高中数学奥林匹克竞赛试题及答案
1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．
x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）
其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．
2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．
【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）
但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．
3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．
【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1
因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．
4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄
【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2
对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．
5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．
【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1
数学奥林匹克高中训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题34)对于一切实数x，所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜b)的值恒为非负实数. 则a+b+cM=b-a的最小值是(D)．
(A)21 (B)31 (C)2 (D)3
2．(训练题34)已知曲线y2=ax与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点. 如果过这两个交点的直线的倾斜角为45°，那么实数a的值是(A)．
(A)2 (B)4 (C)21 (D)41
3．(训练题34)已知△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2－a－2b－2c=0，a+2b－2c+3=0. 则△ABC最大内角的度数是(B)．
(A)150° (B)120° (C)90° (D)60°
4．(训练题34)设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为常数. 如果f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，那么1[f(4)+f(0)]4的值是(C)．
(A)1 (B)4 (C)7 (D)8
5．(训练题34)设函数22()(1xxnyfxxRxx且*1,)2nxnN的最小值为an，最大值为bn，记cn=(1－an)(1－bn). 则数列{cn} (C)．
(A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为1的等比数列
(C)是常数列 (D)不是等差数列也不是等比数列 6．(训练题34)设M是集合S={1，2，3，…，1998}的子集，且M中每一个正整数（元素）仅含有一个0. 则集合M所含元素最多有(D)．
(A)324个 (B)243个 (C)495个
４２ 中等数学
蒎 窕高 溯 遛（８６）
第一试
一、选择题（每小题６分，共３６分）
１．已知定义在Ｒ上的函数ｆ（ ）的图像
关于点【一 ３，０）成中心对称图形，且满足
）＝一 ＋号Ｊ，ｆ（一１）＝１，ｆ（Ｏ）＝一２．
男Ｉｊ么，ｆ（１）＋ｆ（２）＋…＋ｆ（２ ００６）的值是 （ ）．
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）一１ （Ｄ）一２
２．已知Ｆ，、Ｆ 分别为双曲线 一 ＝１
（口＞０，ｂ＞０）的左、右焦点，Ｐ为双曲线右支
上任一点．若 的最小值为８口，则该双
曲线的离心率ｅ的取值范围是（ ）．
（Ａ）（１，３］ （Ｂ）（１，２］
（Ｃ）［２，３］ （Ｄ）［３，＋∞） ３．若对任意的长方体 ，都存在一个与 Ａ等高的长方体曰，使得曰与 的侧面积之 比和体积之比都等于 ，则 的取值范围是
（ ）．
（Ａ） ＞０ （Ｂ）ｏ＜ ≤１
（ｃ）ａ＞１ （Ｄ） ≥１
４・设ｓ ＝１＋ ＋—｝１ ’＋ １
＋了１＋了＋
一—１— １—～，其中．ｊ｝ ： １ ２ １ ’７ Ｉ ， ｎ 一 ＋了＋ ＋…＋
（ｎＥＮ＋），记 是满足不等式Ｓｚ嘶＞Ｔ的
最大整数 ．则下列４个数中与 ＇０最接近的
是（ ）．
（Ａ）２ ００６（Ｂ）２ ００５（Ｃ）１ ＯＯ６（Ｄ）１ ００５ ５．已知 、ｙ、 ∈Ｒ＋，且 ＋’，＋ ＝１．女日
果 、ｙ、 中没有一个数大于另一个数的２ 倍，那么，乘积ｘｙｚ的最小值是（ ）．
（Ａ） １（Ｂ ｌ－４（ｃ） （Ｄ １
６．已知集合Ｓ＝｛１，２，３，４，５，６｝，一一映 射 ：ｓ—Ｓ满足条件：对于任意的 Ｅ Ｓ，有
≤— 一：６—４ ． ３＋２√２
当 ＝√ ，即Ｘ－－－ 时，
：６—４ ． ．）△舳ｃ 故原式的最大值为６—４ ． 三、如图５，ａ（３，０）是抛物线与 轴正半轴的交 点．由于
ｙ 一２ｘ一３
＝（ 一１） 一４， 所以，原抛物线的 顶点为Ｐ（１，一４），对 称轴与 轴的交点为 Ｂ（１，０）． ＜１）若原抛物线绕 Ａ（３，０）顺时针方向旋 转９０￣，设新抛物线顶 Ｊ
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2025年全国高中数学联合竞赛
一试全真模拟试题1参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请
严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评
分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档
次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1．已知函数()sin()fxx
是定义在R上的偶函数，则cos(2)
的值为 ．
答案：0．
解：由于()sin()fxx
是偶函数，故()
2kk
Z，所以
cos(2)coscossin0
2kk
．
2．若关于z的复系数一元二次方程2
i0()zzR的一个根为
11z=
，则另一个根
2z ．
答案：i1
2
．
解：由题意得2
01i1，
解得i1
2
．因此
12i1
2izz
，所以
2i1
2z
．
3．设数列{}
na
的通项公式为
2[log]
nann
，其中[]x
表示不超过x的最大整数，则{}
na
的
前32项和为 ．
答案：631．
解：事实上，
22[log][log]
nannnn
．而当1n时，
2[log]0n
；当2,3n
时，
2[log]1n
；当4,5,6,7n
时，
2[log]2n
；当8,9,,15n
时，
2[log]3n
；当16,17,,31n
时，
2[log]4n
；当32n时，
2[log]5n
，因此{}
na
的前32项和为
321232102142831645631S
． 4．已知向量,ab
均为单位向量，则
2|2|
1()ab
ab
