人教版七年级下学期数学第七章三角形复习

三角形复习指导一、复习目标：1、掌握与三角形有关的一些概念，理解三角形按边分类和按角分类的几种形式，能够运用三角形三边的关系解决一些实际问题，在数三角形个数时，进一步掌握分解与组合的思考方法，学会运用分类的思想解决问题．2、理解三角形的角平分线、中线和高的概念及它们所对应的关系式，特别注意三角形的角平分线是一条线段，与角的平分线有区别．3、掌握与三角形内角和有关的结论，并能熟练运用它解决问题．掌握与之有关的基本图形及基本结论，并能熟练运用．4、掌握与三角形外角和有关的结论，并能熟练运用它解决问题．掌握与之有关的基本图形及基本结论，并能熟练运用．5、掌握多边形的有关概念，能够区分凸多边形和凹多边形．掌握多边形对角线的概念，了解n边形的对角线共有()23-nn条.6、掌握与多边形的内角与外角和有关的结论．学会这用这些结论解决问题．注意体会如何运用化归思想解决问题．7、了解平面镶嵌的含义及多边形覆盖平面需要满足条件：①拼接在同一个点的各个角的和恰好等于︒360，②相邻的多边形有公共边.二、知识结构网络三、基本知识点回顾1. 三角形是最简单、最基本的几何图形之一，是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，它有六个基本元素：三条边和三个内角．2．三角形中的主要线段三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交这个角的顶点与交点之间的线段，三角形的角平分线有三条，它们相交于三角形内一点．注意三角形的角平分线是一条线段，与角的平分线有区别.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的中线有三条，它们相交于三角形内一点．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，三角形的高线有三条，它们相交于一点，这点的位置由三角形的形状确定．锐角三角形的高交于三角形内，直角三角形的高交于直角顶点上，钝角三角形的高交于三角形外．由于它们都有交于一点的特性，可用此检验所画的三条角平分线、中线和高线是否正确．3.三角形主要元素的关系及应用三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．作用：判断三条己知线段能否组成一个三角形，确定第三边的取值范围．三角关系：三角形的内角和是 ︒180 ，作用：揭示了三 个内角之间的关系，可以进行角度的计算或推理．4.三角形的分类按边分类：不等边三角形（三边均不相等）和等腰三角形（至少两边相等）按角分类：锐角三角形（三个角均为锐角）直角三角形（有一个角为直角）钝角三角形（有一个角为钝角）5. 三角形的稳定性，及它在日常生活中的应用.6. 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形一个外角等于与它不相邻的任何一个内角．7. 在平面内，由一些线段顺次相接组成的图形叫做多边形，n 边形的对角线共有()23-n n 条. 8. 多边形的内角和等于()︒-1802n 及外角和︒360，学会应用这些结论解决有关问题.9. 了解平面镶嵌的含义及多边形覆盖平面需要满足条件：①拼接在同一个点的各个角的和恰好等于︒360，②相邻的多边形有公共边.三、重点难点重点：三角形有关的一些概念，三角形中的主要线段它们所对应的关系式．难点：与三角形内角和外角有关的结论，并能熟练运用它解决问题四、应注意的问题1. 在学习中要认真理解记忆这些公理、定理，弄清它们的题设和结论，并掌握一些基本图形的特性，以便在几何命题的证明中，能精炼准确地表达推理过程. 几何术语的学习与应用，注意文字语言，符号语言、图形语言三种形式的统一.2. 掌握分析、证明几何题的常用方法.（1）综合法（由因导果）：从命题的题设出发，通过一系列的有关定义、公理定理的运用，逐步向前推进，直到问题解决.（2）分析法（执果索因）：从命题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至己知条件.例如 如图AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分BEF∠若︒=∠40EFG 则EGF ∠的度数是（ ）（A ）︒60（B ）︒70（C ）︒80（D ）︒90解：选（B ）点拨：要求EGF ∠的度数，由AB//CD ， EG 平分BEF ∠可推得FEG EGF ∠=∠再在△EFG 中利用三角形内角和定理想考．本题就是从命题题设出发，由因导果的证明几何问题的综合法．五、思想方法渗透1. 分解图形法. 复杂的图以都是由较简单的图形组成的，故可将复杂的图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化.2. 构造图形法. 当直接说明有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形达到解题目的.3. 转化思想. 转化思想就是将复杂的问题的转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种方法.以上三种方法我们经常在解题中遇到，同学们在学习中总要遵循由特殊到一般的方法，不仅要学习逻辑推理，而且要学习合理推理一一猜想，不断培养自己的创新精神和实践能力.六、典例分析考点一：三角形的三边关系例1、在活动课上，小红巳有两根长为4cm ，8cm 的小木棒，现打箅拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长 cm ．分析：要取第三根小木棒的长度，就要看它和己有的两根小木棒构成的三角形是否满足：任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边．解： 当4为腰时，4，4，8不满足三角形三边关系定理，当8为腰时，4，8，8满足三角形三边关系定理，所以应填8．点评：三角形的三边关系的应用是考试的热点问题，经常以填空题、选择题的形式出现． 例2、用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的不同的三角形的个数为 析解：设三角形的边长分别为x 、y 、z ．则 7=++z y x 其 中x 、y 、z 都是正整数，那么三边长的可能情况有3,2,2;3,3,1;4,2,1;5,1,1 再根据三角形的两边之和大于第三边进行验证，可知只有1，3，3；2，2，3符合要求．考点二：三角形的内角和例2、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大︒44，则此三角形的最大角是析解：设另一个角为x 度，则此角是6x 度，第三个角是（x 十6x 一44）度根据三角形的内角等于︒180，得（x 十6x 一44）十x 十6x=180，所以x=16，6x=96，x 十6x 一44=68，所以最大角为︒96．考点三：三角形的内角和外角例3、如图在直角△ABD 中，C D ,90︒=∠为AD 上一点，则x 可能是（ ）A 、 ︒10B 、︒20C 、︒30D 、︒40析解：根据三角形的内角和外角的关系有DBC x ∠+︒=906又因为DBC ∠应为锐角，代入各项分别验证应选B ．例4、如图ABC ∠的平分线和△ABC 的外角ACE ∠的平分线交于点D ，︒=∠30BDC 求A ∠的度数析解：根据三角形的内角和外角的关系有DBC DCE ∠+︒=∠30又A ABC ACE ∠+∠=∠ ︒=∠∴60A考点四：多边形的内角和外角例5 如图有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数︒30的角有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析： 选D. 通过计算，CHF GHB CEF CDG ∠∠∠∠,,,的度数都为︒30.点评： 由四边形内角和为︒360，正方形每一个内角为︒90，等边三角形的每一内角为︒60可得.考点五：平面镶嵌问题例6 （2006年武汉市）一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为（ ）A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形解析： 多边形平面镶嵌需要满足的条件之一：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于︒360. 因为正三角形、正四边形、正六边形的每个内角是︒︒︒120,90,60，则第四个正多边形的内角必须是︒=︒-︒-︒-︒901209060360，所以另一个多边形是正四边形. 选B.考点五、与三角形有关的变化规律例7、在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…则在第n 个图中，互不重叠的三角形共有 个，（含n 的式子表示）析解：图形分割的规律是：每增加一个小三角形，图形中不重叠的三角形总数增加3个，依照这样的规律，第4个图形中不重叠的三角形共有4+3+3+3=13，第5个图形中共有4+3+3+3+3=16，第n 个图形中，互不重叠的三角形的个数为4+()31⨯-n 即13+n。

三角形和不等式复习温故而知新(一)三角形知识梳理1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角边对等边）2、等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。

等边三角形的判定：有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。

3、如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222+=（注意区分斜边与直角边）a b c②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4、线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

5、角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

6、互逆命题和互逆定理7、全等三角形课堂复习等腰三角形1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或152. 等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______ ____3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是4、等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，则底边长为__________C EA D B等边三角形1、如图：等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且DB=DE,若△ABC 的周长为12，则△DCE 的周长为___________. 垂直平分线1、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.2、如图：△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,EF 垂直平分AB, EF=2,求AB 与BC 的长。

新课标人教版初中数学七年级下册第七章《三角形的内角和》精品说课稿一、教材分析：（一）、教材的地位和作用《三角形的内角和》是人教版七年级下册第七章《三角形》的第二节内容，“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，是“空间与图形”领域的重要内容之一，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也为今后掌握多边形内角和及其他实际问题打下基础，因此，掌握三角形的内角和是180度这一规律具有重要意义。

本节课是在学生学习了平行线的性质及三角形有关的概念，边、角之间的关系的基础上，让学生动手操作，通过拼图说出“三角形的内角和等于180°”成立的理由，对“三角形的内角和定理”进行证明及简单应用。

由浅入深，循序渐进，引导学生观察、实验、猜测，验证，逐步培养学生的逻辑推理能力.（二）、说学生：七年级学生年龄较小，思维正处在具体形象思维向抽象逻辑思维转变的阶段，也是由代数运算向几何推理过渡的较好时期，通过前面的学习，学生已具备一些分析问题、解决问题的能力，这样可以让学生和谐地融入到探究性学习的氛围中。

（三）、教学目标1、知识与技能：掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用。

2、过程与方法：学了三角形内角和后，能运用所学知识解决简单的问题，训练学生对所学知识的运用能力。

3、情感态度与价值观：通过让学生积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心和求知欲。

由具体实例的引导，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与研究。

初步感受从个别到一般的思维过程。

（四）、重难点的确立教学重点：三角形内角和定理及用它解决简单的实际问题。

教学难点：三角形内角和等于1800的证明及辅助线的使用。

二、教法与学法分析：1、说教法：本节课结合七年级学生的理解能力、思维特征和依赖直观图形学习数学的年龄特征，采用多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化、具体化，在教学中采用启发式、师生互动式等方法，充分发挥学生的主动性、积极性，特别是用三种拼图法得出三角形内角和是180°的结论，教师采用点拨的方法，启发学生主动思考，尝试用多种方法来证明这个结论，使整个课堂生动有趣，极大限度地培养了学生观察问题、发现问题、归纳问题的能力和一题多解，一题多法的创新能力，使课本知识成为学生自己的知识。

人教版七年级下册数学复习提纲〔精选7篇〕篇1：人教版七年级下册数学复习提纲人教版七年级下册数学复习提纲1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括： > 、篇2：人教版七年级下册数学复习提纲第五章相交线与平行线5.1 相交线对顶角(vertical angles)相等。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(简单说成：垂线段最短)。

5.2 平行线经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(parallel)。

假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么两直线平行。

5.3 平行线的性质两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

判断一件事情的语句，叫做命题(proposition)。

第六章平面直角坐标系6.1 平面直角坐标系含有两个数的词来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对(ordered pair)。

第七章三角形7.1 与三角形有关的线段三角形(triangle)具有稳定性。

7.2 与三角形有关的角三角形的内角和等于180度。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角7.3 多边形及其内角和n边形内角和等于：(n-2)•180度多边形(polygon)的外角和等于360度。

篇3：人教版七年级下册数学复习提纲第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组方程中含有两个未知数(x和y)，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。

第五章相交线与平行线平面内，点与直线之间的位置关系分为两种：①点在线上②点在线外同一平面内，两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种：①相交②平行一、相交线1、两条直线相交，有且只有一个交点。

（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。

）两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。

邻补角互补。

要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。

对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。

对顶角相等。

注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。

反过来亦成立。

②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。

例如：判断对错：因为∠ABC +∠DBC = 180°，所以∠DBC是邻补角。

（）相等的两个角互为对顶角。

（）2、垂直是两直线相交的特殊情况。

注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。

垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。

垂直时，一定要用直角符号表示出来。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外）3、点到直线的距离。

垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。

垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。

垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

（或说直角三角形中，斜边大于直角边。

）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。

注：距离指的是垂线段的长度，而不是这条垂线段的本身。

所以，如果在判断时，若没有“长度”两字，则是错误的。

4、同位角、内错角、同旁内角三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。

注意：要熟练地认识并找出这三种角：①根据三种角的概念来区分②借助模型来区分，即：同位角——F型，内错角——Z型，同旁内角——U型。

第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

第七章 三角形期中考复习题一 选择题1、以下列各组长度的线段为边：能构成三角形的是： A ．7cm ：5cm ：12cm B ．6cm ：8cm ：15cm C ．4cm ：6cm ：5cm D ．8cm ：4cm ：3cm2、如图2：已知∠B ＝∠C ：则∠ADC 与∠AEB 的大小关系是： A 、∠ADC ＞∠AEB B 、∠ADC ＜∠AEB C 、∠ADC ＝∠AEB D 、大小关系不能确定3、一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°：这个多边形的边数为： A ．7 B ．8 C ．9 D ．104、用一批完全相同的多边形地砖铺地面：不能进行镶嵌的是( )A 、正三角形B 、正方形C 、正八边形D 、正六边形 5、已知线段a 、b 、c ：有a ＞b ＞c ：则组成三角形必须满足的条件是( )A.a+b>cB.b+c>aC.c+a>bD.a-b>c 6、能把三角形的面积平分的是( )7、下列图形中能够用来作平面镶嵌的是（ ）A 、正八边形B 、正七边形C 、正六边形D 、正五边形 8、△ABC 中：三边长分别为6,7：x ：则x 的取值范围为（ ）。

A 、2＜x ＜12B 、1＜x ＜13C 、6＜x ＜7D 、无法确定9、如图△ABC 中已知D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点：且S △ABC ＝4cm 2：则S 阴影的值为（ ）A 、2cm 2B 、cm 2C 、cm 2 D 、1cm 210、如图：在锐角△ABC 中：CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高： 且相交于一点P ：若∠A=50°：则∠BPC 的度数是（ ）A ．150°B ．130°C ．120°D ．100°11、中华人民共和国国旗上的五角星：它的五个锐角的度数和是（ ）A 、500B 、100 0C 、180 0D 、 20012、在 ABC 中：三个内角满足∠B －∠A=∠C －∠B ：则∠B 等于（ ） A 、70° B 、60° C 、90° D 、120° 13、在锐角三角形中：最大内角的取值范围是（ ）A 、0°＜＜90°B 、60°＜＜180°C 、60°＜＜90°D 、60°≤＜90DA BECP14、给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点：这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点：且这点在三角形内。

第七章三角形复习指导一、复习目标1．了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的稳定性．2．了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3．了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式．4．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．二、重点与难点：重点是：三角形的有关概念和性质，多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式难点是：借助三角形建立多边形的有关概念和性质．三、知识归纳1．三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b 表示，BC可用a表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．2．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．3．三角形的中线、角平分线、高（1）三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．A21D CB AD CB A表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点． 4．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性； （2）四边形没有稳定性. 5．三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180°．21B ACMD一、作CM ∥AB ，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800， 即∠A+∠B+∠ACB=1800．二、作MN ∥BC ，则∠2=∠B ，∠3=∠C ，而∠1+∠2+∠3=1800， 即∠BAC+∠B+∠C=1800．注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角． 6．三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 如:∠ACD 、∠BCE 都是△ABC 的外角，且∠ACD=∠BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处 只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了. 7．三角形外角的性质（1） 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 注意：（1）它不相邻的内角不容忽视； （2）作CM ∥AB 由于B 、C 、D 共线 ∴∠A=∠1，∠B=∠2. 即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B. 8．多边形的概念（1）在同一平面内，由不在一直线上的n (n≥3的整数)条线段首尾顺次相接而组成的图BAC ED(1)B ACD(2)BACD 注意：有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形． （2）多边形相邻两边组成的角是它的内角．（3）多边形的边和它邻边的延长线组成的角是它的外角． （4）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线． （5）各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形．（6）下面两图中，图(1)任何一条边所在的直线整个图形都在这条直线同一侧， 这样的图形我们称它为凸多边形，而图(2)就不满足上述凸多边形的特征， 因为我们画BD 所在直线、整个n 边形不都在这条直线的同一侧.我们称它为凹多边形， 今后我们提到的多边形都是凸多边形.9．多边形的内角和n 边形的内角和等于（n 一2）·180°．注意：（1）要得到多边形的内角和可通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形；（2）此公式可以已知边数求内角和，也可以已知内角和求边数． 10．多边形的外角和多边形的外角和等于360°． 注意：多边形的外角和与它的边数无关． 11．平面镶嵌（1）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完整覆盖，叫做多边形覆盖平面(或平面镶嵌)（2）用同一种正多边形镶嵌用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌注意：①正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌；②而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°，所以这些正多边形都不能镶嵌．（3）用两种或以上正多边形镶嵌用两种或以上正多边形镶嵌只要几个正多边形的内角和是3600就行．（4）用一般多边形镶嵌用同一种三角形、同一种四边形都可以．四、典题分析：考点一、数三角形的个数例1 图中三角形的个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11分析与解：以某一条线段为三角形的边依次找三角形．选B．点评：数三角形时不能重复，不能遗漏．注意按一定的顺序找．备用：当三角形内部有1个点时，互不重叠的三角形的数目为3；当三角形内部有2个点时，互不重叠的三角形的数目为5．（1）当三角形内部有3个点时，互不重叠的三角形的数目为________；（2）当三角形内部有4个点时，互不重叠的三角形的数目为_________；（3）当三角形内部有n个点时，互不重叠的三角形的数目为___________；（4）互不重叠的三角形的数目能否为2007，若能请求出三角形内部点的个数；若不能，请说明理由．分析与解：（1）作出图形，依次数，7；（2）探索规律，3，5，7，从而得9；（3）2n+1；（4）2n+1=2007，n=1003，当四边形内部有1003个点时，共有2007个三角形．考点二、三角形三边关系例2 （2006广州）已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( ) A．l，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10分析与解：三条线段能否构成一个三角形，关键在于判定它们是否符合三角形三边的不等关系，符合即可构成一个三角形，不符合就不可能构成一个三角形.对于A，由于1+2=3，不能组成三角形；对于B，由于2+5<8，不能组成三角形；对于D，由于4+5<10，不能组成三角形．所以选C．点评：想用二根长为a、b（a>b）的木棒，构成一个三角形，由第三根木棒的长度应介于a—b 和a+b之间．备用：（1）下列各组条件中，不能组成三角形的是( )A.a+1、a+2、a+3(a>3)B.3cm、8cm、10cmC.三条线段之比为1:2:3D.3a、5a、2a+1(a>1)分析与解：选项C（2）以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个分析与解：以四根木棍中的三根木棍主长共可以组成：3，5，7、3，5，10、3，7，10、5，7，10共四种情况．其中只有两种情况能组成三角形．选A．考点三、三角形的稳定性例3 下列图形具有稳定性的有( )(1)(2)(3)12图1BCAO (4)(5)A.只有(1)，(2)B.只有(2)，(3)，(4)C.只有(5)，(4)D.(1)，(2)，(3)，(4)，(5) 分析与解：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．选B ．备用：（1）如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是 ． 分析与解：三角形的稳定性．（2）下列由几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（ ）A B C D 分析与解：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．选C ． 考点四、三角形内角和定理： 例4 △ABC 中，∠B=13∠A=14∠C ，求∠B 的度数. 分析与解：设∠B=x 0，则∠A=3x ０，∠C=4x ０，从而x+3x+4x=180，x=22.5． 即：∠B=22.50，∠A=67.50，∠C=900．点评：在一个三角形中，当已知三角关系时，可通过列方程的方法求出三个角．例5 如图，点O 是△ABC 内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC 等于（ ）A. 95°B. 120°C. 135°D. 650 分析与解： ∠O=1800—（∠OBC+∠OCB ）=1800—（1800—（∠1+∠2+∠A ）=∠1+∠2+∠A=1350． 点评：几何题的解题关键是：把未知向已知转化．例6 （1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．直角顶点x 在△ABC 内部，若∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ 度，∠XBC ＋∠XCB ＝ 度；（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过点B 、C ，直角顶点x 还在△ABC 内部，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．分析与解：（1）∠ABC+∠ACB=1800—∠A=1800—300=1500， ∠XBC+∠XCB=1800—∠X=1800—900=900； （2）∵∠ABX+∠XBC+∠XCB+∠ACX+∠A=1800， 又∠XBC+∠XCB=1800—∠X=1800—900=900， ∴∠ABX+∠ACX=1800—900—300=600． 备用：在△ABC 中，∠A=21（∠B ＋∠C ）、∠B －∠C=20°，求∠A 、∠B 、∠C 的度数． 分析与解：∵∠A=21（∠B ＋∠C ），∠B+∠C=180—∠A ， ∵∠A=21（180—∠A ），∠A=60°， ∴∠B+∠C=120°，∵∠B －∠C=20°，∴∠B=700，∠C=50°． 考点五、三角形的外角例7 (2006金华)下图能说明∠1＞∠2的是( )分析与解：利用三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．选C．点评：比较角的大小一般用外角大于不相邻的一个内角．备用：一个零件的形状如图，按规定∠Ａ应等于90°，∠Ｂ，∠Ｄ应分别是20°和30°，李叔叔量得∠ＤＣＢ＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？分析与解：连接AC，并延长至E，则∠1=∠3+∠D，∠2=∠4+∠B，∠DCB=∠3+∠4+∠D+∠B=142°，即这个零件不合格考点六、多边形的对角线例8 观察下面图形，并回答问题.①四边形、五边形、六边形各有几条对角线？从中你能得到什么规律？②根据规律你知道七边形有多少条对角线吗?③你知道n边形有多少条对角线吗？分析与解：从多边形的一个顶点出发，可以引（n—3）条对角线，n个顶点共有n（n—3）条对角线，但有一半是重复的，所以n边形的对角线数目为2)3(nn．点评：请记住多边形的对角线数目的公式．备用：从一个多边形的一个顶点出发，可引12条对角线，则这个多边形的边数为( )．A．12 B．13 C．14 D．15分析与解：从多边形的一个顶点出发，引对角线，本身和相邻的两个点不可以引对角线，其它的点均可以引对角线，选D．考点七、多边形的内角、外角例9 （06长沙）正五边形的一个内角的度数是．分析与解：本题有两个思路．（1）从内角和方面考虑：001085180)25(=⨯-；（2）从外角和方面考虑：每一个外角为00725360=，所以每一个外角为1800—720=1080． 例10（2006南安）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n ＝ ．分析与解：设这个多边形的边数为n ，则03602180)2(⨯=⨯-n ．n=6． 点评：要学会用代数的方法解几何题．例11 小华从点A 出发向前走10m ，向右转36°然后继续向前走10m ，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A 吗？若能，当他走回到点A 时共走多少米？若不能，写出理由．分析与解： 360可以看成是一个正多边形的外角，它正好是正十边形．故能回到A 点，共走了100m ．例12 如图，已知∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°（1）求∠DCA的度数；（2）求∠ECA 的度数．分析与解： AB ∥CD ，∠DCA=∠CAB=∠CAD=250， ∠ECA=∠CAB+∠B=1200．备用：（1）若两个多边形的边数之比是1:2，这两个多边形的内角和为1980°，求这两个多边形的边数．分析与解：设一个多边形的边数为x ，则另一个多边形的边数为2x ， （x —2）180+（2x —2）180=1980，x=5， 这两个多边形分别为五边形和十边形． （2）在四边形ABCD 中，若∠A+∠D=160°．（1）有一块直角三角板XYZ 放置在四边形ABCD 的边BC 上，恰好三角板XYZ 的两条ABDCE直角边XY、XZ分别经过点B、C．直角顶点x在四边形ABCD的内部．则∠ABC＋∠DCB＝度，∠XBC＋∠XCB＝度；（2）若改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点x还在四边形ABCD的内部，那么∠ABX＋∠DCX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠DCX的大小．分析与解：（1）∠ABC+∠DCB=360°—160°=200°，∠XBC+∠XCB=180°—90°=90°；（2）∠ABX＋∠DCX=∠ABC+∠DCB—（∠XBC+∠XCB）=200°—90°=110°．考点八、平面镶嵌例13 装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形．若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（）A. ○1○2○3B. ○1○2○4C. ○2○3○4D. ○1○3○4分析与解：用一种图形镶嵌，有三角形，四边形，正六边形．选B．例14．（2006盐城）如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6分析与解：用两种或以上正多边形镶嵌，其几个正多边形的内角和是3600．=+⨯nn．90=2360,360备用：某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面.（1）第1次铺2块，如图1；(2)第2次把第1次铺的完全围起来，如图2.共用_____________块；（3）第3次把第2次铺的完全围起来，如图3．共用______________块；…；（4）依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块块数为.（n为正整数）（5）王师傅说：“在镶嵌地面时，有一次铺完后，我用去了100块木块”，小红说：“不可能”，你认为小红说得有无道理？分析与解：（2）10；（3）18；（4）8n—6；（5）8n—6=100，n无整数解．小红说得有道理．五、思想方法总结：本章涉及到了类比、化归、方程建模、分类讨论的数学思想方法：如多边形的问题可化归成三角形的问题，求多边形的角度或多边形的边长可用方程建模的思想．。