人教版八年级上册数学 全等三角形中考真题汇编[解析版]

人教版八年级上册数学

全等三角形中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．

【答案】10310

【解析】

解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：

①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；

②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10310；

③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；

综上所述，PA的最小值为10310（cm）．

故答案为：10310．

点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有

_____个．

【答案】4

【解析】

【分析】

由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.

【详解】

（1）当点P在x轴正半轴上，

①如图，以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴∠AOP＝45°，OA＝22，

当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，

当∠OAP为顶角时，AO=AP，

∴OPA=∠AOP=45°，

∴∠OAP=90°，

∴OP=2OA=4，

∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.

②以OA为底边时，

∵点A的坐标是（2，2），

∴∠AOP=45°，

∵AP=OP，

∴∠OAP=∠AOP=45°，

∴∠OPA=90°，

∴OP=2，

∴P点坐标为（2，0）.

（2）当点P在x轴负半轴上，

③以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），

∴OA＝22，

∴OA＝OP＝22，

∴P的坐标是（﹣22，0）．

综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．

3．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．

【答案】5(0,5),(0,4),0,4

【解析】

【分析】

有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．

【详解】

有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝22125；

∴D（0，5）；

②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×yA=4，

∴P（0，4）；

③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，

由勾股定理得：OC＝AC＝2212OC，

∴OC＝54，

∴C（0，54）；

故答案为：5(0,5),(0,4),0,4．

【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．

4．如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论：BF=AC①；A=67.5②；DG=DF③；ADGEGHCESS四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．

【答案】①②③

【解析】

【分析】

只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正

确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误．

【详解】

解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，

∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°，

∴∠A=∠DFB，

∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，

∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC，

∴BD=DC，

在△BDF和△CDA中，

∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD，

∴△BDF≌△CDA（AAS），

∴BF=AC，故①正确．

∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，

∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，

∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，

∴∠ABE=∠CBE=22.5°，

∵∠BDF=∠BHG=90°，

∴∠BGH=∠BFD=67.5°，

∴∠DGF=∠DFG=67.5°，

∴DG=DF，故③正确．

作GM⊥AB于M．如图所示：

∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，

∴GH=GM＜DG，

∴S△DGB＞S△GHB，

∵S△ABE=S△BCE，

∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误，

故答案为：①②③．

【点睛】

此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．

5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．

【答案】30°．

【解析】

【分析】

如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12 ∠P'O P''=30°.

【详解】

解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，

由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"

∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小

∴P'P"=5

由对称OP=OP'=OP"=5

∴△P'OP"为等边三角形

∴∠P'OP"=60

∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA

∴∠AOB=12 ∠P'O P''=30°.

故答案为30°.

【点睛】

本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.

6．如图，在ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BEAC．若

70C，50DAC 则EBD的度数为______．

【答案】10

【解析】

【分析】

延长AD到F使DFAD，连接BF，通过ACDFDB，根据全等三角形的性质得到CADBFD，ACBF， 等量代换得BFBE，由等腰三角形的性质得到FBEF，即可得到BEFCAD，进而利用三角形的内角和解答即可得．

【详解】

如图，延长AD到F，使DFAD，连接BF：

∵D是BC的中点

∴BDCD

又∵ADCFDB，ADDF

∴ACDFDB

∴ACBF， CADF，CDBF

∵ACBE， 70C， 50CAD

∴BEBF， 70DBF

∴50BEFF

∴180180505080EBFFBEF

∴807010EBDEBFDBF

故答案为：10

【点睛】

本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和

定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．

7．如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.

【答案】72°

【解析】

【分析】

根据AB的中垂线可得BAD，再根据AC的中垂线可得EAC，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD.

【详解】

根据AB的中垂线可得BAD=B

根据AC的中垂线可得EAC=C

18012654BC

又 126BADDAEEACBAC

+C+126BDAE

72DAE

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.

8．如图，在直角坐标系中，点8,8B，点2,0C，若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1/cms，设点P运动时间为t秒，当BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值__________________．