数学奥林匹克高中训练题(3)

ｌ４　中等数学　

数学奥林匹克高中训练题（３）　

第一试　

一、选译题（每小题６分，共３６分）　１．已知ｎ＝３　，ｂ＝４４４，Ｃ＝５∞．贝０有　

（　）．　

（Ａ）ｎ＜ｂ＜ｃ　（Ｂ）Ｃ＜ｂ＜ｎ　

（Ｃ）Ｃ＜０＜ｂ　（Ｄ）ｎ＜Ｃ＜ｂ　

２．方程组｛ｘｙ－ｙｚ　，，６　３，的正整数解的组　Ｌ澎十　

＝Ｚｊ　数是（　）．　

（Ａ）ｌ　（Ｂ）２　（Ｃ）３　（Ｄ）４　３．正方体ＡＢＣＤ—Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．的棱长为　

０，Ｅ为ＣＤ的中点，Ｆ为ＡＡ．的中点．过点　

Ｅ、　、　．的截面面积是（　）．　

（Ａ）　ｎ　（Ｂ）　ｎ２　

（ｃ）　ｎ　（Ｄ）　。２　

４．方程ｓｉｎ　口＋ｃＯＳ　ａ＝ｌ（０＜ａ＜号）的　

解的个数是（　）．　（Ａ）０　（Ｂ）ｌ　（Ｃ）２　（Ｄ）３　５．已知Ｐ为直线Ｙ＝　＋ｌ上的一点，　

、，ｖ分别为圆ｃ．：（　一４）　＋（Ｙ—１）　＝４与　

圆Ｃ　：　＋（Ｙ一２）　＝ｌ上的点．则Ｉ　ＰＭ　Ｉ—　

Ｉ　ＰＮ　Ｉ的最大值为（　）．　

（Ａ）４　（Ｂ）５　（Ｃ）６　（Ｄ）７　

的　

（Ａ）５１　（Ｂ）５２　（Ｃ）５３　（Ｄ）５４　

二、填空填（每小题９分，共５４分）　１．函数／（　）＝Ｉ　一ｎ　Ｉ在区问［一ｌ，１］　内最大值　（ｎ）的最小值为——．　２．设四面体ＡＢＣＤ的体积为Ｉ，，Ｅ为棱　

ＡＤ的中点，点　在Ａ　的延长线上，且ＢＦ＝　Ａ　．过ｃ、Ｅ、　三点的平面交ＢＤ于点Ｇ．则　

四面体ＣＤＧＥ的体积为——．　

３．对于整数ｍ，其个位数码用ｆ（ｍ）表　示，记ｎ　＝／（２　‘一１）（ｎ＝ｌ，２，…）．贝０　ｎ　。嘶　

＝・　４．ｎ（ｎ≥３）条直线中恰有ｍ（ｍ≥２）条　

平行，而且ｎ条直线中没有三条交于一点．　则这几条直线将平面最多分割成的块数为　

５．联结正多面体各个面的中心，得到一　

个新的正多面体，我们称这个新正多面体为　原多面体的正子体．一正方体７１．的表面积　

为ｎ．＝１６，它的正子体为７１２，表面积为ｎ　，　

７１２的正子体为　，表面积为０，，……如此下　

去，记第几个正子体的表面积为　．则　

ｌｉｍ（ｎＩ＋ｎ２＋…＋ｎ　）＝——．　

６．设ｆ（　）＝　＋Ｏ，Ｘ＋ｂ一２（Ｉ　Ｉ≥２）．　

若函数Ｙ＝ｆ（　）的图像与　轴有公共点，则　

ｎ　＋ｂ　的最小值为——．　

三、（２０分）已知数列｛ｏ　｝中，　

ｎ．＝一　（ｎ　＋　）（ｎ∈Ｎ＋）．　

证明：对于　Ｉ＞２，有ｎ　＞２　４（｛）‘　．　

四、（２０分）已知函数　）＝Ｉｌｏｇ　（　—１）Ｉ．　

若实数ｎ、ｂ（１＜０＜ｂ）满足　

ｆ（ａ）＝／Ｉ　），　６）－　），　

求证：４＜ｂ＜５．

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五、（２０分）已知椭圆Ｃ：　＋　＝１．任　

作不与　轴垂直的直线ｚ与椭圆Ｃ相交于　

Ｐ、Ｑ两点，点ｓ与点Ｐ关于　轴对称．求　

△ＯＳＱ面积的最大值．　

第二试　

一、（５Ｏ分）凸四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ、ＤＣ　交于点Ｅ，ＡＤ、ＢＣ交于点　，四边形ＡＢＣＤ内　

有一点Ｐ，使得　ＡＰＢ＋　ＣＰＤ＝７ｃ．求证：　

ＦＰＤ＝　ＢＰＥ．　二、（５Ｏ分）已知　。，　２，…，　∈Ｒ＋，　

。＋　，＋…＋　：　＋…＋　．求证：ｌ＋　２＋…＋‰　＋　一＋　‘水吐：　

—．：Ｉ＿一≤１．　ｉ＝１　ｎ—ｌ＋　三、（５０分）设ｓ为平面上２ｎ＋１个点的　

集合，其中任三点不共线，任四点不共圆．一　个圆被称为“好圆”是指ｓ中有三个点在圆　

上，ｎ—１个点在圆内，ｎ—１个点在圆外．求　

证：好圆的个数与ｎ有相同的奇偶性．　

参考答案　

第一试　

一　１．Ｃ．　由已知得ａ＝２４３“，ｂ＝２５６“，ｒ＝１２５“．　

２．Ｂ．　由于　、Ｙ、：均为正整数，故　＋ｙ≥２．而２３为　

质数，且：（　＋Ｙ）＝２３，所以，：＝１，　＋Ｙ＝２３．　将其代入第一个方程得ｙ　一２４）－＋６３＝０．　解得ＹＩ＝３，Ｙ２＝２１．　

３．Ｃ．　如图１，过点Ｅ　作ＨＧ／／ＦＢ。，分别交　ＤＤ．、ＣＣ．于点　、Ｇ，　

ＨＦ交ＡＤ于点，．则可　知五边形ＥＩＦＢ．Ｇ为　所求的截面．　

易知Ｃ－Ｇ＝音ｎ，　Ｉ－＊１　ｌ　ＤＨ＝　１　ｎ．　

经计算可得　

：　：　ｎ，ＧＦ＝　ｎ，　

。０ｓ　ＬＧＢ　．ｓｉ　ＬＧＢ　百２，Ｆｉ￣５．　

故ｓ　：丢。×　。×　＝　４　ｎ２．　

而ｓ　＝１１ｔ・ＨＥ・　

：　×　１　Ｂ，Ｇ　ｘ－－￣ＨＧ×　

：　１　ｓ…　：　ｎ２，　

因此，所求截面面积为　ｎ２．　

４．Ｂ．　当　＞２时，由ｓｉｎ　ａ＜ｓｉｄ　ａ，ｃ０ｓ　ａ＜ｃｏｄ　ａ，得　

ｓｉｎ　ａ＋ｃ０ｓ　ａ＜１．此时无解．　当　＜２时，由ｓｉｎ　ａ＞ｓｉｄ　ａ，ｃ０ｓ　ａ＞ｃｏｄ　ａ，得　

ｓｉｎ　ａ＋ｃ０ｓ　ａ＞１，此时也无解．　

故只有一解　＝２．　５．Ｃ．　～　如图２．易知圆Ｇ：　＋（Ｙ一５）　＝４与圆Ｃ．：　

（　一　４）　＋　（Ｙ—１）：＝４关　于直线Ｙ＝　＋　

ｌ对称．故对于　ｃ。上的任意一　

点肘，在圆Ｃ，　

上存在点肘　，　使得Ｉ　ＰＭ　Ｉ＝　１，　

＾　

一　＜　

／　／－１　Ｄ　Ｖ　

【刳２　

Ｉ　ＰＭ＇Ｉ．因此，只须求Ｉ　ＰＭ　Ｉ—Ｉ　ＰＮＩ的最大值．　

・　注意到Ｉ　ＰＭ　Ｉ—Ｉ　ＰＮＩ≤Ｉ　Ｍ＇ＮＩ≤４＋２＝６，当取　点Ｐ（Ｏ，１）、肘　（０，７）、Ｎ（０，１）时，上式取等号．　

６．Ａ．　

＋　号芒　

３．　１—３　＋３　ｊ—　＝蠢　『二　丽

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理知　＝南＋　一３　一３　＋ｌ。　ｌ一３ｘ。＋３　一　：　１　ｒ　

＝　ｉ＝０【　＋　】　

＝ｌ０２．　

一ｌ　ｌ　——、－・　

（１）当ｎ≤０时．易知Ｍ（ｎ）＝ｌ—ｎ．　（２）当ｎ＞０时，Ｍ（ｎ）＝ｍａｘ｛ｎ，Ｉｌ—ａ　

当０＜ｎ≤｛时．肘（ｎ）＝ｌ—ｎ；　

当ｎ＞　时，肘（ｎ）＝ｎ．　

故（肘（ｎ））　＝　．　

２．｛　．　

如图３．易知　

ｌＩＩｌ　ｌ　＝　ｌＩＩｌⅢ体　．　由梅涅劳斯定　

Ｆ　

Ｉ冬｛３　

则ｓ　＝　肥・ＤＧ　ｓｉｎ，／ＡＤＢ＝｛ｓ　

所以，Ｖｐｑ　Ｅｈｉ　＝号　．　

３．　｜．　易知＿厂（２　）＝　２一　）．于是，　ａ２　＝　一１）＝　２２唧）一ｌ＝　８）一ｌ＝７．　

４．　１（凡　＋凡一ｍ：＋ｍ）＋１．　‘　考虑这ｍ条平行线，其将平面分成了ｍ＋１个　

部分．记ｎ　＝ｍ＋１．加一条直线，它被ｍ条直线分　

割为ｍ＋ｌ段．此时．平面分割的部分增加了ｍ＋ｌ　

部分，平面共被分成ｎ…．＝ｎ　＋ｍ＋ｌ＝２ｍ＋２．　

再加一条直线，它又被前面的ｍ＋ｌ条直线分割为　ｍ＋２段．此时．平面分割的部分增加了ｍ＋２部分，　

平面共被分成ｎ　＋２＝　＋ｌ＋ｍ＋２＝３ｍ＋４．……．　

故ｔｌ，　＋Ｉ＝ｎ　＋　＋ｌ（ｋ≥ｍ）．即　ｎ　＋ｌ—ｎ　＝　＋１．　贝０　ｎ　＝ｎ小＋（ｎ小＋Ｉ—ｎ肌）＋（ｎ加＋２一　＋Ｉ）＋　

…＋（ｎ　一ｎ　一Ｉ）　

＝（ｍ＋１）＋（ｍ＋１）＋（ｍ＋２）＋…＋凡　

＝，ｎ＋ｌ＋　（ｎ一，ｎ）　

＝　（ｎ２＋ｎ—ｍ２＋ｍ）＋ｌ＿　

５．１８＋３　．　由已知　，　，…为正方体．　，　．…为正八面　

体．设　的边长为６。，如图４易知６：：　－２　ｂ．．一　

；　——Ｉ／＿７　ｉ：　＼　《：　

，　

如图５，计算得Ｇ日＝　Ａｃ＝　６：，　

６，＝ＭＮ＝号　＝　

易知．对Ｔ－自然数ｎ．有　

：　…　．　

而。．：６６　：８×　：　６　，。：：　

６×　＝　＝等　

同样，ｎ：　…　％．　

于是，可得　ａ１２　ｎ－Ｉ＝专．—ａ２，　ｔ＋２ａ２　＝　ｙ　”　ｙ　

故ｈｍ（ｎｌ＋ｎ２＋…＋ｎ　）　ｎ—’ｌ　毒　丢　８＋３　Ｃ　

６．导．　

函数与　轴有公共点的情况分为如图６所示的　五种情形．　：　，一２　一　舾一　嬲一　

∞　刚　维普资讯 http://www.cqvip.com ２ＯＯ６年第６期　ｌ７　

Ｊ　ｙｌ

一　｜　

／　Ｊ　Ｊ，　｝　｝一　

．＞　

（ａ）　（ｂ）　（ｃ）　

Ｊ　ｌ　Ｊ，　＼　／　

ｏ　２　ｊ　Ｊ，　

一　０　Ｖ　

（ｄ）　（ｅ）　

６　对于图６（ａ）、（ｂ）、（ｃ），易知ｆ（一２）≤Ｏ和／（２）　≤Ｏ中至少有一个成立，即有　

一２ａ＋ｂ＋２≤Ｏ或２ａ＋ｂ＋２≤Ｏ．　则（ｎ，ｂ）满足的　平面区域如图７阴　影部分所示，且点０　到直线的距离为　！　Ｑ±　±　！一　一　‘　‘　

一　

故ｎ　≥｝　ｌ刳７　

当ｎ：±导，６＝一号时取等号．　

对于图６（ｄ）、（ｅ），显然，有ＩｎＩ≥４．　

此时．Ⅱ　＋ｂ　≥１６．　

故有ｎ２＋６　的最小值为詈．　

三　南尸．知得　ｎＢ＋ｌ＋２　ｎ：＋４ｎ　＋４　（ｎ　＋２）　２ａ　’　２Ｏ，ｎ　’　

＾　ｎ：一４ｎ　＋４　（ｎ　一２）　‘　—　—　‘　

从而，　＝（箬）　．　

因此，当ｎ≥２时。　

箬２＝（　）　＝（　）ｎ　一　一、Ⅱ　一Ｉ一２，　一、ｎ　一２—２，　

…・＝（　）　

ｊ　：３：　‘　ｎ　＋２：３２　‘（ｎ　一２）　

＝等　３　一ｌ　３　一ｌ　

＞２＋４（吉）　．　．　

四、由　ｎ）＝　）可得　

Ｉｌ０＆（ｎ—Ｉ）Ｉ＝Ｉｌｏｇ２（ｂ—Ｉ）Ｉ．　

则ｎ—Ｉ　ｂ　Ｉ或０一Ｉ＝　ｌ＿，前者不合题意，　Ｄ—Ｉ　舍去．　又Ｉ＝（ｎ—Ｉ）（ｂ—Ｉ）＜（ｂ—Ｉ）　，因此，ｂ＞２．　于是，　ｂ）＝Ｉｌ０＆（ｂ—Ｉ）Ｉ＝１０＆（ｂ—Ｉ）．　

而　）＝Ｉ　（　一－）Ｉ　

＝Ｉ－　ｌ　

：　（　＋　）．　

令ｔ＝ｂ—Ｉ．于是．由已知条件可得　

（ｔ＋÷）＝　

等Ｉ　一４ｔ　＋２ｔ　＋Ｉ：０　等（ｔ—Ｉ）（ｔ　一３ｔ　～ｔ—Ｉ）＝０　等ｔ　一３ｔ　一ｔ—Ｉ＝０　①　等Ｉ　一４，＝一２ｔ　一Ｉ＜一２ｔ　＋３２　

等（ｔ一４）（ｔ　＋２ｔ＋８）＜０　ｔ＜４．　又由式①得　ｔ　一３ｔ　＝ｔ＋Ｉ＞ｔ～３．　从而，ｔ＞３．故４＜６＜５．　

注：本题也可加强为：４＜６＜３＋　．　

由式①知，ｔ　＝３ｔ　＋ｔ＋ｌ＜３ｔ　＋ｔ＋　

ｊ（ｔ一２一　）［ｔ　＋　一Ｉ）ｔ＋　一Ｉ］＜０．　五、当即∥　轴时，点Ｓ、０、ｐ在一条直线上，　不构成三角形．如图８，　设直线Ｚ的方程为　ｚ＝ｍ＋　．　①　下面证明：ｓｏ经　

过点Ｂ（　。０ｍ）．　、　，　Ｐ　ｌ　Ｖ　’　一　ｏ／ＢＪ册　，一／　

为此证明　＝‰．　将式①代入椭圆方程整理得　

图８　维普资讯 http://www.cqvip.com