第三节刚度矩阵

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第三节刚度矩阵

节点载荷与节点位移之间的关系

、单元刚度矩阵

1. 单元刚度矩阵

Rym

Rxm m

Ryj

j yj

Rxj

单元 e 是在节点力作用下处于平衡。节点 i 的节点力为

则单元 e 的节点力列阵为

Rxi Ryi Rxj Ryj Rxm Rym

单元应力列阵为

x y xy T Ri Rxi Ryi i , j , m 轮换）

Re RiT RTj RmT T 2

假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元 e 的三个

节点的虚位移为

e T

* ui* vi* u*j v*j u*m v*m

单元虚应变列阵为

* *** x y xy

参照式（ 3-7），则单元虚应变为 ee

* B *

作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：

e T e * R e

单元内的应力在虚应变上所做的功为：

tdxdy

*eT 根据虚位移原理，可得单元的虚功方程

*eT Re

T e

Re *e T tdxdy

BT tdxdy 3

故有

eT R B tdxdy

将式（ 3-10）代入，的

e T e R B D B e tdxdy

（ 3-27）

B D B tdxdy

简记为

e e e

k R （ 3-29）

----- 上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）

其中

k B D B tdxdy （ 3-28）

k 称之为单元刚度矩阵（简称为单刚），是 6 6 矩阵。如果单元的材料是均质的，矩阵 D 中的元素也是常

量，且在三角形常应变的情况下，矩阵 B 中的元素也是常1

数，当单元的厚度也是常数时，注意到 dxdy ，于

是单元刚度矩阵可简化为

eT k B T D B t

将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式： 3-30）

66 kii kij kim

k k k

ji jj jm kmi kmj

kmm 3-31）

其中任一子块 krs （r，s=i，j，m）是一个 2×2 子矩阵，

krs Br D Bs t （r ， s=i， j，m） 1）对于平面应力问题

将 B 和平面应力问题的弹性矩阵 D 代入，得

krs Br T D Bs t

4 1 2 1 brbs crcs brcs 1

1 crbs 1 brcs crcs brbs

（r ， s=i， j，

m） 3-32） 5

2）对于平面应变问题

将 B 和平面应变问题的弹性矩阵 D 代入，得

（r,s=i，j， m）（3-33）

注：是将式（ 3-32）中的 E, 分别换成 1 E 2 和 1 ）

2. 单元刚度矩阵的性质

1） k 的物理意义

式（ 3-29）可完整写为

可见每个节点在 x 和 y 方向上有二个平衡方程， 3 个节点共有六个平衡方程。

单元刚度矩阵 k e 中的任一元素称为刚度系数，其物理

意义为：

kij ------- 当单元的第 j 个节点有单位位移，而其它节点位移为 E 1 t

41 1 2 brbs 12

21 crcs 1 brcs 2112 crbs

1 crbs 2112 brcs 1 21 crcs 12

brbs

k13

k23

k33

k43

k53

k63 k15

k25

k35

k45

k55

k65 k16 ui

k26 k22

k32

k42 k14

k24

k34

k44 k36

k46 vi

vm 6

零时，需在单元第 i 个节点位移方向上施加的节点力的大小。例如，

k23表示是第 3 个节点有水平（x）方向单位位移（即 u3 1 ）时，而其它节点位移分量均为零时，在第 2 个节点所引起的铅垂（ y）方向的节点力。

（2）单元刚度矩阵只取决于单元形状，大小，方向和弹性常数，而与单元的位置无关。即 k e 不随单元坐标平移而改变，这叫单元刚度的平移原理。

例如图示结构，有 k ( 1 ) k ( 3 )

另外，可以证明 B (1) B (2)

则有 k ( 1 ) k ( 2 )

即单元旋转 180 后，

原理。单元刚度矩阵相等。这是单元刚度旋转

3）单元刚度矩阵是对称矩阵

因为 k e B T D B t

所以有 7

B T D T B T t B T D B t k e

4) 单元刚度矩阵是奇异矩阵。

因为 R e k e e

当节点位移已知时，节点力是唯一确定的，而 R e已知时，

e 不能唯一确定，因为单元没有支承，可以产生任意的刚体位移。根据上述性质：对于上图结构，在节点力为零时，单元仍可产生刚体位移，即

Ui 0 k11ui k12vi k13uj k14vj k15um k16vm

刚体位移 u0， v0为任意的。故有此时 ui uj um u0 ，vi v vm v0 ，单元产生

k k k u

11 13 15 0 由于 u0,v0 的任意性，则

kkk0

11 13 15

从而得 kk k12 k14 k16 v0 0

k0 ， k k k 12 14 16 8

kkkkkk0

11 13 15 12 14 16 同理可得：单元刚度矩阵任意一行（列）元素之和为零（5）单元刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。

即 kii 0 （i 1, 2, , 69

整体分析

假设弹性体被分成 m 个单元和 n 个节点，对每一个单元进行前面的运算，则得到 m 组型如 e e e kR

的方程。把这些方程集合起来，便可得到表征整体弹性体平

衡的刚度方程：

k 2n 2n R

2n 1 2n 1 （3-37）

式中

1. -----

2n 1 整体结构的节点位移列阵，是由各节点

位移按节点号码从小到大顺序排列组成的，即

T T T T

1 2 n

i T

其中 ui v i ( i=1, 2 ， ⋯，n） 10

2. R ------------------ 整体结构的节点载荷列阵，是由各

2n 1 节点载荷按节点号码从小到大顺序排列组成的，即

R R1T R2T RnT T

其中 Ri Ri x Ri y （i=1, 2，⋯，n）

例如图示结构有例如图示结构有

23 4TT

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 y 11

T R R1T R2T R3 R4T

2. k --------------- 整体结构的刚度矩阵（总刚）

2n 2n

（ 1） k 的组集（“对号入座”法） 2n 2n

k k

2n 2n e

例图示结构有

单元 1

k ii k ij k kim k22 k24 k21

(1)

k kji k jj kjm k42 k44 k41

kmi kmj kmm kk 12 14 k11

单元 2

k ii k ij kim k44 k42 k43

(2)

k kji k jj kjm k24 k22 k23

kmi kmj kmm k34 k32 k33

注：在单元刚度矩阵中，各子块的下标表示该子块在总刚中的位置。 P R1x R1y P P3 0 P2 R4x

第三节刚度矩阵

1 第三节刚度矩阵

——节点载荷与节点位移之间的关系

一、单元刚度矩阵

1. 单元刚度矩阵

xiRyiRxjRyjRxmRymRijmxy

单元e是在节点力作用下处于平衡。节点i的节点力为

TixiyiRRR （i , j , m轮换）

则单元e的节点力列阵为

TeTTTmijTxmymxiyixjyjRRRRRRRRRR

单元应力列阵为

Texyxy 2 假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e的三个节点的虚位移为

*******eTmmiijjuvuvuv

单元虚应变列阵为

****Txyxy

参照式（3-7），则单元虚应变为

**eeB

作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：

*eTeR

单元内的应力在虚应变上所做的功为：

*Tetdxdy

根据虚位移原理，可得单元的虚功方程

**eTTeeRtdxdy

或

**eTTTeeBRtdxdy 3 故有

eTBRtdxdy

将式（3-10）代入，的

eeeTTDBDBRBBtdxdytdxdy （3-27）

简记为

eeekR （3-29）

--------上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）

其中

TeDBBktdxdy （3-28）

第三节刚度矩阵(汇编)

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精品文档第三节刚度矩阵

——节点载荷与节点位移之间的关系

一、单元刚度矩阵

1. 单元刚度矩阵

xiRyiRxjRyjRxmRymRijmxy

单元e是在节点力作用下处于平衡。节点i的节点力为

TixiyiRRR （i , j , m轮换）

则单元e的节点力列阵为

TeTTTmijTxmymxiyixjyjRRRRRRRRRR

单元应力列阵为

Texyxy 精品文档

精品文档假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e的三个节点的虚位移为

*******eTmmiijjuvuvuv

单元虚应变列阵为

****Txyxy

参照式（3-7），则单元虚应变为

**eeB

作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：

*eTeR

单元内的应力在虚应变上所做的功为：

*Tetdxdy

根据虚位移原理，可得单元的虚功方程

**eTTeeRtdxdy

或

**eTTTeeBRtdxdy 精品文档

精品文档故有

eTBRtdxdy

将式（3-10）代入，的

eeeTTDBDBRBBtdxdytdxdy （3-27）

简记为

eeekR （3-29）

--------上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）

其中

TeDBBktdxdy （3-28）

三节点杆单元的刚度矩阵 -回复

三节点杆单元的刚度矩阵是结构力学中经常使用的概念，它是描述杆单元刚度的一种形式。在本文中，我们将深入研究三节点杆单元刚度矩阵的计算方法，以及它在结构分析中的应用。

首先，让我们来了解什么是三节点杆单元。三节点杆单元是结构力学中使用的一种简化的模型，用于模拟实际结构中的杆件。它将杆件简化为连接两端节点的线单元，并考虑节点处的位移和应力。三节点杆单元由两个节点连接线组成，其中一个节点是位移边界条件已知的节点，另一个节点是未知位移的自由节点。这样，我们可以根据已知位移的节点来求解自由节点的位移和应力。

三节点杆单元的刚度矩阵是描述杆单元刚度的重要工具。它是一个3x3的矩阵，表示杆单元在三个自由度上的刚度。通常，我们使用弹性模量（E）和截面面积（A）来计算刚度矩阵。

刚度矩阵的求解涉及两个步骤：构建局部刚度矩阵和转换为全局坐标系。首先，让我们来看一下如何构建局部刚度矩阵。

局部刚度矩阵描述了杆单元在局部坐标系中的刚度特性。为了构建局部刚度矩阵，我们需要定义杆单元的长度（L）和弹性模量（E）。然后，我们可以使用公式：

k_local = (E*A/L) * [1 -1; -1 1]

其中，k_local是局部刚度矩阵，[1 -1; -1 1]是一个2x2的矩阵，表示节点1和节点2之间的刚度。

接下来，我们需要将局部刚度矩阵转换为全局坐标系。这是为了考虑结构中的整体刚度。为了实现这个目标，我们需要定义一个转换矩阵。转换矩阵是一个3x3的矩阵，将局部坐标系中的刚度转换到全局坐标系中。

转换矩阵的计算通常包括以下步骤：

1. 计算杆件的方向向量。这可以通过节点坐标的差值来获得。对于我们的三节点杆单元，我们可以使用下面的关系计算：

\[ L_x = x_2 - x_1 \]

\[ L_y = y_2 - y_1 \]

\[ L_z = z_2 - z_1 \]

三角形3节点单元刚度矩阵的具体计算

首先，我们需要了解三角形3节点单元的几何形状及节点编号。三角形3节点单元有三个节点，每个节点有两个坐标值，分别是(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)。对应的节点编号依次为1，2，3

接下来，我们将通过数学推导的方式得到三角形3节点单元的刚度矩阵。

1.定义本地坐标系

为了简化计算，我们首先引入本地坐标系。本地坐标系的原点位于三角形的重心，x轴正方向与第1节点连线的方向一致，y轴正方向与x轴正方向在平面内法向量方向一致。

在本地坐标系下，我们可以将三角形3节点单元表示为：

```

x1=0,y1=0

x2=L,y2=0

x3=a,y3=b

```

其中，L是第1节点到第2节点的距离，a和b是第3节点相对于第1节点的坐标。

2.计算本地坐标系下的刚度矩阵

在本地坐标系下，我们可以得到单元刚度矩阵Ke的表达式： ```

Ke=λ*[(b^2+L^2)/4,-a*b/4,-(b^2+L^2)/4,a*b/4,(b^2+L^2)/4,-a*b/4;

-a*b/4,(a^2+L^2)/4,a*b/4,-(a^2+L^2)/4,-a*b/4,(a^2+L^2)/4;

-(b^2+L^2)/4,a*b/4,(b^2+L^2)/4,-a*b/4,-(b^2+L^2)/4,a*b/4;

a*b/4,-(a^2+L^2)/4,-a*b/4,(a^2+L^2)/4,a*b/4,-(a^2+L^2)/4;

(b^2+L^2)/4,-a*b/4,-(b^2+L^2)/4,a*b/4,(b^2+L^2)/4,-a*b/4;

-a*b/4,(a^2+L^2)/4,a*b/4,-(a^2+L^2)/4,-a*b/4,(a^2+L^2)/4]

```

其中，λ是三角形的面积，可以通过海伦公式计算：

```

s=(L+a+b)/2

λ = sqrt(s * (s - L) * (s - a) * (s - b))

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