2015海淀区高二(上)期末数学(文科)
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第 1 页 共 11 页 2015海淀区高二（上）期末数学（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（ ）
A．4 B． C．1 D．
3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）
A．8 B． C． D．6
4．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（4分）命题“∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是（ ）
A．∃k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限
B．∃k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限
C．∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限
D．∀k≤0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限
6．（4分）已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥ D．∃F∈BC，EF∥AC
8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（ ） 第 2 页 共 11 页 A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a= ．
10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为
．
11．（4分）已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 ．
12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为 ．
13．（4分）已知平面α⊥β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=3，BD=12，则线段CD的长为 ．
14．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|= ．
三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．
（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；
（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．
16．（12分）已知直线l：y=x+t与椭圆C：x2+2y2=2交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和焦点坐标；
（Ⅱ）若|AB|=，求t的值．
17．（12分）如图所示的几何体中，直线AF⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF为梯形，DE∥AF，又AB=1，AF=2DE=2a．
（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；
（Ⅱ）求证：直线BD⊥平面ACF；
（Ⅲ）若直线AE⊥CF，求a的值． 第 3 页 共 11 页
18．（10分）已知椭圆，经过点A（0，3）的直线与椭圆交于P，Q两点．
（Ⅰ）若|PO|=|PA|，求点P的坐标；
（Ⅱ）若S△OAP=S△OPQ，求直线PQ的方程．
第 4 页 共 11 页 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
∵直线x+y﹣2=0，
∴k=﹣1=tanθ，
∴．
故选：D．
2．【解答】焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，
椭圆的离心率是，
可得，解得m=4．
故选：A．
3．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，
棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，
故棱锥的体积V==，
故选：B
4．【解答】圆心到直线的距离d=，
则直线l被圆O所截的弦长为==，
故选：C
5．【解答】命题为特称命题，
则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k＞0，使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限，
故选：C 第 5 页 共 11 页 6．【解答】在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，
若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，
即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，
故选：C．
7．【解答】如图，
∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，
∴BE⊥AD，CE⊥AD，
又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；
由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，
∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；
取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；
AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．
故选：A．
8．【解答】+|y|=1即为
=1﹣|y|，
两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，
即有x2=1﹣2|y|，
作出曲线W的图形，如右：
则由图象可得，O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．
故选A． 第 6 页 共 11 页 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
9．【解答】当a=0时，第二个方程无意义，
故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，
由直线平行可得a=，解得a=±1
故答案为：1或﹣1
10．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±x
∴双曲线的渐近线方程为
故答案为：
11．【解答】椭圆的长轴长为10
根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3
∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7
故答案为：7
12．【解答】因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：
所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，
因为△F1F2P是等边三角形，
所以a=2c，则=，即e=，
故答案为：． 第 7 页 共 11 页 13．【解答】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC，BD分别在α，β内垂直于棱l，AB=4，AC=3，BD=12，
作出以线段AB，BD，AC为棱的长方体，CD即为长方体的对角线，
由长方体的性质知，CD==13．
故答案为：13．
14．【解答】抛物线y2=2x的焦点为F（，0），
设P（m2，m），
由|AP|=|PF|，
可得|AP|2=2|PF|2，
即有（m2+）2+m2=2[（m2﹣）2+m2]，
化简得m4﹣2m2+1=0，
解得m2=1，
即有|OP|===．
故答案为：．
三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．【解答】（本小题满分10分）
（ I）由题意，所求直线的斜率存在．
设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） 第 8 页 共 11 页 所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（ II）设点P（x，y），
所以 ，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
所以 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
16．【解答】（ I）因为x2+2y2=2，
所以，
所以，所以c=1，
所以长轴为，焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．
（ II）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
因为，消元化简得3x2+4tx+2t2﹣2=0，
所以，
所以 ，
又因为，
所以 ，解得t=±1．
17．【解答】（本小题满分12分）
（ I）因为ABCD为正方形，所以AB∥CD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
又DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D．
所以平面ABF∥平面DCE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） 第 9 页 共 11 页 而CE⊂平面EDC，
所以CE∥平面ABF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（II） 因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
因为直线AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
因为AF∩AC=A，
所以直线BD⊥平面ACF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（Ⅲ） 连接 FD．
因为直线AF⊥平面ABCD，
所以AF⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩AF=A
所以CD⊥平面ADEF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以CD⊥AE．
又AE⊥CF，FC∩CD=C，
所以AE⊥平面FCD，
所以AE⊥FD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
所以，
所以==
解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）．
18．【解答】（ I） 设点P（x1，y1），由题意|PO|=|PA|，
所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为，所以有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
把其代入椭圆方程，求得x1=±1．
