故f(x)在[0，＋∞)上不可能为增函数； 当0<a<1时，t＝ax在[0，＋∞)上为减函数， 此时0<t≤1，要使f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
【方法点评】 1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性， 可确定y＝af(x)的值域． 2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
【方法点评】 带有绝对值的图象作图，一般分为两种情 况，一种是去掉绝对值作图，一种是不去绝对值，如y=f(|x|) 可依据函数是偶函数，先作出y=f(x)(x≥0)的图象，x<0时的 图象只需将y=f(x)(x≥0)图象关于y轴对折过去即可，又知 y=|f(x)|的图象，可作出y=f(x)的图象，保留x轴上方图象， 将下方图象关于x轴对称过去即可得y=|f(x)|的图象．
1．化简下列各式： 【解析】
指数函数的图象及应用 已知函数y＝ (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值． 【思路点拨】
【自主探究】 (1)由已知可得 其图象由两部分组成：
y=3x+1(x<-1)． 图象如图： (2)由图象知函数在(-∞，-1)上是增函数，在(-1 ， +∞)上是减函数． (3)由图象知当x=-1时，函数有最大值1，无最小值．
3．已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－ 1,1]上的最大值为14，求实数a的值．
【解析】 f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2， ∵x∈[－1,1]，
1．(2009年辽宁高考)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝ ；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)＝( )
【解析】 ∵a＝ 故am>an⇒m<n.
∈(0,1)，
【答案】 m<n
4．(2008年重庆高考)已知 【解析】
则loga＝________.
【答案】 3
5．(2008年湖北高考)方程2－x＋x2＝3的实数解的个
数为______．
【解析】 ∵2－x＋x2＝3，∴ ＝－x2＋3，
令y＝
和y＝－x2＋3，其两函数的图象如下：
指数函数的性质
如果函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0且a≠1)在区间 [0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 先化简f(x)的表达式，利用复合函数的单 调性的方法求解，或利用求导的方法来解．
【自主探究】 由题意得f(x)＝(ax)2－(3a2＋1)ax， 令t＝ax，g(t)＝t2－(3a2＋1)t(t>0)． 当a>1时，t＝ax在[0，＋∞)上为增函数，则此时t≥1，而 对于g(t)而言，对称轴
【解析】 ∵f(x)＝a|x|，f(m)>f(n)， ∴a|m|>a|n|① 又∵m<n<0∴－m>－n>0，即|m|>|n|② 由①②知a>1. 【答案】 a>1
指数冪的化简与求值 化简下列各式(其中各字母均为正数)：
【思路点拨】 (1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数 幂，先化为分数指数幂以便用法则运算；(2)题目中给出的是分数 指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下 去，如不符合应再创设条件去求．
A．定义域是R，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
D．以上都不对 【解析】 ∵y＝3－x＝
，其定义域为R，值域为
(0，＋∞)
∴f(x)＝3－x－1的定义域为R，值域为(－1，＋∞)．
【答案】 C
3．下列四种说法中，正确的是( )
A．y＝2x＋1和y＝ 都是指数函数
指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 考纲点
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象 击
通过的特殊点.
4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
1.本节内容在高考中的重点是指数函数的图象、性质及简单的应用，
但幂的运算是解决与指数有关问题的基础，也要引起重视，另外分类 热点提
1．若x＋x－1＝2 ，则x3＋x－3的值等于( )
A．14
B．10
C．8
D．10
【解析】 ∵x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2－1＋x－2) ＝(x＋x－1)[(x＋x－1)2－2x·x－1－1] ＝2 ·[(2 )2－3]＝10 .
【答案】 B
2．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是( )
当n为偶数时，正数的n次方根有两个， ±
它们互为相反数
(a＞0)
负数没有偶次方 根
(2)两个重要公式
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
⑥ 0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义 ． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
【答案】 D
4．函数y＝ax＋2 009＋2 010(a>0且a≠1)的图象恒过定点______． 【解析】 ∵y＝ax(a>0，且a≠1)恒过定点(0,1)， ∴y＝ax＋2 009＋2 010恒过定点(－2 009,2 011)． 【答案】 (－2 009,2 011)
5．已知f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)，若对于m<n<0，有f(m)>f(n) 成立，则a的取值范围是________．
【自主探究】
【方法点评】 指数幂的化简与求值的原则及结果要求 (1)化简原则 ①化负指数为正指数； ②化根式为分数指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序；
【特别提醒】 有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用 性质来运算． (2)结果要求 ①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； ②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂 表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母 又有负指数幂．
【解析】 ∵2<3<4＝22，∴1<log23<2. ∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)
【答案】 A
2．(2009年山东高考)函数y＝
的图象大致为( )
【解析】
【答案】 A
3．(2009年江苏高考)已知a＝
，函数f(x)＝ax，若实数
m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
讨论思想也是考查的另一重点. 示
2.高考中，可能以选择、填空形式考查，也可能与方程、不等式等知
识结合出现在解答题中，属中、低档题.
1．根式 (1)根式的概念
根式的概念
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根
符号表示
备注
n＞1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数，负数的n次方根是一个负数
零的n次方根是 零
B．指数函数y＝ax的最小值是0
C．对任意的x∈R，都有3x>2x
D．函数y＝ax与y＝
的图象关于y轴对称
【解析】 依指数函数定义知y＝2x＋1＝2·2x，它不是指数
函数，∴A选项错误；y＝ax>0，∴B选项错误；从y＝2x与y＝3x
的图象中可以看出
当x>0时，3x>2x；
当x＝0时，3x＝2x；
当x<0时，3x＜2x，∴C选项错误．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
(1)过定点(0,1)
(2)当x>0时，y>1；x<0时， (2)当x>0时，0<y<1；x<0时，
性
0<y<1
y>1
质
(3)在(－∞，＋∞)上是增函 (3)在(－∞＋∞)上是减函数
数
Baidu Nhomakorabea
如图是指数函数 (1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx， (4)y＝dx的图象，如何确定底数a， b，c，d与1之间的大小关系． 提示：在图中作直线x＝1，与它们图象交点的纵坐标即为它们 各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，∴c>d>1>a>b.即无论在y轴的左 侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
借助函数的图象解题是重要的数学方法． 3．当指数函数的底数含参数时，解题时应对底数分类讨 论解之．
2．若由线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取 值范围是________．
【解析】 分别作出曲线和直
线的图象，通过图象的交 点个数来判断参数的取值 范围． 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示，由图象可得 |y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b应满足的条件是 b∈[1,1]． 【答案】 [-1,1]
由图象可得方程2-x+x2=3的实数解的个数为2. 【答案】 2
1．在进行分数指数幂与根式的运算时，通常根式转化为 分数指数幂，利用分数指数幂的运算法则进行运算化简．
2．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无 限伸展性，x轴是函数图象的渐近线．当0<a<1时，x→＋∞， y→0；当a>1时，x→－∞，y→0；当a>1时，a的值越大，图象 越靠近y轴，递增的速度越快；当0<a<1时，a的值越小，图象 越靠近y轴，递减的速度越快．
