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因式分解知识总结

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因式分解

一、知识梳理

1、因式分解的概念

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.

2、提取公因式法

把ma+mb+mc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：

ma+mb+mc=m（a+b+c）

注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有的相同字母；

③指数：相同字母的最低次幂.

3、运用公式法

把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

ⅰ）平方差公式

注意：①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清a、b分别表示什么.

ⅱ）完全平方公式

注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；

②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清a、b分别表示的量.

补充：常见的两个二项式幂的变号规律：

4、十字相乘法

借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式, 寻找满足

的ab、，则有

5、分组分解法

定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如

没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.

原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.

6、求根公式法：如果

有两个根，那么

二、典型例题及针对练习

考点1 因式分解的概念

例1、 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？

注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..

考点2 提取公因式法

2

注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.

[补例练习]1

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二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

二次三项式的因式分解

【知识梳理】

二次三项式的因式分解

（1）形如()2axbxcabc++，，都不为零的多项式称为二次三项式；

（2）如果一元二次方程20axbxc++=(0)a的两个根是1x和2x, 那么二次三项式的分解公式为：

2axbxc++()()

12axxxx=−−．

,【考点剖析】

题型一：两根与二次三项式因式分解关系

例1．若方程24210yy−−=

的两个根是

115

4y+

=

，

215

4y−

=，则在实数范围内分解因式2421yy−−=

____________．

【答案】





−

−





+

−

451

451

4yy

．

【解析】如果一元二次方程20axbxc++=(0)a的两个根是1x和2x，那么二次三项式2axbxc++可分解为：

2axbxc++()()

12axxxx=−−．

【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．

【变式1】若二次三项式)0(2++acbxax在实数范围内可分解因式为)

221

)(

221

(3−

++

−−xx，则一

元二次方程)0(02=++acbxax的两个实数根为________________． 【答案】221

1+

=x，212

2−

=x

．

【解析】如果一元二次方程20axbxc++=(0)a的两个根是1x和2x，那么二次三项式的分 解公式为：

2axbxc++()()

12axxxx=−−．

【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．

题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式

例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）

A.2615xx+−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373yy++；,,,,,,,,,

C.2224xx−−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245yy−+.

【答案】D；

【解析】解：A、因为24146153610bac−=+=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；

《公式法》资料：因式分解知识点小结

《公式法》资料：因式分解知识点小结

1 一、提公因式法

【知识要点】

知识点1 因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

【注】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

知识点2 公因式：

一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式.

知识点3 提公因式法：

把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.

【知识点总结】

1. 方法规律：

一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：

(1)各项整数系数的最大公约数；

(2)各项相同的字母；

(3)相同因式的指数取最小次数.

2. 解题方法：

(1)用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；

(2)公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式.

3. 方法技巧：

(1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：

○1 确定公因式

○2 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.

(2)为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.

二、公式法

3．公式法：

（1）常用公式 平 方 差： )ba)(ba(ba22 2 完全平方： 222)ba(b2aba

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①22()()nnabba； ②2121()()nnabba．（n为正整数）

三、十字相乘、分组分解

【知识要点】

1.十字相乘法

（1）二次项系数为1的二次三项式2xpxq中，如果能把常数项q分解成两个因式ab、的积，并且ab等于一次项系数p的值，那么它就可以把二次三项式2xpxq分解成

bxaxabxbaxqpxx22

因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)[1] 2

因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)[1] 2

1 因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，

则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解：222222222222abcabbccaabcabbcca

222()()()0abbccaabc

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

因式分解(超全方法)

因式分解(超全方法)

1 因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，

则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

2 例2、分解因式：bxbyayax5102

练习：分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy