全等三角形中考真题汇编[解析版]

全等三角形中考真题汇编［解析版］

一S八年级数学轴对称三角形填空题(难)

1.如图所示，“ABC为等边三角形，P是4ABC内任一点，PDW AB9 PE//BC.

PF//AC,若厶ABC的周长为 12cm ,则 PD+PE+PF= C航.

【答案】4

【解析】

【分析】

先说明四边形HBDP是平行四边形，AAHE和AAHE是等边三角形，然后得到一系列长度 相等的线段,最后求替换求和即可.

【详解】

解：∙.∙PD∣∣4B, PE 〃 BC

・•.四边形HBDP是平行四边形

APD=HB

•・• MBC为等边三角形,周长为12Cm

ΛZ B=Z A二60°,AB二4

•・・ PE//BC

ΛZAHE=Z B=60o

ΛZAHE=Z A=60o

.∙. ∆AHE是等边三角形

AHE=AH

•・・ ZHFP=Z A=60o

••・ ZHFP=ZAHE=60°

.∙∙ ΔAHE是等边三角形，

AFP=PH

ΛPD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm

故答案为4cm・

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解 答本题的关键.

2.如图，点P是AoB内任意一点，OP = 5cm,点P与点C关于射线QA对称，点P与 点D关于射线OB对称，连接CD交OA于点E,交OB于点F ,当的周长是

【答案】30

【解析】

【分析】

根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂宜平分线性

质得出 ZCOA ZAOP 丄ZCOP f ZPoB /DOB 丄ZPOD、PE=CE, OP=OC=5cmt

2 2

PF=FD, OP=OD=5cm,求岀ZkCOD是等边三角形，即可得岀答案.

【详解】

解：如图示：连接0C, 0D,

J点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称•

.∙.0A为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，

VOP=5cm,

:∙ ZCOA = ZAOP = LZCoP , ZPoB = ZDOB = LZPOD , PE=CEt OP=OC=5cm, PF=FD, 2 2

OP=OD=5cm,

V∆PEF的周长是5cm,

.∙∙ PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm,

CD=OD=OD=5cm»

Λ∆OCD是等边三角形，

ΛZ∞D=60∖

：• ZAoB = ΛAOP + ZBoP =丄ACOP + 丄 ADOP = IZCoD = 30° , 2 2 2

故答案为：30.

【点睛】 本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判左，能求出ACOD 是等边三角形是解此题的关键.

3.如图，点P是ZAOB内任意一点，0P=5cm ,点M和点N分別是射线OA和射线

OB上的动点，PN + PM+MN的最小值是5cm,则ZAOB的度数是 ___________________________________ .

【答案】30°

【解析】

试题解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,

分别交OA、OB于点M、N,连接OC、ODX PMX PNS MN,如图所示:

•••点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C ,

ΛPM=DM r OP=OD , ZDOA=ZPOA ；

T点P关于OB的对称点为C ,

APN=CN , OP=OC r ZCOB=ZPOB ,

AOC=OP=OD , ZAOB=- ZcOD f

2

VPN+PM+MN的最小值是5cm z

ΛPM+PN+MN=5 ,

ΛDM+CN+MN=5 ,

即 CD=S=OP j

AOC=OD=CD r

即AOCD是等边三角形，

∙∙∙ ZCOD=60o Z

∙∙∙ ZAOB=30° ・ 4.如图，在厶ABC中，AB>AC,按以下步骤作图：分别以点〃和点C为圆心，大于

BC-半长为半径作画弧，两弧相交于点M和点N ,过点M、N作直线交AB于点D,

连接CD,若AB = 10, AC = 6,则的周长为 ________________________________________________________ •

【答案】16

【解析】

【分析】

利用基本作图可以判定MN垂直平分BC,则DC=DB,然后利用等线段代换得到MCD的 周长=AB+AC,再把AB = 10, AC = 6代入计算即可.

【详解】

解：由作法得MN垂直平分BC,则DC=DB,

C^CD=CD+ AC + AD = DB + AD + AC = AB + AC = ∖O + 6 = 16

故答案为：16.

【点睛】

本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知 线段：作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线：过一点作 已知直线的垂线）是本题的关键.

5.如图,AB = AlB , AlBl = AiA2, A2B2 = A2A3, A3B3=A3A4t ...» 当n≥2t

ZA = 70。时，ZAI&坊T= ______________________ •

【解析】

【分析】 先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分別求岀ZB1A2A1, ZB2A3A2及么艮人人

的度数，再找出规律即可得出的度数• 【答案】 70° 【详解】

解：∙.∙在ΔABA1 中，ZA = IOo, AB = AlB

.∙. ZBAlA = ZA = 70°

V AxA2=AxBx, ZBAIA ^ΔAlA2Bl 的外角

故答案为：-τ

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根拯特殊情况找岀规律是解题关 键.

6.如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC (AB>BC)为边,在直线AC的同侧作等边

ΔABD和等边ABCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN.以下结论：

φAE=DC, ©MN//AB,③BD丄AE,④ZDPM=60°,⑤ABMN是等边三角形.其中正确的是

______________ (把所有正确的序号都填上).

［答案］Φ©④⑤

【解析】

【分析】

① 由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相 等，两个角相等都为60。，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论：

② 由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等， 再由ZABD=ZEBC=60°,利用平角的泄义得到ZMBE=ZNBC=60°,再由EB=CB,利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB,再由 ZMBE=60%利用有一个角为60。的等腰三角形为等边三角形可得岀三角形BMN为等边三 角形；可得ZBMN=60°,进行可得ZBMN=ZABD,故MN//AB,从而可判断②，⑤正确；

③ 无法证明PM=PN,因此不能得到BD丄AE：

④ 由①得ZEAB=ZCDB,根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.

【详解】

①•••等边AABD和等边ZkBCE,

ΛAB=DB, BE=BC, ZABD=ZEBC=60°, 1 70°

∙∙∙ ZB1A2A1 = ZAIBIA2 =-ZBA1A = — = 35°

1 70°

同理可得，ZB2A3A2 = - ZBAIA = — = 17.5° 2

70° ∙*∙ ^-^n-∖∖βn-∖ =乔T • ZB3A4A3 =-ZBAiA 70° = 8.75° ∙∙∙ ZABE=ZDBC=I20%

在MBE和ZkDBC中.

AB=DB

•・• ZABE=ZDBC,

BE=BC

Λ ΔABE^ ΔDBC ( SAS),

Λ AE=DC,

故①正确：

V∆ABE^ΔDBCt

∙∙∙ ZAEB=ZDCB>

又 ZABD=ZEBC=60%

•I Z MBE=I80o-60o-60o=60o >

即 ZMBE=ZNBC=60°,

在AMBE和ANBC中,

ZAEB=ZDCB

V EB=CB ,

ZMBE=ZNBC

Λ∆MBE^∆NBC (ASA),

Λ BM=BN> ZMBE=60%

则ABMN为等边三角形，

故⑤正确：

V∆BMN为等边三角形，

ΛZBMN=60∖

T ZABD=60：

.∙.ZBMN=ZABD.

ΛMN∕∕AB,

故②正确：

③ 无法证明PM=PN,因此不能得到BD丄AE：

④ 由①得ZEAB=ZCDB, ZAPC+ ZPAC+ ZPCA=I80°,

∙∙∙ ZPAC+ ZPCA= ZPDB+ZPCB= ZDBA=60o,

VZDPM=ZPAC+ZPCA

AZDPM =60°,故④正确，

故答案为：①②④

【点睛】

此题考査了等边三角形的判怎与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判左与性 质是解本题的关键.

7.如图，在ZiABC中，P, O分别是BC, AC上的点，PR丄AB^ PS丄AC,垂足 分别是/?, S,若ΛQ = PQ, PR =

PS,那么下而四个结论：（DAS = AR;

②QP//ARx③厶BRP竺\ QSP；④BR = QS9 Jt中一立正确的是（填写编号）

【答案】①，②

【解析】

【分析】

连接AP,根拯角平分线性质即可推出①，根据勾股N理即可推出AR=AS,根据等腰三角 形性质推岀ZQAP=ZQPA,推出ZQPA=ZBAP,根据平行线判左推出QP〃AB即可：在 RtΔBRP和RtZkQSP中，只有PR=PS.无法判断厶BRP昌AQSP也无法证明BR=QS .

【详解】

解：连接AP

① TPR丄AB, PS丄AC, PR=PS,

•••点 P 在ZBAC 的平分线上，ZARP=ZASP=90° ,

ΛZSAP=ZRAPl

在 RtΔARP 和 RIZ∖ASP 中，由勾股泄理得：AR2=AP2-PR2, AS2=AP2-PS2t

VAP=AP, PR=PSt

：• AR=AS,

・•・①正确：

② VAQ=QPf