沪科版数学八年级上册13.2命题与证明第二课时

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项目 内容

课题 13.2命题与证明 修改与创新

教学目标 1、理解命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件和结论。

2、理解定义、基本事实、定理、推论、证明的意义。

教学重、

难点 教学重点：区分一个命题的条件和结论。证明一个几何命题的方法和步骤。

教学难点：一个几何命题综合法证明思路的分析与证明过程的规范表述。

教学准备 多媒体课件

教学过程

一、证明

（1）概念：从已知的概念和条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论正确与否的过程。（由于证明的需要，可以在原来的图形上添加一些线，这样的线叫辅助线）。推导证明的条件除了已知条件外，还有公认的事实、公理和学过的定理。

例：（1）证明“对顶角相等”

分析：第一步的因是∠1与∠2，∠2与∠3分别是邻补角，果是∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°。确立因果关系的依据是——邻补角的意义.

第二步的因是∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，果是∠1+∠2=∠2+∠3，依据是——等量代换。

第三步的因是∠1+∠2=∠2+∠3，果是∠1=∠3。依据是——等量减等量，差相等。

整体来看，前一步的果为后一步的证明提供了因，这样一连串连贯、有序的因果关系组成了完整的证明过程。证明一般采用的分析方法是：从“要证什么”着眼，探寻“需要知道什么”，由此考虑“只要证什么”，一直追寻到“已知”。而证 初中-数学-打印版

初中-数学-打印版 明的表述一般是从“已知”开始，推导出“可知”，直到求证的“结论”。

例：（学生做）

已知，如图，AD⊥BC于D，

EF⊥BC于F，EF交AB于G，

交CA延长线于E，且∠1=∠2.

求证：AD平分∠BAC，填写“分析”

和“证明”中的空白．

分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠ =∠ ，而已知∠1=∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出

第三课时 证明（二）

教学目标

1、应用几何推理、证明解决几何问题.

2、经历探索推理的论证过程，感受几何中的逻辑推理的内涵，发展符号化语言.

3、培养严谨的证明意识，提高思维能力，体会几何学的实际价值.

重、难点与关键

重点：学会应用理性推理的方法.

难点：形成演绎推理的思路.

关键：引导学生运用合情推理，对所要证明的问题进行转化.

教学过程

一、回顾迁移，严谨论证

自主学习：阅读课本79—80页.

教师活动：组织学生用五分钟时间阅读理解课本79页例4.

学生活动：小组合作，回顾交流，完善证明“三角形内角和等于1800”的方法以及表达格式，总结辅助线的作法.

辅助线引入：为了计算和证明的需要，在原来图形上添加（画）线，叫做辅助线，辅助线常常画成虚线.

教师提问：直角三角形中的两个锐角之间有着怎样的关系？请用几何语言证明.

推论：直角三角形的两个锐角互余.

思路分析：这是一个文字的证明题，解决这类问题，首先要将文字形式转化成字母形式，也就是说，根据命题的题设、结论，画出几何图形，然后再写出“已知”、“求证”，最后才开始证明.

已知：如图所示，在⊿ABC中，∠C=900.

求证：∠A+∠B=900.

证明：在⊿ABC中

∵ ∠C=900（已知）

∴ ∠A+∠B=1800－900=900(三角形内角和等于1800)

二、范例学习，应用所学

1、例1 证明：对顶角相等.

已知：如图所示，已知直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠DOB是对顶角.

求证：∠AOC=∠DOB.

证明：∵ ∠AOC+∠AOD=1800

∠AOD+∠DOB=1800

∴ ∠AOC=∠DOB（同角的补角相等）

1、 例2

如图所示，∠1与∠2互为补角，∠3=∠B，试判断∠C与∠AED的大小关系，并证明之.

三、合作交流，探索思路

1、已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AC∥DF，BC∥EF.

命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．

1、 证明垂直：

证明两直线垂直的一般方法为：

（1） 通过夹角是90°；

（2） 垂直的传递性；

（3） 等腰三角形底边上三线合一．

几何证明（二）

知识结构

模块一：证明垂直

知识精讲 内容分析

【例1】 以下依据不能得到两直线垂直的是（ ）．

A．夹角是90度；

B．邻补角的角平分线互相垂直；

C．等腰三角形底边上的中线垂直于底边；

D．同旁内角的角平分线互相垂直．

【例2】 如图，AB =AC，D是BC上一点，当 ________或___________时，AD⊥BC．

【例3】 如例2图，在△ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，则下列结论不正确的 是（ ）．

A．ABDACD；

B．BC；

C．ADBAC是的平分线；

D．ABC是等边三角形．

【例4】 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，在高AD上截取DH=DC，联结BH并延长交AC于点E，求证：

（1） BH =AC；

（2） BH⊥AC．

例题解析

A

B C D

A

B C D E H

【例5】 如图，点D、E、F在BC上，∠B =∠C，∠1 =∠2，BD=EC，F是DE的中点．

求证：AF⊥BC．

【例6】 如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CF分别是AC、AB边上的高，BD与CF交于点O，延长AO交BC于点E，求证：AE⊥EC．

【例7】 如图，已知△ABD、△ACE都是等腰直角三角形，∠DAB=∠EAC=90°，判断BE和CD的位置及长度关系，并证明．

A B C D 2

E F 1

A

B C D O F

第二课时证明（一）

教学目标1、了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理.

2、经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法，以及书写格式，体会演绎推理的意义.

3、培养严谨的推理能力和表述能力，感受证明的几何价值.

重、难点与关键

重点：掌握推理方法.

难点：发展演绎推理意识.

关键：应用数学转化的思想分析，寻求推理思路.

教学过程

一、创设情境，引入新课1、定义引入：在数需研究中，首先要确定数学的研究对象，例如，我们研究方程时，要明

确什么是方程，在数学上称之为“定义”.2、公理引入：在日常生活、实践中大家常常把公认的并且长期检验所取得的真命题，把它

们作为论证其它命题的根据，这样的最原始的真命题我们称之为公理.3、素材提供：

（1）如果两个角有公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这

两个角称为对顶角.

（2）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

（3）两点确定一条直线.

（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.4、定理引入：有些命题，如“对顶角相等”，“三角形的内角和等于1800”，“等角的补角相等”

等，它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的真

命题叫做定理.5、证明引入：前面我们议到的话题：并不是所以命题都正确，只有经过演绎推理来论证，

我们把这种推理的过程叫做证明.

二、范例学习，应用所学1、例1（课本77页例2）已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.

求证：a∥b.

证明：∵∠1=∠2（已知）

又∵∠2=∠3（对顶角相等）

∴∠1=∠3（等式性质）

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

可见，证明是由条件（已知）出发，经过一步一步的推理，最后推出结论（求证）正确的过

程.

证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、

公理、已经学过的定理.

例2（课本78页例3）

已知：如图，∠AOB+∠BOC=1800,OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.