下载文档原格式
2021年高考数学一轮复习 第四篇 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 6解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：asin A＝csin C，即1032＝c22.∴c＝1063.答案 C2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°解析由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B3．(xx·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (xx·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210. 答案255210 考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (xx·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3， 则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cosB sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题． 【训练3】 (xx·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cosB ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(xx·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录 由1＋2cos(B ＋C )＝0， 知cos A ＝12，∴A ＝π3，根据正弦定理a sin A ＝bsin B 得： sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4. 以下解答过程略．正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ， ∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin A a ＝22.∵a ＞b ，∴B ＝π4，∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 【试一试】 (xx·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . [尝试解答] (1)由正弦定理得， sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即 sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.。
第6讲正弦定理和余弦定理[考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ab sin C ＝12ac sin B . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆半径)．辨 析 感 悟1．三角形中关系的判断(1)在△ABC 中，sin A ＞sin B 的充分不必要条件是A ＞B . ( )(2)(教材练习改编)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则A ＝60°或120°.( )2．解三角形(3)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝59.( ) (4)(教材习题改编)在△ABC 中，a ＝5，c ＝4，cos A ＝916，则b ＝6. ( )3．三角形形状的判断(5)在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则此三角形是钝角三角形． ( ) (6)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则此三角形是锐角三角形． ( )[感悟·提升]1．一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，如(1)． 2．判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于 ( )． A.π3 B.π4 C.π6 D.π12(2)(2014·杭州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c＝42，B＝45°，则sin C＝______.规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【训练1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝()．A．30°B．45°C．45°或135°D．60°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C ＝23sin B，则A＝()．A．30°B．60°C．120°D．150°考点二判断三角形的形状【例2】(2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．规律方法解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．【训练2】(1)(2013·山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形考点三与三角形面积有关的问题【例3】(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．规律方法在解决三角形问题中，面积公式S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.【训练3】(2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin B sin C的值．1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bc cos A可以转化为sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．营养餐解三角形问题【典例】(12分)(2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝7 9.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．[反思感悟] (1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．(2)在本题第(2)问中，不会判断角A为锐角，易造成求错cos A，导致sin(A－B)的结果出错．答题模板第一步：定已知．即梳理已知条件，确定三角形中已知的边与角；第二步：选定理．即根据已知的边角关系灵活地选用定理和公式；第三步：代入求值．【自主体验】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3a sin C－c cos A.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.自助餐基础巩固题组一、选择题1．(2013·绍兴模拟)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝3ab，则C＝()．A．30°B．45°C．60°D．120°2．(2014·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为( )．A.32 B.3 C ．2 3 D ．23．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )．A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )．A ．2 3B ．2 C. 2 D ．15．(2013·陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．7．(2014·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．8．(2013·烟台一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B 等于________．三、解答题9．(2014·宜山质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值．10．(2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．能力提升题组一、选择题1．(2014·温岭中学模拟)在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则AB →·AC →的最大值为( )．A.13B.45 C ．1 D ．32．(2013·青岛一中调研)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上均有可能 二、填空题3．(2013·浙江卷)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 三、解答题4．(2013·长沙模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B . (1)求cos B ；(2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值．。
第 6 讲正弦定理和余弦定理第 1 课时正弦定理和余弦定理一、知识梳理1 一(1)Sx ABC = ?a h(h 表示边a 上的咼). 111(20 ABC = ?abs in C = §acs in B = 2bcsi n A.1(3)S ABC = 2「(a + b + c)(r 为内切圆半径).个数［注意］上表中A 为锐角时，a<bsin A ,无解. A 为钝角或直角时，a = b , a<b 均无解. 常用结论 1.三角形内角和定理在厶 ABC 中，A + B + C = n;2. 三角形中的三角函数关系(1)si n(A + B) = sin C.⑵ cos(A + B) = — cos C.A +B C(3)si n -= cos 2.A +BC (4)cos — = sin 2. 3.三角形中的射影定理在厶ABC 中，a = bcos C + ccos B ; b = acos C + ccos A ; c = bcos A + acos B. 二、习题改编 1.（必修5P10B 组T2改编）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c 若c<bcosA ,则厶ABC 为（）A .钝角三角形 C .锐角三角形 答案：A 2.(必修关系式 a = bsin A bsin A<a<ba > ba>b 解的一解两解一解一解B .直角三角形 D .等边三角形5P10A 组T4 改编)在厶ABC 中，AB = 5, AC= 3, BC = 7,则/ BAC=( )八nA・n解析：选C.因为在△ ABC 中，设AB = c = 5, AC = b = 3, BC = a = 7,所以由余弦定理故选C.3.(必修5P3例1改编)在厶ABC 中，A = 60°, AC = 4, BC = 2 . 3,则厶ABC 的面积等于 ________ .解析：设厶ABC 中，角A , B , C 对应的边分别为a , b , c ,由题意及余弦定理得 cos Ac 2 +16 —12 iii解析：由题意：為=走，即前B =瞥=厂=子,结合火c 可得B = 45° 则 A = 180°-B — C = 75°答案：75° 12.设△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a = 2, cos C = — 4 3sin A =2sin B ,贝U c =3解析：由3sin A = 2sin B 及正弦定理，得3a = 2b ,所以b =为=3. a 2+ b 2— c 2由余弦定理 cos C = 20b , 得— ] 于—^，解得 c = 4.4 2X 2X 3 答案：4cos/BAC = b* 1 2+ c 2- a 22bc9+ 25 -49 30 1 2 n2,因为/ BAC 为△ ABC 的内角，所以/ BAC =三.b 2 +c 2- a 22bc利用正弦、余弦定理解三角形（师生共研）（1）（2019高考全国卷I ）△ ABC的内角1 bA, B, C 的对边分别为a, b, c.已知asin A —bsin B= 4csin C, cos A=—匚，则—=（）4 cA. 6B. 5C. 4D. 3（2）（2020济南市学习质量评估）已知△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2c+ a= 2bcos A.①求角B的大小；②若a= 5, c= 3,边AC的中点为D，求BD的长.【解】（1）选A.由题意及正弦定理得，b2—a2=—4c2,所以由余弦定理得，cos A =b2+ c2—a2—3c2 2bc 2bc 1 b-,得6.故选A.(2)①由2c+ a= 2bcos A及正弦定理，得2sin C + sin A= 2sin Bcos A,又sin C= sin (A + B)= sin Acos B+ cos Asi n B,所以2sin Acos B + sin A = 0,1因为sin A丸,所以cos B =-㊁,2 n因为O v B v n所以B=亍②由余弦定理得b2= a2+ c2- 2a cxos/ABC = 52+ 32+ 5 x 3= 49,所以72.b2+ c2-a2 49 + 9 —25 11因为cos/B AC= —2^^- = 2x 7x 3 = 14，49 7 ii 19所以BD2= AB2+ AD2— 2 A B ADcosZBAC = 9 + —2x 3X-^- = -74 2 14 4所以BD =严.b = 7,所以AD =(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角,求其他边或角; ,求其他边或角;二是已知三边求角•由于这两种情形下的三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一的.3 3 (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角 ，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.1.（一题多解）（2020广西五市联考）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 已知a = 1, b = 3, A = 30 ° , B 为锐角，那么 A : B : C 为（）A . 1 : 1 : 3B . 1 : 2 : 3C . 1 : 3 : 2D . 1 : 4 : 1解析：选B.法一：由正弦定理代=七,得sin B =穆. sin A sin Ba 2因为B 为锐角，所以B = 60°则C = 90°故A : B : C = 1 : 2 : 3,选B.法二：由 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A ，得 c 2— 3c + 2 = 0,解得 c = 1 或 c = 2.当 c = 1 时，△XBC 为等腰三角形，B = 120°°与已知矛盾，当c = 2时，a<b<c ,则A<B<C ,排除选项A , C , D ,故选B.2. (2020河南南阳四校联考)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,若b = 8,D .1 解析：选 D.因为 b = 8, c = 3, A = 60°,所以 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A = 64 + 9 —2 x 8X 3x ?c = 3, A = 60，则此三角形外接圆的半径R =（ ）A.8*2B.14, 3=49 ,所以a = 7,所以此三角形外接圆的直径2R = 佥=希=，所以只=弯，故选~2D.3. (2019高考全国卷I 改编)△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,设(sin B —sin C)2= si n 2A — sin Bs in C.(1) 求 A ;(2) 若,2a + b = 2c , 求 C.解：(1)由已知得 sin 2B + sin 2C — sin 2A = sin Bsin C ,故由正弦定理得 b 2+ c 2— a 2= bc.因为 0°<A v 180°,所以 A = 60°由余弦定理得 cos A =b 2+c 2— a 22bc(2)由(1)知B = 120°-C ,由题设及正弦定理得 .2sin A + sin(120 °—C) = 2sin C ,即1cos C + qs in C = 2s in C ,可得 cos(C +_22 .由于 0°<C v 120° 所以 C + 60° 勻35°即 C = 75°判断三角形的(1)(一题多解)设厶ABC的内角A, B,C所对的边分别为a, b, c,若bcos C+ ccos B = asin A，则△ ABC的形状为()A •直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定(2)在厶ABC中，若c—acos B = (2a —b)cos人，则厶ABC的形状为______ .a2+ b2—c2a2+ c2—b2 2a2【解析】⑴法一：因为bcos C + ccos B= b •+ c •=;- = a,所以2ab 2ac 2anasin A= a即sin A = 1,故A= ?,因此△ ABC是直角三角形.法二：因为bcos C+ ccos B= asin A,所以sin Bcos C + sin Ccos B = sin2A,即sin(B+ C) = sin2 A,所以sin A = sin2 A,故sin A= 1,即A= J 因此△ ABC是直角三角形.(2)因为c—acos B= (2a —b)cos A,所以由正弦定理得sin C—sin Acos B= 2sin Acos A —sin Bcos A,所以sin(A + B) —sin Acos B = 2sin Acos A—sin Bcos A,故cos A(sin B—sin A) = 0,所以cos A= 0 或sin A= sin B,n即A= 2或A= B,故△ ABC为等腰或直角三角形.【答案】(1)A (2)等腰或直角三角形【迁移探究】(变条件)若将本例⑴条件改为“ 2sin Acos B = sin C”试判断厶ABC的形状.解：法一：由已知得2si n Acos B = sin C= si n(A + B)= sin Acos B+ cos As in B,即sin(A —B) = 0,因为一T<A— B< n所以A= B,故厶ABC为等腰三角形.法二：由正弦定理得2acos B= c,再由余弦定理得a2+ c2—b22a •= c? a2= b2? a= b,2ac故厶ABC为等腰三角形.判定三角形形状的两种常用途径［提醒］“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;边化角后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.1. (2020广西桂林阳朔三校调研）在厶ABC 中，a： b : c= 3 : 5 : 7,那么△ ABC 是（）A •直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.非钝角三角形解析：选B.因为a : b : c= 3 : 5 : 7,所以可设a= 3t, b = 5t, c= 7t,由余弦定理可得9t?+ 2512—49t2icos c= …4=—1所以C = 120 ° △KBC是钝角三角形，故选B.2 X 3t X 5t 22. （2020河北衡水中学三调）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且b2+ c2= a2+ bc,若sin Bsin C= sin2A,则厶ABC 的形状是（）A .等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析：选C.在厶ABC中，因为2 2 2b2+ c2—a2 bc 1b2+ c2= a2+ bc,所以cos A = = _ =o,因为2bc 2bc 2nA€ （0, n ,所以A = 3,因为sin Bsin C = sin2A,所以bc= a2,代入b2+ c2= a2+ bc,得（b —c）2= 0,解得b = c,所以△ ABC的形状是等边三角形，故选C.核心素养系列11数学运算一一计算三角形中的未知量数学运算是在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程•主要包括: 理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.(2019高考北京卷)在厶ABC中，a= 3, 1b—c = 2, cos B=—(1) 求b, c的值；(2) 求sin(B+ C)的值.【解】⑴由余弦定理b2= a2+ c2—2accos B,得b2= 32+ c2—2X 3X c x —1 .1因为b= c+ 2,所以(c+ 2尸=32+ c2— 2 x 3x c x —-.解得c = 5.所以b = 7.—A.所以 sin(B + C) = sin A = 本题第(1)问利用余弦定理得到关于 b , c 的一个方程，结合b — c = 2可求出b , c 的值;第⑵问利用正弦定理求出 sin A 的值，由同角三角函数关系求出sin(B + C)的值体现核心素养中的数学运算.在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c.(1)若 a = 3c , b = 2,2cos B = 3，求c 的值;⑵由cos B = — 1得sin B =中.由正弦定理得 asinA =L sinB =3,3 14.在△ ABC 中, B + C = n3*3盲.2解：(1)因为 a = 3c , b = 2, cos B = 3,所以c =所以 cos B = 2sin B.从而 cos 2B = (2sin B)2,即 CO ^B = 4(1 — cos 2B), 故 COS 2B= 4.5因为 sin B>0,所以 cos B = 2sin B>0,［基础题组练］b<c ,则 b =()A . 3卄 sin A cos B2b ，求cos B 的值.1.设△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为b , c.若 a = 2, cos A =由余弦定理a 2+ c 2—b 2 /曰 2cos B =——, 得 3=(3c ) 2+ c 2—(2) 22ac2X 3c X c(2)因为sin Aacos B 2b ，由正弦定理asin A b sin B ，得cos B 2bsin Bb 从而cos B =2,5 5B . 2 ,2C. 22X 4X c = 2，解得c= 2.所以S= 2bcsin A= 2X 4X 2X Sin60°毘 3.答案：2 3一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()⑵在△ ABC 中，若sin A>sin B,贝U A>B.( )(3)在厶ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. ()答案：(1)X (2) V (3) X二、易错纠偏常见误区(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；(2) 不会灵活运用正弦、余弦定理.ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知C= 60°, b=〔6, c= 3,贝U A。
第 2 课时 正、余弦定理的综合问题角度一 计算三角形的面积与三角形面积有关的问题 （多维探究 ）（1）（2019高考全国卷n ）△ ABC 的内角nA ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b = 6,a = 2c , B =-，则△ ABC 的面积为 _________ .（2）（2020福建五校第二次联考）在厶ABC 中，A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 a 2+ b 2 — c 2= 3ab ,且 acsin B = 2 3sin 。
，则厶 ABC 的面积为 _______________ .【解析】（1）法一：因为a = 2c , b = 6, B = f 所以由余弦定理b 2= a 2 + c 2— 2accosB , 3 得 62= (2c)2+ c 2— 2X 2c X ccos 扌,得 c = 2 3,所以 a = 4 3,所以△ ABC 的面积n法二：因为 a = 2c , b = 6, B =-,所以由余弦定理 b 2= a 2+ c 2— 2accos B ,得 62= (2c)2 3 + c 2 — 2 x 2c x ccos 扌，得 c = 2 3 ,所以 a = 4 3 ,所以 a 2= b 2 + c 2 ,所以 A =(所以△ ABC 的面积S = 1x 2j 3x 6= 6筋.厂 a 2+ b 2— c 2 J 3ab 肃(2)因为a 2+ b 2— c 2= . 3ab ,所以由余弦定理得 cos C =莎=W b =2'又0 < Cv n ,所以C = f •因为acsin B = 2 Esin C ,所以结合正弦定理可得11n故 S* 1absin C =1x2.3sin6=求三角形面积的方法 S = ^acs in B =1 x 4 3 x 2 3 x sinabc = 2 3c ,所以 ab = 2 3.【答(1)6 .3_3 2_3 2 .(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.角度二已知三角形的面积解三角形(2020湖南五市十校共同体联考改编) 已知a, b, c分别为△ ABC的内角A, B, C的对边，(3b —a)cos C= ccos A, c是a, b的等比中项，且△ ABC的面积为 3 2，贝U ab= _________ , a+ b= ________ .【解析】因为(3b—a)cos C = ccos A,所以利用正弦定理可得3sin Bcos C = sin Acos C1+ sin Ccos A= sin(A + C)= sin B.又因为sin B^0,所以cos C = 3,贝卩 C 为锐角，所以sin C = ^3~.由△ ABC的面积为3 , 2,可得gabsin C= 3 2,所以ab= 9•由c是a,11b的等比中项可得c2= ab,由余弦定理可得c2= a2+ b2—2abcos C,所以(a + b)2=~3ab= 33,所以a+ b= . 33.【答案】9 ■ 33已知三角形面积求边、角的方法(1) 若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2) 若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.［注意］正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用.1. （2020济南市模拟考试)在厶ABC 中，AC = 5, BC = 10, cos A =等，则△ ABC 的面积为（）5A.QB. 5C. 10D四D. 2解析：选A.由AC= 5, BC = ,10, BC2= AB2+ AC2—2AC AB cos A,得AB2—4AB—5=0,解得AB = 5,而sin A = 1 —cos2A^55，故S ZABC =5X 5 X 寿5=号.选A.2. (2020长沙市统一模拟考试)已知△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且B + Casi n(A+ B)= csin —2 —.⑴求A;(2)若厶ABC的面积为.3,周长为8,求a.A解：⑴由题设得asin C = ccos^,由正弦定理得A sin Asin C= sin Ceos?,所以sin A = cos ?,所以2sinAcosA = cosA,所以sinA= *,所以A = 60°⑵由题设得^bcsin A= . 3,从而bc= 4.由余弦定理a2= b2+ c2—2bccos A,得a2= (b + c)2—12.13又 a + b + c= 8,所以a2= (8 —a)2—12,解得a = ~.三角形面积或周长的最值（范围）问题（师生共研）（2019高考全国卷川）△ ABC的内角A, _ _ , , 、，A+ C , . AB, C的对边分别为a, b, c.已知asin—厂 =bsin A.⑴求B;⑵若△ ABC为锐角三角形，且c= 1,求厶ABC面积的取值范围.、A+ C【解】⑴由题设及正弦定理得sin Asin~2 —= sin Bsin A.A+ C 因为sin A丸,所以sin—厂 =sin B.A + C B—B B B由A+ B + C= 180° 可得sin—= cos^,故cos? = 2sin?cos?.因为COSB M 0,故sinB = 2，因此B= 60°⑵由题设及⑴知厶ABC的面积S ZABC =丄…亠宀》口csin A sin (120 °-C) 羽1由正弦疋理得a= sin C =Sin~C =2tan~C+2.由于△ ABC为锐角三角形，故0 °A<90 ° 0°C<90 °由(1)知A+ C = 120°所以30°<C<90 ° 故2<a<2,从而^V S^BCV^3.因此，△ABC面积的取值范围是3,产8 2求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题在解决求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.题多解）（2020福州市质量检测）△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c.若角A , B ,C 成等差数列，且b = j.（1）求厶ABC 外接圆的直径； ⑵求a + c 的取值范围.解：⑴因为角A , B , C 成等差数列，所以2B = A + C ,n又因为A + B + C = n 所以B = 3.b 2根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径 2R = T~- == 1.sin B n⑵法一：由B = n 知A + C =竽，可得0 v Av ¥ 由⑴知厶ABC 的外接圆直径为1,根据正弦定理得 a b c= = = 1 sin A sin B sin C'所以 a + c = sin A + sin C 2n=sin A + sin 3 — Asin A + ； cos A2 nn n 5 n因为0vA v-3-,所以6v A+ 6v 孑sin 3- 1 n ,所以2< sin A+ 6 W 1，从而 #< . 3sin A+ 6 < 3,所以a+ c的取值范围是Y， 3 .n法二：由⑴知，B = 3，b2= a2+ c2—2accos B= （a+ c）2—3ac>（a + c）2—3* = 4（a+ c）2（当且仅当a = c时，取等号），因为b=¥,所以（a+ c）2 W 3，即a+ c W、.;3,又三角形两边之和大于第三边，所以丁<a+ c W 3,所以a+ c的取值范围是^3, . 3 .解三角形与三角函数的综合应用（师生共研）(2020湖南省五市十校联考)已知向量1 m= (cos x, sin x), n = (cos x, . 3cos x), x€ R，设函数f(x) = m n +(1) 求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2) 设a，b，c 分别为△ ABC 的内角A, B，C 的对边，若f(A) = 2, b+ c= 2 2,^ ABC1的面积为步，求a的值.1 n【解】(1)由题意知,f(x) = cos1 2x+ 3sin xcos x+ ~= sin 2x+ 6 + 1.n n n n n令2x+ 点€ —o+ 2 k n, o + 2k n , k € Z ,解得x€ —k n, a + k n , k€ Z,6 2 2 3 6n n所以函数f(x)的单调递增区间为—3+ k n, "+ k n , k€ Z.n(2)因为f(A)= sin 2A+ 6 + 1= 2,n所以sin 2A+ 6 = 1.因为0v A< n 所以6< 2A + n< 所以2A+ n= § 即A= £6 6 6 6 2 6标注条件，合理建模1 1由厶ABC 的面积S= ?bcsin A = ?,得bc= 2,又 b + c= 2 . 2 ,所以a2= b2+ c2—2bccos A = (b + c)2—2bc(1 + cos A),解得a= .3—1.解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题.△ ABC中的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b= 2a—2ccos B.⑴求角C的大小；⑵求.3cos A+ sin B +寸的最大值，并求出取得最大值时角A, B的值.解：⑴法一：在厶ABC中，由正弦定理可知sin B= 2sin A—2sin Ccos B,又A+ B + C= n则sin A= sin( —(B + C)) = sin(B+ C),于是有sin B = 2sin(B + C)—2sin Ccos B = 2sin BcosC+ 2cos Bsin C—2sin Ceos B,整理得sin B= 2sin Bcos C,又sin B 丸，小1贝U cos C= 2，n 因为0<C< n则C = 3.a2+ c2—b2法二：由题可得b= 2a —2c -2ac整理得a2+ b2—c2= ab,1即cos C= 2，n因为0<C< n则C = 3.(2)由⑴知C=n，贝y B+n= n—A ,于是3cos A+ sin B+ 3 = 3cos A+ sin( —A)= . 3cos A + sin A = 2sin A+ 3 , 因为A = -3——B,所以0<A<-3n,所以3<A+n<nn n n故当A = 2时，2sin A+7的最大值为2,此时B=:.6 3 2［基础题组练］则厶ABC 的面积等于（ ）C . 9 D. |解析：选 B.因为 cos A =~47,则 sin A = 3,所以 S ZABC = 1 x bcsin A = ^^,故选 B. 2.在△ ABC 中，已知C = n b = 4, ABC 的面积为2^3,贝V c =（）3A. 2,7B. .7 C . 2 ,2D . 2.3解析：选 D.由 S = ^absin C = 2a x 于二 2.3,解得 a = 2,由余弦定理得 c 2= a 2+ b 2— 2abcos C = 12,故 c = 2 3.3. （2020河南三市联考）已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A , B , C 的对边，sin A : sin B = 1 ： •,3, c = 2cos C =・.3,则厶 ABC 的周长为（）A . 3+3 ,3B . 2 ,3C . 3 + 2 ,3D . 3+ . 3解析：选C.因为sin A : sin B = 1 :3,所以b =・，3a ,a 2 +b 2—c 2 a 2 +（寸da ） 2— c 2由余弦定理得cosC =2ab = 2a x 3a又c = . 3,所以a = . 3, b = 3,所以△ ABC 的周长为4. （2020湖南师大附中4月模拟）若厶ABC 的内角A , b = 2, c = 5, △ ABC 的面积 S=jcos A ，则 a =（）B. .5C. 13D . . 175 1 1 解析：选 A.因为 b = 2, c = 5, S = ^2cos A = ?bcsin A = . 5sin A ,所以 sin A =?cos A.「△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 b = •, 7, c = 4,3 + 2 3,故选 C.B ,C 的对边分别为a , b , c ,且的面积为4 3,且2bcos A+ a= 2c, a + c= 8,则其周长为（）A. 10B. 12C. 8 + 3D. 8+ 2 31 解析：选B.因为△ ABC的面积为4二3,所以qacsin B = 4 3.因为2bcos A+ a = 2c,所以由正弦定理得2sin Bcos A+ sin A = 2sin C,又 A + B + C= n,所以2sin Bcos A + sin A = 2sin1 、Acos B + 2cos Asin B,所以sin A = 2cos B sin A,因为sin A工0,所以cos B =刁因为0< B<n所以B= n,所以ac= 16,又a+ c= 8,所以a= c= 4,所以△ ABC为正三角形，所以△ ABC 3的周长为3X 4= 12.故选B.6. _____________________________________________________________ 在△ ABC 中，A = ^, b2sin C = 4 2sin B,则厶ABC 的面积为___________________________________解析：因为b2sin C = 4.2sin B ,所以b2c=4 ,2b,所以bc= 4 .J2,1 1 2S^\BC= qbcsin A= 5x4,2 x = 2.答案：27. (2020江西赣州五校协作体期中改编)在厶ABC中，A =扌，b = 4 , a = 2,3 ,贝V B= _________ ,△ ABC的面积等于________ .bsin A4X sin3解析：△ ABC中，由正弦定理得sin B= —a —=--------- = 1.又B为三角形的内角，所以B=才,所以c= b2- a2= 42-( 2 .'3) 2= 2 ,1所以S ZABC = 2X 2^3= 2.3.答案：才2 3sin A 5c的对边，且B为锐角，若赢=畐,sin解析：由sinA =5c?a= 5c?a=5c ① sin B 2b b 2b 2c,①4 ,b的值为S A ABC= ^4^,则&在△ ABC 中，a , b,c分别是内角A , B ,厂厂由S A\BC = ?acsin B = ~且sin B =：得~ac= 5 ,联立①，②得a = 5,且c = 2. 由sin B=J 且B 为锐角知cos B =3443由余弦定理知 b 2= 25+ 4 — 2X 5X 2X 4= 14, b = .14. 答案：• 1439.在△ ABC 中，/ A = 60° c = 7a.⑴求sin C 的值；⑵若a = 7,求厶ABC 的面积.3解：⑴在厶ABC 中，因为/ A = 60° c = 7a ,csin A 3 x/33\[3所以由正弦定理得sin C = —7— =玄—=荷3. 3⑵因为a =乙所以c = 7X7= 3.1 由余弦定理 a 2= b2 + c 2—2bccos A 得 72 = b 2 + 32— 2b X 3 X -, 解得b = 8或b =— 5(舍).所以△ ABC 的面积 S = ^bcsin A = *X 8X 3X^ = ^3.10. (2020福建五校第二次联考)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且 3 acos C = (2b — . 3c)cos A.(1)求角A 的大小；⑵若a = 2，求△ ABC 面积的最大值.解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C = 2sin Bcos A — 3sin Ccos A , 从而.3s in (A + C) = 2si n Bcos A ,即.3sin B = 2sin Bcos A.n又A 为三角形的内角，所以A = 6.⑵由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A ,得 4 = b 2 + c 2— 2bc X 牙 >2bc — , 3bc , 1所以bc w 4(2 + .3),所以S MBC = ^bcsin A < 2 + .3,故厶ABC 面积的最大值为 2+ .3.又B 为三角形的内角,所以sin B 丸,于是cos A =1 5 2亦所以sin2A +cos2A= 4cos2A +cos2A= 4cos2A =1.易得cos A=T.所以a2= b2+c2-2bccos A= 4+5- 2x 2x 5x^= 9- 8= X 所以a= 1.故选A.5. （2020开封市定位考试）已知△ ABC的内角A, B , C的对边分别为a , b , c , △ ABC。
