第四章 反馈线性化原理的应用在这一章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设计中的应用。
它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动态特性的观测器问题等。
4.1零动态在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念—“零动态”。
在很多场合中它起着与线性系统中传递函数的“零点”极其类似的作用。
在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r 能够被解释为其传递函数的极点数目与零点数目之差。
即若任何一个线性系统其相对阶r 严格小于其维数n ，则其传递函数中必存在零点；反之若r=n ，则传递函数中就没有零点。
所以前节中精确线性化所讨论的系统，在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。
在这一节中这种类比将进一步推广。
考虑一个相对阶r 严格小于n 的非线性系统()()x f x g x u ⋅=+()y h x =则可通过坐标变换，变成正则形：()()()()()()Z x h x L h x L h x x x f f r r n ==⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-+φφφξη 11， ξ=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥z z r 1 ， η=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+z z r n 1 其中()()φφr n x x +⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1 ，若能使()L x g i φ=0, n i r ≤≤+1则可将系统变成下列形式：z z 12⋅= z z 23⋅=z z r r -⋅=1()()z b z a z u r ⋅=+ ()z q z r r +⋅+=11()z q z n n ⋅=或写成：()()ξξξξηξη⋅⋅=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥200 r b a u ,, ()ηξη⋅=q ,若x 0是使()()f x h x 0000==,的点，则在x 0一定有ξ=0，虽然此时η可以任意选择，但是不失一般性，可以选η=0，如果x 0是系统的一个平衡点，则在新坐标下也应是一个平衡点。
因而有：()b ξη,=0 当()()ξη,,=00时()q ξη,=0 当()()ξη,,=00时这也就是说，在x 00=，系统处于平衡状态下，若此时及以后又没有输入作用（即0=u ），则该系统就一直处于平衡状态。
1.输出零化问题和零动态 现在提出一个这样的问题： 能否找到这样成对的关系：即某个初始状态x 0，及对应的()u t 0，()u t 0定义在t =0的一个邻域上，使得系统在t =0的邻域上输出()y t 恒等于0。
这个问题被叫作输出零化问题。
当然我们感兴趣的是所有这样的对子()x u 00,，而不是前面提到过的x u 0000==,简单的平凡对。
对于正则形有： ()()y t z t =1由于限制在所有t 时刻()y t =0，这就必须有：()()()z t z t z t r 120⋅⋅⋅====也就是说在所有时刻()ξt =0。
所以，我们可知当系统的输出恒等于零时，其状态也以这样一种方式受到限制，这时()ξt 也恒等于零。
并且()u t 必须是下列方程的唯一解。
()()()()()000=+⋅b t a t u t ,,ηη其中()()a t 00,η≠，当()ηt 趋近于零时；()ηt 应服从下列微分方程，因为到目前为止，我们只知道()ξt =0。
()()()ηη⋅=t q t 0, （3.1）由于()ηt 与输出不直接有关，所以要使()y t 保持为零，只要()()00,00ηηξ==而可以任意来选择，但是对于不同的η0，要解得()ηt ，再取()()()()()u t b t a t =00,,ηη才能使()y t 保持为零。
当初始条件选择为()ξ00=，及()ηη00=时，上述的解()u t 是唯一的。
方程（3.1）描写了系统内部的这样一种动态特性，即在限制输出恒为零的条件下，对于所选择的初始条件，并由此而解出的控制作用()u t 下，系统内部的动态特性。
这个动态在我们今后的讨论中颇为重要，被叫作系统的零动态。
2.关于零动态的几个评注：（1）对于线性系统而言，零动态是这样一个特殊的线性系统的动态：这个系统的极点或特征值是原系统的零点；即以原系统传递函数的分子多项式为其特征多项式的线性系统的动态。
现在我们来说明这一点，假定线性系统的传递函数为：()H s K b b s s a a s sn rn=++++++-0101 可知其相对阶为r ，若该系统传递函数的分子与分母是互质的，则容易得出其一种最小实现为：x Ax Bu ⋅=+y Cx =其中：A a a a n =---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥-010*********B k =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥00 C b b b n r =--011100化为正则形后z Cx b x bx b x x n r n r n r 1011211==++++----+ z CAx b x bx b x x n r n r n r 20213112==++++---+-+z CA x bx bx b x x r r r r n r n n ==++++-+---101111再取：z x r +=11z x r +=22z x n n r =-它使L g i φ=0，且∂φ∂x是非奇异的。
因为[]∂φ∂x =⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 10110010000***容易验证它是非奇异的。
因而用该坐标变换可以化成正则形，其形式为：z z z z z z z R S Ku R S K u P Q r r r 12231010100000⋅⋅-⋅⋅⋅⋅====++⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪→=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=+ ξηξξηηξη根据零动态的意义，ξ=0，所以有 ηη⋅=Q此时应取 ()()u t KS t =1η因：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----=+----=========→--++---+--++++⋅112110112110133222211z z b z b z b z x b x b x b x dt dxdtdz z x dt dx dt dz z x dt dx dt dz n r n r r r n r n r n r n n r r r r η 由于 001==z ，故ξ 故：Q b b b n r =---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥--0100010001011由此零动态的特征多项式为：()r n r n r n S S b S b b Q SI -----++++=-1110det此即为原系统传递函数的分子，因而零动态的极点就是原系统的零点。
( 2 ) 非线性系统的零动态在η=0处的线性近似与整个非线性系统在x=0处的线性近似系统的零动态是一致的。
也就是说取零动态与取线性近似的操作运算本质上是可以交换的。
为了校验这一点，我们必须做的仅仅是要说明正则非线性方程的线性近似与原系统线性近似的正则形是一致的。
并且非线性系统的相对阶与其线性近似系统的相对阶也是一致的。
前面业已介绍f x Ax f xg x B g x ()()()()=+=+21同理h x Cx h x ()()=+2由递推关系，容易计算L h x CA x d x f kkk '()()=+其中函数d x k ()使得 ∂∂d x k x ⎡⎣⎢⎤⎦⎥==0由此可以推出CA B L L h CA B L L h k g f kr g f r ===≠--((0)00)011对所有k<r-1也就是说原系统在 x=0 处的线性近似系统，它的相对阶就等于r 。
则非线性系统的正则形的相应项可以写成下列展开式：b R S b a K a q P Q q (,)(,)(,)(,)(,)(,)ξηξηξηξηξηξηξηξη=++=+=++212 则其零动态的线性近似式为∂∂ηξηq Q ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥==(,)0Q q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=0),(2ηξη 所有ηη.=Q 描写了当ξ≡0 时，原系统在η=0 处的零动态的线性近似，它与整个系统在 x=0 处的线性近似的零动态是一致的。
例3.2 我们来分析下列系统的零动态x x x x x x u .=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥+-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥3232123011 y x =1则有：L h x L h x x x L L h x x g f g f ()()()==-=+01332322因此其相对阶 r=2，为了化为正则形，取[]z x z x x z x x L g 11232332330110110)==-=+=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=(φ于是在新坐标下系统的方程为z z z b z z z a z z z uz z z ...(,,)(,,)1221231233123==+=-从零动态的意义可知，y(t)=0 意味着z t z t 120()()==，所以系统的零动态为：z z .33=-(3)非正则形时的零动态：虽然上述零动态的分析是在正则形的条件下进行的，但是由于坐标变换中的η状态变量要满足 L x g i φ()=0 常常有难处。
于是得到的是非正则形，系统的描述成为：z z z z z z z b u q p ur rr ........(,)(,)(,)(,)12231====+=+-ξηαξηηξηξη我们可以看出方程的前面几个变量与正则形是相同，所以从零动态的概念出发，应有y(t)≡0，所以：z z z z r 1120===⋅⋅⋅==...。
由此可得u b a =-(,)(,)ξηξη，所以ηξηξηξηξη.(,)(,)((,)(,))=+-q p b a ，则零动态为：ηηηηη.(,)(,)(,)(,)=-q p b a 0000。
(4)几何观点：若系统在某点x 0处的相对阶为r ，则有y t L hx t k f k ()()(())= 0 ≤ k ≤ r-1 y t L h xt L L hxt u t r f rg f r ()()(())(())()=+-1对于输出零化问题，则有Ò»y t k ()()=0，0 ≤ k ≤ r-1。
故系统一定在下面的子集上运动( 局部地围绕x 0)z x R h x L h x L hx n f f r *-=∈===={:()()()) 10。
也就是说在新坐标下，恰恰正是z z z r 12,,, 均为零的点集上运动，且附加的限制条件：y L h xt L L hxt u t r f r g f r ()(())(())()=+=-10 图4.6表示了在新坐标下零动态的几何表示图 4.6因为微分 dLh x f i()，0 ≤ i ≤r-1，在x 0 处是线性无关的。
