因式分解知识点总结

初中数学之因式分解知识点汇总

因式分解

1. 因式分解的概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系

因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式

多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；

字母——取各项都含有的字母；

指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式 pa+pb+pc 中因式 p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：

(一)运用公式法：

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式

1.平方差公式

(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)

(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解

1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式

(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：

a2+2ab+b2 =(a+b)2

a2-2ab+b2 =(a-b)2

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

因式分解知识点总结

一、因式分解的概念。

1. 定义。

- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。例如：x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。

2. 与整式乘法的关系。

- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

二、因式分解的方法。

1. 提公因式法。

- 公因式的确定。

- 系数：取各项系数的最大公因数。例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。

- 字母：取各项相同的字母。在6x^2+9x中，相同的字母是x。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。所以公因式是3x。

- 提公因式的步骤。

- 找出公因式。

- 用多项式除以公因式，得到另一个因式。例如，6x^2+9x = 3x(2x+3)。 2. 公式法。

- 平方差公式。

- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 应用条件：多项式必须是两项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。例如，9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)，这里9x^2=(3x)^2，16y^2=(4y)^2。

- 完全平方公式。

- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。

- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。例如，x^2+6x + 9=(x + 3)^2，这里x^2=x^2，9 = 3^2，6x=2× x×3。

1 一、提公因式法

【知识要点】

知识点1 因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

【注】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

知识点2 公因式：

一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式.

知识点3 提公因式法：

把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.

【知识点总结】

1. 方法规律：

一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：

(1)各项整数系数的最大公约数；

(2)各项相同的字母；

(3)相同因式的指数取最小次数.

2. 解题方法：

(1)用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；

(2)公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式.

3. 方法技巧：

(1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：

○1 确定公因式

○2 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.

(2)为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.

二、公式法

3．公式法：

（1）常用公式 平 方 差： )ba)(ba(ba22 2 完全平方： 222)ba(b2aba

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①22()()nnabba； ②2121()()nnabba．（n为正整数）

三、十字相乘、分组分解

【知识要点】

1.十字相乘法

（1）二次项系数为1的二次三项式2xpxq中，如果能把常数项q分解成两个因式ab、的积，并且ab等于一次项系数p的值，那么它就可以把二次三项式2xpxq分解成

bxaxabxbaxqpxx22

1 因式分解一提公因式法

【知识要点】

1、分解因式的概念

把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式 。

2、分解因式与整式乘法的关系

分解因式与整式乘法是 的恒等变形。

3．分解因式的一些注意点

（1）结果应该是 的形式；（2）必须分解到每个因式都不能 为止；

（3）如果结果有相同的因式，必须写成 的形式。

4．公因式

多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的 .

5.提公因式法

如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.

6.确定公因式的方法

(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为 ;

(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为 .

《重点辨析》

提取公因式时的注意点

多项式的形式 注意点

多项式的首项系数为负数 (1)首项为负数,一般要提出“-”号;(2)在括号内的多项式的各项都要变号.如)(cbammcmbma

公因式是多项式 公因式是多项式时,可把这个因式作为一个整体提出,如)23)(()(2)(3nmbabanbam

多项式的某一项恰是公因式 提公因式后,括号内的项数,不增不减,特殊是某一项为1,千万不要漏掉此项,如)1(bammmbma

底数需调整为同底数幂 32)()(abba可调整为:32)()(baba或32)()(abab