２００８年４月 第３５卷第２期 强度与环境 ＳＴＲＵＣＴＵＲＥ＆ＥＮＶＩＲｏＮＭＥＮＴ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ａｐｒ．２００７ Ｖｌ０１．３５．Ｎｏ．２
结构切线刚度矩阵与割线刚度矩阵之
间的关系
王天英 邓长根
（同济大学土木工程学院，上海２０００９２）
摘要：从结构的总势能泰勒级数展开式出发，推导了结构的切线刚度矩阵和割线刚度矩阵之间的数量关系。
其结果可用于结构非线性稳定性分析，并且不仅可用于有限元法，还可用于瑞利一李兹法（Ｒａｙｌｅｉｇｈ—Ｒｉｔｚ
ｍｅｔｈｏｄ）、伽辽金法（Ｇａｌｅｒｋｉｎ ｍｅｔｈｏｄ）等。
关键词：几何非线性；切线刚度矩阵；割线刚度矩阵；势能
中图分类号：ＴＵ３１１．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６．３９１９（２００８）０２—００３１—０５
Ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｓｅｃａｎｔ ａｎｄ ｔａｎｇｅｎｔ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ
ｍａｔｒｉｃｅｓ
ＷＡＮＧ Ｔｉａｎ－－ｙｉｎｇ ＤＥＮＧ Ｃｈａｎｇ－－ｇｅｎ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ－Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｓｅｃａｎｔ ａｎｄ ｔａｎｇｅｎｔ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａ￣ｉｃｅｓ ｉｓ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔａｙｌｏｒ ｓｅｒｉｅｓ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｅｎｅｒｇｙ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔＯ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｉｔ Ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｉｎ Ｒａｙｌｅｉｇｈ—Ｒｉｔｚ ｍｅｔｈｏｄ，Ｇａｌｅｒｋｉｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｅｔｃ．， ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ；ｔａｎｇｅｎｔ ｓｔｉｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ；ｓｅｃａｎｔ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ；ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｅｎｅｒｇｙ
clear
clc
E=2*10^11;
J=1000;
L=5;
NE=3; NP=4;
K=zeros(2*NP,2*NP);
ElementInf=[1 1 2 E J L
2 2 3 E J L
3 3 4 E J L];
For e=1:1:NE
Ee=ElementInf(e,4); Je=ElementInf(e,5);
Le=ElementInf(e,6); ie=ElementInf(e,2);
je=ElementInf(e,3);
ke=Element_stiffness_matrix(Ee,Je,Le);
K=BeamZongGang(K,ke,ie,je);
end
BC=[1 1 0
2 0 0
3 0 0
4 1 1];
For I=1:NP
If BC(I,2)==1
K(2*I-1,:)=0; K(:,2*I-1)=0;
K(2*I-1,2*I-1) =1;
End
If BC(I,3)==1
K(2*I,:)=0; K(:,2*I)=0;
K(2*I,2*I) =1;
End
End
k2=k1;
k3=k1;
for i=1:1:4;
j=1:1:4;
K(i,j)=K(i,j)+k1(i,j); K(i+2,j+2)=K(i+2,j+2)+k2(i,j);
K(i+4,j+4)=K(i+4,j+4)+k3(i,j);
end
KK=K;
KK(1,:)=0;
KK(:,1)=0;
KK(1,1)=1;
KK(7,:)=0;
KK(:,7)=0;
引入位移边界条件和整体刚度矩阵的修正
在上节讨论中已经指出，有限元求解方程的系数矩阵具有奇异性，必须引入适当的位移约束条件，以消除这种奇异性，亦即消除弹性体的刚体位移。消除了整体刚度矩阵的奇异性后，才能从方程组（32）求解结点位移。在一般情况下，所考虑问题的边界往往已有一定的约束条件，排除了刚体运动的可能性。否则，可适当指定某些结点的位移值，以避免计算机存储作大的更动。下面就介绍两种比较简单的引入已知结点位移的方法。
1、对角元素改l法
这种方法是把结点的指定值置入方程给(32)，保持方程仍是2nX2n阶，而将K和P修正。例如，若指定结点i在y方向位移vi的值，则令K中的元素Ki,i为1，而第i行和i列的其余元素都为零。P中的第i个元素则用位移v的已知值代入，P中的其他各行元素都减去结点位移的指定值和原来K中这行的相应行元素的乘积。
为了说明这一引进结点已知位移的过程，我们来考察下面只有四个方程的简单例子。方程(32)展开成如下的形式
设这个系统中结点位移u1和u2被指定为
当引用上述方法后，方程(50)就变成
然后，就用这组维数不变的方程来求解所有的结点位移。显然，其解答为u1=β1、u2=β3； v1、v2仍为原方程的解答。
这种方法最适用于给定零位移，此时除将给定的零值位移修改对应的载荷阵元(如例中令Px1=0，Px2=0)外，其他载荷阵中的元素不必作任何修正。
2、对角元素乘大数法
此法是将K中与指定结点位移有关的主对角元素乘上一个大数，例2xl015，同时将p的
对应元素换上结点位移指定值与同一个大数的乘积。实际上，这种方法就是使得K中相应行的修正项远大于非修正项。
若用此方法来修正上面的例子，则方程(50)将成为
为了看出此方程能给出所需的结果，我们来考虑这方程第一个方程
从实用的观点来看，这方程就与下式相同
以上两种方法都保持了原来K矩阵的稀疏、带状和对称等特性。 要注意的是以上所述适用于引入坐标方向位移，若给定位移在非坐标方向，如支座等，则需要进行坐标转换后才能实施，这里不再细述。
完整试件的全应力•应变曲线
测量岩石的应力应变曲烬般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使 用 这种试验机测量时，容易发发生“岩爆〃现象•导致试验中不能得到峰值以后 的应力 应变信息。另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不 会有“岩爆〃现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破 裂的性质。
刚度矩阵的物理意义：
单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变
强度是*件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等
刚度反映的是变形大小，就是*件受力后的变形。
刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义： 一般将刚度矩阵记为［Dh柔度矩阵为［Ch二者互为逆矩阵。
［C］ 矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的 单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。
［D］ 矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单 位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组 合 中，i方向应力分量为Dij。
对于各向异性材料，［D］和［C］都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然 而它给数学模型帶来复杂性，也增加了有限元计算的困难。从工程实用的角度来 考 虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。
物理《念：氏模量和泊松比
在弹性围大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。纵向应力与纵向 应 变的比例常数就是材料的弹性模量E,也叫氏模量。而横向应变与纵向应变 之比值称 为泊松比也叫横向变性系数，它*反映材料横向变形的弹性常数。
氏模4 (Young's modulus)是表征在弹性限度物质材料抗拉或抗压的物理量, 它是沿纵向的弹性模量。1807年因英国医生兼物理学家托马斯• (Thomas Young. 1773-1829)所得到的结果而命名。根据胡克定律，在物体的弹性限度，应力与应变 成正比，比值被称为材料的氏全应力-应变曲线
