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高中数学奥林匹克竞赛训练题

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数学奥林匹克高中训练题（27）

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．(训练题57)若()fx是R上的减函数，且()fx图像经过点(0,3)A和点(3,1)B，则不等式(1)12fx的解集为(D)．

(A)(,3) (B)(,2) (C)(0,3) (D) (1,2)

2．(训练题57)若函数2()sin2(2)cos2fxaxax的图像关于直线8x对称，则a的值等于(C)．

(A)2或2 (B)1或1 (C)1或2 (D)1或2

3．(训练题57)设椭圆的方程为221,(0,1)3xyA为短轴的一个端点，,MN为椭圆上相异两点，若总存在以MN为底边的等腰AMN，则直线MN的斜率k的取值范围是(C)．

(A)(1,0] (B)[0,1] (C)(1,1) (D)[1,1]

4．(训练题57)()fx是定义在R上的函数，且对任意的x满足(1)()fxfx．已知当(2,3]x时，()fxx．那么，当(2,0]x时，()fx的表达式为(C)．

(A)()4fxx (B)4,(2,1]()2,(1,0]xxfxxx

(C)4,(2,1]()3,(1,0]xxfxxx (D)1,(2,1]()3,(1,0]xxfxxx

5．(训练题57)已知1111ABCDABCD是边长为１的正方体，P为线段1AB上的动点，Q为底面ABCD上动点．则1PCPQ的最小值为(A)．

(A)212 (B)3 (C)2 (D)1522

6．(训练题57)已知在数列{}na中，11,naS为前n项的和，且满足2(1,2,)nnSnan．则na的表达式为(D)． 优秀学习资料 欢迎下载

(A)1(2)2nn (B)1(3)(1)nnn (C)1(4)2(1)nn (D)2(1)nn

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．(训练题57)在ABC中，ADBC于D，且13ADBC．则ACABABAC的最大值为

13 ．

2．(训练题57)已知函数1axyxa的反函数图像关于点(1,4)成中心对称．则实数a的值 3 ．

3．(训练题57)集合2211{|4(1)},{|}22AxaxxaxBxx，当AB时，a的取值范围为 12a ．

4．(训练题57)已知线段//AD平面，且到平面的距离等于８，点B是平面内的一动点，且满足10AB．若21AD，则点D与B距离的最小值为 17 ．

5．(训练题57)已知多项式21xx整除多项式541axbx．则实数a

3 ，b

5

．

6．(训练题57)设[1][2][3][2002]S，其中[]n表示不超过n的最大整数。则[]S值等于 242 ．

三、(训练题57)(本题满分20分)已知ABC的三内角平分线分别为111,,AABBCC．若向量111,,AABBCC满足关系1110AABBCC，试证：ABC为正三角形．

四、(训练题57)(本题满分20分)已知数列{},nnaS表示其前n项和．若满足关系231nnSann，求数列{}na的通项公式na的表达式．(122nnan)

五、(训练题57)(本题满分20分)已知椭圆的半长轴为a，半短轴为b，短轴的一个端点为O，,PQ为椭圆上异于点O的任意两点，OPOQ．若点O在线段PQ上的身影为M，试求点M的轨迹．

第二试

一、(训练题57)(本题满分50分)如图，已知在RtABC中，,90,oACBCCO为斜边AB的中点，CH为斜边ABA G E

F

H O

D C 优秀学习资料 欢迎下载

上的高，延长CH到D，使得,CHDHF为中线CO上任意一点，过B作BEAF的延长线于E，连结DE交BC于G．求证：CFGF．

二、(训练题57)(本题满分50分)设0x．求函数1()11[][][][]1xxfxxxxx的值域．其中[]x表示不超过x的最大整数．

三、(训练题57)(本题满分50分)圆周上分布着2002个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点．为确保圆周上至少有一个好点．试求所染黑点数目的最大值．

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高中数学奥林匹克竞赛试题及答案

高中数学奥林匹克竞赛试题及答案

高中数学奥林匹克竞赛试题及答案

1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．

x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）

其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．

2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．

【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）

但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．

3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．

【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．

4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄

【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2

对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．

5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．

【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1

高中竞赛奥林匹克数学训练题

高中竞赛奥林匹克数学训练题

数学奥林匹克高中训练题

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．(训练题34)对于一切实数x，所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜b)的值恒为非负实数. 则a+b+cM=b-a的最小值是(D)．

(A)21 (B)31 (C)2 (D)3

2．(训练题34)已知曲线y2=ax与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点. 如果过这两个交点的直线的倾斜角为45°，那么实数a的值是(A)．

(A)2 (B)4 (C)21 (D)41

3．(训练题34)已知△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2－a－2b－2c=0，a+2b－2c+3=0. 则△ABC最大内角的度数是(B)．

(A)150° (B)120° (C)90° (D)60°

4．(训练题34)设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为常数. 如果f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，那么1[f(4)+f(0)]4的值是(C)．

(A)1 (B)4 (C)7 (D)8

5．(训练题34)设函数22()(1xxnyfxxRxx且*1,)2nxnN的最小值为an，最大值为bn，记cn=(1－an)(1－bn). 则数列{cn} (C)．

(A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为1的等比数列

(C)是常数列 (D)不是等差数列也不是等比数列 6．(训练题34)设M是集合S={1，2，3，…，1998}的子集，且M中每一个正整数（元素）仅含有一个0. 则集合M所含元素最多有(D)．

(A)324个 (B)243个 (C)495个

数学奥林匹克高中训练题(190)

数学奥林匹克高中训练题(190)

４２　中等数学　

教学奥　耄寓　滤题（１　９０）　

中圈分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１５）０４—００４２—０５　

第一试　

、填空题（每小题８分，共６４分）　

１．已知函数Ｙ＝　的图像与函数　石一１　），＝　一２的图像恰有两个交点．则实数ｋ的　

取值范围是　．　２．在三棱柱ＡＢＣ—　Ｉ曰１Ｃ１中，底面边长　

和侧棱长均相等，　ＢＡＡ　＝　ＣＡＡ，＝６０。．　则异面直线ＡＢ　与ＢＣ　所成的角为　

３．已知椭圆　＋４（Ｙ一口）　＝４与抛物线　

＝２ｙ有公共点．则口的取值范围是　．　

４．如图１，在边　

长为２的正六边形　

ＡＢＣＤＥＦ中，动圆ｏＱ　

的半径为１，圆心在线　

段ＣＤ（含端点）上运　

动，Ｐ为６５　Ｑ上及内　

部的动点，设向量　Ａ　

图１　

：ｍ　＋ｎ　（ｍ，ｎ∈Ｒ）．则ｍ＋ｎ的取值　

范围是　．　

５坩算：　【　“】＝一．　

６．设Ｐ１（１，２，３），Ｐ２（２，４，１），Ｐ３（１，Ｊｌ｝，５），　Ｐ４（４，ｋ＋１，３）是空间中体积为１的一个四面　

体的四个顶点．则ｋ＝　．　

７．已知数列｛ａ　｝满足　＝Ｏ，　

Ｏ＇ｎ＋１＝　８　＋　（儿≥ｏ，　∈Ｎ）．　

则口ｌｏ　

８．将正方体ＡＢＣＤ—Ａ。ＢｌＣｌＤ　的八个顶　

点用四种不同的颜色染色，要求同一条棱的　两个端点颜色不相同，一共有　种染法．　

二、解答题（共５６分）　

９．（１６分）在△ＡＢＣ中，若　

ＣＯＳ　Ａ　ＣＯＳ　Ｂ　ｓｉｎ　Ｂ。ｓｉｎ　Ａ一　’　

证明：　Ａ＋　Ｂ＝９０。．　

１Ｏ．（２０分）已知双曲线Ｙ＝　上有一点　

（口，　）（口＞０），点Ａ关于原点的对称点为　

日，以ＡＢ长为半径作　与双曲线交于Ｐ、Ｑ、　尺三点．证明：△ＰＱＲ为正三角形．　１１．（２Ｏ分）已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋，且　

０　＋ｂ　＋ｃ　＝３．　

证明：　＋　＋　

加试　

、（４０分）如图２，在△Ａ曰Ｃ中，　ＡＢＣ　

＝９０。，Ｍ为边ＡＣ的中点，ＡＴ上ＡＣ，ＴＭ的延　

长线与ＢＣ交于点Ｄ，联结　．证明：　ＡＢＴ　

2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(214)

2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(214)

1 / 4 ——教学资料参考参考范本——

2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（214）

______年______月______日

____________________部门

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第一试

一、填空题

1.已知点A(3,1),，且的四个顶点均在函数的图像上，则的面积为 。523B，ABCD□2()log1axbfxxABCD□

2.设集合，若集合A中所有四元子集的四个元素之积组成的集合为，则集合A中的元素和为 。125,,,(,1,2,,5)iAaaaaRi……2,3,4,6,9B

3.在中，，点D在边AB上，BD=1，AC=，DA=DC，则 ABC3B3DCA

4.椭圆上任意两点P、Q，O为坐标原点，若，则面积的最小值为 。2214xyOPOQPOQ

5.现安排七名同学去参加五个运动项目，要求甲、乙两名同学不能参加同一个项目，每个项目均有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同方案数为 。

6.某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周均是从上周末使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第一周使用A种密码，则第七周也使用A种密码的概率为

（用最简分数表示）。

7.在四面体ABCD中，，AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的体积为 。060ADBBDCCDA

8.设为定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，均有，则实数的

3 / 4 取值范围是 。()fx0x2()fxx,2xaa()2()fxafxa

二、解答题

9.已知函数，设为正实数，且。证明：22()()1nnxxfxnZx12,,,nxxx…11niix1()0nniifx