艺术生高三文科数学复习讲义第13讲-复数

§13.2复数1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋b i (a，b∈R)的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a ＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．(2)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．2．复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．3．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i平面向量OZ →.(3)复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值：|z |＝a 2＋b 2. 4． 复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i. (×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√) 2．(2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当a＝0，且b＝0时，a＋b i不是纯虚数；若a＋b i是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．3．(2013·陕西)设z是复数，则下列命题中的假命题是() A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0答案 C解析设z＝a＋b i(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2ab i，。

第13讲 复数【基础知识】 1.复数的定义：形如),(R b a bi a ∈+的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.2. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.3.i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小5.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数6．复数的四则运算：①i d b c a di c bi a )()()()+++=+++（②i ad bc bd ac di c bi a )()-())(++=++（ ③2222a biac bdbc ad i c di c d c d ++-=++++【基础训练】1、(2013·浙江高考文科)已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( )A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i2、（2010·湖南高考文科） 复数21i-等于（ ） (A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i3、（2013·辽宁高考文科）复数11z i =-的模为（ ） 4、（2013·湖南高考文科）复数z=i·(1+i )(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【典例分析】1、（2013·新课标Ⅰ高考文科）=-+2)1(21i i （ ） A. i 211-- B. i 211+- C. i 211+ D. i 211- 2、（2013·山东高考文科）复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z （ ） A.25 B. 41 C.5 D.53、（2013·江西高考文科）复数)2(i i Z --=（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、（2012·新课标全国高考文科）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是（ ） （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i【提高训练】1、（2011·湖南高考文科）若a 、b R ∈,i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i ，则（ ）（A ）a=1,b=1 （B ）a=-1,b=1 （C ）a=1,b=-1 （D ）a=-1,b=-12、（2013·北京高考文科）在复平面内，复数)2(i i -对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、（2012·湖南高考文科）复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是( )（A ）-1-i (B)-1+i (C)1-i (D)1+i4、（2012·山东高考文科）若复数z 满足i i z 711)2(+=-（i 为虚数单位），则z 为（ ）（A ）i 53+ （B ）i 53- （C ）i 53+- （D ）i 53--5、（2011·福建卷文科）i 是虚数单位,1+i 3等于( )(A)i (B)-i (C)1+i (D)1-i6、（2013·重庆高考文科·Ｔ11）已知复数12z i =+（i 是虚数单位），则z = ．。

《复数》第二轮专题复习一、默写主要知识点 （一）复数1、虚数单位i 的性质=2i _________________________,______,____,3424144====+++n n n n i i i i2、复数的分类：（1）若bi a z +=表示实数，则___________（2）若bi a z +=表示虚数，则______ （3）若bi a z +=表示纯虚数，则__________ 3、复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di （1） z 1± z 2 =___________（2）z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝_____________ （3）z 1÷z 2 =_______________ (z 2≠0) ;▲________))((=-+bi a bi a _______)1(2=+i ___)1(2=-i 4、复数的几何意义),(),b a oz b a Z bi a z =↔↔+=→（点5、复数bi a z +=的共轭________=-z ，____________=z二、强化训练1、(11年新课标)2．复数512ii=-（ ） A ．2i - B ．12i - C ． 2i -+ D ．12i -+2、(12年新课标)（2）复数z ＝－3+i2+i的共轭复数是（ ）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3、(13年新课标1)2．212(1)ii +=-（ ） （A ）112i --（B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i -4、(14年新课标1)设i iz ++=11，则=||z （ ） A.21B. 22C. 23D. 25、(15年新课标1)（3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（ ） （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i6、(2016年全国1) (2)设))(21(i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）37、(11年新课标)5．执行图1的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ． 720C ． 1440D ． 50408、(13年新课标1)7．执行图3的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-9、(13年新课标2)7．执行图4的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A ）1（B ）1+（C ）1++++ （D ）1++++10、(14年新课标1)9.执行图5的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158开始输入Nk =1，p =1p =p ×k k<N输出pk =k +1 结束是否 开始输入tt < 1s =3ts =4t+t 2输出s结束是否图1图311、(15年新课标1) 8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

高三文科数学复数知识点复数是高中数学中非常重要的概念之一。

在文科数学的学习中，掌握好复数的知识点对于解决各类问题非常有帮助。

本文将从复数的定义、运算规则、常见定理和应用等四个方面进行介绍。

一、复数的定义复数是由实数和虚数组成的数，并且虚数单位i满足i^2=-1。

复数的一般形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，a和b都是实数。

二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法：按照实部和虚部分别相加或相减。

2. 复数的乘法：使用分配律展开并注意i^2=-1的特性。

3. 复数的除法：将被除数和除数同时乘以共轭复数，利用分子分母的虚部相消求解。

三、常见定理1. 欧拉公式：e^(iπ)+1=0，该公式是复数运算中最重要的公式之一，将三个重要的数学常数联系在了一起。

2. 共轭复数定理：复数a+bi的共轭复数为a-bi，共轭复数具有共轭关系。

3. 复数的模和幅角：复数a+bi的模为√(a^2+b^2)，幅角θ满足tanθ=b/a，其中θ为主值。

四、复数的应用1. 解方程：复数可以用于解决无解或者无实数解的方程，如x^2+1=0的解为±i。

2. 信号处理：复数可以表示实数信号的频谱，提供了一种分析和处理信号的有效方法。

3. 电路分析：复数可以应用于电路分析中的谐振、交流电路等问题，简化了计算过程。

4. 几何问题：复数可以用于解决平面几何中的旋转、平移等问题，使得计算更加简单和直观。

综上所述，高三文科数学中的复数知识点包括复数的定义、运算规则、常见定理和应用。

掌握这些知识点对于解决各类问题非常重要。

通过学习复数，我们能够更加深入地理解数学的抽象概念和应用，提高数学解题的能力和灵活性。

希望同学们能够认真学习并灵活运用复数知识，取得优秀的成绩！。

复数一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2． 数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2． 复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bic di++ 8． 除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。