数学奥林匹克高中训练题(170)

- 1 - 数学奥林匹克高中训练题（32）

第一试

一、选择题（本题满分36分,每小题6分）

1．(训练题32)设k为整数,则22221997199719971997(1)(1)(1)(1)kkkkkkk的值为(B)．

(A) -4或-2 (B) -2或0 (C) 0或2 (D) 2或4

2．(训练题32)ABC的三边长,,abc满足2,2bcaacb. 则ba取值范围是(C)．

(A)(0,) (B)5151(,)22 (C)1(,2)2 (D)(0,2)

3．(训练题32)正方体八个顶点的两两连线中,异面直线共有(C)对．

(A)114 (B)138 (C)174 (D)228

4．(训练题32)以椭圆22221xyab的长轴为底的内接梯形最大面积是(A)．

(A)ab433 (B)ab23 (C)263a (D)283a

5．(训练题32)集合{1,2,3,,18}S的五元子集112345{,,,,}Saaaaa中,任何两元素之差不为1．这样子集1S的个数为(D)．

(A)417C (B)415C (C)513C (D)514C

6．(训练题32)如图,从A到B（方向只能从左右或从下上或从左下右上）,不同走法路线种数为(D)．

(A)16 (B)18 (C)20 (D)22

二、填空题（本题满分54分,每小题9分）

1．(训练题32)能被9整除且商恰是各位数字平方和的三位数是 315 ．

４２　中等数学　

蒎　窕高　溯　遛（８６）　

第一试　

一、选择题（每小题６分，共３６分）　

１．已知定义在Ｒ上的函数ｆ（　）的图像　

关于点【一　３，０）成中心对称图形，且满足　

）＝一　＋号Ｊ，ｆ（一１）＝１，ｆ（Ｏ）＝一２．　

男Ｉｊ么，ｆ（１）＋ｆ（２）＋…＋ｆ（２　００６）的值是　（　）．　

（Ａ）１　（Ｂ）２　（Ｃ）一１　（Ｄ）一２　

２．已知Ｆ，、Ｆ　分别为双曲线　一　＝１　

（口＞０，ｂ＞０）的左、右焦点，Ｐ为双曲线右支　

上任一点．若　的最小值为８口，则该双　

曲线的离心率ｅ的取值范围是（　）．　

（Ａ）（１，３］　（Ｂ）（１，２］　

（Ｃ）［２，３］　（Ｄ）［３，＋∞）　３．若对任意的长方体　，都存在一个与　Ａ等高的长方体曰，使得曰与　的侧面积之　比和体积之比都等于　，则　的取值范围是　

（　）．　

（Ａ）　＞０　（Ｂ）ｏ＜　≤１　

（ｃ）ａ＞１　（Ｄ）　≥１　

４・设ｓ　＝１＋　＋—｝１　’＋　１

＋了１＋了＋　

一—１—　１—～，其中．ｊ｝　：　１　２　１　’７　Ｉ　，　ｎ　一　＋了＋　＋…＋　

（ｎＥＮ＋），记　是满足不等式Ｓｚ嘶＞Ｔ的　

最大整数　．则下列４个数中与　＇０最接近的　

是（　）．　

（Ａ）２　００６（Ｂ）２　００５（Ｃ）１　ＯＯ６（Ｄ）１　００５　５．已知　、ｙ、　∈Ｒ＋，且　＋’，＋　＝１．女日　

果　、ｙ、　中没有一个数大于另一个数的２　倍，那么，乘积ｘｙｚ的最小值是（　）．　

（Ａ）　１（Ｂ　ｌ－４（ｃ）　（Ｄ　１　

６．已知集合Ｓ＝｛１，２，３，４，５，６｝，一一映　射　：ｓ—Ｓ满足条件：对于任意的　Ｅ　Ｓ，有　

≤—　一：６—４　．　３＋２√２　

当　＝√　，即Ｘ－－－　时，　

：６—４　．　．）△舳ｃ　故原式的最大值为６—４　．　三、如图５，ａ（３，０）是抛物线与　轴正半轴的交　点．由于　

ｙ　一２ｘ一３　

＝（　一１）　一４，　所以，原抛物线的　顶点为Ｐ（１，一４），对　称轴与　轴的交点为　Ｂ（１，０）．　＜１）若原抛物线绕　Ａ（３，０）顺时针方向旋　转９０￣，设新抛物线顶　Ｊ　

２　中等数学　

模拟锹穰　

数学奥林匹克高中训练题（１）　

第一试　

一、选择题（每小题６分，共３６分）　

１．设ｆ（　）：Ｏ，Ｘ　＋　＋Ｃ，Ｉｆ（０）Ｉ≤１，　

Ｉｆ（１）Ｉ≤１，ｔｆ（一１）Ｉ≤１．那么，Ｉｆ（２）Ｉ的最　大值为（　）．　

（Ａ）５　（Ｂ）６　（Ｃ）７　（Ｄ）８　２．红蓝两色卡片各４张，每种颜色卡片　

分别标有数字１，２，３，４．将全部８张卡片排成　

２行４列的方阵，要求标数相同的卡片在同　

一列．则不同的排法种数为（　）．　

（Ａ）（＾三　）　（Ｂ）＾三（　）　

（ｃ）（＾三　）　（Ｄ）　（　）　

３．在三棱锥Ｐ—ＡＢＣ中，ＢＣ＝３，　＝　

４，ＡＢ＝５．若三侧面与底面所成二面角Ａ—　

ＢＣ—Ｐ为４５。，　一ＣＡ—Ｐ为４５。，ｃ一　一　

Ｐ为４５。，则三棱锥Ｐ—ＡＢＣ的体积为　

（　）．　

（Ａ）１　（Ｂ）２　（Ｃ）３　（Ｄ）４　４．设方程（３　）　咖＋（４　＋１５）　咖＝０的　所有复数根为口　、　（　＝１，２，…，１　０００）．则　

∑上等于（　）．　。ｉ。。—＝—１　Ｏ／ｉ　ａｉ　

（Ａ）　，（Ｂ）　

（ｃ）　（Ｄ）２　０ｙ００　

５・设　∈Ｒ＋．则ｙ＝√　＋２√　

的最大值为（　）．　

（Ａ）譬（Ｂ）　（ｃ）譬（。）　

６．设ｎ＞１，ｆ（　）是定义在有限集合Ａ＝　｛１，２，…，ｎ｝上的单调递增函数，且对任何　、　

ｙ∈Ａ，有炙　：　）　Ｙ）．那么，（　）＿．　

（Ａ）ｎ＝２（Ｂ）ｎ＝３（Ｃ）ｎ＝４（Ｄ）ｎ＞１５　二、填空题（每小题９分，共５４分）　

１．设Ａ是有限集，对任何　、Ｙ∈Ａ，若　

≠Ｙ，则　＋ｙＥＡ．那么，Ａ中元素个数的最　大值为——．　

２．若Ｉ叫Ｉ＜６，且直线　＝詈是函数　（　）　

＝ｓｉｎ（Ｏ．ＹＸ＋－兀５）的一条对称轴，则叫＝　

３．若函数Ｙ：ｌｏｇ。（　＋Ｏ，Ｘ＋１）没有最小　

值，则ａ的所有取值的集合是——．　

４．在棱长为１的正方体ＡＣ　中，Ｅ、Ｆ分　

别是棱ＢＣ、ＤＤ　的中点．则四面体ＡＢ　ＥＦ的　

体积为——．　

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2025年全国高中数学联合竞赛

一试全真模拟试题1参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请

严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评

分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档

次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．已知函数()sin()fxx

是定义在R上的偶函数，则cos(2)

的值为 ．

答案：0．

解：由于()sin()fxx

是偶函数，故()

2kk

Z，所以

cos(2)coscossin0

2kk













．

2．若关于z的复系数一元二次方程2

i0()zzR的一个根为

11z=

，则另一个根

2z ．

答案：i1

2

．

解：由题意得2

01i1，

解得i1

2

．因此

12i1

2izz

，所以

2i1

2z

．

3．设数列{}

na

的通项公式为

2[log]

nann

，其中[]x

表示不超过x的最大整数，则{}

na

的

前32项和为 ．

答案：631．

解：事实上，

22[log][log]

nannnn

．而当1n时，

2[log]0n

；当2,3n

时，

2[log]1n

；当4,5,6,7n

时，

2[log]2n

；当8,9,,15n

时，

2[log]3n

；当16,17,,31n

时，

2[log]4n

；当32n时，

2[log]5n

，因此{}

na

的前32项和为

321232102142831645631S

． 4．已知向量,ab



均为单位向量，则

2|2|

1()ab

ab