【苏教版】数学必修四：教案学案三角恒等变换单元练习题

数学苏教必修4第3章 三角恒等变换单元检测(满分：100分 时间：60分钟)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．若α的值为__________．2．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，2c ，则a ，b ，c 的大小关系是__________．3．已知2sin 3α＝，则cos(π－2α)＝__________. 4．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值是__________．5__________．6．已知α∈(π，2π)＝__________. 7．若π1sin =63α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________. 8．若θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ的值为__________． 9．(2012江苏高考，11)设α为锐角，若π4cos =65α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．10．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝__________.二、解答题(本大题共4小题，共50分)11．(12分)已知12cos 13α＝，4sin 5β-＝，α，β均是第四象限角，求sin(α－β)的值． 12．(12分)已知函数()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－． (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 13．(12分)化简下列各式：； (2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 14．(14分)已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2cos 22f αα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，求α的大小．参考答案1. 答案：－3解析：原式＝cos 2sin |cos ||sin |αααθ+＝cos 2sin cos sin αααα+--＝－1－2＝－3. 2. 答案：a ＜c ＜b解析：a sin 59°，b sin 61°，c sin 60°，所以a ＜c ＜b .3. 答案：19- 解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝19-. 4. 答案：4解析：(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋[tan(21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)]＋tan 21°tan 24°＝2，同理，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，所以原式＝4.5.解析：＝cos20cos35(cos10sin10)︒︒⋅︒-︒＝sin70︒︒. 6. 答案：cos 2α-∵α∈(π，2π)，∴2α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，.∴cos <02α.cos 2α-. 7. 答案：79- 解析：∵πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ππcos 26α⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝π1cos =33α⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭＝πcos 23α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝2π2cos 13α⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2×19－1＝79-.8. 答案：3解析：(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ ＝5192+sin 22θ＝1，故28sin 29θ＝. 又因为2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2(k ∈Z )， 所以4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π(k ∈Z )．所以sin 2θ＞0，即sin 23θ＝.9. 解析：∵α为锐角，π4cos =65α⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴π3sin =65α⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴πsin 26α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝ππ2sin cos 66αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝34242=5525⨯⨯， 且0＜α＋π6＜π4，故0＜α＜π12， ∴π26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2α＋π3∈ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴π7cos 2=625α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππsin 234α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝ ＝ππsin 2cos 34α⎛⎫+⎪⎝⎭ππcos 2sin 34α⎛⎫+ ⎪⎝⎭－ ＝ππππsin 2cos cos 2sin 6464αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝2472525-. 10. 答案：π6解析：m ⊥n ⇒3cos A －sin A ＝0⇒A ＝π3，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C ⇒C ＝π2，∴B ＝π6. 11. 解：∵α，β均是第四象限角，∴5sin=13α-，3cos5β.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝5312433=13513565⎛⎫-⨯-⨯-⎪⎝⎭.12.解：(1)因为()π4cos sin16f x x x⎛⎫+⎪⎝⎭＝－＝14cos cos122x x x⎛⎫+⎪⎪⎝⎭－sin 2x＋2cos2x－1sin 2x＋cos 2x＝π2sin26x⎛⎫+⎪⎝⎭，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为π6－≤x≤π4，所以π6－≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即当π6x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝π6－，即π6x＝－时，f(x)取得最小值－1．13.解：(1)2sin8012sin50cos10cos1022⎛⎫︒︒+︒+︒⎪︒()2sin802sin50cos6010︒︒+︒-︒＝2cos5⎫︒︒⎪⎝⎭︒＝2cos(5045)cos5︒-︒︒＝2.(2)解法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin20cos20cos40cos804sin20︒︒︒︒︒＝2sin 40cos 40cos802sin80cos808sin 2016sin 20︒︒︒︒︒=︒︒＝sin160116sin 2016︒==︒. 解法二：令M ＝sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°，N ＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°，则MN ＝(sin 10°cos 10°)(sin 30°cos 30°)(sin 50°cos 50°)(sin 70°cos 70°) ＝412sin 20°sin 60°sin 100°sin 140° ＝412cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝412N ， ∴116M ＝，即sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116. 14. 解：(1)由ππ242x k π+≠+，k ∈Z ， 得ππ82k x ≠+，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为ππ|,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z . f (x )的最小正周期为π2. (2)由2f α⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2cos 2α， 得πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos 2α， 即πsin 4πcos 4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2(cos 2 α－sin 2 α)， 整理得sin cos cos sin αααα+-＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即1sin 22α＝. 由α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以π2=6α，即π=12α.。

3.1.2 两角和与差的正弦一、填空题1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是________．2．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是________． 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为________．4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为________． 5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是________三角形．6．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是______． 7．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C ＝________. 8．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________． 二、解答题9．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β. 10．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． 三、探究与拓展12．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．答案1．－12 2.725 3.±1 4．2 5．等腰 6.137 7.33658. 3 9．解 ∵α为锐角，sin α＝55， ∴cos α＝255. ∵－π2<α－β<π2且sin(α－β) ＝－1010， ∴cos(α－β)＝31010， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝1010×255＋31010×55＝22， ∵β为锐角，∴β＝π4. 10．解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－5665. 11．解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365. 12．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β.∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。

三角恒等变换单元练习题一、选择题（5×12＝60分） 1．cos 2π8 －12 的值为A.1B. 12C.22D.242．tan π8 －cot π8 等于A.－2B.－1C.2D.03．若sin θ2 ＝35 ，cos θ2 ＝－45 ，则θ在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．cos 25π12 ＋cos 2π12 ＋cos 5π12 cos π12 的值等于A.62B. 32C. 54D.1＋345．已知π＜α＜3π2 ，且sin(3π2 ＋α)＝45 ，则tan α2等于A.3B.2C.－2D.－3 6．若tan θ＋cot θ＝m ，则sin2θ等于 A. 1mB. 2mC.2mD.1m 27．下面式子中不正确的是A.cos(－π12 )＝cos π4 cos π3 ＋64B.cos 7π12 ＝cos π4 ·cos π3 －22sin π3C.sin(π4 ＋π3 )＝sin π4 ·cos π3 ＋32cos π4D.cos π12 ＝cos π3 －cos π48．如果tan α2 ＝13 ，那么cos α的值是A. 35B. 45C.－35D.－459．化简cos （π4 ＋x ）－sin （π4＋x ）cos （π4 ＋x ）＋sin （π4 ＋x ）的值是A.tan x2B.tan2xC.－tan xD.cot x10．若sin α＝513 ，α在第二象限，则tan α2 的值为A.5B.－5C. 15D.－1511．设5π＜θ＜6π，cos θ2 ＝a ，则sin θ4 等于A.－1＋a2B.－1－a2C.－1＋a2D.－1－a212．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2 ，则此三角形为A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题(4×6＝24分)13．若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝_____.14．已知sin α＝13 ，2π＜α＜3π，那么sin α2 ＋cos α2 ＝_____.15．cos 5π8 cos π8＝_____.16．已知π＜θ＜3π2 ，cos θ＝－45 ，则cos θ2 ＝_____.17．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.18．若cos(α＋β)＝45 ，cos(α－β)＝－45 ，且π2 ＜α－β＜π，3π2＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.第Ⅱ卷一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13 14 1516 17 18三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)19．已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos2α＋cos2β的值.20．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sinα、tanα.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14 ，求cos4x 的值.22．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).三角恒等变换单元练习题答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DADCDBDBCADB二、填空题 1355 14 －233 15 －24 16 －1010 17 1 18 －725－1 三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)19．已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝0，求cos2α＋cos2β的值.1 20．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α. 解：∵sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0即：cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0⇒cos 2α(sin α＋1)(2sin α－1)＝0 又α∈(0，π2 )，∴cos 2α>0，sin α＋1>0.故sin α＝12 ，α＝π6 ，tan α＝33.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14，求cos4x 的值.解析：由sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14⇒12 ［sin(2x －π)＋sin(－π2 )］＝－14 ⇒sin2x ＝－12 ⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝12 .22．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcos α－sin2αsin α ＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α ＝2cos 3α－cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α ＝4cos 3α－3cos α＝右边.23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β)的值. 解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2－4px －2＝1的两根.∴⎩⎨⎧tan α＋tan β＝4p tan αtan β＝－3∴tan(α＋β)＝4p1－（－3）＝p .∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β) ＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin 2(α＋β)＋2sin 2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2。

问题1：我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式，那么S (α＋β)＋S (α－β)，S (α＋β)－S (α－β)，C (α＋β)＋C (α－β)，C (α＋β)－C (α－β)会得到怎样的结论？ 提示：(1) sin(α＋β)＋sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)＋(sin αcos β－cos αsin β) ＝2sin αcos β；(2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)－(sin αcos β－cosαsin β)＝2cos αsin β；(3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(cos αcos β＋sinαsin β)＝2cos αcos β；(4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)－(cos αcos β＋sinαsin β)＝－2sin αsin β.问题2：将问题1得到的结论中α＋β，α－β看作一个整体，又会得到什么样的结论？ 提示：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sinα－β2.积化和差公式与和差化积公式(公式不要求记忆) (1)积化和差公式：sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]；cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式： sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sinα－β2.问题：如何用tan α2表示sin α、cos α、tan α？提示：sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2tan α21＋tan2α2；cos α＝cos 2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tanα21－tan 2α2.万能公式(1)sin α＝2tanα21＋tan2α2.(2)cos α＝1－tan2α21＋tan 2α2.(3)tan α＝2tanα21－tan 2α2.1．公式的推导积化和差公式的推导运用方程的思想把S (α＋β)与S (α－β)(或C (α＋β)与C (α－β))看作二元一次方程组解方程推得．和差化积公式的推导主要是角的变换．要认真体会这种思想方法．2．公式的记忆课标虽然对此二组公式不要求记忆，但记住运用起来总是方便些．可这样记忆公式： 积化和差由一项变两项应加系数12；和差化积由两项变一项加系数2；系数2则角半．“正加得正余弦，正减得余正弦，余加得余弦积，余减得正弦积”．“正余得正弦和，余正得正弦差，余积得余弦和，正积得正弦差”，角的规律是先和后差． 两角α、β的正弦、余弦的积都可化为12[f (α－β)±f (α＋β)]的形式．如果两角的函数同为正弦或余弦，则“f ”表示余弦；如果一个为正弦一个为余弦，则“f ”表示正弦．[例1] 求下列各式的值． (1)sin 37.5°cos 7.5°；(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.[思路点拨] 利用积化和差公式对所给式子进行变形，然后利用特殊角进行求解． [精解详析] (1)sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12 ＝2＋14. (2)sin 20°cos70 °＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. [一点通] 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．1．函数y ＝cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为________．解析：cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝12⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12cos π3＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14，∴最小正周期为π. 答案：π2．化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． 解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos (－2θ)] ＝－2sin θ(－12－cos 2θ)＝sin θ＋2sin θcos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ) ＝sin 3θ.[例2] 求函数f (x )＝sin 52x 2sinx 2－12的值域．[思路点拨] (1)先通分，将sin 5x 2－sinx2和差化积．(2)再积化和差得函数． (3)在定义域内求值域． [精解详析] f (x )＝sin 5x 2－sinx22sinx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2sinx 2＝2cos 3x2sin x2sinx 2＝2cos 3x 2cos x2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2 ＝cos2 x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.∵sin x 2≠0，∴x2≠k π，即x ≠2k π(k ∈Z )． ∴－1≤cos x <1.当cos x ＝－14时，f (x )min ＝－98，当cos x 趋于1时，f (x )趋于2.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－98，2.[一点通] 通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容，一般对同名异角三角函数的和或差可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．3．求sin 2 20°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．解：法一：原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 100°)＋sin 20°·cos 50°＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12(sin 70°－sin 30°)＝34－sin 70°·sin 30°＋12sin 70° ＝34. 法二：原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50° ＝(2sin 30°·cos 10°)2－12(sin 70°－sin 30°)＝cos 210°－12cos 20°＋14＝1＋cos 20°2－12cos 20°＋14＝34. 4．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．解：∵cos α－cos β＝12，∴－2sinα＋β2sinα－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sinα－β2＝－13.②∵sinα－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例3] 设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．[思路点拨] 利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ即可．[精解详析] 由sin θ＝2tanθ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan 2θ2＝1＋t21＋t2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan2θ2＝21＋t 1＋t 2， 故1＋sin θ1＋sinθ＋cos θ＝12(t ＋1)．[一点通] 在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值．5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin 2θ－2cos 2θ的值．解：令tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12.sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2 θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 6．已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求sin(α＋β)，cos(α＋β)的值．解：∵sin α＋sin β＝2sinα＋β2cosα－β2＝14，cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2＝13. ∴tanα＋β2＝34. ∴sin(α＋β)＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×341＋916＝2425，cos(α＋β)＝1－tan 2α＋β21＋tan 2α＋β2＝1－9161＋916＝725.1．应用积化和差、和差化积公式应从以下几个方面考虑； (1)运用公式之后，能否出现特殊角；(2)运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；(3)运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．2．积化和差、和差化积公式的应用(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．(2)对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化简结果可能在形式上不一致．不论使用哪套公式，只要正确使用公式，结果一般会殊途同归．有时为回避使用积与和差互化，可凑角后使用诱导公式、倍角、半角、和差角公式等．课下能力提升(二十七)一、填空题 1．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确等式的个数是________． 解析：只有⑤正确． 答案：12．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2 α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β. ∴cos 2 α－sin 2β＝13.答案：133．若tan θ＋1tan θ＝m ，则sin 2θ＝________. 解析：∵tan θ＋1tan θ＝m ，即tan 2θ＋1tan θ＝m ，∴sin 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2m . 答案：2m4．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________． 解析：∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )． 又－π2<A －B <π2，而0<cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.答案：125．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34. 答案：－34二、解答题6．求值：cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7.解：cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝12sin2π7⎝⎛2sin 2π7·co s 2π7＋2sin 2π7·co s 4π7＋2sin 2π7·⎭⎪⎫cos 6π7＝12sin2π7⎣⎢⎡sin 4π7＋sin 6π7＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π7＋sin 8π7＋⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π7＝12sin 2π7⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π7＋sin π7－sin 2π7－sin π7－sin 4π7 ＝12sin2π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝－12.7．求函数f (x )＝cos 4x cos 2x －cos 23x 的最大值和最小值．第- 11 -页 共11页 解：f (x )＝12[cos(4x ＋2x )＋cos(4x －2x )]－1＋cos 6x 2＝12(cos 6x ＋cos 2x )－12－12cos 6x ＝12cos 2x －12＝－1－cos 2x 2＝－sin 2x .∵0≤sin 2 x ≤1.∴f (x )的最大值为0，最小值是－1.8．求值：cos 2 71°＋cos 71°cos 49°＋cos 2 49°.解：原式＝1＋cos 142°2＋12(cos 120°＋cos 22°) ＋1＋cos 98°2 ＝12＋12cos 142°－14＋12cos 22°＋12＋12cos 98° ＝34＋12(cos 142°＋cos 98°)＋12cos 22° ＝34＋cos 120°cos 22°＋12cos 22°＝34.。