二维欧拉方程

可压缩二维无粘流动摘要本题利用欧拉方程求解可压缩二维无粘流动，并将其与Numeca Fine/Turbo 的计算结果对比。

流道由上平板固壁和带有凸起的下固壁组成，进口给定总温、总压和速度方向，出口给定压力。

自编代码求解时，基于有限差分方法，利用MacCormack 格式对控制方程进行离散，根据黎曼不变量和边界条件由内层网格数据外推获得边界数据。

文中给出了计算收敛残差历史、密度、速度、压力、马赫数和熵分布，并将其和Numeca 计算结果对比，分析自编代码计算结果的合理性和误差来源。

关键词二维；欧拉方程；有限差分；MacCormack ；Bump1 问题提出该问题是经典的Bump 计算问题[1]，如图1所示，上壁为平板，下壁带有凸起，均为滑移边界。

进口为轴向进气，且给定总参数为0280T K =和50 1.110p Pa =⨯，出口为5110out p Pa =⨯。

图1准一维管道示意图本题的分析思路：首先，建立计算域中的主控方程，然后根据MacCormack 格式对方程进行离散，最后通过边界条件和黎曼不变量确定边界数据。

收敛条件为相邻时间步的压力差的最大值小于610-Pa 。

2模型建立物理域中的主控方程为二维欧拉方程，如式(1)所示。

将物理域x-y 变换到计算域ξ-η，控制方程变为式(2)，J 为坐标变换的雅克比行列式，y η、x η、y ξ和x ξ均为物理域坐标对计算域的偏导数。

220,,,u v u u p uv where v uv v p t x yE Hu Hv ρρρρρρρρρρρρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥++= ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q F G Q F G (1)0,,,where J y x y x t ηηξξξη∂∂∂++= ==- =-+∂∂∂Q'F'G'Q'Q F'F G G'F G (2)未知物理量为,,,,,p u v H E ρ共6个，因此为了方程组的封闭西需要补充两个方程。

有限体积法求解二维可压缩Euler方程——计算流体力学课程大作业老师：夏健、刘学强学生：徐锡虎学号：SQ日期：2010年2月5日目录一、内容摘要 (2)二、流动控制方程 (2)三、有限体积法的空间离散 (2)四、人工耗散 (3)五、时间离散 (4)六、边界条件 (5)七、计算结果 (8)八、结论与展望 (11)参考文献 (11)一、内容摘要本文通过运用JAMESON 有限体积法求解了二维定常和非定常可压缩Euler 方程。

程序实现语言为C++。

其中，使用的网格是三角形非结构网格。

在时间推进上使用的是四步龙—库塔推进格式。

推进的时间步长取的是当地的时间步长。

为了消除迭代误差、round-off 等误差，本文采用了添加人工耗散项的办法。

另外，本文计算了NACA0012翼型在跨音速下不同迎角的情况，并与fluent 软件的计算结果进行了比较，来验证程序的准确性。

二、流动控制方程守恒形式的Euler 方程：0=-+Ω∂∂⎰⎰ΩGdx Fdy wd t S（1） 其中x 和y 代表笛卡儿坐标系。

W 是守恒变量。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=E V U W ρρρρ (2)F,G 表示通量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=UH UV P U U F ρρρρ2, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=VH P V UV V G ρρρρ2(3) ρ,P , H 和E 表示密度，压强，单元总焓和单元总能量。

U,V 表示笛卡儿坐标系下的速度矢量。

这些量由理想气体的单位体积的总能量和总焓相互联系。

2/122）（）（V U P E ++-=ργρ (4)P E H +=ρρ (5)三、有限体积法的空间离散计算域被划分为互不重叠的单元。

在每个单元运用守恒形式的Euler 方程。

由于每个单元相对于时间都是不变的，所以等式（1）可以写成：⎰⎰ΩΩ--=∂∂d Gdx Fdy tWS )( （8）其中Ω和S 是单元的体积和边界。

W 是单元的平均值。

应用有限差分法计算二维欧拉方程有限差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程。

二维欧拉方程是一类常见的二阶偏微分方程，表示为：∂u/∂t=a(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中，u(x,y,t)是待求解的函数，a是常数。

为了使用有限差分法计算二维欧拉方程，我们需要离散化方程中的时间和空间变量。

我们可以将定义域分成n个小区间，将时间区间分成m个小区间，其中n和m可以任意选择，但需要满足数值稳定性要求。

在空间方向上，我们可以将二维区域分成nx × ny个小网格，每个小网格的尺寸为Δx × Δy，其中Δx和Δy是步长。

在时间方向上，我们将整个时间域分成m个时间步长，每个时间步长的尺寸为Δt。

我们可以用u(i,j,k)表示空间坐标(x,y)为(iΔx,jΔy)、时间坐标t 为kΔt的节点处的值。

根据欧拉法的思想，我们可以使用以下差分格式来近似二维欧拉方程：(u(i,j,k+1)-u(i,j,k))/Δt=a((u(i+1,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-1,j,k))/Δx²+(u(i,j+1,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-1,k))/Δy²)注意到，上式使用中心差分来近似二阶偏导数项。

通过对上述方程进行适当的变换和代数运算，我们可以得到u(i,j,k+1)的计算公式：u(i,j,k+1)=u(i,j,k)+aΔt((u(i+1,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-1,j,k))/Δx²+(u(i,j+1,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-1,k))/Δy²)通过以上公式，我们可以在每个时间步长上，从已知时刻的u值，计算下一个时刻的u值。

在进行计算前，我们还需要确定边界条件。

边界条件是在方程定义域的边界上给出的额外条件，用于限定问题的解。

常见的边界条件有固定值边界条件、导数值边界条件和周期性边界条件等。

欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1）的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=. （其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+，()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-=是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=,其根为： 121K K ==,所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=,其根为： 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=.解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=,其根为： 1,212K i =-±,所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =, （5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程 212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 2xy K y p '-=,代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和 2K p y y x x '-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为 11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰, （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰, （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为 111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰ 证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰ （其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =，所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±,所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x x x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x （其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''.（9） （其中1a ，2a ，3a 为常数）（9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10） 特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=.（11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12） 证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=(iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=（iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得 1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. (16）定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为]cos(ln k β120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.。

基于非结构网格二维Euler方程的Jameson求解方法姓名：王司文学号：sx摘要本文介绍了基于CFD理论的求解二维可压缩流Euler方程的Jameson中心格式方法。

在空间离散上采用的是有限体积法，时间上采用的是四步显式Runge －Kutta迭代求解。

人工耗散项为守恒变量的二阶和四阶差分项。

边界条件采用的是无反射边界条件，并采用当地时间步长进行加速收敛。

最后对NACA0012翼型划分了三角形，并应用本文程序进行数值模拟，结果较为理想。

关键字：CFD，Jameson中心格式，Euler方程，有限体积法AbstractA method for the numerical solution of the two-dimensional Euler equations has been developed. The cell-centred symmetric finite-volume spatial discretisation is applied in a general formulation. The integration in time, to a steady-state solution, is performed using an explicit, four-stage Runge－Kutta procedure. The artificial dissipation is constructed as a blending of second and fourth differences of the conserved variables. And in the boundary, there is none of the outgoing waves are reflected back into the computational domain. An acceleration technique called local time stepping is used. At last, standard test cases for both subsonic and supersonic flows have been used to validate the method.Key words：CFD, Jameson method,Euler equations, finite-volume第一章引言在工程应用的推动下，计算流体力学随着计算机技术的发展和计算格式的不断更新而迅猛发展。

可压缩二维无粘流动摘要本题利用欧拉方程求解可压缩二维无粘流动，并将其与Numeca Fine/Turbo 的计算结果对比。

流道由上平板固壁和带有凸起的下固壁组成，进口给定总温、总压和速度方向，出口给定压力。

自编代码求解时，基于有限差分方法，利用MacCormack 格式对控制方程进行离散，根据黎曼不变量和边界条件由内层网格数据外推获得边界数据。

文中给出了计算收敛残差历史、密度、速度、压力、马赫数和熵分布，并将其和Numeca 计算结果对比，分析自编代码计算结果的合理性和误差来源。

关键词二维；欧拉方程；有限差分；MacCormack ；Bump1 问题提出该问题是经典的Bump 计算问题[1]，如图1所示，上壁为平板，下壁带有凸起，均为滑移边界。

进口为轴向进气，且给定总参数为0280T K =和50 1.110p Pa =⨯，出口为5110out p Pa =⨯。

图1准一维管道示意图本题的分析思路：首先，建立计算域中的主控方程，然后根据MacCormack 格式对方程进行离散，最后通过边界条件和黎曼不变量确定边界数据。

收敛条件为相邻时间步的压力差的最大值小于610-Pa 。

2模型建立物理域中的主控方程为二维欧拉方程，如式(1)所示。

将物理域x-y 变换到计算域ξ-η，控制方程变为式(2)，J 为坐标变换的雅克比行列式，y η、x η、y ξ和x ξ均为物理域坐标对计算域的偏导数。

220,,,u v u u p uv where v uv v p t x yE Hu Hv ρρρρρρρρρρρρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥++= ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q F G Q F G (1)0,,,where J y x y x t ηηξξξη∂∂∂++= ==- =-+∂∂∂Q'F'G'Q'Q F'F G G'F G (2)未知物理量为,,,,,p u v H E ρ共6个，因此为了方程组的封闭西需要补充两个方程。

Euler方程等号两边都可以看作是描述在一个圆上的位置或者运动（请记住这句话，这句话很重要，本剧神奇之处的突破点）。

一些打破三观的非常规定义数字：一条无限长的数轴上的点。

加子：将轴向自身方向滑动（即上下左右滑动）的数字。

乘子：将轴伸展、压缩或旋转（在二维）的数字。

实数：实数轴上的一个向量，向量长度表示其绝对值，而向量方向可表示其是正数还是负数。

复数：同时是复平面上的一个点和一个加子、一个乘子。

相对于实数而言是更高维度的数。

i：表示原代表实数1的实单位向量，作为加子将平面向上平移1，作为乘子将平面逆时针旋转π/2。

例如：i0、i1、i2、i3、i4等等，就表示原代表实数1的实单位向量，依次地每次逆时针旋转π/2,所以结果就是1,i,-1,-i,1.即转4次以后就回到了原位。

就像时针从3点逆转到12点，再逆转到9点，再逆转到6点，最后转回到3点。

注：1.变换时原点0的位置不变，保证数轴上的点均匀分布；2.一个实数乘以一个实数向量，还是一个实数向量，这个向量仍然在实数轴上。

要使向量脱离实数轴，向另一个维度旋转，那么，就可以乘以一个虚数i。

一个向量乘i这个代数运算，几何意义就是把向量旋转到另一个正交维度上去。

坐标面点的表示用三角函数去描述圆心在复平面原点处的单位圆上的位置或圆周运动轨迹，当圆弧角为x弧度时，如图有：Cos(x)为当前圆周运动位置的横坐标Sin(x)为当前圆周运动位置的纵坐标故可采用复数)ix+即可描述单位圆周上点的位置或运动轨cos x)(sin(迹。

所以实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到一个向量，表示就是θθsincos i+；对e的理解e x 的运算目的就是讲加子转换为乘子；对一个函数最为自然的定义是用加法...!1...61211:32++++++=n x x n x x x e 这个函数将纵轴上的数，也就是对应着上下滑动的加子的点放与半径为x 的圆中，并与旋转变换的乘子对应。

二维欧拉方程总结0=⋅+∫∫∫C C dS n V dA dtdδρρv v ∫∫∫∫⋅−=⋅+C C CdS i n p dS n V u udA dt dδδρρvv v v∫∫∫∫⋅−=⋅+C C CdS j n p dS n V v vdA dt d δδρρvv v v∫∫∫∫⋅−=⋅+C C C dS n V p dS n V E EdA dtdδδρρv v v v 通常上式也表述为如下的紧凑形式：()0=⋅++∫∫∫C CdS n j G i F UdA dt dδv v v式中，22u v u u P vu U F G v uv v P E uH vH ρρρρρρρρρρρρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦分别代表守恒状态矢量、x 方向和y 方向的通量矢量，总焓ρp E H +≡。

对于理想气体()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−==22211v u E RT p ρργρ。

二维欧拉方程的有限体积格式基本思想如下：（1）将计算域划分（即离散化）为简单的几何形状（三角形或四边形）。

等等等等等等等等等等将此区域放大为0单元格被1、2、3单元格所包围，即1、2、3单元格为与0单元格最近的三个相邻单元格。

（图片由MIT 开放式课件提供）（2）网格中未知量的安排：○a 单元格中心法——对于每个单元格，将守恒状态矢量的平均值置于单元格中心。

○b 基于节点法——在每个节点存入守恒状态矢量的点值。

关于上述两种安排未知量的方法究竟哪一种更好一直是有争议的。

我们在此仅考虑单元格中心法，尽管它不一定是最优的，但是其简单易懂、且在航空和航天工业具有广泛的应用。

（3）将二维积分形式的欧拉方程近似到网格中以确定未知量的大小。

单元格：0，1，2，3 节点：a ，b ，c ，d ，e ，f原始网格-1958个节点加密网格-7506个节点 马赫数-加密网格马赫数-原始网格单元格的平均未知量为010*********()()......()()()()u u U U U U v v E E ρρρρρρρρ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 特别地，定义0001C U UdA A ≡∫∫，其中0C 代表0单元格，0A 代表0单元格的平均值。

基于非结构网格二维Euler方程的Jameson求解方法姓名：学号：摘要本文介绍了基于CFD理论的求解二维可压缩流Euler方程的Jameson中心格式方法。

在空间离散上采用的是有限体积法，时间上采用的是四步显式Runge －Kutta迭代求解。

人工耗散项为守恒变量的二阶和四阶差分项。

边界条件采用的是无反射边界条件，并采用当地时间步长进行加速收敛。

最后对NACA0012翼型划分了三角形，并应用本文程序进行数值模拟，结果较为理想。

关键字：CFD，Jameson中心格式，Euler方程，有限体积法AbstractA method for the numerical solution of the two-dimensional Euler equations has been developed. The cell-centred symmetric finite-volume spatial discretisation is applied in a general formulation. The integration in time, to a steady-state solution, is performed using an explicit, four-stage Runge－Kutta procedure. The artificial dissipation is constructed as a blending of second and fourth differences of the conserved variables. And in the boundary, there is none of the outgoing waves are reflected back into the computational domain. An acceleration technique called local time stepping is used. At last, standard test cases for both subsonic and supersonic flows have been used to validate the method.Key words：CFD, Jameson method,Euler equations, finite-volume第一章引言在工程应用的推动下，计算流体力学随着计算机技术的发展和计算格式的不断更新而迅猛发展。

基于非结构网格二维Euler方程的Jameson求解方法姓名：陈皓学号：0501211日期：2006年5月21目录中英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 符号说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 第一章引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 第二章方法论述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．62.1 控制方程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．62.2 空间离散．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．72.3 人工耗散项．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．82.4 时间离散．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．112.5 边界条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 第三章算例分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．123.1 马赫数M=0.84, 攻角α=0°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．123.2 马赫数M=0.8, 攻角α=1.25°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．123.3 马赫数M=2.0, 攻角α=10°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12附图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 第四章结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21摘要本文介绍了基于非结构网格求解二维Euler方程的Jameson中心格式方法。

分类号______________________________ 密级______________________________ ＵＤＣ______________________________ 编号______________________________硕士学位论文二维带阻尼项欧拉方程组整体解的研究学位申请人：艾利娜学科专业：运筹学与控制论指导教师：朱旭生副教授答辩日期：华东交通大学2015届硕士学位论文二维带阻尼项欧拉方程组整体解的研究理学院艾利娜二维带阻尼项欧拉方程组整体解的研究摘要本文主要研究带阻尼项的二维等熵欧拉方程组初值问题的经典解的整体存在性与爆破现象，包括以下部分：首先我们研究了带阻尼项的二维等熵欧拉方程组整体解的存在性. 考虑方程组的Cauchy 问题，当初始数据是常状态附近的小扰动时，利用能量估计法、泛函分析的方法证明了其Cauchy 问题经典解的整体存在，并利用傅立叶分析法研究方程组的线性系统，利用Duhamel 原理对整体经典解重新进行衰减估计，进而得到整体经典解在大时间时的衰减性，特别地解收敛到常状态的2,L L ∞衰减率分别为1)1(-+t ，2/1)1(-+t .其次我们研究了二维等熵欧拉方程组初值问题的经典解的爆破. 基于Sideris T. C.在研究三维空间中可压缩欧拉方程组经典解爆破的方法，将原来条件0)0(≥M 更改为0)0(<M ，我们研究泛函⎰⋅=2),(),()(Rdx t x u t x x t F ρ，当初始泛函)0(F 足够大时，利用微分不等式及柯西施瓦兹不等式，可以证明欧拉方程组Cauchy 问题的经典解对应的泛函单调增加，最终解的奇性会出现，即经典解会爆破.关键词：等熵欧拉方程组，整体解，存在性，能量估计，衰减估计，爆破RESEARCHES ON THE GLOBIE SOLUTION OF THE 2DEULER EQUATIONS WITH DAMPINGABSTRACTThe existence or blowup of the global classical solution to the initial value problem of the two-dimensional isentropic Euler equations with damping is mainly studied in this paper, it include the following sections:First ，the existence of the global classical solution to the Cauchy problem of the isentropic 2D Euler equations is studied. When the initial data is a small perturbation of a constant state, the global classic solution of the Cauchy problem is obtained by utilizing energy estimates and functional analysis. Then by using Fourier analysis method to study linearization equations of the equations, and utilizing the Duhamel principle to estimate the global classical solution, the decays rates of the global classic solution are obtained at the large time, i.e., the 2,L L ∞decay rates of the solution to the constant state are 1)1(-+t ，2/1)1(-+t respectively.Then, the blowup of classical solution for the isentropic 2D Euler equations is studied. Based on the method of the study the blowup of classical solution to the 3D compressible Euler equations by Sideris T.C., the functional ⎰⋅=2),(),()(Rdx t x u t x x t F ρ is studied while the condition 0)(≥t M is changed as 0)(<t M , if the initial functional )0(F is large enough, by utilizing differential inequality and Cauchy-Schwarz inequality, the functional )(t F to the classical solutions of Cauchy problem increases, and finally the singularity of the solution comes up, that is, the classic solution blows up.Key words: the isentropic Euler equations, global solution, existence, energy estimate, decayrate estimate, blowup目录主要符号说明....................................................... I 第一章绪论. (1)1.1前言 (1)1.2主要内容综述 (2)1.3预备知识 (3)第二章二维等熵欧拉方程组整体解的存在性 (6)2.1引言 (6)2.2能量估计1 (7)2.3能量估计2 (8)2.4能量估计3 (11)2.5能量估计4 (15)2.6衰减估计 (20)第三章二维等熵欧拉方程组整体经典解的爆破 (25)3.1引言 (25)3.2带阻尼项的二维等熵欧拉方程组解的爆破 (25)第四章总结 (31)4.1主要工作回顾 (31)4.2本课题今后需进一步研究的地方 (31)参考文献 (32)个人简历在读期间发表的学术论文 (35)致谢 (36)主要符号说明主要符号说明在本论文中我们将用2R 表示二维空间，||⋅表示绝对值式向量的模，p ||⋅表示)(2R L p 中的范数，∞=,6,4,3,1p ，m ||||⋅则为Sobolev 空间)(2R H m 中的范数，特别地，||||||||0⋅=⋅即为)(22R L 中的范数，并简记i t g ||),(||⋅为i t g ||)(||，ff F ˆ)(式表示f 的Fourier 变换. 另外，符号1x 、2x 表示x 的分量，关于偏导数的表示如下：U t ∂、t U 表示U 对时间变量t 求偏导；1x U 、21x x U 分别表示U 关于空间变量1x 、2x 求一阶偏导，二阶偏导；U ∇、U 2∇、U 3∇则分别表示U 关于空间变量x 分别求梯度、二阶全体偏导、三阶全体偏导.第一章绪论1.1 前言欧拉方程组被公认是描述流体运动规律的流体力学基本方程组之一，是由瑞士数学家、力学家欧拉创建的，是重要的非线性偏微分方程（组）之一，现在人们对于自然界、国防和各种工程技术中的流体力学问题，都在用欧拉方程组进行分析、计算和研究. 一般的非线性偏微分方程（组），由于所描述的自然现象的差异性，其求解方法和解的性质往往存在较大的差异.在等熵欧拉方程组中，有一类如文献[1]、[2]，是研究带阻尼项的等熵可压缩欧拉方程组. 随着时间的发展，对一般的带阻尼项的可压缩欧拉方程组的研究已经有了大量的成果，主要是研究在小初值时经典解的整体存在性和解的一些性质，以及某些条件下经典解在有限时间内的爆破.在三维情况下，Sideris等在文献[1]中研究了可压缩欧拉方程中阻尼对柯西问题解的大时间行为的影响，他们将方程组转化为对称方程组而相应地获得了能量估计，证明了在小振幅经典解的情况下，阻尼防止了奇性的形成，从而得到了整体经典解. 他们证明了流体的涡度按指数规律很快的衰减时，整体解的密度和速度却没有按指数规律衰减. 在多维情况下，Wang和Yang在文献[2]中研究了多维空间中带线性阻尼项的等熵欧拉方程组Cauchy问题，当初值是常态附近的小扰动时，证明了经典解的整体存在性，并利用能量估计的方法来估计了经典解，最后用格林函数法得到了解的逐点估计. Liu和Wang在文献[3]中研究了带阻尼项欧拉方程初边值问题解的整体存在性，当相对边值仅一个进波的情形，给定适当的边界条件，再利用能量估计的办法得到初边值问题解的先验估计，并自此基础上证明问题解有界性和整体存在性. Zhu和Wang在文献[6]研究了带退化线性阻尼项的欧拉方程组，退化阻尼系数，当时间趋于无穷远处，以适当的速度趋零，初始密度适当小且初始速度的关于空间变量导数的矩阵的谱远离负实轴同时速度的二阶导数适当小时，其Cauchy问题的经典解整体存在. Hsiao和Liu在文献[11]中研究了带阻尼项的p-系统的Cauchy问题，当初始数据光滑且在数轴两端的差很小时证明了经典解整体存在性，且服从达西定律，在大时间时收敛到一扩散波.对于欧拉方程组经典解的爆破问题，文献[12]中研究由可压缩欧拉方程描述的多方气态理想流体，考虑一维空间中理想气体的非等熵欧拉方程组，利用对称双曲型方程组解的存在性结论，得到了其经典解在有限时间内必定发生爆破的结论. 文献[14] [16]中研究了带阻尼项的等熵欧拉方程组，在假设某些初始数据较大时，构造泛函，得出经典解的爆破. 文献[26]中，研究了真空状态下的欧拉方程组正规解的爆破. 文献[40]考虑带有温度项的欧拉方程，引入特殊速度函数，进而研究欧拉方程的爆破现象. 文献[41]充分利用了轴对称和理想气体状态方程的特点，当关于初始速度的泛函足够大时，经典解会在有限时间内爆破的结论.对于欧拉方程，一维和三维情形下，对其整体解的研究已取得了很多成果. 对于二维的研究却不是很多，主要原因是当二维等熵欧拉方程组变换为对称双曲线型方程组时不同于一维和三维，而且在波动方程中二维情形的部分理论不能推广到三维情形. 所以我们通过研究二维欧拉方程组的整体解，来更好的理解欧拉方程组的解.本论文计划完成的研究目标是：1、完成二维等熵欧拉方程组经典解的存在性结论，并得到解的衰减估计.2、得到二维等熵欧拉方程在在0)0(<M 条件下，当初始数据较大时，通过构造泛函，证明其经典解在有限时间内必定发生爆破的结论.1.2 主要内容综述在第二章中，主要考虑了二维等熵欧拉方程组整体解的存在性，并对整体解做了衰减估计.在2.2中，考虑了在理想状态下的二维等熵欧拉方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+.2,1,)()()(0)(j u k P uu u u j x j t j t j ρρρρρρdiv div ，中的Cauchy 问题，初始数据为ρρρ+=)()0,(0x x ，)()0,(0x u x u =，常数0>ρ并且k 为常数且0>k ，其中)(),(),(2ρρP P R t x R t x u =∈∈+，，分别表示气体的速度、密度、压强. 我们可以引入声速)()(ρρσP '=，且)(ρσσ=，0>ρ，并定义))((12σρσγ--=v ，将方程先化为对称双曲型方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∇--∇⋅-=+∇+∂⋅∇--∇⋅-=⋅∇+∂.21,21u u v v kv u v v u u v v u t t γσγσ 在2.3-2.5中，利用对称双曲型方程组局部解存在性的理论得到了欧拉方程组经典解的局部存在性；进一步通过能量估计将局部解延拓，得到经典解整体存在的结论.在2.6中，对于解的衰减性，我们先将已经转换了的对称双曲型方程组再转化为线性系统：⎩⎨⎧=+∇+∂=⋅∇+∂.0,0kv u v v u tt 再通过傅立叶分析的方法研究线性化方程组，通过Duhamel 原理，对非线性项进行了估计，得到))()()(()1(),)(,(102023t L t L t L s C s U U G ++≤⋅∇-，以及),)(,(s U U G ⋅∇∇α23)1)(()(-∞+Λ≤s t t CL . 又估计了)(t U 的∞L 范数和2L 范数，进而得到整体经典解在大时间时的衰减性.第三章中主要考虑了二维带阻尼项等熵欧拉方程组经典解的爆破.在3.2中，研究了带阻尼项的二维等熵欧拉方程组：⎩⎨⎧-=∇+⊗⋅∇+=⋅∇+.)()(,0)(u k P u u u u t t ρρρρρ 的Cauchy 问题，对应的初始数据为：{}⎪⎩⎪⎨⎧≤⊆>+==R x x u x u x u t ),(,))(,0)((),(00000ρρρρsupp 在这部分，我们可以定义泛函：⎰⋅=2)(Rudx x t F ρ， 及恒等量dx t M R⎰-=2)()(ρρ， 并设初值条件T T A e F kT )()0(>，在Sideris T.C.研究了三维空间中可压缩欧拉方程组经典解爆破的基础上，对条件进行适当的调整，通过微分不等式及柯西施瓦兹不等式，构造适当的泛函的方法，进而得出欧拉方程Cauchy 问题的光滑解在一定时间内并不衰减，当初始数据[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧->2122)()0(4,/)(2max )0(T A e M T T A e F kT kT σ，解的奇性会出现，即经典解会爆破.在第四章中，将主要的工作进行了回顾，并展望了以后的研究方向.1.3 预备知识(1)n R 上的Cauchy-Schwarz 不等式：对于2112)(||,,∑==∈n i in x x R y x ，有||||||y x y x ≤⋅或者211221121)()(||∑∑∑===≤ni ini ini i i y x y x .(2)lder oH 不等式： 设1,1>>q p 且111=+qp (称q p ,是互为共轭指数)，若：)(),(Ω∈Ω∈q p L g L f ， 则)(1Ω∈⋅L g f 且)()(||||||||||ΩΩΩ⎰≤q p L L g f dx g f .特别的，当2==q p 时，有)()(22||||||||||ΩΩΩ⎰≤L L g f dx fg (Schwarz 不等式).lder oH 不等式的推广形式： 若00121≥>=+++p i n ，，λλλλ ，则有n n Pdx f Pdx f Pdx f f f n λλλλ)||()||(||11112111⎰⎰⎰ΩΩΩ≤ .(3) Sobolev 不等式：假设R R f -：是凸函数，n R U ⊂是有界开集，若R U u →：是可微函数，⎰⎰=UUudx U dx u ||1， 则 dx u f udx f UU⎰⎰≤)()(.(4) Gronwall 不等式（微分形式)：设)(⋅η是],0[T 上的非负绝对连续函数，则对于任意的],0[T t ∈满足不等式)()()()(t t t t φηφη+≤'其中)(),(t t ηφ是非负可积函数，则])()0([)(0)(0ds s e t t dss t⎰+⎰≤φηηφ，],0[T t ∈.特别地，如果0)0(],0[=∈≤'ηφηη，，T t ，则在],0[T 上恒有0)(≡t η. (5)Sobolev 嵌入定理：若n R ⊂Ω是一个可扩张的区域，2n m >，则)(2,Ωm W 可以连续地嵌入)(ΩC . 嵌入定理的推广形式：)(,Ωp m W 连续嵌入)(Ωq L ，)11(n m p q -=，(当p nm <时);)(,Ωp m W 连续嵌入)(ΩC ，(当pnm >时).第二章 二维等熵欧拉方程组整体解的存在性2.1 引言在理想空气中，考虑带阻尼项的二维等熵欧拉方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+.2,1,)()()(0)(i u k P uu u u ix i t i t i ρρρρρρdiv div ，(2.1.1) 初始条件为：)()0,(00)()0,(00x u x u x x =>>+=，，ρρρρ. (2.1.2) 其中、、u ργρλ2=P （31≤<γ）分别代表气体的密度、速度和压强；2R x ∈是空间变量，t 是时间变量，γ是绝热指数，k t ,0,0>>λ为常数且0>k ，()Tu u u 21,=.记流体声速：)(ρσp '=,)(ρσp '=.并引入新变量 ))((12σρσγ--=v . 参照文献[]1，将方程组(2.1.1)对称化，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∇-+∇⋅+∇+∂=⋅∇-+∇⋅+⋅∇+∂.21)(,021)(ku v v u u v u u v v u u v t t -γσγσ (2.1.3) 相应的初始状态为：)()(0000x u u x v v t t ====，. (2.1.4)令T u u v U ),,(21=，T u u W ),,0(21=. 记)2,1)((=i U A i 为下列3阶对称矩阵，并有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=111100021021)(u u v v u U A σγσγ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=22222100210)(u v u v u U A σγσγ.则可将方程组(2.1.4)改写为：kW U U A U i x i i t -=∂+∂∑=21)(, (2.1.5)初始状态为：())0(,T000U u v U t ===. (2.1.6)由对称双曲型方程组的局部存在性理论，有引理2.1.1: 设300U N =，)())(),(()0,(23000R H x u x v x U U T ∈==，则存在仅依赖于，0N ,,k γσ的常数0>T ，Cauchy 问题(2.1.5)(2.1.6)存在唯一的局部解),(t x U 且满足))(),,0([))(),,0([),(22123R H T C R H T C t x U ∈.对于引理中的经典解，我们作如下先验假设：δ≤+=≤≤})()({sup :)(230t U t U t N t Tt ,则根据Sobolev 嵌入不等式，利用(2.1.3)式，对于T t ≤≤0时有δαδαC U C U t ≤∂=≤∇∞∞||1,0,|；|. (2.1.7)下面进行能量估计.2.2 能量估计1就方程组(2.1.5)的两边对U 作内积，然后再在],0[2t R ⨯上做积分，有Udxds kW dxds U U U A Udxds U ttx i it si⋅-=⋅∂+⋅∂⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰=021)()(，其中220)0(21)(21)(U t U Udxds U ts -=⋅∂⎰⎰， 右边，ds s u k dxds u k Udxds kW tt t⎰⎰⎰⎰⎰-=-=⋅-022)(||分部积分得⎰⎰-=--dx vuv dx u v i i x x )1(212γγ，其他各项直接由Cauchy-Schwarz 不等式，得⎰⎰⎰⎰∑∇+≤∇≤⋅∂-∞∞=tt tx i i ds U u U C ds U u U C Udxds U U A i 022021)(|||||))(|.即ds U u C U ds s u k t U t t )()0(21)()(210222022⎰⎰∇++≤+δ,移项，有ds U C U ds s u C k t U t t ⎰⎰∇+≤+022022)0(21)(()(21δδ）-. (2.2.1) 2.3 能量估计2将方程组(2.1.5)的两边对空间变量j x 求一阶偏导后，再与j x U 作内积，然后在],0[2t R ⨯上积分，可得到⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⋅∂-=⋅∂∂+⋅∂∂=tx x tx x i ix tx s x dxds U kW dxds U U U A dxds U U j j j i j jj 021)()))(()(, 即⎰⎰∑⋅∂∂+-=t x x i i x x x dxds U U U A U t U j i j j j 02122)))(())0()((21⎰⎰⋅∂-=tx x dxds U kW j j 0)(. (2.3.1)注意到)(U A i 为对称矩阵，那么)))((21))((21)(j j i j j i j i j x x i x x x i x x x x i U U U A U U U A U U U A ⋅∂-⋅∂=⋅∂, 则有⎰⎰⎰∑⎰∑⋅∂+∂∂=⋅∂∂==ttx x x ii x i x x x i i x dxds U U U A U U A dxds U U U A j i j ij j i j 02121))())((()))(( ⎰⎰∑=⋅∂+⋅∂∂=ti x x x ix x i x d x d s U U U A U U U A j i j j i j21))())((( ∑⎰⎰=⋅∂=210))((21i tx x i x dxds U U U A j j i.)))(())((21)))(())((21210210dxds U U U A U U U A dxdsU U U A U U U A j i j j j i j i j j j i x x i x i tx x i x x x i x i t x x i x ⋅∂∂+⋅∂-=⋅∂∂+⋅∂-+∑⎰⎰∑⎰⎰==其中)((U A i x j ∂)中的每一元素为j x U 的某一分量，上面式子第二个积分中的被积式为若干个乘积的和，每一个乘积为U 的一阶导数项，再利用Cauchy-Schwarz 不等式，并结合(2.1.7)式，有,)(2|||||||))((|0220213122021312121212121ds U UC dxds U U C dxdsU U C dxds U U U A tx ti x x ti x x ti x x ix j ji jij i j⎰⎰⎰∑∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑+∇≤+≤≤⋅∂∂=====δδδαααααααα⎰⎰⎰∑≤⋅∂∂=t x ti x x ix ds U C dxds U U U A jj j i 02021|))((|21δ.所以.)()()))((02222221ds U UC dsU C ds U UC dxds U U U A tx t x tx tx x i ix j jj j ij⎰⎰⎰⎰⎰∑+∇≤++∇≤⋅∂∂=δδδ (2.3.2)下面对(2.3.1)式右边进行估计：⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅-=⋅∂-tx tx x tx x ds u k dxds u ku dxds U kW jj j j j2)(,将上式与(2.3.1)(2.3.2)相结合，可得到ds U UC ds u k U t U t t x t x x x j j j j ⎰⎰⎰+∇≤-+-00220222())0()((21δ.关于21≤≤j 求和，可得ds U C ds u k U t U t t ⎰⎰∇≤∇-+∇-∇0200222))0()((21δ, (2.3.3)记0C 为新的C ，则有ds U C U ds u k t U t t ⎰⎰∇+∇≤∇+∇022022)0(21)(21δ, (2.3.4)令方程组(2.1.5)对t 求导，得W k U U A U t x i i t t t i ∂-=∂∂+∂∂∑=))(()(21,将上式与t U 作内积，并在],0[2t R ⨯上积分，可得dxds U W k dxds U U U A dxds U U ts s ts x i is ts s si ⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⋅∂-=⋅∂∂+⋅∂∂=021))(()(.即dxds U W k dxds U U U A U t U t s s t s x i is t t i ⎰⎰⎰⎰∑⋅∂-=⋅∂∂+-=002122))(())0()((21.又)(U A i 为对称矩阵，分部积分有⎰⎰∑⎰⎰∑∂⋅∂∂-=⋅∂∂==ts s i i x ts x si iUdxds U U A dxds U U U A ii2121))(()(.所以.))((21))(()())(())((021021021021021dxds U U A U dxds U U U A dxds U U U A dxds U U U A dxdsU U U A ts i x i s ts x i is ts x i sits x i ists x i is i i ii i ⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑∂⋅-⋅∂=⋅∂∂+⋅∂∂=⋅∂∂=====其中ds dx U U U C dxds U U U A ti sx st s x i i s ii⎰⎰∑∑⎰⎰∑===≤⋅∂∂0213121|||))((|321321αααααα,⎰⎰∑=∞≤ts sx dxds U U U C i 031,,32131||||||ααααα.利用柯西不等式，并结合(2.1.7)式，可得ds U C ds dx U C dxds U U U A tsts ts x i is i ⎰⎰⎰⎰⎰∑≤≤⋅∂∂=0210221|||))((|δδ. (2.3.5)同理，我们可以得到ds U C ds dx U U C dxds U U U A ts t s x ts s i i x ii ⎰⎰⎰⎰⎰∑≤≤⋅∂∂∞=02202021|||))((21|δ. (2.3.6)将(2.3.5)(2.3.6)相加，有ds U C ds U C ds U C dxds U U U A tststs ts x i is i ⎰⎰⎰⎰⎰∑≤+≤⋅∂∂=0222021021||))((|δδδ,又因为ds u k dxds u ku dxds U W k ts s t s ts s ⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅-=⋅∂-02,综上可得到估计：ds U C U ds u k t U t s t t s t ⎰⎰+≤+022022)0(21)(21δ. (2.3.7)将(2.3.4)、(2.3.7)式与(2.2.1)式相结合，可得.)())0()0(21)()())()(21022220221221⎰⎰+∇++≤+-++t s t t s t ds U UC U U ds u u C k t U t U δδ（（ (2.3.8)将方程组(2.1.3)变形，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∇-+∇⋅-∂-=∇⋅∇--∇⋅-⋅∇-=∂).21)((1,21)(ku v v u u u v u v v u u v t t γσγσ (2.3.9) 由此可得))1((),()1(u v C v u u u C v C t t ∇++∇≤∂∇++≤∇-δδδ.当δ充分小时，有)(22122t tu u C v v +≤+∇,故)(22122t tu u C U U +≤+∇. (2.3.10)(2.3.8)式与(2.3.10)式相结合，我们可以得到一阶能量估计：))0()0((21)()())()(212210221221t t s t U U ds u u C k t U t U +≤+-++⎰δ（. (2.3.11)2.4 能量估计3与(2.3.1)类似，将方程(2.1.5)两边对空间变量)2,1(≤≤l h x x l h 求二阶偏导数后，再与l h x x U 作内积，然后在],0[2t R ⨯上积分，有⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⋅∂-=⋅∂∂+⋅∂=tx x x x tx x x i ix x x x x x tsdxds U W k dxds U U U A dxds U Ul h l h l h i l h l h lh 021))((,即有⎰⎰∑⋅∂∂+-=t x x x i i x x x x x x dxds U U U A U t U l h i l h l h l h 02122))(())0()((21⎰⎰-=tx x x x dxds u ku l h l h 0. (2.4.1)因)(U A i 为对称阵，有l h l h i l h l h i l h i l h x x x x i x x x x x i x x x x x x i U U U A U u U A U U U A ⋅∂-⋅∂=∂⋅∂))((21))((21)(, 故有,)))(())((()))(()(())((212121∑⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰∑===⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂+∂=⋅∂∂i tx x x i x x x x i x i tx x x x i x x x x i tx x x i ix x dxds U U U A U U A dxdsU U U A U U A dxds U U U A l h i l h i h l l h i l h i l h l h i lh,)))(())(()))(())((21())((2121210210∑⎰∑⎰⎰∑⎰⎰===⋅∂∂+∂+⋅∂+∂-+⋅∂=i tx x x i x x x x i x i t x x x x i x x x i x i tx x x x ix dxds U U U A U U A dxds U U U A U U A dxds U U U A l h i l h l h l l h i l h l h i l h l h i.)))(())((()))(())((21(21210∑⎰⎰∑⎰⎰==⋅∂∂+∂+⋅∂+∂-=i tx x x i x x x x i x i tx x x x i x x x i x dxds U U U A U U A dxdsU U U A U U A l h i l h l h l l h i l h l h i其中))((U A i x h ∂是每一元素为h x U 的某一分量的方阵，))((U A i x x l h ∂中的每一元素为l h x x U 的某一分量. 故上式第二个积分中的被积式为若干个乘积项的和，每一具体的乘积是两个关于U 的某一分量的二阶导数和一个关于U 某一分量的一阶导数的乘积，利用(2.1.7)式有.)(2||022022032321ds s U C dxdsU U C dxds U U U tti x x i x x ti x x i x x i x l h i l l h i l k ⎰⎰⎰⎰⎰∇≤∂+∂≤∂∂∂δδ(2.4.2)故有ds s U C dxds U U U A t i tx x x i x x lh i l h ⎰∑⎰⎰∇≤⋅∂∂=02221)()))((δ, (2.4.3) 又⎰⎰⎰-=⋅-t x x t x x x x ds u k dxds u ku lh l h l h 02, (2.4.4)综合(2.4.1)(2.4.3)(2.4.4)式，有ds s U C ds u k U U tt x x x x x x l h l h l h ⎰⎰∇≤+-022222)()0(2121δ.将上式关于21,21≤≤≤≤l h 作和，得ds s U C ds s u k U t U t t ⎰⎰∇≤∇+∇-∇022*******)()()0(21)(21δ. (2.4.5)将方程(2.1.5)两边同时对h x 和变量t 求二阶偏导，并且与h tx U 作内积有dxds u u k dxds U U U A dxds U U ttsx sx ti sx x isx sx sx s h h h i hh h ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑⋅∂-=⋅∂∂+⋅∂=021))(()(， 然后在],0[2t R ⨯上积分，得.))(()0(21)(21002122dxds u u k dxdsU U U A U t U tsx sx t sx x i i sx tx tx h h h i h h h ⎰⎰⎰⎰∑⋅∂-=⋅∂∂+-= (2.4.6)由于)(U A i 都是对称矩阵，故,)])))(())(())((())(())((210210021∑⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰∑===⋅∂∂+∂∂+∂∂+⋅∂=⋅∂∂i tsx x i sx s x i x x x i s i sx sx x t i tsx x i i sx dxds U U U A U U A U U A dxdsU U U A dxdsU U U A h i h i h h i h h i h i h.])))(())(())((]))((21))((21[21210∑⎰⎰∑⎰⎰==⋅∂∂+∂∂+∂∂+⋅∂-⋅∂=i tsx x i sx s x i x x x i s i sx sx i i sx sx ti i dxds U U U A U U A U U A dxdsU U U A x U U U A x h i h i h h i h h h h上式第二个积分中的被积式为若干个乘积项的和，每一具体的乘积是两个关于U 的某一分量的二阶导数和一个关于U 某一分量的一阶导数的乘积，与(2.4.1)式一样，估计积分时一阶导数项用∞L 模放大，并利用(2.1.7)式，可得到,))()()())((22221ds s U s U s U C dxdsU U U A h h h i hsx x t os tsx x i i sx +∇+∇≤⋅∂∂⎰⎰⎰∑=δ又⎰⎰⎰-=⋅-t sx t sx sx ds u k dxds u ku h h h 02，综上推导，就有.)()0(21)(2102222022ds U C ds U U U C dsu k U t U tx x tst sx tx tx h hh h h ⎰⎰⎰∇++∇+∇≤+-δδ (2.4.7)将(2.4.7)式关于21≤≤h 求和，得.)()()0(21)(212222222020222ds U UU C ds U C ds U U C dsu k U t U tsttst s t t ∇+∇+∇=∇+∇+∇≤∇+∇-∇⎰⎰⎰⎰δδδ (2.4.8)利用一阶估计的结果(2.3.11)，并结合(2.4.5)、(2.4.8)式，就可得.)()0(21)0(21)()(21)(2122022122210222122ds U U C U U dsu u k t U t U t s t t t ∇+∇++≤+++⎰⎰δ (2.4.9)对(2.3.9)第一式关于h x 求偏导得)2121)()((1)(h h h h h h h x x x x x x t x ku v v v v u u u u u U +∇-+∇-+∇⋅-∇⋅-∂=∇γγσ，则).||21||21||||(1)(h h hh h h h x x x x x tx x u k v v v v u u u u u U +∇-+∇-+∇++≤∇∞∞∞∞γγσ故由(2.1.7)式得)()1(h h h h h x x x tx x u C v C u u C v C ∇+++≤∇-δδδ，关于21≤≤h 求和并结合(2.3.10)式得)(22u C v C u u C v t ∇+∇+∇+∇≤∇δδ. (2.4.10)同样对(2.3.9)第二式关于h x 求偏导得)(2121)(h h h h h h x x x x x tx u v u v v u v u u v ⋅∇--⋅∇--∇⋅-∇⋅-⋅∇-=γγσ，有h h h h h x x x x tx u v u v v u u C v ⋅∇-+⋅∇-+∇+⋅∇≤∞∞∞||21||21||γγ，从而v C v C u C v t ∇+∇+∇≤∇δδ22. (2.4.11)综合利用(2.4.10)(2.4.11)并利用(2.3.10)式有)(2122222t tu u C U U +≤∇+∇， (2.4.12)从而)(222222t tu u C U U +≤∇+∇. (2.4.13)将上式代入(2.4.9)式，这样就得到了二阶估计：))0()0((21)()())()((212122021222122t t s t U U ds u u C k t U t U +≤+-++⎰δ. (2.4.14)2.5 能量估计4引理2.5.1[]21：若函数)()(n n i R L R H z ∞∈ ，整数j i ,满足i j ≤≤0，则)(||/2n j i j R L z ∈∂且存在仅与j i n ,,有关的常数C ，使得ij i ij j i j z D z C z //1/2||||-∞≤∂.将方程组(2.1.5)的两边对空间变量)2,,1(≤≤m l h x x x m l h 求三阶偏导数后，再与m l h x x x U 作内积，然后在],0[2t R ⨯上积分，有，⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⋅∂-=⋅∂∂+⋅∂=tx x x x x x tx x x x i ix x x x x x x x x ts dxds U W k dxds U U U A dxds U U m l h m l h m l h i ml h m l h m l h 021))((即.))(())0()(2102122⎰⎰⎰⎰∑⋅∂-=⋅∂∂+-=tx x x x x x t x x x x i i x x x x x x x x x dxds u u k dxdsU U U A U t U m l h m l h m l h i m l h m l h m l h （ (2.5.1)因)(U A i 为对称阵，有m l h m l h i m l h m l h i m l h i m l h x x x x x x i x x x x x x x i x x x x x x x x i U U U A U U U A U U U A ⋅∂-⋅∂=∂⋅∂))((21))((21)(. 故分部积分有,))(()))(())(())((()))(())((()))(()(())((212102102121∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰∑=====⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂+∂∂+⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂+∂=⋅∂∂i tx x x x i x x x i tx x x x x i x x x x i x x x x i x x i tx x x x x x i x x x x i x i tx x x x x x i x x x x x i tx x x x i ix x x dxds U U U A dxdsU U U A U U A U U A dxdsU U U A U U A dxdsU U U A U U A dxds U U U A m l h i m l h m l h i l m h i h m l i m l h m l h i l h m i m h i m l h i m l h i m l h m l h i ml h.))(()))(())(())((()))(())((()))(())((21(21210210210∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰====⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂+∂∂+⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂+∂-=i tx x x x i x x x i tx x x x x i x x x x i x x x x i x x i tx x x x x x i x x x x i x i t x x x x x x i x x x x i x dxds U U U A dxdsU U U A U U A U U A dxdsU U U A U U A dxdsU U U A U U A m l h i m l h m l h i l m h i h m l i m l h m l h i l h m i m h l m l h i m l h m l h i(2.5.2) 其中方阵))((U A i x h ∂、))((U A i x l ∂、))((U A i x m ∂中的每一元素分别为h x U 、l x U 、m x U 中的某一分量，))((U A i x x l h ∂、 ))((U A i x x m l ∂、))((U A i x x m h ∂中的每一元素分别为l h x x U 、m h x x U 、m l x x U 中的某一分量，))((U A i x x x m l h ∂中的每一元素为m l h x x x U 的某一分量，故上式中第四个积分中的被积式为若干项的和，每一具体的项均为三个函数的乘积，而这三个函数中两个是U 的某一分量的三阶导数，另一个是U 某一分量的一阶导数项，同(2.4.2)一样，利用(2.1.7)式有.)(2||||||02321,,,02221,,,032321ds s U C dxds U U C dxds U U U ti m l h t x x x x x x i m l h tx x x x x x x m l h i m l m l h i m l h⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∇≤∂+∂≤∂⋅∂∂==δδααααα (2.5.3)同样⎰∑⎰⎰∇≤⋅∂∂=ti m l h tx x x x ix x x ds s U C dxds U U U A m l h i ml h 02321,,,0)(|))((|δ. (2.5.4)而m l h i l m h i h m l i m l h x x x x x i x x x x i x x x x i x x U U U A U U A U U A ⋅∂∂+∂∂+∂∂)))(())(())(((中的每一项都具有形式332212g g g ∂⋅∂∂，其中1g 、2g 、3g 为U 的某一分量. 为估计这些项的积分，我们利用Nirenberg 不等式，现)(),(23R H t U ∈⋅，由Sobolev 嵌入定理知，)(),(2R L t U ∞∈⋅∇，故对g Z ∂=可应用引理2.5.1，取1,2==j i ，有21321221)(2)()()(24U UC g gC gL L R L ∇∇≤∂∇∂≤∂∞∞.再由推广的lder oH 不等式，由1214141=++可得.||||023033303322120332212033221244⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇≤∂∇∇≤∂∂∂≤∂∂∂≤∂∂∂∞t tL tLL t t ds U C dsg U Udsg g g dsdx g g g dxds g g g δ (2.5.5)其中最后一个不等式是利用(2.1.7)式得到的. 而(2.5.1)右边⎰⎰⎰-=⋅-tx x x tx x x x x x ds u k dxds u ku m l h m l h m l h 02， (2.5.6)综合(2.5.1)—(2.5.6)式，有ds U C ds u k U U tt x x x x x x x x x ml h m l h m l h ⎰⎰∇≤+-0220222))0((21δ， (2.5.7)将(2.5.7)关于2,,1≤≤m l h 求和得ds U C ds s u k U t U t t ⎰⎰∇≤∇+∇-∇022023323)())0()((21δ2. (2.5.8)将方程组(2.1.5)的两边对)2,,1(,,≤≤m l h x x t l h 求三阶偏导数后，再与l h x tx U 作内积，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑⋅∂-=⋅∂∂+⋅∂=ttx sx x sx x sx x ti ix sx x sx x sx s dxds u u k dxds U U U A dxds U U l h l h l h i l h lh l h 021))(()(, 然后在],0[2t R ⨯上积分有.))(())0()((212122⎰⎰⎰⎰∑⋅∂-=⋅∂∂+-=tx sx x sx t x sx x i i x sx x tx x tx dxds u u k dxdsU U U A U t U l h l h l h i l h l h l h (2.5.9)因)(U A i 为对称阵，有l h l h i l h l h i l h i l h x tx x tx i x x tx x tx i x x tx x x tx i U U U A U U U A U U U A ⋅∂-⋅∂=∂⋅∂))((21))((21)(. 则有上式左边的分部积分得∑⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰∑===⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂+∂=⋅∂∂210210021)))(())((()))(()(())((i tx sx x x x i s x sx i x i tx sx x sx i x x x sx i tx sx x i i x sx dxdsU U U A U U A dxdsU U U A U U A dxdsU U U A l h i l h i h l l h i l h i l h l h i l h,))(()))(())(())(((21210∑⎰⎰∑⎰⎰==⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂+∂∂+i tx sx x i x sx i tx sx x x i sx x x i sx sx i x x dxds U U U A dxdsU U U A U U A U U A l h i l h l h i l h i h l i l h∑∑⎰⎰⎰⎰==⋅∂∂+⋅∂-=212100)))(())((21i i t x sx x sx i x t x sx x sx ix dxds U U U A dxds U U U A l h i l h l h l h i∑⎰⎰=⋅∂∂+∂∂+212)))(())(((i x sx x x x i s x sx i x dxds U U U A U U A l h i l h l h l.))(()))(())(())(((21210∑⎰⎰∑⎰⎰==⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂+∂∂+i tx sx x i x sx i tx sx x x i sx x x i sx sx i x x dxds U U U A dxdsU U U A U U A U U A l h i l h l h i l h i h l i l h其中方阵))((U A i x h ∂、))((U A i x l ∂、))((U A i t ∂中的每一元素分别为h x U 、l x U 、t U 中的某一分量，))((U A i x x l h ∂、 ))((U A i tx l ∂、))((U A i tx h ∂中的每一元素分别为l h x x U 、h tx U 、l tx U 中的某一分量，因为))((U A i x tx l h ∂中的每一元素l h x tx U 的某一分量，故上式中最后一个积分中的被积式为若干项的和，每一具体的项均为三个函数的乘积，对于前四项，这三个函数中两个是U 的某一分量的三阶导数，另一个是U 某一分量的一阶导数，利用(2.1.7)式有.))((2||||||2221,,0222132321ds U s U C dxdsU U C dxds U U U l h l l h i l l h i l hx sx tsk i l h tx sx x sx i tx sx x sx x +∇≤∂+∂≤∂⋅∂∂⎰∑⎰⎰∑⎰⎰==δδααααα (2.5.10)类似的⎰∑⎰⎰≤⋅∂∂=t x sx i t x sx x i x sx ds s U C dxds U U U A l h l h i l h 0221)(|))((|δ, (2.5.11)⎰∑⎰⎰∇+∇≤⋅∂∂=t s x x x x i l h tx sx x x x isds s U s U C dxds U U U A l h l h l h il h 02221,,0))()((|))((|δ. (2.5.12)利用Nirenberg 不等式以及lder oH 不等式，得 .)()()))(())(())(((0232221⎰∑⎰⎰∇+∇≤⋅∂∂+∂∂+∂∂=t s i tx sx x x isx x x i sx sx i x x ds s U s U C dxds U U u A U U A U U A l h i l hi h l i l h δ (2.5.13)而(2.5.9)右边⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅-=⋅∂-t x sx t x sx x sx t x sx x sx ds u k dxds u ku dxds U u k l h l h l h l h l h 02, (2.5.14)综合(3.5.1)—(3.5.14)式，有,))()()()(())0()((21230222202222ds s U s U s U s U C dsu k U t U t s t s x tx x tx l h l h ∇+∇+∇+∇≤∇+-⎰⎰δ将上式关于2,1≤≤l h 求和，有.)()0(21)(21222230220222222ds U U U U C dsu k U t U t s t s t t ∇+∇+∇+∇≤∇+∇-∇⎰⎰δ (2.5.15)(2.4.14)(2.5.11)(2.5.14) (2.5.15)式相结合，有.)())0()0((21)()())()((21222230222223022232223ds U UU U C U U dsu u C k t U t U t s t t s t ∇+∇+∇+∇++≤+-++⎰⎰δδ (2.5.16)用类似于(2.4.12)的推导方法，当δ充分小时，有)(2223223t tu u C v v +≤∇+∇,从而得到)(22232223t tu u C U U +≤∇+∇. (2.5.17)将(2.3.10)(2.4.13)(2.5.17)代入(2.5.16)，当δ充分小时，我们可以得到三阶估计： ).)0()0((21)()())()((21220222322t t s t U U ds u u C k t U t U +≤+-++⎰2323δ (2.5.18)由方程(2.1.5)，以及方程(2.1.7)对空间变量x 求一二阶导数后利用Sobolev 嵌入不等式可得 23)0()0(2U C U t ≤，故存在仅依赖于σγ,,,M k 的正常数C ，得到下面三阶能量估计：23022232223)0()()()(U C ds u u t U t U ts t ≤+++⎰. (2.5.19)由(2.5.18)(2.5.19)式知，当δ<3)0(U 且δ充分小，先验假设对任意T 成立，从而得到经典解将整体存在性，即))(),,0([))(),,0([),(22123R H C R H C t x U ∞∞∈ ，这就是：定理2.5.1： 假设)())(),(()0,(23000R H x u x v x U U T ∈==，δ<3U 且δ充分小，那么Cauchy 问题(2.1.5)(2.1.7)存在唯一经典解：))(),,0([))(),,0([),(22123R H C R H C t x U ∞∞∈ .且满足(2.5.19)式.2.6 衰减估计在这一部分我们将对定理2.5.1的解进行衰减估计. 将方程组(2.1.3)式线性化有⎩⎨⎧=+∇+∂=⋅∇+∂.0,0u k v u u v t t σσ (2.6.1) 将(2.6.1)式进行傅立叶变换，有),(ˆ)(),(ˆt U A t Ut ξξξ=∂. (2.6.2) 其中,,(ˆ,(ˆ),(ˆ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t u t v t U ξξξ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=k i k i i i A 000)(2121ξσξσξσξσξ. 解(2.6.2)有)(ˆ),(ˆ0)(ξξξU e t U tA =, 从而0)(11)()(ˆ)],(ˆ[),(U t S U e F t U F t x U tA ∆==--ξξξ. 类似于文[1]中研究)(ξtA e ，我们给出几个式子：矩阵)(ξA 的特征值为21,,λλ---k . 这里22211||4,2,2ξσλλ-=-=+=k k k ∆∆∆. .00000)(ˆ,000)(22111221⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-----tt tt kte z e e e e t Tz kB λλλλλλλλξ⎩⎨⎧≥--<--=0||420||4,2221222ξσλξσk k k z同样有,)(ˆ)(ξtB e t T=最终得到),(t x U 有如下性质： 引理2.6.1：设)()(23210R H R L U ∈，则对10，=n ，有如下估计：).)1(()(|),)1((|)(|0810221002810210U eU t C U t S U eU t C U t S n kt n n n kt nn∇++≤∇∇++≤∇---+-∞--其到C 是依赖于k 的常数.假设δ<∈323210),()(U R H R L U ，并且δ充分小，那么非线性方程(2.1.3)(2.1.4)有定理2.5.1中的唯一整体解. 令.),(sup )(,),()1(sup )(,),()1(sup )(,),()1(sup )(300121000s U t s U s t L s U s t L s U s t L ts ts ts ts ⋅=Λ⋅∇+=⋅+=⋅+=≤≤≤≤≤≤∞≤≤∞引理2.6.2：设δ<+3010||U U ，且δ充分小，则))()()()(()()()(1010t t L t L t L C t L t L t L Λ++≤++∞∞δ. (2.6.3)证明：利用Duhamel 原理，有ds s x U U G s t S x U t S t x U t),)(,()()()(),(00∇-+=⎰, (2.6.4)其中T ku v v u u u v v u U U G ))2)1((,)2)1(((),(-∇--∇⋅-⋅∇--∇⋅-=∇γγ表示(2.1.3)的非线性项.现)(23R H U ∈，由Sobolev 嵌入定理有满足引理2. 5.1的条件，取1,2==j i ，有U U C U 224||)|(|∇≤∞. (2.6.5)下面估计G ,有,)1)(()()()(|)2)1((||||)2)1((||||),)(,(231011111-+≤∇≤∇-+∇⋅-+⋅∇-+∇⋅-≤⋅∇s t L t CL s U s U C v v u u u v v u s U U G γγ|。

二维可压欧拉方程组径向对称解的爆破二维可压欧拉方程组（2DWEFE）径向对称解是一种经典的偏微分方程解法，目前已经被广泛地应用在物理、化学和生物学等领域。

它主要涉及到求解圆周上分布的对称形状，以及此解对外部环境及内部扰动的响应。

本文将简要介绍二维可压欧拉方程组径向对称解的爆破过程，主要包括以下几个环节：一、定义概念：1. 径向对称：2DWEFE的径向对称解是指流体受到外部力作用时，其呈现的比较均匀的相对稳定状态。

2. 爆破：即采用一定算法对2DWEFE的径向对称解进行爆破，从而求解解析解或数值解。

二、爆破算法：1. 牛顿法：采用梯度下降法和正则化方法，以极值点来求解相应的偏微分方程。

2. 逐次线性方程组求解：采用固定步长且精度较高的方法来解决非线性方程组，可以迅速求解出高精度的结果。

3. 多解法：由于2DWEFE的解有可能存在多解，因此采用多解法来求解径向对称解，通过增加初值限定范围、修正准则等技巧，可以限制不同优化方程，求出更加接近真实解的结果。

三、结果可视化：为了更直观比较径向对称解的不同算法间的差别，采用结果可视化的技术将各算法求解的径向对称解的结果展示出来，进而评估和分析各个算法求解的准确度和效率。

四、解的稳定性：随着外部扰动的加大，径向对称解的稳定性被严重影响，这要求我们在爆破解时，采用相应措施保证解的稳定性，这些措施包括对初值的精确限定、锚点修正等。

总结：二维可压欧拉方程组径向对称解的爆破过程可以由定义概念、爆破算法、结果可视化以及保证解的稳定性等几个步骤来实现，其结果取决于爆破算法的有效性以及对初值的精确限定等因素。

尽管在爆破径向对称解过程中存在一些技术挑战，但基于其在多种应用中的潜在价值，2DWEFE的径向对称解爆破一方面可以为应用领域提供有用的参考；另一方面，也可以为先进的模型发展带来新的视角。

二维Euler-α方程的解收敛到欧拉方程组的解的简单证明臧爱彬;江碧霞【摘要】令Euler-α方程的初始速度是欧拉方程极限的初速度的合适逼近.直接利用分部积分公式和插值不等式可证明得到,当α→0时,具Dirichlet边界条件的二维Euler-α方程组的解以L2空间及时间一致收敛于欧拉方程组的解.【期刊名称】《宜春学院学报》【年(卷),期】2016(038)009【总页数】5页(P5-8,32)【关键词】Euler-α方程;欧拉方程;Dirichlet边界条件【作者】臧爱彬;江碧霞【作者单位】宜春学院数学与计算机科学学院,江西宜春,336000;宜春学院数学与计算机科学学院,江西宜春,336000【正文语种】中文【中图分类】O175.29设Ω⊂R2是一个光滑有界的单连通域。

设是边界∂Ω的外法向量。

考虑如下在Ω上Eulerα方程的初边值问题，其中vα=uα－α2Δuα。

Marsden［1］和Shkoller［2］等人通过利用几何的观点考虑问题 (1.1)的解的存在性和唯一性。

Cioranescu和El Hacene［3］率先考虑二阶流体力学方程的整体适定性问题。

而Busuioc［4］在Cioranescu和El Hacene的基础上对于固定的α，当粘性系数趋于0时，由二阶流体力学的解通过收敛性即可得到(1.1)的解。

假设u0∈H3(Ω)，散度为零的向量在边界∂Ω上满足u0·=0。

考虑不可压缩的二维欧拉方程的初始边界值问题:Kato［5］和Teman［6］等人得到了方程 (1.2)中的唯一的解满足接下来，考虑Euler－α方程的一族初始速度它们是u0按以下合适意义逼近得到的［7］(i)在边界∂Ω上消失，(ii)当α→0在L2(Ω)，作者与其合作者［7-8］通过构造 Kato边界函数［9］方法证明得到具 Dirichlet边界条件的二维Euler－α方程组的解以L2空间及时间一致收敛于欧拉方程组的解。