二维欧拉方程及其无量纲化

欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1）的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=. （其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+，()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-=是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=,其根为： 121K K ==,所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=,其根为： 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=.解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=,其根为： 1,212K i =-±,所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =, （5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程 212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 2xy K y p '-=,代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和 2K p y y x x '-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为 11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰, （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰, （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为 111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰ 证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰ （其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =，所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±,所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x x x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x （其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''.（9） （其中1a ，2a ，3a 为常数）（9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10） 特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=.（11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12） 证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=(iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=（iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得 1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. (16）定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为]cos(ln k β120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.。

纵列式双旋翼直升机气动力和流场的数值模拟王彩枫;杨永飞;林永峰;黄明恪【摘要】纵列式双旋翼直升机的旋翼尾迹受前飞自由流、机身和旋翼之间的干扰影响,旋翼尾迹不仅影响机身的空气动力,也影响旋翼自身的空气动力特性.应用欧拉方程与计算流体力学(CFD)方法,采用自适应非结构直角网格技术生成计算域网格,数值模拟纵列式双旋翼直升机全机流场,给出了考虑旋翼影响的机身表面压力分布以及全机流场特性.【期刊名称】《直升机技术》【年(卷),期】2012(000)001【总页数】6页(P11-15,24)【关键词】纵列式双旋翼;CFD分析;数值模拟;流场【作者】王彩枫;杨永飞;林永峰;黄明恪【作者单位】中国直升机设计研究所,江西景德镇333001;中国直升机设计研究所,江西景德镇333001;中国直升机设计研究所,江西景德镇333001;南京航空航天大学航空宇航学院,江苏南京210016【正文语种】中文【中图分类】V211.520 引言纵列式直升机旋翼的尾迹受前飞自由流、机身和旋翼之间的干扰影响，旋翼尾迹不仅影响机身的空气动力，也影响旋翼自身的空气动力特性。

因此，旋翼之间以及旋翼和机身的相互干扰一直是直升机空气动力学中的重要课题。

经典的旋翼涡流理论，无论是固定尾迹还是自由尾迹模型，都不能考虑机身的影响，因为它们都是以无旋位流理论为基础，用线涡系来模拟尾迹。

欧拉方程是精确的无粘气体动力学方程组，可以模拟有旋流动。

用欧拉方程计算无需专门考虑翼面后的尾迹旋涡，它们会自动地包含在计算结果之中。

对直升机来说，能比较容易地考虑旋翼之间以及旋翼和机身的相互干扰。

本文应用计算流体力学(CFD)方法，采用自适应非结构直角网格和欧拉方程计算双旋翼直升机全机绕流。

直升机绕流多为非定常流，但是，如果采用非定常来处理，计算时间很长，难以在工程上应用。

本文采用的方法是对直升机桨盘平面进行时间和空间的平均［1-4］，从而将非定常问题转化为定常问题。

二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。

当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。

本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。

量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。

流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。

流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。

相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。

根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。

在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。

例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。

雷诺数是用来判断流体流动特性的无量纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S 方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。

第36卷第1期2021年2月Vol.36No.1Feb.2021电力学报JOURNAL OF ELECTRIC POWER文章编号：1005-6548（2021）01-0067-06中图分类号：TU470.3文献标识码：B学科分类号：47040 DOI：10.13357/j.dlxb.2021.009开放学科（资源服务）标识码（OSID）：变分解法对输电杆塔回填土体基础上拔角的研究张永建1，张世隆1，陈杰2（1.中国电建集团海南电力设计研究院有限公司，海口571100；2.海南电网有限责任公司，海口570203）摘要：根据《架空输电线路基础设计技术规程》（DL/T5219-2014）［1］，回填土基础土按照“土重法”计算，发生上拔破坏时，上拔角按照经验值确定存在一定理论缺陷；通过变分法原理，建立静力学平衡方程，结合相应边界条件，得到回填土基础上拔破坏面基本方程以及滑裂面上正应力方程，相应获得输电线路回填土基础土体上拔极限承载力理论计算公式；再根据该理论计算，分析了内摩擦角、黏聚力、基础埋深对计算上拔角以及上拔极限承载力的影响，指出了“土重法”计算回填土基础上拔承载力时存在的问题。

关键词：输电杆塔；上拔角；极限承载力；变分法；黏聚力；基础埋深Variational Solution Study on the Uplift Angle ofBackfill Foundation of Transmission TowerZHANG Yong-jian1，ZHANG Shi-long1，CHEN Jie2（1.Hainan Electric Power Design&Research institute of Power China Co.,Ltd.,Haikou571100,China;2.Hainan Power Grid Co.,Ltd.,Haikou570203,China）Abstract：According to the soil weight method from Technical Code for design of foundation of overhead trans⁃mission line(DL/T5219—2014)[1],when the backfill foundation occurs uplift failure,there are some theoreticaldefects in the determination of uplift angle on the basis of empiric value.Basic equation of uplift failure surface of backfill foundation and normal stress equation of sliding surface can be got by the equation of static equilibrium established by the variational solution and corresponding boundary conditions.The theoretical calculation formu⁃la of the uplift ultimate capacity can be also got.The influence of the internal friction angle,cohesion and founda⁃tion depth on the calculation of uplift angle and uplift ultimate capacity is analyzed.The defect is pointed out when uplift capactiy of backfill foundation is calculated by the soil weight method.Key words：transmission tower;uplift angle;ultimate capacity;variational solution;cohesion;foundation depth0概述大开挖的输电杆塔基础，是把基础埋置于预先挖好的基坑内，并将回填土夯实。

基于非结构网格二维Euler方程的Jameson求解方法姓名：学号：摘要本文介绍了基于CFD理论的求解二维可压缩流Euler方程的Jameson中心格式方法。

在空间离散上采用的是有限体积法，时间上采用的是四步显式Runge －Kutta迭代求解。

人工耗散项为守恒变量的二阶和四阶差分项。

边界条件采用的是无反射边界条件，并采用当地时间步长进行加速收敛。

最后对NACA0012翼型划分了三角形，并应用本文程序进行数值模拟，结果较为理想。

关键字：CFD，Jameson中心格式，Euler方程，有限体积法AbstractA method for the numerical solution of the two-dimensional Euler equations has been developed. The cell-centred symmetric finite-volume spatial discretisation is applied in a general formulation. The integration in time, to a steady-state solution, is performed using an explicit, four-stage Runge－Kutta procedure. The artificial dissipation is constructed as a blending of second and fourth differences of the conserved variables. And in the boundary, there is none of the outgoing waves are reflected back into the computational domain. An acceleration technique called local time stepping is used. At last, standard test cases for both subsonic and supersonic flows have been used to validate the method.Key words：CFD, Jameson method,Euler equations, finite-volume第一章引言在工程应用的推动下，计算流体力学随着计算机技术的发展和计算格式的不断更新而迅猛发展。

doi:10.11676/qxxb2023.20220182气象学报适用于非静力大气模式的完全平衡多矩约束有限体积方法*张寅钲1,2 陈春刚3 沈学顺2,4 肖 锋5 李兴良2,4ZHANG Yinzheng1,2 CHEN Chungang3 SHEN Xueshun2,4 XIAO Feng5 LI Xingliang2,41. 中国气象科学研究院，北京，1000812. 中国气象局地球系统数值预报中心，北京，1000813. 西安交通大学，西安，7100494. 国家气象中心，北京，1000815. 东京工业大学机械工程系，东京，152-88501. Chinese Academy of Meteorological Sciences，Beijing 100081，China2. CMA Earth System Modeling and Prediction Centre，Beijing 100081，China3. Xi'an Jiaotong University，Xi'an 710049，China4. National Meteorological Centre，Beijing 100081，China5. Department of Mechanical Engineering，Tokyo Institute of Technology，Tokyo 152-8850，Japan2022-10-27收稿，2023-02-28改回.张寅钲，陈春刚，沈学顺，肖锋，李兴良. 2023. 适用于非静力大气模式的完全平衡多矩约束有限体积方法. 气象学报，81（4）：619-629Zhang Yinzheng， Chen Chungang， Shen Xueshun， Xiao Feng， Li Xingliang. 2023. A well-balanced multi-moment constrained finite volume method for nonhydrostatic atmospheric models. Acta Meteorologica Sinica， 81（4）:619-629Abstract The exact discrete hydrostatic balance cannot be kept in general when the vertical momentum equation is discretized in atmospheric numerical models. In order to exactly balance the discrete vertical pressure gradient force and gravity force, a well-balanced multi-moment constrained finite volume method for nonhydrostatic atmospheric flow is developed by introducing a well-balanced numerical formulation, in which a numerical reconstruction of the gravity source term is conducted in terms of a thermodynamic reference state that satisfies the hydrostatic balance. One-dimensional benchmarks show that the well-balanced multi-moment constrained finite volume method can maintain the numerical error of the hydrostatic reference state up to machine round off with a coarse grid spacing and can well simulate the propagation of small perturbations even in case of initial small perturbation. Two-dimensional nonhydrostatic thermal bubble test further confirms its ability of simulating nonhydrostatic atmospheric motion accurately. The above numerical experiments have verified the well-balanced property and applicability of the well-balanced multi-moment constrained finite volume method, which provides a good reference for the development of nonhydrostatic atmospheric models.Key words Well-balanced，Multi-moment constrained finite volume method，Nonhydrostatic atmosphere，Pressure gradient force，Gravitational source term摘 要 大气数值模式离散垂直动量方程时，一般而言气压梯度力和重力不易维持严格的静力平衡关系。

隐式Runge-Kutta方法在非定常化学非平衡流动中的应用李芳;刘鑫;尹万旺;张娟;陆林生【摘要】推导了求解NS方程组的隐式龙格-库塔方法,并从稳定性、精度和效率三方面展开讨论.通过定常和非定常算例对该方法进行验算,分析表明该方法计算结果正确、稳定性好、精度高、效率高,适合求解大型复杂非定常化学非平衡流动.%In this paper, the implicit Runge-Kutta Scheme is derived to solve the NS equations, and its characters of stability, precision and efficiency are studied respectively. Some benchmark cases are calculated to validate the capabilities of the numerical program. The results show that the implicit R-K method given in this paper has high stability, high precision and high efficiency, which make it suitable to compute the unsteady reactive nonequilibrium flow.【期刊名称】《空气动力学学报》【年(卷),期】2012(030)002【总页数】4页(P215-218)【关键词】非定常;化学非平衡;隐式;Runge-Kutta方法【作者】李芳;刘鑫;尹万旺;张娟;陆林生【作者单位】江南计算技术研究所,江苏无锡214083;江南计算技术研究所,江苏无锡214083;江南计算技术研究所,江苏无锡214083;江南计算技术研究所,江苏无锡214083;江南计算技术研究所,江苏无锡214083【正文语种】中文【中图分类】V211.30 引言本文研究一种适合于求解非定常化学非平衡流动的数值计算方法。

水下爆炸船体结构响应间断伽辽金法数值模拟于福临;郭君;姚熊亮;任少飞【摘要】In order to solve the underwater explosion flow field with large discontinuities, Level Set method was applied to track the interface position of the multi⁃medium flow, Ghost Fluid method was used to calculate the physical parameter of both sides of the interface, time and space were discretized by Runge⁃Kutta Discontinuous Galerkin Method, Euler equations of the flow field were solved. One⁃dimensional andtwo⁃dimensional assessments were conducted by RKDG approach. The results reflect the phenomena of underwater explosion shock wave generation, propagation, reflection and explosion products expansion. Finally, the shock responses and damage characteristics of hull plates under shock load were simulated with the nonlinear FEM softeware ABAQUS. The RKDG method can be applied to simulate the hull plates response with high accuracy. The response of hull plates is inversely proportional to the blast center distance.%为求解水下爆炸强间断流场，采用Level Set方法定位多相流界面位置，应用虚拟流体方法处理邻近界面两侧物理量，并用RKDG方法进行空间和时间的离散，求解流场的Euler方程，并进行一维、二维评价，计算结果能够较好地反映水下爆炸冲击波产生、传播、反射和爆炸产物的膨胀等现象。