2.5.3 切线长定理

2．切线是一条与圆相切的直线，不能度量．( √)
3．切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度
量．( √ )
【小题快练】
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB= ( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB= ( B )
· ×
(3)∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,∴OF⊥BC,∴OF=
= =4.8.


【一题多变】
1.已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不与M
和C重合,以AB为直径作☉O,过点P作☉O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形
CDFP的周长.
【解析】见全解全析
2.已知:AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,DE与☉O相切于E,☉O的半径为 5,AD=2.
求BC的长.
【解析】见全解全析
【技法点拨】
利用切线长求线段长的一般途径
切线长定理经常用来证明线段相等,通过连接圆心与切点构造直角三角形来求解.
重点2
利用切线长定理求角度
【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
P(4,2)是☉O外一点,连接AP,直线PB与☉O相切于点B,交x轴于点C,求BC的长.
【解析】见全解全析
＝90°，即PB⊥OB，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，可以得到
PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
4．归纳总结：
(1)切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作

（3）角的互补关系： ∠AOB+∠APB=180 ∠OAP+∠OBP=180
（4）垂直关系： OA⊥AP,OB⊥BP,AB⊥OP
课后作业： 课本P75-76习题2.5第5.6.11题
处事，如线段，有始有终； 求知，如射线，只有起点……
感谢倾听，再见！
AP
O. C
B
Q
1.切线长定义： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点
间的线段的长称为切线长。
2.切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们
的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这 两条切线的夹角。
3.（1）线段的相等关系： OA=OB,PA=PB,AC=BC
（2）角的相等关系： ∠1=∠2 ∠AOP=∠BOP ∠OAP=∠OBP=90O
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法
1、如图，AB、AC切⊙O于B、C两点，连接AO，则下列
说法正确的是（ C ）
A.∠BAC＝60°
B.OB＝AC，OC＝AB
C.AB＝AC，∠BAO＝∠CAO
2、如图，AB、AC切⊙O于B、C两点，连接AO，
若OC＝6，OA＝10，则切线长AB＝（ C ）
切线长定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段 的长，叫做这点到圆的切线长。
A
比一比
O·
P
切线与切线长是一
B
回事吗？它们有什
么区别与联系呢？
切 线: 是直线，不可以度量； 切线长: 是线段，可以度量。
A
。
P
O
B
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
切线长定理 ：从圆外 一点可以引圆的两条 切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心 的连线平分两条切线 的夹角。

图 2-5-32
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*2.5.3 切线长定理
归类探究
类型之一 利用切线长定理进行计算 ︵
如图 2-5-33，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别是 A，B，Q 为AB上一 点，过点 Q 作⊙O 的切线，分别交 PA，PB 于 E，F 两点，连接 OE，OQ，OF. 已知 PA＝12 cm，∠P＝56°.
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5．如图 2-5-42(1)，已知正方形 ABCD 的边长为 2 3，点 M 是 AD 的中点，P 是线段 MD 上的一动点(不与点 M，D 重合)，以 AB 为直径作⊙O，过点 P 作⊙O 的切线交 BC 于点 F，切点为 E.
(1)除正方形 ABCD 的四边和⊙O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不添 加字母和辅助线)?
(2)求四边形 CDPF 的周长．
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(3)如图 2-5-42(2)，连接 OF，延长 CD，FP 相交于点 G，是否存在点 P，使 BF·FG＝CF·OF？若存在，试求此时 AP 的长；若不存在，请说明理由．
(1)
(2)
图 2-5-42
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当堂测评
1．[2019·杭州]如图 2-5-35，P 为圆 O 外一点，PA，PB 分别切圆 O 于 A，B 两点，若 PA＝3，则 PB＝( B )
A．2 C．4
图 2-5-35 B．3 D．5
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2．如图 2-5-36，PA，PB 切⊙O 于点 A，B，PA＝10，CD 切⊙O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D 两点，则△PCD 的周长是( C )

湘教版数学九年级下册《2.5.3切线长定理》教学设计一. 教材分析《2.5.3切线长定理》是湘教版数学九年级下册中的一节内容。

本节课主要介绍切线长定理，并通过实例让学生了解和掌握切线长定理的应用。

教材通过引出圆的切线，让学生探究并证明切线长定理，进一步运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握切线长定理，并能在实际问题中应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、性质和圆的方程。

他们对圆有一定的认识，但切线长定理是一个新的概念，需要通过实例来引导学生理解和掌握。

学生需要通过观察、思考和操作来探究切线长定理，进一步运用定理解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解和掌握切线长定理，能够运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。

2.过程与方法：培养学生观察、思考和操作的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：引导学生探究并证明切线长定理，使学生能够运用切线长定理解决实际问题。

2.难点：理解并掌握切线长定理的证明过程，能够灵活运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入切线长定理，激发学生的学习兴趣。

2.探究式教学法：引导学生观察、思考和操作，培养学生自主学习的能力。

3.小组合作学习：学生进行小组讨论和实践，培养学生的团队合作意识。

4.讲解法：教师对切线长定理的概念、证明和应用进行讲解，帮助学生理解和掌握。

六. 教学准备1.教学课件：制作切线长定理的教学课件，包括文字、图片和动画等。

2.实例材料：准备一些与圆有关的具体实例，用于引导学生探究和理解切线长定理。

3.学习工具：准备圆规、直尺等学习工具，方便学生进行观察和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入圆的切线，引导学生关注切线与圆的关系。

通过提问，激发学生的思考，为后续学习切线长定理打下基础。