cos()cos A B C +=-，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得2222cos()c a b ab A B =+++；故选项C 错误；对于选项D ：由正弦定理可得sin sin a cA C=，再根据诱导公式可得：sin sin()a c A A B =+，即sin()sin a A B c A +=，故选项D 正确；故选：D8．（2019·陕西省黄陵县中学高一期末）已知C 为ABC ∆的一个内角，向量()()2cos 1,2,cos ,cos 1m C n C C =--=+.若m n ⊥，则角C =()A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】m n ⊥=0m n ⇔⋅()()2=2cos 1cos 2cos 12cos 3cos 2=0m n C C C C C ⋅--+=--即(2cos 1)(cos 2)0C C +-= 1cos =2C ⇒-23C π⇒=,选C. 二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分共4题20分）9．（2020·江苏镇江市·高一期末）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，4ABC S =△，且b = ）A ．1cos 2B =B ．cos 2B =C ．a c +=D ．a c +=【答案】AD 【解析】∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵4ABC S =△，且3b =，11sin 22ac B a c ==⨯⨯=， 解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD.10．（2020·全国高一单元测试）已知两点()()2,1,3,1A B -，与AB 平行，且方向相反的向量a 可能是（ ）A ．()1,2a =--B ．()9,3a =C ．()1,2a =-D ．()4,8a =--【答案】AD【解析】()1,2AB =，A 选项， ()1,2a AB =--=-，故满足题意 D 选项，()4,84a AB =--=-，故满足题意 B 、C 选项中的a 不与AB 平行 故选：AD11．（2020·全国高一课时练习）已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 【答案】CD【解析】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误； 对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2a b b⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.12．（2020·全国高一）对于三角形ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则三角形ABC 是钝角三角形 B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的三角形ABC 有两个D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD【解析】对于A ，因为sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，所以由正弦定理得222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以三角形ABC 是钝角三角形，所以A 正确；对于B ，因为A ＞B ，所以a b >，所以由正弦定理得sin A ＞sin B ，所以B 正确；对于C ，由余弦定理得，22212cos 641002810842b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以b =，所以符合条件的三角形ABC 有一个，所以C 错误； 对于D ，因为tan tan tan()1tan tan B CB C B C++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )B C B C B C +=+- 因为tan()tan()tan B C A A π+=-=-，所以tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan B C B C B C A B C A +=+-=-， 所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确， 故选：ABD三、填空题（每题5分，4题共20分）13．（2020·浙江杭州市·高一期末）在ABC 中，4,5,6AB BC AC ===，点M 为ABC 三边上的动点，PQ 是ABC 外接圆的直径，则MP MQ ⋅的取值范围是_______________________ 【答案】[]9,0-【解析】设外接圆的圆心为O ，半径为R ，可得()()MP MQ MO OP MO OQ ⋅=+⋅+()2MO MO OP OQ OP OQ =+⋅++⋅ 22MO R =-，M 为ABC 三边上的动点，可知MO 的最大值为O 到三角形顶点的距离，即为半径R ，且MO 的最小值为O 到AC 边的距离，过O 作0OM AC ⊥，垂足为0M ，则0OM ==∴MP MQ ⋅的最大值为220R R -=，最小值为2222099OM R R R -==--=-，故MP MQ ⋅的取值范围是[]9,0-. 故答案为：[]9,0-.14．（2020·安徽安庆市·桐城市第八中学高一期中）已知向量()()()12311a b c λ===，，，，，.若2-a b 与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 ________.【答案】【解析】∵()()123a b λ==，，，∴()()21222336a b λλ-=-⨯⋅-⨯=--，. 又∵2a b -与c 共线，∴36λ-=-，∴3λ=，∴()13a =，， ∴a 在c 方向上的投影为22a c c⋅=.15．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________.【解析】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=， 而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥.16．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角60α=︒，在塔底C 处测得点A 的俯角45β=︒，已知铁塔BC 部分高32米，山高CD =_______．【答案】1)米【解析】由60α=︒，45β=︒易得 60BAD ∠=︒，45CAD ∠=︒，设AD x =，则tan tan 45CD AD CAD AD x =⋅∠=⋅︒=，tan tan 60BD AD BAD AD =⋅∠=⋅︒=，32BC BD CD x ∴=-=-=，1)x ∴==． 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2020·深圳市）已知向量a =（cos x x ），b =（cos x ，sin x ）．（1）若a ∥b ，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求x 的值；（2）若f （x ）a =•b ，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求f （x ）的最大值及相应x 的值． 【答案】（1）2x π=或3x π=（2）()f x 的最大值为32，此时6x π= 【解析】（1）∵()a cosx =，，()b cosx sinx =，，a b ，∴2cosxsinx x =，∴()0cosx sinx -=，∴cos x ＝0或0sinx =，即cos x ＝0；或tan x = ∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴2x π=或3x π=；（2）()f x a b =⋅2cos x = 1222cos x x +=1262sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴72666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴12162sin x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，∴()302f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 故f （x ）的最大值为32，此时6x π=． 18．（2020·全国高一课时练习）ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+. （1）求角A ；（2）从三个条件：①3a =；②3b =；③ABC 的面积为ABC 周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】（1）因为sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+， 所以()ba cbc a c-=-+，得222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）分三种情况求解：选择①3a =，因为,33A a π==，由正弦定理得sin sin sin bcaB C A ===即ABC的周长3=++=++l a b c B C233π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭l B B3cos 3B B =++6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以51,sin 166626B B ππππ⎛⎫<+<<+ ⎪⎝⎭，即ABC 周长的取值范围是(6,9].选择②3b =,因为,33A b π==，由正弦定理得,2sin =a B23sin 3sin 33sin sin 2π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+B C c B B即ABC的周长92=++=++l a b c)21cos 9922sin 224sin cos 22BB B B B +=+=+922tan 2=，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以023B π<<，所以0tan 2B <<， 即ABC 周长的取值范围是(6,)+∞.选择③ABC S =.因为1,sin 32ABC A S bc A π====，得12bc =， 由余弦定理得22222()3()36a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，即ABC 的周长l a b c b c =++=++，因为2b c bc +=，当且仅当b c ==所以2(43)l =即ABC 周长的取值范围是)+∞.19．（2020·全国高一课时练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 5A =. （1）若ABC 的面积为3，求AB AC ⋅的值；（2）设2sin ,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//m n ，求()sin 2B C -的值.【答案】（1）92AB AC ⋅=；（2）()sin 250B C -=-.【解析】（1）0A π<<，sin 0A ∴>，则4sin 5A ==， ABC 的面积为114sin 3225ABC S bc A bc ==⨯⨯=△，152bc ∴=. 因此，1539cos 252AB AC cb A ⋅==⨯=； （2）2sin ,12B m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//m n ，所以，2sin cos cos 22B B B =，即sin cos B B =，tan 1B ∴=.0B π<<，4B π∴=. 223337sin 2sin 2sin 2cos 212cos 1242525C A A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 334324cos 2cos 2cos 2sin 22sin cos 2425525C A A A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-⨯⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，())247sin 2sin 2cos 2sin 242525B C C C C π⎛⎫⎛⎫-=-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．（2020·全国高一课时练习）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-，且2cos p q C ⋅=（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若3,23c a b =+=，求ABC ∆中边上的高h .【答案】(1)3C π=;(2)32. 【解析】（1）因为22cos sin sin sin p q B A A B ⋅=-+，所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，根据正弦定理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 所以3C π= ；（2）由余弦定理()22232cos33a b ab a b ab π=+-=+-，又a b +=3ab =，根据ABC ∆△的面积11sin 22S ab C ch ==，即11322⨯=， 解得32h =， 所以ABC ∆中AB 边上的高32h =． 21．（2020·全国高一课时练习）如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=，2DB AD =，2CE EB =.（1）求CD 的长；（2）求AB DE ⋅的值．【答案】（1；（2）73. 【解析】（1）2DB AD =，13AD AB ∴=，13CD AD AC AB AC ∴=-=-， 2AB =，3AC =，60BAC ∠=，1cos602332AB AC AB AC ∴⋅=⋅=⨯⨯=. 2222221*********3933CD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-=-⋅+=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭； （2）2CE EB =，13BE BC ∴=， ()212111333333DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+， 221111117233333333AB DE AB AB AC AB AB AC ⎛⎫∴⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 22．（2020·全国高一单元测试）已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，12122,,AB e e BE e e EC λ=+=-+=122e e -+，且A ，E ，C 三点共线．（1）求实数λ的值； （2）若()()122,1,2,2e e ==-，求BC 的坐标；（3）已知()3,5D ，在（2）的条件下，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．【答案】（1）32λ=-；（2）(－7，－2)；（3）(10，7)． 【解析】（1）()()()12121221AE AB BE e e e e e e λλ=+=++-+++＝.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE =k EC ，即()()121212e e k e e λ++=-+，得()()12121k e k e λ+=--. 因为12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，所以12010k k λ+=⎧⎨--=⎩解得13,λ22k =-=-.（2）()()()12136,31,17,22BE EC e e +=--=--+-=--．（3）因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， 所以AD BC =.设A (x ，y )，则()35AD x y =--，，因为()7,2BC =--，所以3752x x -=-⎧⎨-=-⎩解得107x y =⎧⎨=⎩ 即点A 的坐标为(10，7)．。

思维训练06 思维总结与递进二（通用版）
一、填空题(共2道，每道20分)
1.有一个数列，它的第1项是3、第2项是6、第3项是12、第4项是24、……则第n项是____。

答案：
试题难度：三颗星知识点：等比数列
2.平面上3个圆最多能将平面分为____部分。

n个圆最多能将平面分为____部分。

答案：8,
试题难度：三颗星知识点：等差数列应用
二、计算题(共1道，每道20分)
3.计算：
答案：44200
试题难度：三颗星知识点：等差数列
三、解答题(共2道，每道20分)
4.平面上有100条直线，这100条直线最多可以把平面分成多少个区域？
答案：5051
试题难度：三颗星知识点：等差数列应用
5.从下图所示状态直至完成，至少还需要挪几步？
答案：63
试题难度：三颗星知识点：等比数列应用
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