第三章 矩阵的初等变换
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第三章 矩阵的初等变换
矩阵是数学中一个重要的概念，它在科学和工程应用中有着广泛的用途。矩阵的初等变换是矩阵学中的一项基本操作，对矩阵进行初等变换可以用于求解线性方程组、矩阵的逆以及矩阵的特征值与特征向量等问题。本章将从初等变换的定义、性质、分类以及应用方面进行阐述。
一、初等变换的定义及性质
1. 初等变换的定义
初等变换是矩阵学中对矩阵的一种基本操作，它包括三种类型的变换：
（1）交换矩阵的任意两行或两列；
（2）用非零常数乘矩阵的任意一行或一列；
（3）把矩阵的任意一行或一列加上另一行或一列的某个倍数。
这三种变换分别称为行变换、列变换和倍加行变换 （或倍加列变换）。通过对矩阵进行这三种变换，可以使得矩阵的某些特性变得更加清晰，可以方便地进行矩阵运算、矩阵求解等操作。
2. 初等变换的性质
（1）初等变换不改变矩阵的秩。
（2）初等变换不改变矩阵的行列式的值。
（3）若矩阵A经过一次初等变换得到矩阵B，则存在一个可逆矩阵P，使得P·A=B。
（4）由矩阵A经过若干次初等变换得到的矩阵B和矩阵A之间可通过一系列的初等矩阵相乘得到，即B=E1·E2·...·En·A，其中Ei为第i种初等矩阵。
二、初等变换的分类
根据初等变换的不同类型，我们可以把初等变换分为三类：行初等变换、列初等变换和整体初等变换。
1. 行初等变换
行初等变换是对矩阵的一行进行变换，包括以下三种类型：
（1）交换矩阵的两行；
（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一行；
（3）把矩阵的某一行加上另一行的某个倍数。
对于一个n阶矩阵A，我们可以用行向量$(a_{1i} ,a_{2i} ,...,a_{ni})^{T}$表示A的第i行，例如A的第1行可以表示为$(a_{11} ,a_{12} ,...,a_{1n})^{T}$。那么通过上述变换，我们可以得到新的矩阵A'，它的第i行表示为：
（1）若把矩阵第i行和第j行交换，则$A'_{i}=A_{j}$，$A'_{j}=A_{i}$，其余行不变；
（2）若用非零常数k乘以矩阵的第i行，则$A'_{i}=kA_{i}$，其余行不变；
（3）若把矩阵的第j行的k倍加到第i行上，则$A'_{i}=A_{i}+kA_{j}$，其余行不变。
例如，对于如下的3阶矩阵A：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
我们可以用行初等变换交换第1行和第2行，得到新的矩阵A'：
$$
A' = \begin{bmatrix}
4 & 5 & 6 \\
1 & 2 & 3 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
也可以用行初等变换把第2行的3倍加到第3行上得到：
$$
A' = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
19 & 23 & 27 \\ \end{bmatrix}
$$
2. 列初等变换
列初等变换是对矩阵的一列进行变换，包括以下三种类型：
（1）交换矩阵的两列；
（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一列；
（3）把矩阵的某一列加上另一列的某个倍数。
与行初等变换相似，对于一个n阶矩阵A，我们可以用列向量$(a_{i1} ,a_{i2} ,...,a_{in})^{T}$表示A的第i列。通过上述变换，我们可以得到新的矩阵A'，它的第i列表示为：
（1）若把矩阵的第i列和第j列交换，则$A'_{i}=A_{j}$，$A'_{j}=A_{i}$，其余列不变；
（2）若用非零常数k乘以矩阵的第i列，则$A'_{i}=kA_{i}$，其余列不变；
