精编随机模拟(仿真)-simulation

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蒙特卡诺模拟设计(内附详细程序设计例子)

蒙特卡诺（Monte-Carlo）方法（一）Monte-Carlo模拟简介Monte-Carlo方法亦称为随机模拟（Random Simulation）方法，有时也称作随机抽样（Random Sampling）技术或统计试验（Statistical Testing）方法。

它的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。

是由Metropolis在二次世界大战期间提出的Manhattan计划，用于研究与原子弹有关的中子输运过程中提出的。

应用Monte-Carlo方法解决实际问题：1、对求解的问题建立简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解恰好是所建立模型的概率分布或数学期望。

2、根据概率统计模型的特点和计算实践的需要，尽量改进模型，以便减小方差和降低费用，提高计算效率。

3、建立对随机变量的抽样方法，其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生随机变量的随机抽样方法。

4、给出获得所求解的统计估计值及其方差或标准误差的方法。

Monte-Carlo模拟在物理研究中的作用：统计物理学与具有多自由度的系统打交道。

统计物理学的一个任务是从模型的哈密顿量计算出所要的各种平均性质，例如每个自由度的平均能量E 或平均磁化强度M ，E ＝<H>t ∕N, M=<i iS ∑>t ∕N (2.7.1) 其中<>t 代表热平均。

A(x)表示任何可观察量，例如A=H, i i S∑等等，x 是相空间中的矢量，代表所考虑的自由度的一组变量的集合，在我们的研究范畴内，x=(12,,,N S S S ),表示系统的自旋组态。

对下式,222()()()()1x Heisenberg ij i j x ii j i x y z i i i H J S S H S S S S <>=--++=∑∑式x=(12,,,N S S S )的热平均在正则系综中由下式定义：<A(x)>T =1exp[()/]()B dx H x k T A x Z ⋅-⎰, (2.7.2) Z=exp[()/]B dx H x k T ⋅-⎰.归一化的Boltzmann 因子P(x)=1exp[()]l B x k T Z -H (2.7.3) 起着一个概率密度的作用，它描写位形x 出现在热平衡中的权重。

§5随机模拟与系统仿真

§3.5 随机模拟与系统仿真一. 随机现象的模拟例：超市出口有若干个收款台，两项服务：收款、装袋。

顾客的到达的时间间隔是随机的；因顾客购买的货物量不同，所以服务时间的长短也是随机的。

可以利用计算机产生服从一定的规律（概率分布）的(伪)随机数，用随机数确定时间间隔和服务时间。

1. 随机变量及其分布随机事件：在一定条件下有可能发生的事件，其全体记为Ω 。

概率：随机事件A ∈ Ω发生的可能性的度量 P(A)， 0 ≤P(A) ≤ 1.定义: 在Ω的σ-集合类F 上的实值函数，P: ω → P(ω), ω ∈ F , 满足：1. 非负性：P(ω)≥0,2. 规范性：P(Ω)=1,3. 可列可加性：对 ω =U A i ⊆Ω, {A i }是两两不相容的事件，则 P(ω)= ∑P(A i ) ，称P 为F 上的概率测度.随机变量：称在Ω上定义的实值函数 ξ ：A → ξ (A) 为随机变量。

离散型： ξ ∈{a k ；k=1,2,…(,n)},连续型： ξ ∈(a, b) .随机变量的分布函数：F(x):=P(ξ <x):=P(ξ-1 (- ∞, x)), 其中 ξ-1 (-∞,x)={A ∈ Ω; - ∞ <ξ (A)<x} ∈ F 离散型若则称a k a 1 a 2 … a nP(ξ=a k ) p 1 p 2 … p n为离散随机变量 ξ 的分布列, 称函数 F(x)=P(ξ <x)= ∑ak<x p k 为随机变量 ξ 的分布函数。

连续型若则称函数p(x) 为随机变量 ξ 的分布密度, 称F(x)= P(ξ∈(-∞, x))为随机变量 ξ的分布函数几类常见的随机分布● 两点分布只有两种可能结果(成功、失败)的实验称为贝努里试验。

试验成功的概率为p● 二项分布 n 重贝努里试验成功的次数ξ 。

● 离散的均匀分布1,)(1===∑=n k k k k pp a P ξ⎰=∈b a dt t p b a P )(]),[(ξ1)(=⎰+∞∞-dt t p )1(,)1()(<-==-p p p C k P k n k k n ξnk n a P k ,,2,1,/1)(Λ===ξ⎩⎨⎧=失败成功01ξ⎩⎨⎧=-===011)(x p x p x P ξ● 泊松分布在单位时间间隔内随机事件平均发生的次数ξ .● 正态分布许多偶然因素作用结果的总和。

Simulation基础教程(2章)

活和个性化，能够更好地满足用户的实际需求。
03
Simulation流程
问题定义与目标设定
问题定义
明确模拟的目标和问题，确定模拟的范围和约束条件。
பைடு நூலகம்目标设定
根据问题定义，设定模拟要达到的目标，如预测、优化、验证等。
模型建立与参数设定
模型选择
根据问题特点选择合适的模拟模型，如物理模型、数学模型等。
特点
Agent-Based Simulation适用于描述和分析具有异质性、自适应性和交互性的复杂系统，如生态系统和社交网络等。
实现
Agent-Based Simulation通常需要定义个体的属性和行为规则，并使用随机数或确定性算法来模拟个体之间的相互作用和演化过程。
05
Simulation案例分析
结果分析
对仿真结果进行分析和评估，为系统优化提供依据。
02
Simulation工具与软件
通用Simulation软件
总结词
通用Simulation软件具有广泛的适用性和灵活性，适用于各种领域和行业的Simulation需求。
详细描述
通用Simulation软件通常提供丰富的库和工具箱，支持多种Simulation方法和算法，可进行系统建模、仿真分析和优化设计等。这些软件通常具有友好的用户界面和易用的操作方式，使得用户可以快速地建立模型、设置参数并进行仿真分析。
特点
离散事件Simulation适用于描述和分析在离散时间点上发生的事件，如排队系统、生产制造过程等。
实现
离散事件Simulation通常使用事件调度表来记录事件发生的时间和顺序，并根据事件调度表更新系统状态。
连续变量Simulation

sims拟合仿真

sims拟合仿真摘要：1.Sims 拟合仿真的概述2.Sims 拟合仿真的原理3.Sims 拟合仿真的应用领域4.Sims 拟合仿真的优缺点5.Sims 拟合仿真的未来发展正文：一、Sims 拟合仿真的概述Sims 拟合仿真是一种通过计算机模拟的方法，对复杂的现实系统进行建模和仿真，以便更好地理解和预测系统的行为。

Sims 是“Simulation”的缩写，意为模拟。

拟合则是指将一组数据通过数学模型进行匹配，从而得到一个更加精确的结果。

因此，Sims 拟合仿真是指通过模拟和拟合的方式，对现实系统进行研究和分析。

二、Sims 拟合仿真的原理Sims 拟合仿真的原理主要包括以下几个步骤：1.建立模型：根据现实系统的特点，建立一个合适的数学模型，用于描述系统的结构和功能。

2.编写程序：根据模型，编写计算机程序，用于模拟现实系统的运行过程。

3.收集数据：通过实验或者观测，收集现实系统的相关数据，用于拟合和验证模型的准确性。

4.拟合分析：将收集到的数据，通过数学模型进行拟合，得到一个更加精确的结果。

5.分析预测：根据拟合后的结果，对现实系统的行为进行分析和预测。

三、Sims 拟合仿真的应用领域Sims 拟合仿真技术广泛应用于多个领域，包括但不限于：1.物理学：对粒子加速器、天体物理等进行模拟和研究。

2.经济学：对经济系统进行模拟和预测，以便更好地理解经济现象和制定政策。

3.生物学：对生物系统进行模拟和研究，以便更好地理解生命现象。

4.工程学：对工程项目进行模拟和分析，以便更好地进行设计和管理。

四、Sims 拟合仿真的优缺点Sims 拟合仿真技术具有以下优点：1.可以对复杂的现实系统进行建模和模拟，以便更好地理解和预测系统的行为。

2.可以在计算机上进行快速和精确的计算，大大提高了研究的效率和准确性。

3.可以通过拟合和分析，对现实系统的行为进行深入的研究和预测。

然而，Sims 拟合仿真技术也存在以下缺点：1.建立模型和编写程序需要专业的知识和技能，对研究人员的要求较高。

第三章(9)随机模拟-仿真模型、蒙特卡洛模拟

Matlab程序： function y=paidui(T) L=zeros(1,T+1);% 等待的顾客人数， T1=zeros(1,T+1); %等待时间的累加， T2=zeros(1,T+1); %服务时间的累加, L1=zeros(1,T+1);%到达顾客人数累加。 t=1; x=0:T; r=rand(1,T); for t=1:T if 0<=r(i) & r(i)<0.4 n=0; elseif 0.4<=r(i) & r(i)<0.7 n=1; else n=2; end;
蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）
第三章常用数学模型及建模方法
当所求问题的解可以视为某个随机变量X的概率或期望的函数时通过随机抽样即模拟随机变量X产生望的函数时，通过随机抽样，即模拟随机变量的“实验”；然后计算频率或平均值，以估计概率或期望或期望；从而得到所求问题的解。得到求的解
p ( k ) : pi ,
i 1 kpຫໍສະໝຸດ (0) 0p ( k ) p ( k 1) ,
p (n) 1
取服从[0, 1]区间上均匀分布的随机数 R[0, 1]，则容易证明: P( “ p(k-1) < R < p(k) ” ) = pk = P ( “ = ak” ) 即随机事件 “ p((k-1)) < R < p((k)) ” 与 “ =ak” 有相同的概率分布。因此，当p(k-1) < R < p(k)时，则认为事件 =ak发生。发生每隔一分钟记录一次系统状态，模拟10分钟的 Matlab程序如下：
>>r=rand(1,10); >>r=rand(1 10); >>for i=1:10; if r(i)<0.4 () ; n(i)=0; elseif 0.4<=r(i) & r(i)<0.7 n(i)=1; else n(i)=2; end; end

应用随机过程第4章随机模拟

4.2 随机数的抽样
› 生成大量不重复的seed序列
产生随机数种子的原理，是要产生多少个随机数种子，就按一定步长递增多少次，然后得到一个随机数作为种子。这个宏有个缺点，就是当步长*随机数种子数量>2**31-1 时，可能得不到要求得到的随机数种子数量。
4.2 随机数的抽样
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布随机数
› 生成大量不重复的seed序列
– 在实际的应用中，我们经常会遇到需要大量随机数序列的情况，这时候我们就不能靠手工输入随机数种子。 – 当SEED=0时，我们可以用这个随机种子产生大量的随机数序列，但是这里产生的随机数序列并不一定能保证这些随机数序列不重复。 – 这里介绍一个产生不重复的随机数种子的宏
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成
– SAS随机数函数
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 › 利用SAS生成标准分布随机数一般有两种方法 – 由随机数函数产生随机数序列其语法为：var = name(seed,<arg>) – CALL子程序产生随机数序列其语法为：call name(seed,<arg>,var)。ｰ两种方法的主要区别在于：ｰ随机数函数产生随机数序列时，其序列的值只由第一个随机数种子的值决定，而用CALL子程序时，每一次调用随机函数，都会重新产生新的随机数种子。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – 在SAS系统中， – 常数a=397,204,094 – m = 2^31-1=2,147,483,647（是一个素数） – c=0 – 种子R(0)必须是一个整数并且其值介于1到m-1之间。 – 这里c=0的数据生成器被称为multiplicative congruential generator，被广泛地应用。

仿真验证的常见方法

仿真验证的常见方法仿真验证是一种帮助设计、优化和评估运行中的系统的常见方法。

它通过模拟系统的行为和性能来获得关于系统行为的详细信息，从而传达设计决策的影响和改进方案的潜在效果。

随着计算能力的提升，仿真验证已成为工程领域不可或缺的工具。

本文将介绍几种常见的仿真验证方法。

1.离散事件仿真（DES）：离散事件仿真适用于模拟系统中离散事件的发生和处理过程。

它将系统建模为由一系列事件组成的网络，每个事件代表一个系统状态的改变。

通过模拟事件的发生和处理过程，离散事件仿真可以帮助评估不同的决策方案对系统性能的影响。

2.连续仿真（CS）：连续仿真适用于模拟连续系统的行为。

它将系统建模为一组连续的方程和约束条件，并使用数值方法来模拟系统的运行。

连续仿真在评估系统的动态性能和响应性方面非常有用。

3. 蒙特卡罗仿真（Monte Carlo Simulation）：蒙特卡罗仿真是一种基于随机抽样的方法，用于评估系统在不同参数组合下的行为和性能。

它通过从概率分布中抽取大量样本，利用这些样本的统计特性来估计系统的行为。

蒙特卡罗仿真可以帮助评估系统的风险和不确定性。

4. Agent-Based Modeling（ABM）：Agent-Based Modeling是一种建立于个体行为的仿真方法。

它将系统建模为一组独立的个体，每个个体都有自己的行为规则和互动方式。

通过模拟个体之间的互动，Agent-Based Modeling可以帮助评估不同决策对系统整体行为的影响。

5. 虚拟现实仿真（Virtual Reality Simulation）：虚拟现实仿真是一种基于计算机生成的环境和交互技术的仿真方法。

它通过模拟真实场景和用户交互，提供一种沉浸式的仿真体验。

虚拟现实仿真可以帮助评估设计决策在真实环境中的效果和用户体验。

6. 博弈论仿真（Game Theory Simulation）：博弈论仿真是一种用于评估决策者之间策略选择和博弈行为的仿真方法。

随机模拟(统计仿真)

3、综上所述，建议采用新的机票预定政策
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中国民航大学牟德一
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模拟（仿真）概念：模拟是对真实系统或过程在时间域中运行的模仿优点： • 提供替代直接研究法无法进行直接研究的方法 • 缩短研究周期，节约经费分类：按形式——物理模拟、数学模拟和混合模拟按变量的性质——离散系统模拟模型和连续系统模拟模型按时间变化分类——动态模拟模型和静态模拟模型
从模拟的统计结果可作出如下分析： 1、在现有的飞机票预定政策下，由于预定机票数为 30张，而实际到达的乘客数平均为28人，所以其平均利润为100×28＝2800元。在新的机票政策下，由于模拟得到的平均利润为2932.3，所以采用新的机票预定政策可以获得更大的净利润。 2、在新的机票预定政策下，仍可达到较高的服务水平（约99％）
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风险分析模拟
表3：
风险分析模拟第四步：统计分析
模拟后要对运行结果进行统计分析，统计分析的内容和公式如下表4所示：表4：
＝AVERAGE(E26:E525) ＝STDEV(E26:E525) ＝MIN(E26:E525) ＝MAX(E26:E525) ＝COUNTIF(E26:E525,"<0") ＝E532/500
表1：新产品单位产品可变成本概率
单位产品可变成本概率
46 0.1
47 0.2
48 0.4
49 0.2
50 0.1
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输入量
不可控输入变量
需求量（台）服从均值为20000、标准方差为6000的正态分布可变成本（元）服从上表的概率分布广告费（元）服从区间在100000 与130000之间的均匀分布

随机模拟实验

计算结果N是n个数的一维数组，分别表示data中各个小区间的数据量。这种方式只计算而不绘图。
数学实验
例：统计10000个均匀随机数在五个小区间的分布。
即观察10000 个随机数在[0,0.2],[0.2,0.4], [0.4,0.6],[0.6,0.8],[0.8,1]的分布情况。 data=rand(10000,1); figure(1),hist(data,5) N5=hist(data,5) figure(2),bar(N5,'r')
(1)甲比乙先到码头：x
数学实验
function F=shipmeet(N) if nargin==0, N=2000; end P=24*rand(2,N); X=P(1,:);Y=P(2,:); I=find(X<=Y&Y<=X+2); J=find(Y<=X&X<=Y+1); F=(length(I)+length(J))/N plot(X,Y,’b.’) ,hold on axis([0 24 0 24]) h1=plot([0 24],[0,24],’k’) h2=plot([1 24],[0,23],’r’) h3=plot([0 22],[2,24],’b’) set([h1,h2,h3],’linewidth’,2)
0, 0 r 0.5 f(r ) 0.5 r 1 1,
如果 0.5<r<1，认为出现数字面X=1，否则出现图案面
数学实验
算法设计：输入：抛硬币次数n
输出：抛硬币出现数字面的概率估计值 p
1. 2. 3. 4. 5. 6.
初始化count=0 对于i=1,2,…,n，执行第3~4步产生[0,1]上的随机数r 如果0.5<r<1,则count=count+1 计算p=count/n 输出p

第五讲随机模拟与系统仿真

系统仿真
• 例 3.16 市场服务 • 超市有两个出口的收款台，两项服务：收款、装袋。两名职工在出口处工作。有两种安排方案：开一个出口，一人收款、一人装袋；开两个出口，每个人既收款又装袋。问商店经理应选择哪一种收款台的服务方案。 • 假设： • 1. 顾客的到达是随机的。 • 2. 收款装袋的时间是相同的。 • 3. 第一种方案中，收款与装袋同时进行。
• •
• • • •
系统仿真 • 问题 • 1. 在池水含盐的问题中令rO=rI=6m3/分 • 10. 池中盐水的浓度如何变化？ • 20. 若当p(t) = 0.3kg/m3 时令pI=0，需要多少时间达到 p*= 0.2kg / m3？ • 30. 若池中盐水的初始浓度为 p*，对于不同的初始体积V0，当pI=0时，计算池中盐水浓度降低一半所用的时间。 • 2. 进一步建模分析市场服务的问题 • 10. 假设对不同的顾客收款和装袋的时间服从正态分布 N(1，2)。对同一位顾客两者相等。 • 20. 探讨顾客的到来对出口设置的影响。
系统仿真
初始事件表找出最靠前事件事件属性顾客到达服务结束
仿真完毕？
输出结果
下一顾客到来时刻，记事件表
结束服务有顾客排队？
出纳忙？
为顾客服务
顾客排队
为顾客服务
收款台闲置
产生服务结束时刻，记事件表
产生服务结束时刻，记事件表
统计数据
统计数据
系统仿真 • 3. 系统仿真软件 • MATLAB---SIMULINK • Simulink 是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包。它支持线性和非线性系统，连续和离散时间模型等。 • Smulink 提供了一个图形化的用户界面，可以用鼠标点击和拖拉模块的图标建模。通过图形界面，可以象用铅笔在纸上画图一样画模型图。 • Simulink 包括一个复杂的由接受器、信号源、线性和非线性组件及连接件组成的模块库，每个组件是包含若干模块的模块集。当然也可以定制或者创建用户自己的模块。 • Simulink 可以对模型进行仿真，使用显示模块可以在运行仿真时观察到仿真的结果。还可以改变参数并且立即就可以看到它的变化。仿真结果放在工作空间（workspace）中以待进一步的处理或可视化。

jmpchina_webinar_simulation-质量改进方案的模拟优化

数学模型的构建
Y=
f (X)
根据已知的自然定理建立的数学关系模型根据历史数据建立的回归模型根据试验设计观察的结果建立的对应模型根据常识建立商业流程及产品的模型
Copyright © 2008, SAS Institute Inc. All rights reserved.
随机分布的种类
随机分布连续型随机分布离散型随机分布
Copyright © 2008, SAS Institute Inc. All rights reserved.
类似的问题还会发生在…
新产品的设计新项目的选择稳定性设计样品的调试敏感性分析可靠性研究材料的选择资源的调配 …… 价值流分析流程的优化周期的缩短库存的降低成本的估算市场规模调研经营风险管理公司前景分析 ……
正态 Normal 分布均匀 Uniform 分布三角形 Triangle 分布指数 Exponential 分布对数正态 Lognormal 分布威布尔 Weibull 分布 Gamma 分布 Beta 分布 ……
整数 Integer 分布二项 Binomial 分布泊松 Poisson 分布超几何 Hypergeometric 分布负二项 Negative Binomial分布几何 Geometric 分布 ……
全面的统计分析工具集架构
基本统计描述性统计单样本、双样本t检验配对t检验相关和协方差单样本方差、等方差检验正态分布的拟合与检验其他主要分布的拟合与检验回归分析线性回归多项式回归多元回归逐步和最佳子集回归 Logistic 回归偏最小二乘法非线性回归响应面回归正交回归置信区间和预测区间时间序列分析自相关、偏自相关、交叉相关 ARIMA 分析季节性 ARIMA 分析平滑模型 Winter 法谱密度分析预测多元分析主成分分析因子分析密度椭圆聚类分析判别分析项目分析对应分析模拟随机数据生成器随机噪声多元随机变量随机抽样与建模密切整合缺陷刻画器非参数分析 Wilcoxon 检验中位数检验 Van Der Waerden 检验 Kruskal-Wallis 检验统计量Spearman Rho 统计量Kendall Tau 统计量Hoeffding D 方差分析一般方差分析 Welch 方差分析协方差分析广义线性模型多元方差分析非平衡方差分析嵌套方差分析平均值分析环图多重比较列联表卡方分析对应分析 Cochran Mantel Haenszel 检验模型拟合分段拟合样条拟合随机效应模型混合模型统一尺度估计对数方差反向预测 Box Cox 转换参数功效定制检验样本数量和功效单样本、双样本和多样本的均值单样本的方差单样本、双样本的比例泊松分布

使用shell脚本进行仿真和模拟的高级技巧

使用shell脚本进行仿真和模拟的高级技巧Shell脚本是一种在Unix或Linux系统中操作的脚本语言，它可以帮助用户自动化执行一系列的命令和操作。

在仿真和模拟方面，Shell脚本也被广泛应用来简化和优化复杂的任务。

本文将介绍几种使用Shell脚本进行仿真和模拟的高级技巧。

一、生成仿真数据使用Shell脚本可以方便地生成大量的仿真数据。

下面是一个例子，演示如何使用Shell脚本生成一组随机数：```shell#!/bin/bashfor ((i=1; i<=10; i++))doecho $RANDOMdone```上述脚本使用了一个简单的循环，每次循环生成一个随机数并打印输出。

可以通过修改循环次数和随机数生成的范围来适应不同的仿真需求。

二、处理模拟结果在仿真和模拟中，通常需要对生成的结果进行处理和分析。

Shell脚本提供了丰富的文本处理工具和操作，可以轻松完成这些任务。

下面是一个例子，展示如何使用Shell脚本来计算一组数据的平均值：```shell#!/bin/bashsum=0count=0while read numdosum=$((sum+num))count=$((count+1))doneif [ $count -gt 0 ]; thenaverage=$(bc <<< "scale=2; $sum/$count")echo "Average: $average"fi```上述脚本通过一个循环读取输入的数字，并进行求和和计数操作。

最后根据求和结果和计数结果计算平均值，并输出结果。

三、自动化模拟过程Shell脚本可以用于自动化执行模拟过程，从而简化操作和提高效率。

下面是一个示例，展示如何使用Shell脚本自动运行一个模拟程序并保存结果：```shell#!/bin/bash# 设置模拟参数param1="value1"param2="value2"# 运行模拟程序./simulation_program -p1 $param1 -p2 $param2 > simulation_result.txtecho "Simulation completed. Result saved in simulation_result.txt."```上述脚本首先设置了模拟的参数，然后运行了一个名为`simulation_program`的模拟程序，并将输出重定向到一个文件`simulation_result.txt`中。

随机模拟与系统仿真

由U[0,1]抽取的简单随机样本称为随机数序列，其中每一个个体称为随机数。其他分布随机变量的抽样都可以借助于U[0,1]随机数来实现。
2012-8-21 8
二、随机数的产生
1.均匀分布(Uniform)随机数的产生
设连续型随机变量 X 具有概率密度
1 , f (x) b a 0, a x b 其他
1.运筹对策法
主要用于军事对策和企业管理对策。如现代化战争的军事演习、新式武器的试验等。最早于40年代末美国纽曼等人首先用运筹模拟法解决了核屏蔽实验问题。
2.蒙特卡洛法
3.系统模拟法（系统仿真）
2012-8-21
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三、模拟法分类
2.蒙特卡洛法(Monte Carlo Method )
i i 1
N
i
)
是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。
2012-8-21 23
例4：利用蒙特卡洛模拟法求定积分：
b
I f ( x ) dx
a
方法一：随机投点法（或频率法）
1
为方便，以积分其中0≤f(x) ≤1
I f ( x ) dx
0
为例：
2012-8-21
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设则
(X, Y) ~ U[0,1] [0,1]
蒙特卡洛模拟又称随机抽样技巧或统计试验方法, 是一种静态模拟方法，它描述的是特定时间点上的系统行为。因此模拟过程中不出现时间参数。
蒙特卡洛模拟主要是对随机事件和随机变量的一种数学模拟方法，它的基本思想是把随机事件（变量）的概率特征（如概率分布、数学期望等）与数学分析的解联系起来，用试验的方法确定事件的概率和随机变量的数学期望。

统计方法4 随机模拟2

统计方法4 随机模拟随机模拟(random simulation)方法,又称为蒙特卡洛（Monte Carlo,MC ）方法。

它的基本思想是为了求解实践中问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型的抽样试验获得这些参数的统计特征，最后给出解的近似值。

解的精确度由估计值得标准误差来表示。

其基本数学原理为强大数定律。

Monte Carlo 方法最早产生于二战期间美国研发原子弹的曼哈顿工程。

电子计算机的出现使得模拟随机试验成为了重要的科学方法。

图：赌城Monte CarloMonte Carlo 方法可以处理的问题基本可以可以分为两类：第一类是随机性的问题。

这一类问题往往直接利用概率法则通过随机抽样进行模拟。

如核物理问题，随机服务系统中的排队问题，生物种群的繁衍与竞争，传染病的传播等都属于这一问题。

第二类是确定性的问题。

首先建立一个与所求问题有关的概率模型，使所求解是该概率模型中的概率分布或者数学期望。

然后对这个模型进行随机抽样。

用算术平均值作为所求解的估计值。

如求解多重积分，解线性方程组，解偏微分方程积分方程等复杂数学问题。

第一节生成随机数 1.生成随机数的基本数学原理较为普遍应用的产生随机数的方法是选取一个函数)(x g ，使其将整数变换为随机数。

以某种方法选取0x ，并按照)(1k k x g x =+产生下一个随机数。

最一般的方程)(x g 具有如下形式：c ax x g mod)()(+= （8.1）其中0x 初始值或种子（00>x ）=a 乘法器（0≥a ）=c 增值（0≥c ）=m 模数对于t 数位的二进制整数，其模数通常为t 2。

例如，对于31位的计算机m 即可取1312-。

这里a x ,0和c 都是整数，且具有相同的取值范围0,,x m c m a m >>>。

所需的随机数序{}n x 便可由下式得m c ax x n n mod )(1+=+ （8.2）该序列称为线性同余序列。

蒙特卡罗仿真方法

Monte Carlo法的原理及其在通信仿真中应用
主讲人:华北电力大学电子系张京席
蒙特卡洛(Monte Carlo)简介
蒙特卡洛是摩纳哥公国的一个城镇，拥有世界闻名的大赌场。
摩纳哥，位于欧洲西南部，地中海边峭壁上的公国，它建在阿尔卑斯山山脉突出地中海的悬崖之上，北、东、西三面都与法国接壤。它的面积只有1.95平方公里，是世界上海岸线最短的国家，堪称世界“袖珍国”。摩纳哥依山傍海，景色宜人，犹如一个五彩缤纷的海滨公园。摩纳哥也因蒙特卡洛而得名赌博之国。
⎤ ⎥⎦
=
E
⎡ ⎢⎣
1 N2
N n=1
N m=1
X
n
X
m
⎤ ⎥⎦
=
1 N2
NN
E
n=1 m=1
XnXm
∑ ∑ [ ] [ ] ∑ = 1
N
N
E
N2 n=1 m≠n
Xn
E
Xm
+
1 N2
N
E ⎡⎣ X n2 ⎤⎦
n=1
m=1
=
1 N2
⎡⎣(N 2
−
N )Pe2
+
NPe ⎤⎦
方差为：
( ) D ⎡⎣Pˆe(N )⎤⎦ = σ 2
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−
⎛ 2Q ⎜⎜⎝
( ) = 1− 2Q β NPe
β Pe
Pe / N
⎞ ⎟⎟⎠
其中， ∫ Q(x) =
1
∞ −t2
e 2 dt
2π x
1-α是置信水平，若令 { } Pr Pe(1− β ) < Pˆe(N ) < Pe(1+ β ) = 1− α

随机模拟(仿真)-simulation

计算结果如下：
>> a=2;b=3;n=30000; >> I=jifen1(a,b,n) I = 2.6912
syms x >> int((1+x^2)^(1/2),2,3) ans = 3/2*10^(1/2)-1/2*log(-3+10^(1/2))-5^(1/2)1/2*log(2+5^(1/2)) >> double(a编写M文件： function p=fangzhenguji(N) x1=unifrnd(2,5,N,1); x2=exprnd(3,N,1); x3=normrnd(3,2,N,1); x4=normrnd(1,1,N,1); n=0; for k=1:N y1=x1(k)+x2(k)^2; y2=x3(k)+x4(k)^2; if y1>=3&y2<=9 n=n+1; else n=n; end End p=n/N;
模拟的一般步骤
• 明确问题，建立模型：正确描述研究的问题，明确规定模拟的目标和任务，确定衡量系统性能或模拟输出结果的目标函数，然后根据系统的结构及作业规则，分析系统各状态变量之间的关系，以次为基础建立所研究的系统模型； • 收集和整理数据资料：模拟的实现往往离不开大量数据的输入，且需要确定随机因素的概率分布特性，并以此为抽样的根据； • 编制程序：模拟运行，选择适当的计算机语言，按照系统数学、逻辑模型编写计算机程序。 • 分析模拟输出结果：一般包括如下几个方面 • （1）模拟结果的统计特性：均值、方差以及置信区间； • （2）灵敏度分析； • （3）根据确定的目标函数，在众多的实现方案中选取最优方案。
2、先到先服务；
仿真步骤：

随机模拟

第八章随机模拟（Simulation ）本章重点：任意分布随机数的产生、系统的模拟本章难点：任意分布随机数的产生8.1 基本概念与方法模拟是一种数量技术，它利用计算机化的数学模型来表现在某些不确定的条件下所做出的实际决策，来评价一些根据事实及假设所建立的可供选择的行动方案。

对于复杂的实际问题难于用解析理论处理，可以考虑模拟方法提供数值解，另外，理论研究中的某些假设或结论需要经实际系统来检验，计算机模拟可代替费用昂贵的试验。

8.1.1模拟法分类1．运筹对策法：主要用于军事对策和企业管理对策。

如现代化战争的军事演习、新式武器的试验等。

最早于40年代末美国纽曼等人首先用运筹模拟法解决了核屏蔽实验问题。

2．蒙特卡洛法：这是一种特殊的数值计算方法。

例如求∫baf(x)dx ，可在矩形内均匀选随机点，计算落于曲线下阴影部分的点数n ，及矩形内总点数N 。

易见，近似的有)(f(x)dxN ba abc n −=∫，)(Nf(x)dx b a a b c n −=∴∫此法主要用于f(x)很复杂及多变量积分，当然也可用于解决随机型问题。

图8.1 蒙特卡洛法3．系统模拟法：是用数字对含有随机变量的系统进行模拟，可看作是蒙特卡洛法的应用。

一般说来，蒙特卡洛法用于静态计算，而系统模拟法用于动态模型计算。

我们主要讨论此法。

我们在排队论中讨论了M/M/C、M/G/1等系统，并用解析方法得出了精确解。

但对于到达与服务均为任意分布的排队系统的求解就不可能用那一套公式和方法。

例8.1设某商店顾客到达的时间间隔均匀分布在1到10分钟之间，而每一顾客所需要的服务时间均匀分布在1到6分钟之间。

求顾客在商店所花费的平均时间和售货员空闲时间占全部工作时间的百分比。

分析：到达与服务皆为均匀分布，不能利用M/M/C 或M/G/1的公式。

但由于问题的特性：1-101-101-101-61-6⇔⇔⇔⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩到达间隔：在分钟间均匀分布在中等可能取值在标有的牌中任抽取服务时间：在分钟间均匀分布在中等可能取值掷均匀的骰子可用人工方法模拟系统当时的真实情况从而求解。

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仿真的分类
• 模拟是系统状态随时间而变化的动态写照，因此，通常时间是模拟的主要自变量，其它的变量为因变量。
• （1）按照模拟过程中因变量的变化情况，可以将模拟分为离散、连续、混合3种类型；
• （2）如果采用模拟计算机、采用数字计算机以及联合使用则分为模拟仿真、数字仿真以及混合仿真；
• （3）根据仿真变量的特征分为随机模拟仿真和模糊模拟仿真。
据Bernoull(伯努利)大数定理，
有 x
0
1
lim p{| k p | } 1
n
n
即，当实验次数n充分大时，频率和概率之差小于任意数ε 的概率趋于1。
而另外一方面由几何概型有
p

事件Aห้องสมุดไป่ตู้测度样本空间的测度

4
在实际操作中，实验次数n不可能趋于无穷大，所以有
p 4p 4k
4
n
(数学模型)
对于估计 4k 只有不断重复做实验，这种试验可以 n
具体去操作，(均匀投石块，然后数数，这样需要较高成本)。也可以让计算机去重复试验，但是需要将数学模型转化为计算机模拟模型(让计算机完成均匀投石块，自动计数，也需要成本)。用计算机模拟投石块过程和步骤如下：
1、自动生成随机点[0,1]x[0,1]，模拟石块在正方形内的任意位置，用(xi,yi)表示，共n个点；
优方案。
仿真的基础
• 概率论的大数定理； • 微积分基础； • 各种分布：在matlab模拟中，常用的随机分布为unif(均
匀分布),exp(指数分布),norm(正态分布),chi2(χ2分布),t(t 分布),f(F分布),bino(二项分布),poiss(泊松分布),unid(整数均匀分布)； • 有关分布的计算功能：pdf(概率密度),cdf(分布函数 ),inv(逆概率分布),stat(均值与方差),rnd(随机数生成)； • 将分布与计算功能结合在一起，就是实现某种及算功能，例如，expinv就是计算指数分布的逆分布。
2、判别(xi,yi)是否满足xi2+yi2≤1，即判别石块是否落在1/4 单位圆内，共k个点满足；
3、整理、统计模拟结果，用4k/n估计π。
利用matlab编程计算过程
1、编写M文件： function [pai]=fangzhenpai(n) %生成均匀分布; X=unifrnd(0,1,n,2); %判别是否落在1/4圆内; k=0; for k1=1:n y=X(k1,1)^2+X(k1,2)^2; if y<=1 k=k+1; else k=k; end end %整理、统计、估计结果; pai=4*k/n;
• 虽然可以用解析的方法解决问题，但是问题的分析与计算过于复杂，这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方法；
• 希望在较短时间内观察到系统的发展全过程，以估计某参数对系统行为的影响；
• 难以在实际环境中进行试验和观察，计算机仿真是唯一的方法；
• 需要对系统或过程进行长期运行的比较，从大量方案中寻找最优。
实际问题
数学、逻辑模型
计算机模型
实际解
数学、计算机解
为什么要进行仿真
• 实际系统建立之前，要对系统的行为或结果进行分析研究； • 有些真实系统做实验会影响系统运行，例如，在生产中任
意改变工艺系数可能导致废品，在经济活动中随意将一个决策付诸行动会导致经济混乱；
• 在系统上做多次试验，很难保证每次试验的操作条件相同，因而对实验结果好坏很难作出正确的判断；
• （2）固定时间步长法：此种方法模拟时间每次均以相等的固定步长向前推进，每到达一个新的模拟时间点需要检查相应的时间段内是否发生了事件；（有时候需要动态调整步长）
模拟的一般步骤
• 明确问题，建立模型：正确描述研究的问题，明确规定模拟的目标和任务，确定衡量系统性能或模拟输出结果的目标函数，然后根据系统的结构及作业规则，分析系统各状态变量之间的关系，以次为基础建立所研究的系统模型；
用随机模拟计算积分
例1
如下图所示，在正方形内有1/4单位圆。向正方形内投小石头，假设每次都能够投进正方形内且可以落在正方形内任何一点。问，小石头落在1/4单位圆内(包含边界)的概率多大？
y
分析：假设头入正方形内的石头有n块，有k块落入了1/4
1
单位圆内。P为小石头落入
1/4单位圆内的概率。那么根
• 收集和整理数据资料：模拟的实现往往离不开大量数据的输入，且需要确定随机因素的概率分布特性，并以此为抽样的根据；
• 编制程序：模拟运行，选择适当的计算机语言，按照系统数学、逻辑模型编写计算机程序。
• 分析模拟输出结果：一般包括如下几个方面 • （1）模拟结果的统计特性：均值、方差以及置信区间； • （2）灵敏度分析； • （3）根据确定的目标函数，在众多的实现方案中选取最
2、计算过程 n=[2,20,200,2000,5000,10000,50000,100000];
>> for k=1:length(n)
• 当人是系统的一部分时，他的行为往往实验结果有所影响，这时，最好进行模拟研究；
• 实验时间太长，费用太大，或者有危险，使得试验不容易进行；
• 有些系统一旦建立起来后无法复原，例如，建立大型企业，要分析社会和经济效益，不能用建立起来试试看的办法。
那些问题适合计算机仿真解决
• 难以用数学公式表示的系统，或者没有求解数学模型的有效方法；
模拟的方法
• 设计正确的模拟时间推进机理是进行模拟的一个非常重要的问题，模拟过程应该根据系统的特征正确推进模拟时间，使系统中各项要素与发生的事件保持同步，推进时间模拟的基本方法有：
• （1）下次事件法：是将模拟时间由一个事件发生时间点推进到紧接着下一个事件发生的时间点。既时间变化幅度由事件变化确定；
随机模拟（仿真）-simulation
仿真（也称为模拟）：就是用计算机程序在计算机上模仿各种实际系统的运行过程，并通过计算了解系统随时间变化的行为或特性。
计算机仿真：是在已经建立的数学、逻辑模型之上，通过计算机实验，对一个系统按照一定的决策原则或作业规则，由一个状态变换为另外一个状态的行为进行描述和分析。